期中复习专题06 直线与圆的位置关系讲义【知识清单+12大考点+强化训练】-2026-2027学年上学期高二数学人教A版选择性必修第一册

专题06 直线与圆的位置关系 知识点1： 直线与圆的位置关系 1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 （1）直线与圆相离无交点； （2）直线与圆相切只有一个交点； （3）直线与圆相交有两个交点. 2、代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 知识点2： 直线与圆相交时的弦长求法： 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 知识点3： 直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结合图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 知识点4： 与圆的切线相关的结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为； 2、过上一点的圆的切线方程为 3、过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为： 4、若圆的方程为， 则过圆外一点的切线长为. 5、圆心的三个重要几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在某一条弦的中垂线上； （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 知识点5： 切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 知识点6： 切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 知识点7： 圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 知识点8： 过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 考点一 判断直线与圆的关系 考点二 利用直线与圆的关系求参数 考点三 圆上点到直线上的最值 考点四 求圆的切线方程 考点五 切点弦及其方程 考点六 切线长及其最值问题 考点七 求圆的弦长及其求参数 考点八 过圆内定点的弦长最值 考点九 圆内接三角形的面积 考点十 直线与圆中的定点定值问题 考点十一 直线与圆的实际应用 考点十二 直线与圆中韦达定理及应用 考点一 判断直线与圆的关系 1．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 3．（2026高二·全国·专题练习）已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 4．（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 考点二 利用直线与圆的关系求参数 5．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知直线与圆相离，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是________． 7．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知点关于直线对称的点为． (1)求点的坐标； (2)若直线与以线段为直径的圆相切，求的值． 8．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 考点三 圆上点到直线上的最值 9．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知直线：，圆．若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则______． 10．（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）的三个顶点分别是，，． (1)求外接圆的方程 (2)求该圆上点到直线距离的最大值和最小值. 11．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知，，点满足，点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是______． 考点四 求圆的切线方程 13．（26-27高三上·湖北·阶段检测）圆C：在原点处的切线方程为__________． 14．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 15．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知点、是圆的一条直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆C的切线，求切线所在的直线方程． 16．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知圆过与两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求的方程． 考点五 切点弦及其方程 17．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·山东淄博·期中）过点引圆C：的切线 (1)求切线方程 (2)设两个切点为，求切点弦所在的直线方程及线段的长． 20．（25-26高二上·山东临沂·期中）设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 考点六 切线长及其最值问题 21．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 22．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知圆和直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．四边形的面积的最小值为4 D．的最大值为4 23．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 24．（2026·江苏镇江·模拟预测）由动点向圆引两条切线，切点分别为 ，若四边形为正方形，O为原点，则线段的最大值是（   ） A．3 B．5 C． D．7 考点七 求圆的弦长及其求参数 25．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知直线：被圆：截得的弦为，则（     ） A．圆的标准方程为 B．圆心 C．圆心到直线的距离为 D． 26．（26-27高二上·四川内江·阶段检测）已知圆 直线 (1)求证：直线l恒过定点； (2)若直线l与圆C 相切，求m 的值； (3)若，直线l与圆C相交于A， B 两点，求|AB|的值. 27．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为，求直线方程． (3)过点引圆的切线，求切线方程． 28．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆，直线． (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)设直线与圆交于，两点，弦长，求实数的取值范围． 考点八 过圆内定点的弦长最值 29．（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）已知圆，点，经过点P的直线与圆C相交于A、B两点，则的最大值与最小值分别为（    ） A．6与4 B．6与 C．与4 D．9与 30．（25-26高三上·重庆·期中）（多选）已知圆，直线，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线过定点 C．圆被轴截得的弦长为 D．当圆被截得的弦长最短时，的方程为 31．（2026高二上·湖南·专题练习）已知圆，直线. (1)当时，求被圆截得的弦长； (2)求被圆截得的弦长的最小值. 