江苏省无锡市惠山区2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟练习卷

无锡市惠山区2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 【答案】 1. D  2. C  3. A  4. C  5. A  6. C  7. B  8. C  9. D  10. B  11. 圆外  12. 3  13.   14.   15. 16  16. 0  17.   18. 2  19. 解：， ， 或， ，； ， ， ， 或， ，  20. 证明：依题意，得 ， ， 方程总有两个实数根． 解：解方程， 得，， 方程的两个实数根都是正整数， 的最小值为  21. 解：证明：是的直径， ， ， ， ， 又是的中点， ， ， ， ； ， ， ， 的半径为 ，   22. 解：根据题意得： 桶 答：每月可售出450桶； 根据题意得： 元 答：每桶洗衣液的定价为60元； 设销售价格应定为x元，则每桶的销售利润为元，月销售量为桶， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要体现“薄利多销”的销售原则， 答：销售价格应定为40元．  23. 证明：如图，连接OE、AE，则， ， ，， ， ， 经过的半径OE的外端，且， 与相切； 解：，，， ， ， ，且，， ， ， 的长为  24. 解：； 理由如下：连接AE、BE， 是AB的垂直平分线， ，， ， ≌， ， ； 不正确， 连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点E，交AB于点F，连接BE，作BE的垂直平分线GH交于点P，则点P为所求.   25. 【小题1】 解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点 将代入到中，得 解得 反比例函数的解析式为 联立， 得 解得， 当时，代入，得 点A的坐标为 【小题2】 或 【小题3】 解：将代入直线中，得，即点， 点A纵坐标为2， ， 设点，则，得 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为 点P的坐标为或   26. 解：； 设所求方程的根是y，则， 所以， 把代入方程，得 ， 化简，得； 故所求方程为； 一元二次方程整理后可得：， 令， ， 则方程的两根比两根大1， 所以方程的两根分别是4、  27. 【小题1】 将反比例函数的图象向左平移3个单位长度， 平移后的函数表达式为 当时，， 平移后的图象与y轴的交点坐标为 【小题2】 设点为点P旋转前的图象上的对应点，过点作轴于， 如图①，则，设点坐标为，则①，②，解得，或，，则或 如图②，在直线上取一点，过T作轴于S，则，，， ， ，即直线与x轴的夹角为， ， ，又，， ≌， ，即PH的值为2或 【小题3】 b的值为7或 解方程组得或舍去， 解方程组得或舍去， ， ，F，G，H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4， ， 直线与两条曲线交于G，H，当点H在点G右上方时，形成矩形为FGHE， ，此矩形对角线的交点为FH的中点，坐标为，根据轴对称性质，将代入得，解得 当点H在点G左下方时，形成矩形为FGHE， ，此矩形对角线的交点为FH的中点，坐标为，根据轴对称性质，将代入得，解得 综上，满足条件的b的值为7或   28. 【小题1】 画出图形如图②所示， 证明：在l上任取一点异于点M，连接，，与交于点F，连接BF， 是的外角， ， 【小题2】 如图③，当经过点A，点B的与OD相切于点M时，的值最大，作于点H，交OD于点Q，连接TA，TB，OT， 设， ，， ，， ，， ， ， ， ， 整理得， ， ，舍去， ，， ， ，， ，， 中，，   【解析】 1. 【分析】 本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的一般式 根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，可以判定函数的类型． 【解答】 解：是反比例函数，不符合题意； B.是反比例函数，不符合题意； C.是反比例函数，不符合题意； D.不是反比例函数，符合题意． 故选 2. 【分析】 本题考查了对点与圆的位置关系的判断，勾股定理的有关知识.由勾股定理算出原点与圆心的距离d，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【解答】 解：由勾股定理，得 ， ， 原点O在外. 故选： 3. 解：， ， ， 所以 故选： 把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到a的值． 本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 4. 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．作对的圆周角，利用圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理求的度数． 【解答】 解：如图，在优弧上任取一点P，连接AP、CP， ， ，. 故选 5. 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查增长率问题，属于基础问题，比较简单． 根据平均每年增长的百分率为x，则在第一年是，第二年是，即可列方程． 【解答】 解：设平均每年增长的百分率为x，第一年是， 第二年是， 故 故答案为： 6. 点在反比例函数的图象上，，即反比例函数表达式为，该函数图象位于第一、三象限，故A选项正确；该函数图象关于直线和直线成轴对称，关于原点中心对称，故B选项正确；在每个象限内，y随x的增大而减小，故C选项不正确；，点在该函数图象上，故D选项正确． 7. 解：， 关于x的方程可化为，即， ，，， ， 有两个不相等的实数根． 故选： 8. 解：点，，其中都在反比例函数的图象上， 反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而增大， ， ，，， ， ， 故选： 9. 解：由题知，  因为，且， 所以是等边三角形，  所以，  所以的长为：  故选： 10. 解：设、是函数图像上的两点，且，则： ①， ，，代入条件： ， 取，则，解得，，存在共轭点对，①正确； ②，，，代入条件： ， 即，解得，不满足“不同点”的要求，②错误； ③， ，，代入条件： ， 取，则，即，有解，，存在不同的共轭点对，③正确， ④，， ，，代入条件： ， 由，，得，，故左边最大值不超过，无解，④错误， 综上，正确的结论为①③，共2个， 故选： 11. 解：以的直角边AB为直径作圆，设圆心为O， 点C、O与的直角顶点构成直角三角形，OC为直角三角形的斜边， 所构成直角三角形的直角边，即， ， 点C在圆外． 故答案为圆外． 12. 【分析】 本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键． 先由方程的解的含义，得出，变形得，再将要求的代数式提取公因式，然后将代入，计算即可． 【解答】 解：是关于x的方程的解， ， ， 故答案为 13. 【分析】 本题主要考查了反比例函数中k的几何意义. 根据的面积为3，得出，再根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出答案． 【解答】 解：根据题意可知：，即， 又反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 故答案为： 14. 解：圆锥的底面周长， 圆锥的侧面积 15. 解：，是一元二次方程的两实根， ，， ， 故答案为： 根据，是一元二次方程的两实根，可以求得和的值，从而可以求得所求式子的值． 本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确， 16. 本题主要考查了正比例函数、反比例函数图象的性质及关于原点对称的点的坐标特征. 首先根据正比例函数、反比例函数的图象性质得到：直线与的两个交点的关系，然后依据关于原点对称的点的坐标特征即可得到的值. 解：直线与双曲线交于A、B两点， 点A、B关于原点对称， 点A，B的纵坐标分别为，满足 17. 【分析】 本题考查了长方形的面积公式的运用，正方形的面积公式的运用，解答时根据正方形AENM与四边形EFDB的面积相等建立方程是解答的关键． 设，则，就有EFDB的面积为，正方形AENM的面积，根据正方形AENM与四边形EFDB的面积相等建立方程求出其解即可． 【解答】 解：设，则，由图形得 ， 解得：，舍去 故答案为： 18. 解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作于 ，， ， 点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的，设交MN于 直线与x轴、y轴分别交于点D、E， ，， ，， ， ，， ∽， ， ， ， 当点C与重合时，的面积最小，最小值， 故答案为 如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作于首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的，设交MN于求出MN，当点C与重合时，的面积最小． 本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型． 19. 详细解答和解析过程见【答案】 20. 本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解法，在解答时得到方程的两个根是解题的关键． 根据方程的系数可得出，由偶次方的非负性可得出，即，进而可证出方程总有两个实数根； 利用因式分解法解一元二次方程，可得出，，结合方程的两个实数根都是正整数，即可得出a的取值范围，取其中的最小整数即可得出结论． 21. 由AB是的直径，得，由，得，则，又，则； 在中，，又知，可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积可以求得CE的长． 本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法． 22. 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用月销售量每桶上涨的价格，即可求出结论； 利用每桶洗衣液的定价减少的月销售量，即可求出结论； 设销售价格应定为x元，则每桶的销售利润为元，月销售量为桶，利用总利润=每桶的销售利润月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要体现“薄利多销”的销售原则，即可确定结论． 23. 此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 连接OE、AE，则，所以，由，得，所以，即可证明CE与相切； 由，，，得，则，即可根据勾股定理列方程，则 24. 本题考查圆心角、弧、弦的关系. 连接AE，BE，根据垂直平分线性质可得全等三角形，从而，； 作法不正确，正确的做法是再作BE的垂直平分线，交于点P即可. 25.   先将点B的纵坐标代入直线AB中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标．   首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． 解：不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或   首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到OC的长度，即两个三角形的底边均为OC的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 26. 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，属于新定义型题目，解题的关键是掌握换根法的使用． 根据题意，设所求方程的根是y，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； 根据题意，设所求方程的根是y，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； 先将所求方程变形整理得到，令，得到，可知已知方程和所求方程的根的关系，即可得出答案. 【解答】 解：设所求方程的根是y，则，所以， 把代入， 得， 故答案为：； 见答案； 见答案. 27.  略  略  略 28.   如图①，延长交于E，连接BE， 是的外角， ，  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市惠山区2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新苏科版九年级数学上册第1-3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数关系式中不是表示反比例函数的是(    ) A. B. C. D. 2.若的半径为4，圆心P的坐标为，则平面直角坐标系的原点O与的位置关系是     A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 3.若将方程化为，则a的值为      A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 4.如图，点A、B、C都在上，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台.若设平均每年的增长率为x，则可得方程(    ) A. B. C. D. 6.已知点在反比例函数的图象上，对于反比例函数，下列说法不正确的是      A. 该函数图象位于第一、三象限 B. 该函数图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. y随x的增大而减小 D. 点在该函数图象上 7.对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为   A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8.若点，，其中都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 9.如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，15cm为半径的弧，弦AB的长为15cm，则的长是(    ) A. B. C. D. 10.定义：对于平面内两点，，若满足，则称A，B为一组共轭点对．若函数图象上存在至少一组不同的共轭点对，则称该函数为共轭函数． 下列结论：①函数是共轭函数；②函数是共轭函数；③函数是共轭函数； ④函数在上是共轭函数．正确结论的个数为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.以的直角边AB为直径作圆，点C在          填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个 12.若m是关于x的方程的解，则代数式的值是______. 13.如图，点A在双曲线上，轴于点B，的面积为3，则k的值为________. 14.一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是______平方米．接缝不计 15.已知，是一元二次方程的两实根，则的值是      . 16.在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，，则的值为____. 17.已知线段AB的长为2，以AB为边在AB的下方作正方形取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形过E作，垂足为F点，如图．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为          . 18.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D，E，则面积的最小值为________. 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.解方程：；           20.已知关于x的一元二次方程 求证：方程总有两个实数根． 若方程的两个根都是正整数，求a的最小值． 21.如图，AB是的直径，C是的中点，于点E，BD交CE于点 求证： 若，，求的半径及CE的长． 22.某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液.经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶. 若售价定为35元，每月可售出多少桶? 若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元? 当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少? 23.如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，点E在上，AB，CE的延长线交于点 求证：CE与相切； 若的半径为3，，求CE的长． 24.在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点E，交AB于点F，再作FB的垂直平分线GH，交于P，交AB于点Q，则点P即为满足的点. 结合图2回答下列问题： 与是否相等?请说明理由; 小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由;若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点 25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为 求反比例函数的解析式及点A的坐标； 观察图象，不等式的解集为          ； 点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 26.请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程，得 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_________； 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 27.几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换.鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图象的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： 如图①，将反比例函数的图象向左平移3个单位长度，求平移后的图象与y轴的交点坐标. 如图②，将反比例函数的图象绕点O顺时针旋转，点P为旋转后图象上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求PH的值. 如图③，反比例函数的图象沿直线翻折得到新图象.若直线与两条曲线交于E，F，直线与两条曲线交于G，H，同学们发现E，F，G，H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值. 28. 【问题探究】如图①，AB是的弦，直线l与圆O相交于M，N两点，，是直线l上异于点M，N的两个点，则          用>，<或=连接如图②，AB是的弦，直线l与相切于点M，点是直线l上异于点M的任意一点，请在图②中画出图形，试判断，的大小关系，并证明; 【解决问题】某游乐园的平面图如图③所示，场所保卫人员想在线段OD上的点M处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求最大.已知，，，问在线段OD上是否存在一点M，使得最大，若存在，请求出此时OM的长和的度数，如果不存在，请说明理由. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市惠山区2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新苏科版九年级数学上册第1-3章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数关系式中不是表示反比例函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的一般式 根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，可以判定函数的类型． 【解答】 解：是反比例函数，不符合题意； B.是反比例函数，不符合题意； C.是反比例函数，不符合题意； D.不是反比例函数，符合题意． 故选 2.若的半径为4，圆心P的坐标为，则平面直角坐标系的原点O与的位置关系是     A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 无法确定 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了对点与圆的位置关系的判断，勾股定理的有关知识.由勾股定理算出原点与圆心的距离d，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【解答】 解：由勾股定理，得 ， ， 原点O在外. 故选： 3.若将方程化为，则a的值为      A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A  【解析】解：， ， ， 所以 故选： 把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到a的值． 本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 4.如图，点A、B、C都在上，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．作对的圆周角，利用圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理求的度数． 【解答】 解：如图，在优弧上任取一点P，连接AP、CP， ， ，. 故选 5.某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台.若设平均每年的增长率为x，则可得方程(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查增长率问题，属于基础问题，比较简单． 根据平均每年增长的百分率为x，则在第一年是，第二年是，即可列方程． 【解答】 解：设平均每年增长的百分率为x，第一年是， 第二年是， 故 故答案为： 6.已知点在反比例函数的图象上，对于反比例函数，下列说法不正确的是      A. 该函数图象位于第一、三象限 B. 该函数图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. y随x的增大而减小 D. 点在该函数图象上 【答案】C  【解析】点在反比例函数的图象上，，即反比例函数表达式为，该函数图象位于第一、三象限，故A选项正确；该函数图象关于直线和直线成轴对称，关于原点中心对称，故B选项正确；在每个象限内，y随x的增大而减小，故C选项不正确；，点在该函数图象上，故D选项正确． 7.对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为   A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B  【解析】解：， 关于x的方程可化为，即， ，，， ， 有两个不相等的实数根． 故选： 8.若点，，其中都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：点，，其中都在反比例函数的图象上， 反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而增大， ， ，，， ， ， 故选： 9.如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，15cm为半径的弧，弦AB的长为15cm，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题知，  因为，且， 所以是等边三角形，  所以，  所以的长为：  故选： 10.定义：对于平面内两点，，若满足，则称A，B为一组共轭点对．若函数图象上存在至少一组不同的共轭点对，则称该函数为共轭函数． 下列结论：①函数是共轭函数；②函数是共轭函数；③函数是共轭函数； ④函数在上是共轭函数．正确结论的个数为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B  【解析】解：设、是函数图像上的两点，且，则： ①， ，，代入条件： ， 取，则，解得，，存在共轭点对，①正确； ②，，，代入条件： ， 即，解得，不满足“不同点”的要求，②错误； ③， ，，代入条件： ， 取，则，即，有解，，存在不同的共轭点对，③正确， ④，， ，，代入条件： ， 由，，得，，故左边最大值不超过，无解，④错误， 综上，正确的结论为①③，共2个， 故选： 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.以的直角边AB为直径作圆，点C在          填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个 【答案】圆外  【解析】解：以的直角边AB为直径作圆，设圆心为O， 点C、O与的直角顶点构成直角三角形，OC为直角三角形的斜边， 所构成直角三角形的直角边，即， ， 点C在圆外． 故答案为圆外． 12.若m是关于x的方程的解，则代数式的值是______. 【答案】3  【解析】【分析】 本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键． 先由方程的解的含义，得出，变形得，再将要求的代数式提取公因式，然后将代入，计算即可． 【解答】 解：是关于x的方程的解， ， ， 故答案为 13.如图，点A在双曲线上，轴于点B，的面积为3，则k的值为________. 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了反比例函数中k的几何意义. 根据的面积为3，得出，再根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得出，即可得出答案． 【解答】 解：根据题意可知：，即， 又反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 故答案为： 14.一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是______平方米．接缝不计 【答案】  【解析】解：圆锥的底面周长， 圆锥的侧面积 15.已知，是一元二次方程的两实根，则的值是      . 【答案】16  【解析】解：，是一元二次方程的两实根， ，， ， 故答案为： 根据，是一元二次方程的两实根，可以求得和的值，从而可以求得所求式子的值． 本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确， 16.在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，，则的值为____. 【答案】0  【解析】本题主要考查了正比例函数、反比例函数图象的性质及关于原点对称的点的坐标特征. 首先根据正比例函数、反比例函数的图象性质得到：直线与的两个交点的关系，然后依据关于原点对称的点的坐标特征即可得到的值. 解：直线与双曲线交于A、B两点， 点A、B关于原点对称， 点A，B的纵坐标分别为，满足 17.已知线段AB的长为2，以AB为边在AB的下方作正方形取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形过E作，垂足为F点，如图．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了长方形的面积公式的运用，正方形的面积公式的运用，解答时根据正方形AENM与四边形EFDB的面积相等建立方程是解答的关键． 设，则，就有EFDB的面积为，正方形AENM的面积，根据正方形AENM与四边形EFDB的面积相等建立方程求出其解即可． 【解答】 解：设，则，由图形得 ， 解得：，舍去 故答案为： 18.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D，E，则面积的最小值为________. 【答案】2  【解析】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作于 ，， ， 点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的，设交MN于 直线与x轴、y轴分别交于点D、E， ，， ，， ， ，， ∽， ， ， ， 当点C与重合时，的面积最小，最小值， 故答案为 如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作于首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的，设交MN于求出MN，当点C与重合时，的面积最小． 本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.解方程：；           【答案】解：， ， 或， ，； ， ， ， 或， ，  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 四、解答题：本大题共14小题，共71分。 20.已知关于x的一元二次方程 求证：方程总有两个实数根． 若方程的两个根都是正整数，求a的最小值． 【答案】证明：依题意，得 ， ， 方程总有两个实数根． 解：解方程， 得，， 方程的两个实数根都是正整数， 的最小值为  【解析】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解法，在解答时得到方程的两个根是解题的关键． 根据方程的系数可得出，由偶次方的非负性可得出，即，进而可证出方程总有两个实数根； 利用因式分解法解一元二次方程，可得出，，结合方程的两个实数根都是正整数，即可得出a的取值范围，取其中的最小整数即可得出结论． 21.如图，AB是的直径，C是的中点，于点E，BD交CE于点 求证： 若，，求的半径及CE的长． 【答案】解：证明：是的直径， ， ， ， ， 又是的中点， ， ， ， ； ， ， ， 的半径为 ，   【解析】由AB是的直径，得，由，得，则，又，则； 在中，，又知，可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积可以求得CE的长． 本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法． 22.某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液.经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶. 若售价定为35元，每月可售出多少桶? 若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元? 当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少? 【答案】解：根据题意得： 桶 答：每月可售出450桶； 根据题意得： 元 答：每桶洗衣液的定价为60元； 设销售价格应定为x元，则每桶的销售利润为元，月销售量为桶， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要体现“薄利多销”的销售原则， 答：销售价格应定为40元．  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用月销售量每桶上涨的价格，即可求出结论； 利用每桶洗衣液的定价减少的月销售量，即可求出结论； 设销售价格应定为x元，则每桶的销售利润为元，月销售量为桶，利用总利润=每桶的销售利润月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要体现“薄利多销”的销售原则，即可确定结论． 23.如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，点E在上，AB，CE的延长线交于点 求证：CE与相切； 若的半径为3，，求CE的长． 【答案】证明：如图，连接OE、AE，则， ， ，， ， ， 经过的半径OE的外端，且， 与相切； 解：，，， ， ， ，且，， ， ， 的长为  【解析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 连接OE、AE，则，所以，由，得，所以，即可证明CE与相切； 由，，，得，则，即可根据勾股定理列方程，则 24.在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点E，交AB于点F，再作FB的垂直平分线GH，交于P，交AB于点Q，则点P即为满足的点. 结合图2回答下列问题： 与是否相等?请说明理由; 小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由;若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点 【答案】解：； 理由如下：连接AE、BE， 是AB的垂直平分线， ，， ， ≌， ， ； 不正确， 连接AB，作AB的垂直平分线CD交于点E，交AB于点F，连接BE，作BE的垂直平分线GH交于点P，则点P为所求.   【解析】本题考查圆心角、弧、弦的关系. 连接AE，BE，根据垂直平分线性质可得全等三角形，从而，； 作法不正确，正确的做法是再作BE的垂直平分线，交于点P即可. 25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为 求反比例函数的解析式及点A的坐标； 观察图象，不等式的解集为          ； 点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】【小题1】 解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点 将代入到中，得 解得 反比例函数的解析式为 联立， 得 解得， 当时，代入，得 点A的坐标为 【小题2】 或 【小题3】 解：将代入直线中，得，即点， 点A纵坐标为2， ， 设点，则，得 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为 点P的坐标为或   【解析】  先将点B的纵坐标代入直线AB中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标．   首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． 解：不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或   首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到OC的长度，即两个三角形的底边均为OC的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 26.请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程，得 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_________； 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根． 【答案】解：； 设所求方程的根是y，则， 所以， 把代入方程，得 ， 化简，得； 故所求方程为； 一元二次方程整理后可得：， 令， ， 则方程的两根比两根大1， 所以方程的两根分别是4、  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解，属于新定义型题目，解题的关键是掌握换根法的使用． 根据题意，设所求方程的根是y，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； 根据题意，设所求方程的根是y，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； 先将所求方程变形整理得到，令，得到，可知已知方程和所求方程的根的关系，即可得出答案. 【解答】 解：设所求方程的根是y，则，所以， 把代入， 得， 故答案为：； 见答案； 见答案. 27.几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中，平移、翻折、旋转是常见的图形变换.鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后，进一步探究反比例函数的图象的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： 如图①，将反比例函数的图象向左平移3个单位长度，求平移后的图象与y轴的交点坐标. 如图②，将反比例函数的图象绕点O顺时针旋转，点P为旋转后图象上的一点，过点P作直线的垂线，垂足是H，若，求PH的值. 如图③，反比例函数的图象沿直线翻折得到新图象.若直线与两条曲线交于E，F，直线与两条曲线交于G，H，同学们发现E，F，G，H四个点组成的四边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值. 【答案】【小题1】 将反比例函数的图象向左平移3个单位长度， 平移后的函数表达式为 当时，， 平移后的图象与y轴的交点坐标为 【小题2】 设点为点P旋转前的图象上的对应点，过点作轴于， 如图①，则，设点坐标为，则①，②，解得，或，，则或 如图②，在直线上取一点，过T作轴于S，则，，， ， ，即直线与x轴的夹角为， ， ，又，， ≌， ，即PH的值为2或 【小题3】 b的值为7或 解方程组得或舍去， 解方程组得或舍去， ， ，F，G，H四个点组成的四边形是矩形，且面积是4， ， 直线与两条曲线交于G，H，当点H在点G右上方时，形成矩形为FGHE， ，此矩形对角线的交点为FH的中点，坐标为，根据轴对称性质，将代入得，解得 当点H在点G左下方时，形成矩形为FGHE， ，此矩形对角线的交点为FH的中点，坐标为，根据轴对称性质，将代入得，解得 综上，满足条件的b的值为7或   【解析】 略  略  略 28. 【问题探究】如图①，AB是的弦，直线l与圆O相交于M，N两点，，是直线l上异于点M，N的两个点，则          用>，<或=连接如图②，AB是的弦，直线l与相切于点M，点是直线l上异于点M的任意一点，请在图②中画出图形，试判断，的大小关系，并证明; 【解决问题】某游乐园的平面图如图③所示，场所保卫人员想在线段OD上的点M处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求最大.已知，，，问在线段OD上是否存在一点M，使得最大，若存在，请求出此时OM的长和的度数，如果不存在，请说明理由. 【答案】【小题1】 画出图形如图②所示， 证明：在l上任取一点异于点M，连接，，与交于点F，连接BF， 是的外角， ， 【小题2】 如图③，当经过点A，点B的与OD相切于点M时，的值最大，作于点H，交OD于点Q，连接TA，TB，OT， 设， ，， ，， ，， ， ， ， ， 整理得， ， ，舍去， ，， ， ，， ，， 中，，   【解析】  如图①，延长交于E，连接BE， 是的外角， ，  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $无锡市惠山区2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟练习卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新苏科版九年级数学上册第1-3章。 第一部分（选择题共30分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列函数关系式中不是表示反比例函数的是() A.xy=5 B.y- C.y=-3x-1 Dy=品 2.若⊙P的半径为4，圆心P的坐标为(-3,4，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是() A.在⊙P内 B.在⊙P上 C.在⊙P外 D.无法确定 3.若将方程x2+4x=-1化为(x+a)2=3,则a的值为() A.2 B.3 C.4 D.8 4.如图，点A、B、C都在⊙0上，若∠A0C=140°，则∠B的度数是() 0 A.70° B.80° C.110° D.140° 5.某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台.若设平均每年的增长率为x,则可 得方程() A.14400(1+x)2=16900 B.14400(1+x2)=16900 C.14400(1+2x)=16900 D.14400x2=16900 6己知点(3,2)在反比例函数y=的图象上，对于反比例函数y=冬下列说法不正确的是() 第1页，共8页 A.该函数图象位于第一、三象限 B.该函数图象既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.y随x的增大而减小 D.点(-2，-3)在该函数图象上 7对于任意4个实数a,b,c,d.定义一种新的运|=ad-bc,例如：尽引-3×5-2x6=3, 则关于x的方程6x小=0的根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C没有实数根 D.无法判断 8.若点A(m-3,y),B0m-1y2),C(m+1,y)其中1<m<3)都在反比例函数y=-的图象上，则y1, y2,y的大小关系是() A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y2<y3<y1 D.y3<y1<y2 9.如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，AB是以点O为圆心， 15C为半径的弧，弦AB的长为15cm,则AB的长是() B 图1 图2 图3 A.4πcm B.15πcm C.10πcm D.5πcm 10.定义：对于平面内两点A(x1y1),B(x2y2),若满足x1y2+x2y1=2026,则称A,B为一组共轭点对.若 函数图象上存在至少一组不同的共轭点对，则称该函数为共轭函数， 下列结论：①函数y=x+1是共轭函数：②函数y=1013是共轭函数：③函数y=x2是共轭函数： ④函数y=-x2+1在-1≤x≤1上是共轭函数.正确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 第二部分（非选择题共120分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆，点C在（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个） 12.若m是关于x的方程x2-3x-1=0的解，则代数式6m-2m2+5的值是_一 第2页，共8页 13.如图，点A在双曲线y=上，AB1x轴于点B,△A0B的面积为3，则k的值为 14.一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则 做这把遮阳伞需用布料的面积是 平方米.（接缝不计） 2.5m 十2m 15.已知x1,x2是一元二次方程x2-x-4=0的两实根，则(x1+4)(x2+4)的值是 16在平面直角坐标系，xOy中，直线y=x与双曲线y=交于A,B两点.若点A,B的纵坐标分别为y1, y2,则y1+y2的值为_ 17.己知线段AB的长为2，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边在AB的 上方作正方形AENM过E作EF L CD,垂足为F点，如图.若正方形AEMM与四边形EFDB的面积相等， 则AE的长为 第3页，共8页 18.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙0与x轴的正半轴交于点A,点B是⊙0上一动点，点 C为弦AB的中点，直线y=}x-3与x轴、y轴分别交于点D,B,则△CDB面积的最小值为 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.解方程：(1)x2-6x=0; (2)5xc-3)=6-2x 20.已知关于x的一元二次方程x2-(a+2)x+a+1=0. (1)求证：方程总有两个实数根 (2)若方程的两个根都是正整数，求α的最小值， 21.如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE1AB于点E,BD交CE于点F (1)求证：CF=BF; (2)若CD=6,AC=8,求⊙0的半径及CE的长. 第4页，共8页 22.某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液.经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月 售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶 (1)若售价定为35元，每月可售出多少桶？ (2)若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元？ (3)当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？ 23.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙0交BC于点D,点E在⊙O上CE=CA,AB,CE 的延长线交于点F (1)求证：CE与⊙0相切； (2)若⊙0的半径为3，EF=4,求CE的长. 24.在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知AB,在AB上作一点P,使AP=3PB. 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点E,交AB于点F,再作FB的垂直平分线GH,交AB 于P,交AB于点Q,则点P即为满足AP=3PB的点. 第5页，共8页 结合图2回答下列问题： C G米 B A B H米 D￥ 图1 图2 (1)AE与EB是否相等？请说明理由； (②)小亮的做法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P. 25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB:y=x一4与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x 轴相交于点C,己知点B的坐标为(m,-6) y B (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标 (2)观察图象，不等式x-4>的解集为一： (3)点P为反比例函数y=图象上任意一点，若S△Poc=3S△A0c,求点P的坐标. 第6页，共8页 26.请阅读下列材料： 已知方程x2+x一3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍 解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=之把x=代入已知方程，得（必）2+兰-3=0. 化简，得y2+2y-12=0,故所求方程为y2+2y-12=0, 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”· (1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的相反数，则所求方程为： (2)已知方程2x2一7x+3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别为3，-2，求一元二次方程y2- (2a-b)y+a-b+c=0的两根. 27.几何图形是数学研究的主要对象之一，图形的形状、大小和位置是几何中研究的主要内容，平面几何中， 平移、翻折、旋转是常见的图形变换鹿鸣学堂数学兴趣小组的同学们在学习了反比例函数的相关内容后， 进一步探究反比例函数y=的图象的平移、旋转、翻折的相关问题，过程如下： 6 ① ② ③ (1)如图①，将反比例函数y=的图象向左平移3个单位长度，求平移后的图象与y轴的交点坐标. (②如图②，将反比例函数y=(x>0)的图象绕点0顺时针旋转60，点P为旋转后图象上的一点，过点P 作直线y=号x的垂线，垂足是，若0P=区，求H的值 (3)如图③，反比例函数y=(x>0)的图象沿直线y=-x+bb≠2√6)翻折得到新图象.若直线y=x+1 与两条曲线交于E,F,直线y=x-1与两条曲线交于G,H,同学们发现E,F,G,H四个点组成的四 边形是矩形，当这个矩形的面积是4时，直接写出b的值 第7页，共8页 D M 28 B OA B ⑦ ② ③ (1)【问题探究】(1)如图①，AB是⊙0的弦，直线1与圆O相交于M,N两点，M1,M2是直线1上异于点 M,N的两个点，则∠AMB∠AM1B(用>，<或=连接)；(2)如图②，AB是⊙O的弦，直线1与⊙O相切 于点M,点M1是直线l上异于点M的任意一点，请在图②中画出图形，试判断LAMB,∠AM1B的大小关系， 并证明； (2)【解决问题】(3)某游乐园的平面图如图③所示，场所保卫人员想在线段OD上的点M处安装监控装置， 用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果达到最佳，必须要求LAMB最大.已知LD0C=60°，OA=400m, AB=200V3m,问在线段OD上是否存在一点M,使得LAMB最大，若存在，请求出此时OM的长和LAMB 的度数，如果不存在，请说明理由 第8页，共8页