专题05 圆锥曲线中的定点、定值与定直线问题（专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题05 圆锥曲线中的定点、定值与定直线问题 常考题型·精准突破 考点一 椭圆与抛物线 题型1 椭圆中的定点与定值 题型2 抛物线中的定点与定值 考点二 双曲线 题型3 双曲线中的定点问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 椭圆与抛物线 ◆题型1 椭圆中的定点与定值 题型归纳 椭圆中的定点与定值 含参直线整理成 ，解 、，交点就是定点。 定值先用参数表示所求量，再看参数能不能消去。 1．（25-26高二上·天津红桥·期中）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B两点，右焦点为F，直线与椭圆C相交于P，Q两点，则下列说法正确的是______（填写序号） ①椭圆C的焦距为2； ②为定值； ③当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为； ④直线和的斜率的乘积为. 2．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 3．（24-25高二上·四川南充·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为_______；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为_______． 4．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，直线（）与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点． (1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长； (2)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值． ◆题型2 抛物线中的定点与定值 题型归纳 抛物线中的定点与定值 抛物线的直线系同样收成过定点。 与对称轴平行的直线要单独讨论。只有一个公共点不是相切。 5．（24-25高二下·湖北·阶段检测）已知抛物线方程为，在轴上存在一定点，使得经过点的任意一条弦，满足为定值，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，若，则直线过定点_____. 7．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为原点，，试探究是否为定值，并说明理由. 考点二 双曲线 ◆题型3 双曲线中的定点问题 题型归纳 双曲线中的定点问题 与渐近线平行的直线和双曲线可以只有一个公共点，不一定是切线，要代回方程检验。 定点先设出直线或点的坐标，用条件消去参数，再看过哪个点。 8．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则定点A的坐标为__________． 9．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 10．（24-25高二上·安徽·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 (1)求C的标准方程； (2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 11．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． (1)求双曲线的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（24-25高二上·上海·期末）已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上（在第一象限），点为点关于原点的对称点，且，若，①点在一条定直线上；②是定值.则（    ） A．①正确， ②不正确 B．①不正确， ②正确 C．①正确， ②正确 D．①不正确， ②也不正确 二、填空题 2．（24-25高二上·山西太原·阶段检测）已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点A在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为__________. 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知曲线上任意一点，都有的和为定值，则实数的取值范围是__________. 4．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点.若对任意的直线，存在定圆（圆心为定点，半径为定值）内切于以为直径的圆，则定圆的圆心坐标为______. 三、解答题 5．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，点A、B、C分别为椭圆：的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线与直线相交于点Q，直线与x轴相交于点M． (1)求该椭圆的离心率，并求出直线的方程； (2)试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线的方程为，线段的中点为，是否存在垂直于轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由． 6．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知椭圆C: 点B₁，B₂分别是椭圆C短轴的端点，椭圆C的右焦点，且. (1)求椭圆C的方程： (2)设过点 F且斜率不为0的直线交椭圆 C于A，B两点，问x轴上是否存在定点 P，使点 F到直线 BP的距离与点 F到直线AP的距离相等?若存在 求出点 P的坐标；若不存在，说明理由. 7．