32．（25-26高二上·山东聊城·期中）已知圆心分别为和的两个圆的半径都是1，过动点分别作圆，圆的切线（分别为切点），使得. (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)直线被轨迹截得的弦长最短时，求的值及最短弦长. 考点九 圆内接三角形的面积 33．（2026·山东临沂·二模）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 34．（25-26高二下·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 35．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 36．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 考点十 直线与圆中的定点定值问题 37．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆：，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？求出该定点，并说明理由． 38．（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知圆与圆：关于直线对称． (1)求圆的标准方程． (2)过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 39．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线l与圆O：相交于A，B两点，且． (1)若直线l过点，求直线l的方程； (2)①若线段的中点为点D，求点D的轨迹方程； ②记①中D的轨迹为曲线C，过点作直线m与曲线C交于两点，点Q的坐标为，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 40．（26-27高二上·安徽·期中）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 考点十一 直线与圆的实际应用 41．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 42．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽．一条船在水面以上部分高，船顶部宽，可以通行无阻．近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．船身应该降低（     ）（精确到，参考数据：） A． B． C． D． 43．（25-26高二上·辽宁大连·期中）树林的边界是直线l（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线上的点A和点B处，（a为正常数），若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积为__________；若兔子要想不被狼吃掉，则的取值范围为_____________ 44．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 考点十二 直线与圆中韦达定理及应用 45．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）在平面直角坐标系中，两点，，点满足， (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线：，，判断曲线与直线的位置关系； (3)过点作直线交曲线于，两点，，求面积的最大值． 46．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. (1)若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； (2)当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； (3)是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 47．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，记点的轨迹方程为.设点，点在上． (1)求的方程； (2)若三点共线，且，求直线的方程； (3)若三点共线，设直线的斜率分别为，求． 48．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交于，两点. （i）求的取值范围； （ii）求的最小值. 1．（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 3．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北邯郸·期中）若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 5．（25-26高二上·贵州毕节·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 7．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆．若Q为直线上的动点，M是圆C上的动点，定点，则的最小值（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为，则该圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 9．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知圆及点，则下列说法中正确的是（     ） A．圆的直径为 B．若是圆上任一点，则的取值范围为 C．若点在圆上，则直线的斜率为 D．过点作圆的切线，则切线段长为4 10．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）（多选）已知直线：与圆：相交于，两点，则（     ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 11．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）（多选）在同一平面直角坐标系中，方程与表示的图形可能是（     ） A． B． C． D． 12．（2026·广西南宁·一模）已知直线：与圆：相交于，两点，则________． 13．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线l：与⊙C：交于A，B两点，写出满足“面积为”的所有m构成的集合______． 14．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）过圆：外一点作圆的切线，，切点为，，则的最小值为_______． 15．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； (3)若为圆上任意一点，定点，点N满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 16．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆． (1)若直线过点，且圆C上恰有三个点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)点为直线上的动点，点为圆上的动点， ①若直线与圆相切，求的最小值； ②若为坐标原点，求的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 知识点1： 直线与圆的位置关系 1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 （1）直线与圆相离无交点； （2）直线与圆相切只有一个交点； （3）直线与圆相交有两个交点. 2、代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 知识点2： 直线与圆相交时的弦长求法： 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 知识点3： 直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结合图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 知识点4： 与圆的切线相关的结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为； 2、过上一点的圆的切线方程为 3、过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为： 4、若圆的方程为， 则过圆外一点的切线长为. 5、圆心的三个重要几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在某一条弦的中垂线上； （3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 知识点5： 切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 知识点6： 切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 知识点7： 圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 知识点8： 过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 考点一 判断直线与圆的关系 考点二 利用直线与圆的关系求参数 考点三 圆上点到直线上的最值 考点四 求圆的切线方程 考点五 切点弦及其方程 考点六 切线长及其最值问题 考点七 求圆的弦长及其求参数 考点八 过圆内定点的弦长最值 考点九 圆内接三角形的面积 考点十 直线与圆中的定点定值问题 考点十一 直线与圆的实际应用 考点十二 直线与圆中韦达定理及应用 考点一 判断直线与圆的关系 1．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为，由是圆内异于圆心的一点，得，从而． 圆心到直线的距离， 故直线与圆相离． 2．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）直线与圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】A 【详解】圆的标准方程为，圆心是，半径为， 圆心到直线的距离：， 故直线与圆相离． 3．（2026高二·全国·专题练习）已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断二者位置关系即可. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由辅助角公式可知，，其中， 所以，即， 由于圆的半径，所以圆心到直线的距离， 当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交； 所以直线与圆的位置关系是相交或相切，故B正确. 4．（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 考点二 利用直线与圆的关系求参数 5．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知直线与圆相离，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将圆的方程配方得,所以圆心为,半径,且需,即. 圆心到直线的距离. 因为直线与圆相离,所以,即,两边平方得,解得. 与取交集,得,即的取值范围为. 6．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点，写出对称直线的方程，再利用直线与圆有公共点的条件，解不等式即可. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，得，所以， 即直线关于对称的直线为直线， 因为， 所以直线的方程为：，即， 因为直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 整理得：，解得， 所以的取值范围是. 7．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知点关于直线对称的点为． (1)求点的坐标； (2)若直线与以线段为直径的圆相切，求的值． 【答案】(1) (2). 【分析】(1)抓住两点，连线和对称轴垂直、中点在对称轴上，列方程组求解;(2)圆心到直线距离等于半径，用点到直线距离公式列方程. 【详解】（1）设.因为直线的斜率为，所以， 所以，即. 因为线段的中点在直线上， 所以，即， 又，解得，，所以点的坐标为. （2）线段的中点坐标为，即. 因为， 所以圆的半径为. 因为直线与以线段为直径的圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得. 8．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的右半部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得或， 由题意可知点，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即. 考点三 圆上点到直线上的最值 9．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知直线：，圆．若圆C上恰有三个点到直线l的距离为，则______． 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合圆上恰有三个点到直线距离为的几何性质推导半径的取值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由圆C上恰有三个点到直线l的距离为， 圆心到直线的距离， 故与平行且距离为的两条直线中，一条过圆心与圆相交（交于2个点）， 另一条与圆相切（交于1个点）， 此时满足半径. 10．（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）的三个顶点分别是，，． (1)求外接圆的方程 (2)求该圆上点到直线距离的最大值和最小值. 【答案】(1)或 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）小问设圆的一般方程，将、、三点代入，列出关于、、的方程组，求解即可； （2）小问利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，则圆上点到该直线的最大值为，最小值为. 【详解】（1）设的外接圆的方程为， 将，，三点分别代入，可得 ，整理得，解得， 所以的外接圆的方程为， 化为标准方程为. （2）的外接圆的圆心，半径， 直线的一般式为， 圆心到直线的距离， 所以该圆上点到直线距离的最大值为， 该圆上点到直线距离的最小值为. 11．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知，，点满足，点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求点的轨迹方程，然后用将军饮马模型，把折线距离转化为直线距离，最后化简计算. 【详解】设点，又，所以，整理得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上. 点在圆上运动，圆心为，半径为，点在直线上运动，如图， 圆与圆关于直线对称，则，所以， 即当，，三点共线时，取得最小值. 设，则，解得. 因此. 12．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是______． 【答案】 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线即的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即的取值范围是． 考点四 求圆的切线方程 13．（26-27高三上·湖北·阶段检测）圆C：在原点处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】将圆的一般方程配方化为标准方程，利用切线与半径垂直的性质求斜率写出切线方程即可. 【详解】将圆的一般方程配方化为标准方程： ， 整理得，因此圆心的坐标为. 因原点在圆上，，则切线的斜率, 故该圆在原点处的切线方程为.    14．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，点在圆上，且，由此可得出所求切线的方程 【详解】圆的圆心为，因为点在圆上，且， 易知所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为，即. 故选：D. 15．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知点、是圆的一条直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆C的切线，求切线所在的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直径端点坐标求得圆心和半径得到圆的标准方程； （2）分切线斜率存在、不存在两类，利用圆心到切线的距离等于半径求解切线方程. 【详解】（1）由点、是圆的一条直径的两个端点， 则点为中点，故，又， 则圆半径为，故圆的标准方程为； （2）当切线斜率存在时，设为，即， 则有，解得， 即切线所在的直线方程为； 当切线斜率不存在时，直线方程为， 点到直线的距离为，符合切线定义； 综上所述：切线的直线方程为或. 16．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知圆过与两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求的方程． 【答案】(1) 圆的标准方程为 (2) 切线的方程为或 【分析】 （1）设圆心坐标，利用圆心在给定直线上、圆上两点到圆心距离相等的性质求解圆心和半径，得到圆的方程； （2）分切线斜率存在、不存在两种情况，根据圆心到切线的距离等于半径求解切线方程. 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为. 因为圆心在直线上，故，即. 又圆过点和，两点到圆心的距离均等于半径， 因此 ，展开化简得，即. 将代入，解得，，即圆心坐标为. 而半径，因此圆的方程为 ， （2）圆心到该点的距离为，故该点在圆外，存在两条切线. 若切线斜率不存在，此时切线方程为， 圆心到直线的距离为， 符合切线要求，故是切线方程. 若切线斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为， 整理为标准形式. 由圆心到切线的距离等于半径，得 ，即， 两边平方化简得，解得. 将代入切线方程，整理得. 综上，切线的方程为或. 考点五 切点弦及其方程 17．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出以线段为直径的圆的方程，再与圆方程作差得到直线的方程为，再结合点所在直线方程得到直线所过定点，从而得到最小值. 【详解】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得， 所以直线过定点，所以， 数形结合可知的最小值为． 故选：B.    18．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列点一定在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，利用圆外切线的几何性质得出四点共圆，求出辅助圆的方程，联立两圆方程求出切点弦方程，再通过联立所在直线方程求出定点． 【详解】 圆的标准形式为， 圆心，半径， 满足，即，点在直线上， 设点，过点作圆的两条切线，切点分别为，， 在圆外， ， 四点共圆，圆的直径为，方程为， 圆， 联立两圆方程得出圆的切点弦方程， 展开整理得， 代入得， ，解得，即直线恒过． 故选：D． 19．（25-26高二上·山东淄博·期中）过点引圆C：的切线 (1)求切线方程 (2)设两个切点为，求切点弦所在的直线方程及线段的长． 【答案】(1)与 (2)， 【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合点到直线距离公式求解； （2）先求出切点坐标，再利用圆的切线的基本性质求出所在直线斜率，进而求出直线方程，最后求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出． 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 过的直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1， 若直线斜率不存在，则过的直线方程为，则圆心到直线的距离为， 符合题意，故是圆的切线方程； 若直线斜率存在，设为，则直线方程为，圆心到直线的距离为， 即，解得，则直线方程为， 切线方程为与． （2） 联立切线与圆的方程，解得，故点， 点位于圆外，连接交于点， ， ，， ，为等腰三角形，为中点， ， ，解得， 直线的方程为，一般方程为：， 圆心到直线的距离为， ． 20．（25-26高二上·山东临沂·期中）设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设是切点弦，连接交于，由求得点到直线的距离，进而求出圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积，进而求出切点弦区域面积. 【详解】如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以， 则原点到直线的距离为定值， 故切点弦始终与圆相切， 在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 所以切点弦所形成的区域为圆与圆之间的圆环， 故所形成的区域的面积为. 故选：C 考点六 切线长及其最值问题 21．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得要求的最小值，只需求的最小值，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为圆的面积被轴平分，所以圆心在轴上．    设，圆．    将点和代入，得，    解得， 所以圆的方程为． （2）由题意，得， 所以要求的最小值，只需求的最小值．    因为点在直线上，所以的最小值等于点到直线的距离， 即．    故， 即的最小值为． 22．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知圆和直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．四边形的面积的最小值为4 D．的最大值为4 【答案】BC 【分析】分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可判断A选项；推导出，可得出，利用三角形的面积公式可判断B选项；分析可知，当最小时，四边形为正方形，求出线段的中点坐标，结合直线的点斜式方程可判断C选项；分析可知，，可判断D选项. 【详解】圆心为，半径为，连接、，则. 对于A选项，由勾股定理可得， 当时，取最小值，此时，也取最小值， 且，则，A错； 对于B选项，越小，越大，越大. ， ，，，故B正确. 对于C选项，由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 故， 当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为4,C对； 对于 D 选项，设， 因为，则， 因为，则，且E为的中点， 所以，，()，D 错. 23．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 24．（2026·江苏镇江·模拟预测）由动点向圆引两条切线，切点分别为 ，若四边形为正方形，O为原点，则线段的最大值是（   ） A．3 B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】根据题意，得到，求得点轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 又由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形， 所以，可得， 所以点的轨迹方程为， 即点轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又由，所以的最大值为. 故选：D. 考点七 求圆的弦长及其求参数 25．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知直线：被圆：截得的弦为，则（     ） A．圆的标准方程为 B．圆心 C．圆心到直线的距离为 D． 【答案】BD 【详解】对于A，对配方得：，A错误； 对于B，由A选项可知圆心坐标为：，B正确； 对于C，圆心到直线的距离为，C错误； 对于D，由A选项可知圆的半径为，所以，D正确. 26．（26-27高二上·四川内江·阶段检测）已知圆 直线 (1)求证：直线l恒过定点； (2)若直线l与圆C 相切，求m 的值； (3)若，直线l与圆C相交于A， B 两点，求|AB|的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）整理直线的方程为，进而求证即可； （2）应用结合点到直线距离公式计算求解； （3）设圆心到直线的距离为，可得，最后应用求解. 【详解】（1）证明:由直线， 令，解得， 所以直线恒过定点. （2）直线l与圆C 相切，则圆心到直线的距离为， 则， 则，解得. （3）设圆心到直线的距离为， 则， 则， 27．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)过的直线被圆截得的弦长为，求直线方程． (3)过点引圆的切线，求切线方程． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将直线方程整理为，进而可求定点，再结合圆心坐标和半径，列出等式求解即可； （2）通过讨论直线斜率是否存在，结合弦长公式即可求解； （3）通过讨论直线斜率是否存在，结合圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解. 【详解】（1） 如图所示，将直线的方程整理为 ， 令，解得，故， 由圆心在直线上可设圆心坐标为，则， 即，解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线为，此时圆心到的距离为， 由垂径定理得：弦长为，满足要求； 当直线斜率存在时，设直线为， 圆心到直线即距离为， 由垂径定理得：，解得：， 故直线方程为：即 综上：直线方程为或 （3）当切线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，与圆显然相切，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为，切线方程为 ，即， 由圆心到切线距离等于半径得，整理得 ，解得，代入得切线方程为， 所以切线方程为或. 28．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆，直线． (1)若直线与圆相交，求实数的取值范围； (2)设直线与圆交于，两点，弦长，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）将圆化为标准方程，利用圆心到直线距离小于半径的条件建立关于的不等式． （2）用弦长与弦心距的关系把弦长范围转化为的范围，再代入点到直线距离公式求，并与相交条件取交集． 【详解】（1）将圆化为标准方程：，故圆心，半径． 直线化为一般式，所以圆心到直线的距离为． 直线与圆相交的充要条件是，因此． 两边均非负且，平方得，解得或． （2）由圆心到弦所在直线的距离为，弦长公式得． 由，得，即． 又且，所以． 由，得，故． 由，得． 方程的两根为，故或． 结合（1）的相交条件或，取交集得或． 考点八 过圆内定点的弦长最值 29．（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）已知圆，点，经过点P的直线与圆C相交于A、B两点，则的最大值与最小值分别为（    ） A．6与4 B．6与 C．与4 D．9与 【答案】A 【分析】结合图形，可得和为的最大值与最小值，计算即可. 【详解】如图， 点在圆C内，经过点和点作直线交圆于点， 过点作直线的垂线，交圆于点，连接， 则， 故和为的最大值与最小值，其中， 因，则. 附注：下面说明为的最小值. 如图，过点另作直线，交圆于点，连接， 取的中点，连接， 则，且，因圆的半径为3， 在中，， 又，故， 从而， 故为的最小值.    30．（25-26高三上·重庆·期中）（多选）已知圆，直线，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线过定点 C．圆被轴截得的弦长为 D．当圆被截得的弦长最短时，的方程为 【答案】ACD 【分析】根据直线与圆的相关知识和位置关系进行逐项求解即可. 【详解】对于A：将直线变形为，则有 ，解得，所以直线过定点， 而，所以该定点在圆的内部，所以直线与圆相交，A正确； 对于B：将直线变形为，则有 ，解得，所以直线过定点，B错误； 对于C：因为圆心到轴的距离为1，所以该圆被轴截得的弦长为，C正确； 对于D：由B可知直线过定点，所以当圆被直线截得的弦长最短时，. 因为，所以直线与轴平行， 所以，那么此时直线的方程为，所以D正确. 故选：ACD. 31．（2026高二上·湖南·专题练习）已知圆，直线. (1)当时，求被圆截得的弦长； (2)求被圆截得的弦长的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算； （2）定点与圆心连线垂直直线时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为，             当时，的方程为，圆心到的距离，             此时被圆截得的弦长为. （2）的方程可化为， 令可得 所以恒过点.             记点，当时，圆心到的距离最大，被圆截得的弦长最小.             因为， 所以弦长的最小值为. 32．（25-26高二上·山东聊城·期中）已知圆心分别为和的两个圆的半径都是1，过动点分别作圆，圆的切线（分别为切点），使得. (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)直线被轨迹截得的弦长最短时，求的值及最短弦长. 【答案】(1)，以为圆心，半径为的圆 (2)，最短弦长为10 【分析】（1）设点的坐标为，结合图形利用切线性质将化成，利用两点之间距离公式化简即得动点的轨迹方程； （2）先求出直线经过的定点，根据圆的性质可知，当时，被圆截得的弦长最短，由此根据斜率建立方程求出参数的值，进而利用弦长公式即可计算弦长. 【详解】（1）由得. 因为两圆的半径均为1，所以， 代入上式可得，. 设点的坐标为，则， 整理得，即. 因此所求的轨迹是以为圆心，半径为的圆. （2）方程可化为. 由，解得，则直线恒过定点. 记轨迹的圆心为，当时，直线被圆截得的弦长最短，此时恰为线段的中点. 因为，所以直线的斜率为1，即，解得， 圆心到直线的距离为， 则弦的长为. 故当时，直线被轨迹截得的弦长最短，最短弦长为10. 考点九 圆内接三角形的面积 33．（2026·山东临沂·二模）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【答案】3或 【详解】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离）， 由，得，即，解得； 圆心到直线的距离，即，解得或． 34．（25-26高二下·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 35．（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设圆的标准方程为.将两点的坐标代入方程，求出的值，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再利用几何法求出弦长，分析出点到直线的最大距离为，再根据三角形的面积公式计算即可得解. 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为. 因为圆过点，， 所以，即. 将上面两式相减，消去，可得，解得， 将其代入，解得. 所以圆的标准方程为； （2）    由（1）知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 则，要使面积的最大， 只须点到直线的距离最大，最大距离为， 故面积的最大值为. 36．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式分析可知当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】圆：得圆心为，半径， 的面积， 当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为， 则，解得或. 考点十 直线与圆中的定点定值问题 37．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆：，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？求出该定点，并说明理由． 【答案】(1) (2)圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点， 则可设， 因为，都是圆的切线， 所以，， 所以，在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由①-②整理得， 所以直线的方程为， 即， 令，解得， 所以直线过定点． 【分析】（1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由题意可得在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，进而求出公共弦所在直线的方程，进而可得出结论． 【详解】（1）设点，， 由点的坐标为，且是线段的中点， 则， 可得，，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为． （2）略 38．（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知圆与圆：关于直线对称． (1)求圆的标准方程． (2)过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）点在定直线上 【分析】（1）设圆心关于直线对称的圆心，即，解出即可求解； （2）（i）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设的方程为：，则的方程为：，利用几何法求，再由面积公式和基本不等式即可求解；（ii）当直线的斜率不存在时，求出直线和交点，当斜率存在时，设的方程为：，设，与圆方程联立消元，利用韦达定理得，求直线和的方程，进而求交点即可求解. 【详解】（1）设圆心关于直线对称的圆心， 由题意有，解得， 所以圆； （2）（i）当直线的斜率不存在时，，则， 所以，解出， 所以,, 所以，解得或， 所以，， 所以四边形的面积：； 当斜率存在时，设的方程为：，则的方程为：， 所以圆心到直线的距离为：， 所以， 同理得， 所以四边形的面积：， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立， 由，可得，即时，四边形面积的最大值为； （ii）点在定直线上， 由题意有，理由如下： 当直线的斜率不存在时，由（i）有， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 所以，解得，所以； 当斜率存在时，设的方程为：，设， 所以，消元得， 所以， 所以， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 联立，消去,可得： ， 所以，即点在直线上. 39．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线l与圆O：相交于A，B两点，且． (1)若直线l过点，求直线l的方程； (2)①若线段的中点为点D，求点D的轨迹方程； ②记①中D的轨迹为曲线C，过点作直线m与曲线C交于两点，点Q的坐标为，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)或 (2) ① ②如图所示，设，直线， 由点，可得， 则， 由（1）可知当时，直线和圆必有两个交点， 联立方程组，消去得， 当时，，可知， 则，即为定值. 【分析】（1）根据弦长和半径求出弦心距，根据点斜式方程和点到直线距离公式，列出方程，求出参数，求出结果； （2）①根据（1）结论，判断点的运动轨迹是个圆，写出圆的方程即可； ②根据直线和圆的位置关系，联立方程组，根据韦达定理和两点间的斜率公式，求出的表达式，化简求出结果，说明为定值. 【详解】（1）可知圆心，半径，当时，圆心到直线的距离， 依题意，当直线l的斜率存在时，可设直线，化简得， 由到直线的距离为，解得， 即直线，变形得； 当直线l的斜率不存在时，直线到圆心距离为，符合条件； 综上所述，直线的方程为或. （2）①由（1）可知线段的中点到圆心的距离为，所以点D的轨迹方程为. 40．（26-27高二上·安徽·期中）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，设，则， 由题意知，直线的方程为. 令，得，所以. 由，得直线的方程为. 令，得，所以. 所以 ，所以为定值. (3)证明：设直线的方程为，，，已知，联立 得，，即.所以，.所以.所以.所以. 整理得，所以或. 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意. 所以直线过定点. 【分析】（1）先求出圆的半径，再根据圆的标准方程直接写出答案； （2）设，先求出两点的坐标，再求出直线和的方程，得到的坐标，对进行变形求解即可； （3）设直线的方程为，，，联立 根据韦达定理得出，，再由 建立方程，得到的关系，证明直线过定点即可. 【详解】（1）由已知得圆的半径 . 所以圆的标准方程为. （2）略 （3）略 考点十一 直线与圆的实际应用 41．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 【答案】(1)； (2)快艇有触礁的危险 (3) 【分析】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立平面直角坐标系，由已知条件求出点坐标，用表示出，在中，由余弦定理建立等量关系即可求出，进而求出的长； （2）先求出直线的方程，求出圆心到直线的距离，判断与半径的大小即可判断快艇是否有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，由相切建立，即可求出直线的方程，再求出方程，联立方程组即可求出点坐标，最后计算两船的时间差即可求出的最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，又，，所以点为， 又快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，则， 在中，由余弦定理可得， 则，化简整理得， 又，所以，因此； （2）由，则，又， 则，， 所以点为，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，因此快艇有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，化简得，解得或， 又当时，对应交点在下方，不合题意，所以，因此直线的方程为， 由（2）知，，则，即，所以直线的方程为， 联立，的方程得，解得，则点为， 所以， 则科考船走直线用时为小时，快艇走直线用时为小时， 又科考船提前2小时出发，所以快艇等待时间的最小值为小时，即. 42．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽．一条船在水面以上部分高，船顶部宽，可以通行无阻．近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．船身应该降低（     ）（精确到，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以正常水位时河道中央为原点，水面向右为轴、竖直向上为轴，建立平面直角坐标系，根据题意可以得到拱与水面交点为，拱顶坐标，设圆心为，圆的半径为，列出关于的方程组，解出，从而得到圆的方程，根据船顶部宽为，即船顶边缘在处，将其代入圆的方程可得该位置拱的高度（相对于正常水面）水位暴涨后，新水面在位置，求出此时处的拱下净空，船原来高出正常水面，当前净空仅约，从而求出船身需要降低. 【详解】以正常水位时河道中央为原点，水面向右为轴、竖直向上为轴， 建立平面直角坐标系， 正常水位下水面宽，即拱与水面交点为，拱顶坐标， 设圆心为，圆的半径为， 则有， 解得， ， 则圆的方程为， 船顶部宽为，即船顶边缘在处， 将代入圆的方程可得该位置拱的高度（相对于正常水面）： 即， 水位暴涨后，新水面在位置， 此时处的拱下净空为， 船原来高出正常水面，当前净空仅约， 因此船身需要降低. 43．（25-26高二上·辽宁大连·期中）树林的边界是直线l（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线上的点A和点B处，（a为正常数），若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积为__________；若兔子要想不被狼吃掉，则的取值范围为_____________ 【答案】 【分析】建立直角坐标系，由得，由此求圆的面积；设及题意知直线AD与所得圆相离，根据直线与圆的位置关系列出不等式即可求得斜率k的取值范围，从而求得的范围. 【详解】建立如图所示直角坐标系，设， 由，即，整理得， 所以M在以为圆心，半径为的圆及其内部， 所以； 设，由题意该直线与所在的圆相离， 由，得， 所以，由图知. 故答案为：. 44．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【答案】(1) (2) 点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 【分析】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解； （2）判断点的轨迹圆与直线的位置关系即可得出结论. 【详解】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； （2）略 考点十二 直线与圆中韦达定理及应用 45．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）在平面直角坐标系中，两点，，点满足， (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线：，，判断曲线与直线的位置关系； (3)过点作直线交曲线于，两点，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)相切 (3) 【分析】（1）设，利用两点距离公式表示，整理即得轨迹方程； （2）通过圆心到直线的距离与半径的大小关系即可判断； （3）设直线，将直线方程与圆方程联立消元，根据得到的一元二次方程得到韦达定理， 利用弦长公式表示三角形的底，利用点到直线距离公式表示出三角形的高，表示出三角形面积后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）设，由可得，化简可得. 所以点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相切. （3）设直线方程为， 联立 消去并整理可得 ， ， 设，则 由弦长公式可得 ， 又到直线的距离， 所以 令，则， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 46．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. (1)若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； (2)当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； (3)是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)；或 (3)存在，或 【分析】（1）把圆化为标准方程，得到圆心坐标，点斜式求出直线的方程； （2）圆心到直线的距离为，利用面积公式结合配方法求出面积的最大值，由此时的值求出直线的方程； （3）设点，，则有，直线与圆联立方程组，结合韦达定理求解. 【详解】（1）圆的标准方程为：，所以圆心，半径为3； 又直线斜率为1，经过圆的圆心，所以直线的方程为，即． （2）设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，则， ， 当且仅当，时取等号，由，得或， 所以直线的方程为或. （3）假设存在直线：满足题设要求，点，， 以为直径的圆过原点，所以，有，即   ① 联立，得， 由于，得，，  ② 则 ③ 将②，③ 代入①，得，解得或，均符合， 故存在直线，使以线段为直径的圆过原点，其方程为或． 47．（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，记点的轨迹方程为.设点，点在上． (1)求的方程； (2)若三点共线，且，求直线的方程； (3)若三点共线，设直线的斜率分别为，求． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设，结合题设利用距离公式列出方程即可求解轨迹方程； （2）设直线的方程为，根据得，由圆的性质求得圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式列式求得，即可得解. （3）设直线的方程为，，，联立直线与圆的方程，结合韦达定理求得，结合两点公式得，进而将韦达定理代入化简即可求解. 【详解】（1）设，因为，即，点， 所以，整理得. （2）因为三点共线，且直线斜率不存在， 所以设直线的方程为，即， 由（1）知，圆的圆心为，半径为1， 因为，所以，又， 所以圆心到直线的距离为，所以， 平方化简得，解得，所以直线的方程为或，即或； （3）因为三点共线，且直线斜率存在， 所以设直线的方程为，即， 设，. 联立方程组得， 所以，则， 则，因为， 所以 .    48．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交于，两点. （i）求的取值范围； （ii）求的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案； （2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案； （ⅱ）设出两点坐标得，通过根与系数的关系化简为只含参数的表达式，进而求最小值. 【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径， 又圆C与直线相切， 所以圆心C到直线的距离（负值舍）， 所以圆C的标准方程为； （2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程得，则， 因为有两个交点，所以；    （ⅱ）设，则， 由根与系数的关系， ，且， 令，则，得，当时， 当时，，而在上恒负，在上恒正， 要使最小，则，而在上单调递增，在上单调递减， 所以时，， 综上，. 1．（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 3．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设，根据向量数量积的运算得到点的轨迹为圆，再根据直线与圆有公共点时圆心到直线的距离不大于半径，及点到直线的距离公式即可求出的取值范围． 【详解】设，由，， 则，， 则，即， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又直线上存在点，即该直线与圆有公共点， 即圆心到该直线的距离，即，即，解得， 所以的取值范围为． 4．（25-26高二上·河北邯郸·期中）若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设点、的坐标，结合点、在直线、上，也在圆上，列出式子，化简得到直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】设，易知直线的斜率存在，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以，即， 又因为点在圆上，所以，所以可化为， 同理，， 所以直线的方程为， 则到直线的距离. 故选：B. 5．（25-26高二上·贵州毕节·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分直线斜率是否存在，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】圆的圆心是，半径为. 直线过原点，且斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离是，此时直线和圆不相切，故直线斜率不存在时无法成立； 当斜率存在时，设直线方程为：，即， 圆心到直线的距离为，解得， 即，即. 故选：C 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线过定点，求出圆的圆心和半径，当时，直线与圆相交所得弦长最短，根据斜率得到方程，求出答案. 【详解】直线过定点， 圆的标准方程为，则圆心为，半径为. 定点在圆内，当时，直线与圆相交所得弦长最短. 因为，所以直线的斜率为1，故，解得. 7．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆．若Q为直线上的动点，M是圆C上的动点，定点，则的最小值（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】设关于直线的对称点为，利用对称性可求得，进而数形结合可求得的最小值. 【详解】由圆，可知圆心，半径， 因为M是圆C上的动点，所以， 设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 所以， 当且仅当在同一直线上且在点之间时取得等号成立， 故的最小值. 故选：C. 8．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为，则该圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据圆的弦长公式，结合待定系数法进行求解即可. 【详解】圆C的圆心坐标为，设半径为， 圆C与轴相切，则有， 又因为圆心C在直线上， 所以，则 设圆心C到直线的距离为，， 因为圆C被直线截得弦长为， 所以有， 于是有，即， 所以， 即该圆的半径为3. 9．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知圆及点，则下列说法中正确的是（     ） A．圆的直径为 B．若是圆上任一点，则的取值范围为 C．若点在圆上，则直线的斜率为 D．过点作圆的切线，则切线段长为4 【答案】ABC 【详解】对于A，将圆化成标准方程为， 所以圆心，半径，直径为，故A正确； 对于B，，所以点在圆外， 所以，得，即的取值范围为，故B正确； 对于C，若点在圆上，则，解得，故， 所以直线的斜率为，故C正确； 对于D，切线段长为，故D错误. 10．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）（多选）已知直线：与圆：相交于，两点，则（     ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 【答案】ACD 【详解】圆：整理变形得， 所以圆心的坐标为，半径，A选项正确，B选项错误. 圆心到直线的距离，C选项正确. ，D选项正确. 11．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）（多选）在同一平面直角坐标系中，方程与表示的图形可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】直线的斜率为，纵截距为，圆的圆心坐标为，半径为. 对于D，图中的直线的倾斜角为锐角，则，所以点在轴的正半轴上，排除D. 当时，直线与圆的图形是A对应的图形； 当，时，直线与圆的图形是B对应的图形； 当时，直线与圆的图形是C对应的图形. 12．（2026·广西南宁·一模）已知直线：与圆：相交于，两点，则________． 【答案】 【详解】圆：，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， ． 13．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线l：与⊙C：交于A，B两点，写出满足“面积为”的所有m构成的集合______． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由， 所以或， 解得：或，故所有m构成的集合为． 14．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）过圆：外一点作圆的切线，，切点为，，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】设，根据长度表示出，然后根据向量的数量积计算公式求解，结合基本不等式求解出的最小值. 【详解】如图，连接， 圆的标准方程为，则圆的半径为， 设，则， 因为， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 15．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程； (3)若为圆上任意一点，定点，点N满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【答案】(1) (2) (3)；轨迹是一个以为圆心，半径为的圆 【分析】（1）设圆方程为，代入点解出的值即可得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据弦长公式计算即可得到答案； （3）设点坐标为，点坐标为，根据已知条件解出，，再代入圆的方程化简即可得到答案． 【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆的标准方程为， 由于圆经过点， 故， 解得，即圆的标准方程为． （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得到和， 此时弦长为，不满足条件， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 又由勾股定理可得， 即，解得，故直线的方程为. 综上所述，直线的方程为． （3）设点坐标为，点坐标为， 则，， 故，，解得，， 又点在圆上，则， 化简得， 因此点的轨迹方程为，该轨迹是一个以为圆心，半径为的圆． 16．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆． (1)若直线过点，且圆C上恰有三个点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)点为直线上的动点，点为圆上的动点， ①若直线与圆相切，求的最小值； ②若为坐标原点，求的最小值． 【答案】(1)或； (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件确定圆心到直线的距离范围，再按直线斜率是否存在分类，结合点到直线距离公式求解. （2）①利用切线长定理及点到直线距离公式求出最小值；②利用对称思想，结合线段和的最小值问题求解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为， 由圆C上恰有三个点到直线的距离相等，得，又直线过点， 当的斜率不存在时，点到直线的距离为1，的方程可以为； 当的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， ，的方程为， 所以直线的方程为或； （2）①由直线与圆C相切，得，则当最小时，最小， 当且仅当与直线垂直时，最小值等于点C到直线的距离， 即，所以． ②记关于直线的对称点为，由，解得，即， 因此， 当且仅当点共线时，最小， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $