第八十四讲 点线位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第八十四讲  点线位置关系

点、直线和圆是平面上最简单的几何图形, 但是涉及位置关系的组合问题十分丰富,在组合几何中占有重要的一隅。

例 1 (Sylvester-Gallai) 设 是平面上有限个点构成的集合。若经过 中任意两点的直线都经过 中的第三个点,则 中的所有点在一条直线上。

证明 反证法,假设 中的点不全在一条直线上。 显然 。考虑所有的有序对 ,其中 是 中的点, 是经过 中至少两点的直线,且 不在 上。 由反证法假设可知这样的有序对是存在的,且只有有限多个。用 表示 到 的距离。我们从所有有限个有序对中选取一个 ,使得 取得最小值。由假设知 上含有 中至少三个点,取其中三点依次记为 在 之间)。过 作 的垂线,设垂足为 。由抽屉原理,在直线 上 的某一侧含有 中至少两点,不妨设 的一侧含有点 (包含 的情况)。

                      

记经过点 的直线为 ,则 也是满足要求的有序对。但是

这与 的选取矛盾。因此反证法假设不成立。

评注 本例是 Sylvester-Gallai 定理, 由     J.     J. Sylvester 在 1893 年提出, 直到 40 年后才由     T. Gallai 给出了一个正确的证明。上面使用极端原理的漂亮证明是     L.     M. Kelly 得到的。

例 2 设 是平面上 个点构成的集合,且 的点不全在一条直线上。证

明: 经过 中至少两个点的直线不少于 条。

证明 显然 。我们对 归纳证明。 时, 是一个三角形的三个顶点,满足条件的直线恰有三条,结论成立。假设 ,且结论对 成立。由 Sylvester-Gallai 定理,存在一条直线恰经过 中两个点 。记 。

情形一: 中所有点在一条直线 上，此时易知经过点 与 中一点的 条直线和 是 条不同的直线,每一条直线经过 中至少两个点。

情形二: 中的点不全在一条直线上。由归纳假设,经过 中至少两个点的直线不少于 条,这些直线不同于直线 ,否则直线 上就有 中至少三个点。因此经过 中至少两个点的直线不少于 条。

例 3 确定平面上所有至少包含三个点的有限点集 ,满足下述条件: 对于 中任意两个不同的点 和 ,线段 的垂直平分线是 的一个对称轴。

解法一 设 是 的重心,则对平面的任意仿射变换 是 的重心。 对 中任意两点 ,记 为平面关于线段 的垂直平分线的对称变换,因为 ,所以 ,这说明 中每个点到 的距离都相等,因而 中的点全在一个圆周上,它们构成一个凸多边形 。

考虑对称变换 ,把直线 两侧的半平面分别映成它们自身,而 在 一侧的半平面内只有 ,故 ,即 。同理可知

这说明 是一个正 边形。

反之易验证,正 边形 的顶点集合满足题目要求。因此 为正多边形的顶点集合。

解法二 这里给出 是正多边形的顶点集合的另一种证明。分几步来完成。

(i) 中任意三点不共线。

反证法,假设在某条直线 上含有 中至少三个点,顺次记为 , 。过 的中垂线作对称,记该对称变换为 ,则 仍在 上但不是 中的点,与条件不符。

(ii) 设 的凸包是 ,则 是 的顶点集合。

反证法,假设 除 的顶点外还有其他点,设 且不是 的顶点, 是 的一个顶点。由 (i) 可知 在 的内部。考虑对称变换 。过 可作一条支撑直线 在 的一侧。于是 也在 的一侧。但是 ,故 。由于 为过 的一条直线,又 在 的内部, 不可能在 的一侧。

(iii) 是正多边形。

记 的顶点顺次为 。考虑对称变换 ,它将 互换,又由于将 变为 变为 ,故也将 互换,从而 。类似可知所有 个内角均相等。考虑对称变换 ,将 互换,将 变为自己,故 。类似可知所有 条边均相等。从而 是正多边形, 是正多边形的顶点集合。

评注 解法一虽然简洁, 但是考虑重心的想法有一定的创造性。解法二利用凸包的性质,逐步推进,虽然篇幅略长,但思想上更简洁。

例 4 平面内 个点组成集合 是此平面内 条直线组成的集