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且点的纵坐标为2，以线段为直径的圆与直线相切． (1)求抛物线的方程； (2)设直线交抛物线于两点，作于点．若直线的斜率之积为1，则是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 8．（25-26高二下·北京·开学考试）已知椭圆过点，且． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)椭圆与轴的交点为（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 9．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 10．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的顶点到焦点的距离为，点，过点的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一交点分别为．记的面积分别为． (1)求抛物线的方程； (2)若过原点的一条直线与圆相切，且与抛物线的另一交点为，求的值； (3)请问是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 11．（25-26高二上·河南洛阳·期末）已知点与关于直线对称，且点在抛物线:上，设为抛物线的焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是抛物线上一动点，求的最小值； (3)过点作两条互相垂直的直线，与抛物线的另一交点分别为，，作，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在求出定点的坐标及的值，若不存在说明理由． 12．（25-26高二上·云南曲靖·期中）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点．当直线垂直于轴时，．    (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率为，求的值； (3)记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线的方程． 13．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，是E的右焦点，且． (1)求E的方程． (2)过点，且斜率不为0的直线l与E交于M，N两点． （ⅰ）若l的斜率为1，P是直线上的一点，且的面积为，求点P的坐标． （ⅱ）设直线与交于点Q，试判断Q是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线中的定点、定值与定直线问题 常考题型·精准突破 考点一 椭圆与抛物线 题型1 椭圆中的定点与定值 题型2 抛物线中的定点与定值 考点二 双曲线 题型3 双曲线中的定点问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 椭圆与抛物线 ◆题型1 椭圆中的定点与定值 题型归纳 椭圆中的定点与定值 含参直线整理成 ，解 、，交点就是定点。 定值先用参数表示所求量，再看参数能不能消去。 1．（25-26高二上·天津红桥·期中）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B两点，右焦点为F，直线与椭圆C相交于P，Q两点，则下列说法正确的是______（填写序号） ①椭圆C的焦距为2； ②为定值； ③当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为； ④直线和的斜率的乘积为. 【答案】①②④ 【详解】对于①，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故①正确； 对于②，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故②正确； 对于③，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故③错误； 对于④，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故④正确． 故选：①②④． 2．（25-26高二下·北京海淀·期中）已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 【详解】（1）依题意知， ，解得， 所以椭圆的方程为； （2） 联立，可得， 由，设． 则， 在上， ， ， 若为定值，则与无关， 故需使，解得，此时． 3．（24-25高二上·四川南充·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为_______；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为_______． 【答案】 【详解】由已知，， 易知的周长为，所以，又， 解得， 椭圆的方程为． 设、、， 当直线不为轴时的方程为， , 联立椭圆方程得：． ，， 又， 所以 当且仅当， 即时（定值） 即在x轴上存在点使得为定值， 此时的坐标为或， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 所以定点坐标为. 【点睛】关键点点睛：为定值，需满足. 4．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，直线（）与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点． (1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长； (2)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值． 【详解】（1）当时，椭圆方程为，故且， 由椭圆定义可得，的周长为； （2）由题意得，解得， 椭圆方程，联立，消元得， ，可得， 设，，则，， 又因为、在椭圆上，则，， 则 ， 当为定值时，即与无关，故，得， 此时， 又点到直线的距离， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，经检验，此时成立，所以面积的最大值为． ◆题型2 抛物线中的定点与定值 题型归纳 抛物线中的定点与定值 抛物线的直线系同样收成过定点。 与对称轴平行的直线要单独讨论。只有一个公共点不是相切。 5．（24-25高二下·湖北·阶段检测）已知抛物线方程为，在轴上存在一定点，使得经过点的任意一条弦，满足为定值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：假设点M的坐标为，，当AB垂直x轴时，； 当AB与x轴重合时，，所以，； 方法二：假设点M的坐标为，当AB不与x轴重合时， 可设直线AB的方程为：，与抛物线方程联立， 设，， ，，， 则， 因为无论直线AB怎么变化，t恒为定值，所以，即； 当AB与x轴重合时，可以验证也成立. 所以综上所述，，， 故选：B 6．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，若，则直线过定点_____. 【答案】 【详解】抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义得，解得，所以抛物线， 依题意直线，，的斜率必存在， 设直线的方程为 ，，， 联立方程，消去整理得， 则，，， 因为， 所以， 即 ， 解得或（舍去），满足，此时直线的方程为， 所以直线过定点. 故答案为： 7．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为原点，，试探究是否为定值，并说明理由. 【详解】（1） 由题意知，直线的斜率存在且不为，又直线过点，故设直线的方程为， 联立，可得，，，解得且， 又直线交轴于，直线交轴于，故直线不过点， 把代入，解得，从而， 故直线的斜率的取值范围为. （2）为定值，理由如下： 设，由（1）可知， ， ， ， 故, 直线的方程为，令，则，同理可得, 由，可得，得， 由，可得，得同理可得， 则 . 考点二 双曲线 ◆题型3 双曲线中的定点问题 题型归纳 双曲线中的定点问题 与渐近线平行的直线和双曲线可以只有一个公共点，不一定是切线，要代回方程检验。 定点先设出直线或点的坐标，用条件消去参数，再看过哪个点。 8．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则定点A的坐标为__________． 【答案】 【详解】设，若直线斜率不存在，此时为轴，与双曲线没有交点， 所以可令，，，则， 由，可得，易知， 则，， 所以 ， 所以，即， 将代入，得，则， 从而，解得或， 当，时，此时不在双曲线上，舍去； 当，时，此时在双曲线上，满足题意； 综上，. 故答案为： 9．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 【详解】（1）由题意，得，， 所以双曲线的实轴长离心率； （2）由（1）知，直线的方程为， 设，由，消去得， , 设平行于直线且与双曲线的右支相切的切线方程为，切点为 . 联立，消去，得， 令，得 解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意， 因此， ， . 因此点到直线 的距离， 所以的面积的最小值为. （3）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，. 当直线的斜率为时，，， 则 当时， ，解得， 则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则，， ， 由，得， 所以 ， 即 ， 化简，得解得或. 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. 10．（24-25高二上·安徽·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 (1)求C的标准方程； (2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由题意知， 解得， 所以的标准方程为； （2） 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得，则 ， 且， 所以直线的方程为， 令，可得，即，同理， 因为原点为的中点，所以， 即， 所以.所以， 所以或， 若，则直线方程为， 即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点. 11．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． (1)求双曲线的方程； (2)若，求点的坐标； (3)设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【详解】（1）由题意： . 所以双曲线的方程为：. （2）因为，所以在以为圆心，以为半径的圆上. 由 或. 所以或. （3）如图： 因为与不重合，所以直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为，，. 因为点在双曲线的左支上，故或. 联立得：. . 故，， 则，故. 易得，， 则，所以直线的方程为， ，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：，显然， 由题意得：，， 则 ， 则 . 故点在定直线上. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（24-25高二上·上海·期末）已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上（在第一象限），点为点关于原点的对称点，且，若，①点在一条定直线上；②是定值.则（    ） A．①正确， ②不正确 B．①不正确， ②正确 C．①正确， ②正确 D．①不正确， ②也不正确 【答案】C 【详解】抛物线的焦点， 由，得共线，，即，又为中点， 则点在以原点为圆心，为半径的圆上，此圆的方程为， 由消去得，解得，， 直线的方程为，因此点在定直线上，①正确； 设直线方程为，由消去得，设， 由，得，因此，为定值，②正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：抛物线中的定值问题，既可以由直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理来处理参数关系得到定值，也可以通过设点法求出动点的纵坐标（或横坐标）的关系从而得到定值. 二、填空题 2．（24-25高二上·山西太原·阶段检测）已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点A在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为__________. 【答案】 【详解】曲线表示抛物线与， 由得， 因为，所以， 可得抛物线与直线有两个交点， 曲线与直线有3公共点， 则直线与抛物线相切， 把代入得， 则，解得， 由对称性可知，设与轴的交点为， 则， 若为定值，则为定值， 则点分别为抛物线与的焦点， 此时为抛物线上一点到轴距离 与其焦点距离差的2倍，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2）直接推理､计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知曲线上任意一点，都有的和为定值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】曲线， 故曲线C的大致图象： 其中，，， 双曲线的图象无限接近于渐近线， 因为为定值， 所以为定值， 其中，分别表示曲线上的点到直线和直线距离， 当其仅当曲线上的点在两条平行线之间时有定值，如图： 所以直线为曲线的切线或在曲线下方， 由图可知最多只有一个解， 即最多有一个负数解，需满足直线在y轴上截距， 当时，，此时的解为，符合题意； 所以时，结合，解得， 故可得 故答案为： 【点睛】方法点睛，通过对曲线方程的化简作出曲线大致图像，通过数形结合解决本题.对于代数值为定值需要转化为点到两条平行直线的距离和为定值，从而解决本题. 4．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点.若对任意的直线，存在定圆（圆心为定点，半径为定值）内切于以为直径的圆，则定圆的圆心坐标为______. 【答案】 【详解】由题设，令，联立椭圆得， 所以，其中，则，， 所以，则， 而， 所以以为直径的圆的圆心轨迹为， 圆的半径 ，且， 所以， 设定圆的圆心为，半径为，且圆内切于圆， 所以，即， 所以，则 整理得，结合圆心轨迹为， 则，且， 所以，可得，则， 所以，可得或（舍），故，则，    综上，定圆的圆心，且半径为. 故答案为： 三、解答题 5．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，点A、B、C分别为椭圆：的左、右顶点和上顶点，点P是上在第一象限内的动点，直线与直线相交于点Q，直线与x轴相交于点M． (1)求该椭圆的离心率，并求出直线的方程； (2)试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． (3)已知直线的方程为，线段的中点为，是否存在垂直于轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由椭圆方程得，， 所以. 所以椭圆的离心率. 又因为， 直线的方程为，即. （2）是定值. 设，，且，即. 因为，，所以直线方程为. 联立方程得解得. 所以. 因为，则直线方程为，令，得. 所以. 所以，. 所以. 所以是定值，定值为4. （3）设，. 因为，所以. 点在直线上，则，得 所以. 所以中点，即. 所以点T到：的距离. 设垂直于轴的直线方程为. 则点T到的距离. 所以. 因为，若为定值，则，即. 所以存在垂直于轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值，且的方程为. 6．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知椭圆C: 点B₁，B₂分别是椭圆C短轴的端点，椭圆C的右焦点，且. (1)求椭圆C的方程： (2)设过点 F且斜率不为0的直线交椭圆 C于A，B两点，问x轴上是否存在定点 P，使点 F到直线 BP的距离与点 F到直线AP的距离相等?若存在 求出点 P的坐标；若不存在，说明理由. 【详解】（1）由题意可得，又因为，所以为等腰直角三角形， 因此，则，故椭圆方程为. （2）设过点 F且斜率不为0的直线方程为， 设交点坐标为， 联立直线方程和椭圆方程得出， 化简得，根据韦达定理得， 设定点使点 F到直线 BP的距离与点 F到直线AP的距离相等， 又因为点 F与点P都在x轴上，故直线与直线的倾斜角互为相反数， 即，化简得， 又A，B点在直线上，故， 化简得，再根据韦达定理得， 当时，，则点坐标为； 当时，与为全等三角形且为直角三角形，故坐标为也满足条件， 综上所述存在P点坐标为使点 F到直线 BP的距离与点 F到直线AP的距离相等.    7．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且点的纵坐标为2，以线段为直径的圆与直线相切． (1)求抛物线的方程； (2)设直线交抛物线于两点，作于点．若直线的斜率之积为1，则是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）依题意，点中点． 所以点到轴的距离， 因此以为直径的圆与轴相切． 又因为以为直径的圆与直线相切，所以， 解得或．结合，得． 所以抛物线的方程为； （2）存在，为，理由如下， 由（1）知，．易知直线斜率不为0，设方程为． 由，得． 设，则． 因为直线的斜率之积为1， 所以． 因此． 于是直线方程为，由此可得直线过定点． 因为于点，所以为直角三角形，其中． 设为线段的中点，则为定值． 因为，所以中点坐标为， 所以存在定点，其坐标为，使得为定值． 8．（25-26高二下·北京·开学考试）已知椭圆过点，且． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)椭圆与轴的交点为（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为；； （2）在定直线上，理由如下： 法一：点的坐标分别为． 由，得． 因为直线与椭圆交于不同的两点， 所以，即 ． 设点的坐标分别为， 则，， ，． 所以直线的方程为，直线的方程为． 联立，得， 由于，代入上式得， 化简得，即， 因为 ． 由韦达定理得，即， 代入，得 ， 所以点在定直线上 ．             法二：设点， 则联立方程组， 消去整理得， 由得， ， 所以， 易知，，则，， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 9．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 10．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的顶点到焦点的距离为，点，过点的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一交点分别为．记的面积分别为． (1)求抛物线的方程； (2)若过原点的一条直线与圆相切，且与抛物线的另一交点为，求的值； (3)请问是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由． 【详解】（1）因为顶点到焦点的距离为，所以，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意，直线斜率存在，设为k，则直线， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 根据对称性，不妨取， 联立，得，解得或0（舍），则， 所以. （3）显然直线AB斜率不为0，直线AB方程为， 设， 联立，得， 所以， . 直线AN的斜率， 所以直线AN方程为， 联立，得， 因为为方程的一个根，所以，解得， 同理， 又 = N到直线AB的距离， 所以， 又 ， ，所以， 整理得， 所以N到CD的距离， 所以 ， 又， = ， 所以， 所以.    11．（25-26高二上·河南洛阳·期末）已知点与关于直线对称，且点在抛物线:上，设为抛物线的焦点． (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是抛物线上一动点，求的最小值； (3)过点作两条互相垂直的直线，与抛物线的另一交点分别为，，作，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在求出定点的坐标及的值，若不存在说明理由． 【详解】（1）由点与关于直线对称，则有， 又点在抛物线:上，即，解得， 所以的方程为． （2）如下图，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为， 过点作垂直于抛物线的准线，垂足为， 则， 所以， 即，，三点共线时，有最小值，且最小值为3． （3）设直线的方程为，设，． 联立，整理可得， 则， 又由韦达定理有， 又，且，则，， 所以 ， 由， 则， 所以，即，即， 所以直线MN的方程为：，即直线MN过定点， 又，则点为中点时，为定值， 所以， 且． 12．（25-26高二上·云南曲靖·期中）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点．当直线垂直于轴时，．    (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，记直线的斜率为，求的值； (3)记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线的方程． 【详解】（1）解：当直线垂直于轴时，由点，可得， 因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：设， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 联立方程组，整理得，可得， 又由直线的斜率为， 且直线的斜率为， 所以， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，则； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得，则， 综上可得，的值为. （3）解：设， 当直线的斜率不存在时，由对称性可知，直线的斜率也不存在， 此时，则； 当直线的斜率存在时，由（2）知：， 则，且， 所以与的正负相同，所以， 所以当最大时，取得最大值， 又由， 要使得取得最大值，显然， 由时，，当且仅当时，等号成立， 所以，此时取得最大值， 又由的方程为，即， 由（2）知：，，且， 可得，则，， 所以直线的方程为，即.    13．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，是E的右焦点，且． (1)求E的方程． (2)过点，且斜率不为0的直线l与E交于M，N两点． （ⅰ）若l的斜率为1，P是直线上的一点，且的面积为，求点P的坐标． （ⅱ）设直线与交于点Q，试判断Q是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【详解】（1）由，可得， 又，， 所以， 则E的方程为． （2）设l的方程为，，， 由得， 则，． （ⅰ）因为l的斜率为1，所以． 设，则点P到l的距离． 因为的面积为，所以， 解得或，则点P的坐标为或． （ⅱ）Q在一条定直线上，且该直线的方程为． 由题可知，，则的方程为，的方程为， 两式相除得． 若l的斜率存在，则由，，可得，则， 则， 即，解得． 若l的斜率不存在，根据对称性，可得，， 直线与的方程分别为和，可得交点． 故Q在一条定直线上，且该直线的方程为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线中的定点、定值与定直线问题 常考题型·精准突破 考点一 椭圆与抛物线 ◆题型1 椭圆中的定点与定值 1．【答案】①②④ 【详解】对于①，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故①正确； 对于②，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故②正确； 对于③，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故③错误； 对于④，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故④正确． 故选：①②④． 2．【详解】（1）依题意知， ，解得， 所以椭圆的方程为； （2） 联立，可得， 由，设． 则， 在上， ， ， 若为定值，则与无关， 故需使，解得，此时． 3．【答案】 【详解】由已知，， 易知的周长为，所以，又， 解得， 椭圆的方程为． 设、、， 当直线不为轴时的方程为， , 联立椭圆方程得：． ，， 又， 所以 当且仅当， 即时（定值） 即在x轴上存在点使得为定值， 此时的坐标为或， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 所以定点坐标为. 【点睛】关键点点睛：为定值，需满足. 4．【详解】（1）当时，椭圆方程为，故且， 由椭圆定义可得，的周长为； （2）由题意得，解得， 椭圆方程，联立，消元得， ，可得， 设，，则，， 又因为、在椭圆上，则，， 则 ， 当为定值时，即与无关，故，得， 此时， 又点到直线的距离， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，经检验，此时成立，所以面积的最大值为． ◆题型2 抛物线中的定点与定值 5．【答案】B 【详解】方法一：假设点M的坐标为，，当AB垂直x轴时，； 当AB与x轴重合时，，所以，； 方法二：假设点M的坐标为，当AB不与x轴重合时， 可设直线AB的方程为：，与抛物线方程联立， 设，， ，，， 则， 因为无论直线AB怎么变化，t恒为定值，所以，即； 当AB与x轴重合时，可以验证也成立. 所以综上所述，，， 故选：B 6．【答案】 【详解】抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义得，解得，所以抛物线， 依题意直线，，的斜率必存在， 设直线的方程为 ，，， 联立方程，消去整理得， 则，，， 因为， 所以， 即 ， 解得或（舍去），满足，此时直线的方程为， 所以直线过定点. 故答案为： 7．【详解】（1） 由题意知，直线的斜率存在且不为，又直线过点，故设直线的方程为， 联立，可得，，，解得且， 又直线交轴于，直线交轴于，故直线不过点， 把代入，解得，从而， 故直线的斜率的取值范围为. （2）为定值，理由如下： 设，由（1）可知， ， ， ， 故, 直线的方程为，令，则，同理可得, 由，可得，得， 由，可得，得同理可得， 则 . 考点二 双曲线 ◆题型3 双曲线中的定点问题 8．【答案】 【详解】设，若直线斜率不存在，此时为轴，与双曲线没有交点， 所以可令，，，则， 由，可得，易知， 则，， 所以 ， 所以，即， 将代入，得，则， 从而，解得或， 当，时，此时不在双曲线上，舍去； 当，时，此时在双曲线上，满足题意； 综上，. 故答案为： 9．【详解】（1）由题意，得，， 所以双曲线的实轴长离心率； （2）由（1）知，直线的方程为， 设，由，消去得， , 设平行于直线且与双曲线的右支相切的切线方程为，切点为 . 联立，消去，得， 令，得 解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意， 因此， ， . 因此点到直线 的距离， 所以的面积的最小值为. （3）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，. 当直线的斜率为时，，， 则 当时， ，解得， 则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则，， ， 由，得， 所以 ， 即 ， 化简，得解得或. 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. 10．【详解】（1）由题意知， 解得， 所以的标准方程为； （2） 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得，则 ， 且， 所以直线的方程为， 令，可得，即，同理， 因为原点为的中点，所以， 即， 所以.所以， 所以或， 若，则直线方程为， 即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点. 11．【详解】（1）由题意： . 所以双曲线的方程为：. （2）因为，所以在以为圆心，以为半径的圆上. 由 或. 所以或. （3）如图： 因为与不重合，所以直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为，，. 因为点在双曲线的左支上，故或. 联立得：. . 故，， 则，故. 易得，， 则，所以直线的方程为， ，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：，显然， 由题意得：，， 则 ， 则 . 故点在定直线上. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．C 二、填空题 2．【答案】 【详解】曲线表示抛物线与， 由得， 因为，所以， 可得抛物线与直线有两个交点， 曲线与直线有3公共点， 则直线与抛物线相切， 把代入得， 则，解得， 由对称性可知，设与轴的交点为， 则， 若为定值，则为定值， 则点分别为抛物线与的焦点， 此时为抛物线上一点到轴距离 与其焦点距离差的2倍，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2）直接推理､计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 3．【答案】 【详解】曲线， 故曲线C的大致图象： 其中，，， 双曲线的图象无限接近于渐近线， 因为为定值， 所以为定值， 其中，分别表示曲线上的点到直线和直线距离， 当其仅当曲线上的点在两条平行线之间时有定值，如图： 所以直线为曲线的切线或在曲线下方， 由图可知最多只有一个解， 即最多有一个负数解，需满足直线在y轴上截距， 当时，，此时的解为，符合题意； 所以时，结合，解得， 故可得 故答案为： 【点睛】方法点睛，通过对曲线方程的化简作出曲线大致图像，通过数形结合解决本题.对于代数值为定值需要转化为点到两条平行直线的距离和为定值，从而解决本题. 4．【答案】 【详解】由题设，令，联立椭圆得， 所以，其中，则，， 所以，则， 而， 所以以为直径的圆的圆心轨迹为， 圆的半径 ，且， 所以， 设定圆的圆心为，半径为，且圆内切于圆， 所以，即， 所以，则 整理得，结合圆心轨迹为， 则，且， 所以，可得，则， 所以，可得或（舍），故，则，    综上，定圆的圆心，且半径为. 故答案为： 三、解答题 5．【详解】（1）由椭圆方程得，， 所以. 所以椭圆的离心率. 又因为， 直线的方程为，即. （2）是定值. 设，，且，即. 因为，，所以直线方程为. 联立方程得解得. 所以. 因为，则直线方程为，令，得. 所以. 所以，. 所以. 所以是定值，定值为4. （3）设，. 因为，所以. 点在直线上，则，得 所以. 所以中点，即. 所以点T到：的距离. 设垂直于轴的直线方程为. 则点T到的距离. 所以. 因为，若为定值，则，即. 所以存在垂直于轴的直线，使得点T到和的距离之积为定值，且的方程为. 6．【详解】（1）由题意可得，又因为，所以为等腰直角三角形， 因此，则，故椭圆方程为. （2）设过点 F且斜率不为0的直线方程为， 设交点坐标为， 联立直线方程和椭圆方程得出， 化简得，根据韦达定理得， 设定点使点 F到直线 BP的距离与点 F到直线AP的距离相等， 又因为点 F与点P都在x轴上，故直线与直线的倾斜角互为相反数， 即，化简得， 又A，B点在直线上，故， 化简得，再根据韦达定理得， 当时，，则点坐标为； 当时，与为全等三角形且为直角三角形，故坐标为也满足条件， 综上所述存在P点坐标为使点 F到直线 BP的距离与点 F到直线AP的距离相等.    7．【详解】（1）依题意，点中点． 所以点到轴的距离， 因此以为直径的圆与轴相切． 又因为以为直径的圆与直线相切，所以， 解得或．结合，得． 所以抛物线的方程为； （2）存在，为，理由如下， 由（1）知，．易知直线斜率不为0，设方程为． 由，得． 设，则． 因为直线的斜率之积为1， 所以． 因此． 于是直线方程为，由此可得直线过定点． 因为于点，所以为直角三角形，其中． 设为线段的中点，则为定值． 因为，所以中点坐标为， 所以存在定点，其坐标为，使得为定值． 8．【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为；； （2）在定直线上，理由如下： 法一：点的坐标分别为． 由，得． 因为直线与椭圆交于不同的两点， 所以，即 ． 设点的坐标分别为， 则，， ，． 所以直线的方程为，直线的方程为． 联立，得， 由于，代入上式得， 化简得，即， 因为 ． 由韦达定理得，即， 代入，得 ， 所以点在定直线上 ．             法二：设点， 则联立方程组， 消去整理得， 由得， ， 所以， 易知，，则，， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 9．【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 10．【详解】（1）因为顶点到焦点的距离为，所以，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意，直线斜率存在，设为k，则直线， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 根据对称性，不妨取， 联立，得，解得或0（舍），则， 所以. （3）显然直线AB斜率不为0，直线AB方程为， 设， 联立，得， 所以， . 直线AN的斜率， 所以直线AN方程为， 联立，得， 因为为方程的一个根，所以，解得， 同理， 又 = N到直线AB的距离， 所以， 又 ， ，所以， 整理得， 所以N到CD的距离， 所以 ， 又， = ， 所以， 所以.    11．【详解】（1）由点与关于直线对称，则有， 又点在抛物线:上，即，解得， 所以的方程为． （2）如下图，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为， 过点作垂直于抛物线的准线，垂足为， 则， 所以， 即，，三点共线时，有最小值，且最小值为3． （3）设直线的方程为，设，． 联立，整理可得， 则， 又由韦达定理有， 又，且，则，， 所以 ， 由， 则， 所以，即，即， 所以直线MN的方程为：，即直线MN过定点， 又，则点为中点时，为定值， 所以， 且． 12．【详解】（1）解：当直线垂直于轴时，由点，可得， 因为，由抛物线的定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：设， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 联立方程组，整理得，可得， 又由直线的斜率为， 且直线的斜率为， 所以， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，则； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得，则， 综上可得，的值为. （3）解：设， 当直线的斜率不存在时，由对称性可知，直线的斜率也不存在， 此时，则； 当直线的斜率存在时，由（2）知：， 则，且， 所以与的正负相同，所以， 所以当最大时，取得最大值， 又由， 要使得取得最大值，显然， 由时，，当且仅当时，等号成立， 所以，此时取得最大值， 又由的方程为，即， 由（2）知：，，且， 可得，则，， 所以直线的方程为，即.    13．【详解】（1）由，可得， 又，， 所以， 则E的方程为． （2）设l的方程为，，， 由得， 则，． （ⅰ）因为l的斜率为1，所以． 设，则点P到l的距离． 因为的面积为，所以， 解得或，则点P的坐标为或． （ⅱ）Q在一条定直线上，且该直线的方程为． 由题可知，，则的方程为，的方程为， 两式相除得． 若l的斜率存在，则由，，可得，则， 则， 即，解得． 若l的斜率不存在，根据对称性，可得，， 直线与的方程分别为和，可得交点． 故Q在一条定直线上，且该直线的方程为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $