专题13 圆锥曲线的综合解答题的常见题型总结（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

专题13 圆锥曲线的综合解答题的常见题型总结 题型一 弦长问题 题型二 面积问题 题型三 向量问题 题型四 定点问题 题型五 定值问题 题型六 定直线问题 题型一：弦长问题 1．【答案】(1)(2)或 2．【答案】(1)；(2) 或 ． 3．【答案】(1)(2) 4．【答案】(1)，，(2) 5．【答案】(1)(2)①； ②由求导得，故切点为的切线方程为，即③， 同理可得④，由，可得， 即，因，故可得， 即点在直线上. 　　 题型二：面积问题 1．【答案】(1)(2) 2．【答案】(1)(2)1 3．【答案】(1)(2)2 4．【答案】(1). (2)（i）证明：【方法一】由，得， 求导得，把代入得， 因为，所以，即； 【方法二】设代入到得 （※） 因为与相切，所以方程（※）有两个相等实根，即化简得 （ii）. 5．【答案】(1)(2) 题型三：向量问题 1．或. 2．【答案】(1)(2)或 3．【答案】(1)(2) 4．【答案】(1)(2) 5．【答案】(1)(2)或(3) 题型四：定点问题 1．【答案】(1) (2)（Ⅰ）设，，，为坐标原点， 则，即，　　 整理，得，其中，故， 同理，， 故，都在直线上，　　 又，故，即， 令，解得， 故直线恒过定点．　　 （Ⅱ）存在， 2．【答案】(1)证明：设，， 、为抛物线上不同的两点， 由得，则，. 由，得，即. 由题意，直线斜率不为，设其方程为. 与联立得. 由韦达定理得. 所以，解得. 故直线的方程为，恒过定点. (2)； 3．【答案】(1)(2)存在， 4．【答案】(1)(2)或(3)存在， 题型五：定值问题 1．【答案】(1)(2) 2．【答案】(1) (2)（i）， ， 所以，即， 在与中， 又，所以， 所以，即； （ii）或 3．【答案】(1) (2)（i）证明：设，，则， 化简得，所以． 同理，由，可得， 所以；（ii） 4．【答案】(1) (2)设（，）， 因为，且是线段的中点，可得，． 则直线的斜率，直线的斜率，可得， 所以为定值； ② 5．【答案】(1)(2)2或． (3)由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，，．　　 将与联立，可得， 即． 由判别式，得，解得． 则，．　　 设直线和的斜率分别为，．则 所以直线和的斜率之和为定值． 题型六：定直线问题 1．【答案】(1)(2)（i）或；（ii） 2．由椭圆方程可知，，，设直线的方程是，代入椭圆方程得，易知，设，，，则　，直线的方程是①，直线的方程是②，设，既满足①也满足②，则　，故直线与交点在一条定直线：上. 3．【答案】(1)(2)在定直线上 4．【答案】(1)(2)(3)证明见解析 5．【答案】(1)(2)（i）； （ii）由（i）直线的方程为， 联立方程组，解得，不妨设， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 可得，所以的方程为， 同理可得：直线的方程为， 联立方程组，可得， 整理得 ， 所以点的横坐标的值恒为，所以点在直线上. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 圆锥曲线的综合解答题的常见题型总结 题型一 弦长问题 题型二 面积问题 题型三 向量问题 题型四 定点问题 题型五 定值问题 题型六 定直线问题 题型一：弦长问题 1．已知椭圆的焦点，，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程． 2．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ． (1)求椭圆 的离心率； (2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程． 3．已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 4．已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 5．已知顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点， （i）若点在第一象限且，求直线的方程； （ii）若抛物线在、两点处的切线交于点，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 题型二：面积问题 1．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 2．已知椭圆： 的离心率为，右焦点的坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)直线： 与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 3．已知椭圆的焦点为，，离心率为.平行于轴的直线与椭圆交于A，B两点，且与直线交于点，直线与轴交于点. (1)求面积的最大值； (2)求的值. 4．在平面直角坐标系中，椭圆的一个焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)设是曲线在第一象限上的动点，曲线在点处的切线与，轴的交点分别为点，. （i）证明：的斜率. （ii）设为中点， 求的中线的长度取值范围． 5．已知椭圆方程的左焦点为，椭圆上一点，位于第一象限，点关于原点的对称点记作点，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 题型三：向量问题 1．已知椭圆：，过点的直线交于，两点，若，求直线的方程. 2．已知椭圆：的通径长为3，其离心率． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，为椭圆上一点，若，求的值． 3．设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若是该椭圆上的一个动点，且，求点的坐标； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 4．双曲线经过点，不垂直x轴的直线与交于不同于P的A、B两点，直线、分别与轴交于点、． (1)求的离心率； (2)设直线与x轴交于点Q，且，求点A的横坐标； 5．已知双曲线，O为坐标原点． (1)求的右焦点到渐近线的距离； (2)若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； (3)若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 题型四：定点问题 1．已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若点是直线：上的动点，过可作曲线的两条切线，，切点分别为，， （Ⅰ）证明直线恒过定点，并求出此定点的坐标； （Ⅱ）设（2）（Ⅰ）中的定点为，是否存在与点相异的点，使得恒为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．若为坐标原点，、为抛物线上不同的两点，直线、的斜率分别为，. (1)证明直线恒过定点；并求出定点坐标； (2)若抛物线的焦点为，求面积的最小值；并求出面积取最小值时的直线方程. 3．已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方． (1)求圆C的方程． (2)过点的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，且经过点，直线过点与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 题型五：定值问题 1．已知椭圆的上顶点与右焦点间的距离为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于点，的动点，直线，分别交直线于，两点，求（为坐标原点）的值. 2．已知双曲线：的焦距为4，它的一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，过双曲线的右焦点的直线交的右支于，两点，的外接圆交轴于另一点. （i）证明：； （ii）若，求直线的方程. 3．已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为． (1)求C的方程； (2)，设点P，Q均在C上，且满足． （i）若，证明：；（ii）若直线的斜率为2，求t的值． 4．已知椭圆C：的长半轴长为2，半焦距为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过动点的直线交轴于点，交于点，（点在第一象限），且是线段的中点．过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点． ①设直线，的斜率分别为，，证明：为定值； ②求直线的斜率的最小值． 5．在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 题型六：定直线问题 1．已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，且直线不与轴重合． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）点关于原点的对称点为，连接，设为原点到直线的距离，求的取值范围． 2．已知椭圆的左、右焦点是、，左右顶点是、，过的直线与椭圆交于两点、(不是左、右顶点)，直线与交于点，求证直线与交点在一条定直线上. 3．已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 4．已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 5．在直角坐标系中，点到直线的距离与点到点的距离相等，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知经过点的直线与交于，两点，且． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 圆锥曲线的综合解答题的常见题型总结 题型一 弦长问题 题型二 面积问题 题型三 向量问题 题型四 定点问题 题型五 定值问题 题型六 定直线问题 题型一：弦长问题 1．已知椭圆的焦点，，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）由椭圆的定义，得，所以. 由焦点坐标可知，故. 因此，椭圆的标准方程为. （2）设，. 将代入椭圆方程，整理得. 由韦达定理，得. 根据线段中点的横坐标为，得，即. 解得或. 上述一元二次方程的判别式为. 当或时，均有，符合直线与椭圆交于两点的条件. 因此，直线的方程为或. 2．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ． (1)求椭圆 的离心率； (2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程． 【答案】(1)； (2) 或 ． 【分析】（1）主要考查根据椭圆的标准方程求离心率，代入离心率的公式，即可； （2）主要考查直线与椭圆的位置关系以及弦长公式，分类讨论直线的斜率存在还是不存在，当直线的斜率，存在的时候，联立直线与椭圆的方程，整理得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到和，进而得到，建立关于的方程，解出，得到直线的方程. 【解析】（1）由 的方程知 ，，所以 ， ．故离心率 ． （2）由（1）知 ． ① 当直线 的斜率不存在时，．代入 得 ，即 ，，此时 ，不合题意． ② 当直线 的斜率存在时，设 ．代入 并整理得 ．其判别式 ． 设 ， ，则 ，，． 所以 ． 由 得 ，即 ，解得 ，故 ． 所以直线 的方程为 ，即 或 ． 3．已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和焦距列出等式，求得即可； （2）由弦长公式即可求解. 【解析】（1）由题知得，， 所以椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 故． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． 4．已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1） 利用椭圆标准方程直接求焦点、离心率； （2）结合直线与圆相切的条件求直线方程，最后用弦长公式计算弦长. 【解析】（1）椭圆为标准形式，得，， 因此，. 故焦点坐标为，，离心率. （2）当直线的斜率存在时， 设过的直线方程为，即. 因直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径1： ， 平方化简得，即. 将代入椭圆方程，代入整理得： 设，由韦达定理得，. 由弦长公式： 代入数值计算： 斜率不存在时直线到原点距离为，不满足相切，故舍去，最终. 　　 5．已知顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点， （i）若点在第一象限且，求直线的方程； （ii）若抛物线在、两点处的切线交于点，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)①； ②由求导得，故切点为的切线方程为，即③， 同理可得④，由，可得， 即，因，故可得， 即点在直线上. 　　 【分析】（1）依题意设抛物线的方程，代入已知点确定的值即得其标准方程； （2）（i）设直线的点斜式方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，结合题设条件运用共线向量坐标的运算求出的值，即得所求直线方程；（ii）利用求导写出两切线的方程，通过变形消去，化简计算即可证得点在直线上. 【解析】（1）依题意，抛物线方程形如，代入点，可得，即， 故抛物线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设，代入，整理得， 显然，设，依题意，， 且，由易得， 因，则，可得，代入①，得， 再代入②，可得，解得. 而当时，点的横坐标，不在第一象限，且距离,故舍去. 故直线的方程为. （ii）略 题型二：面积问题 1．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，再将点P坐标代入双曲线方程，联立解出，从而得到双曲线C的标准方程； （2）先排除直线斜率不存在的情况，设过右焦点的直线方程与双曲线联立，结合韦达定理、弦长公式与三角形面积条件求出斜率，再通过坐标运算求出． 【解析】（1）由题可得，所以的方程为． （2）由（1）得， 当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得， 此时的面积为，不符合， 所以直线斜率存在，设直线， 联立得， 则，所以， 所以， 又点M到直线的距离为， 所以（舍去）或， 则，， 所以． 2．已知椭圆： 的离心率为，右焦点的坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)直线： 与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据离心率及右焦点坐标求解即可. （2）直线方程与椭圆方程联立求出，，根据弦长公式及点到直线的距离公式求出及原点到直线的距离，代入三角形面积公式，结合基本不等式求解即可. 【解析】（1）由题意，，得，． 故椭圆的方程为． （2）联立，整理得． ，则. 设，，则，， 则． 原点到直线的距离． ． 当且仅当，即（满足）时取等号，最大值为1． 3．已知椭圆的焦点为，，离心率为.平行于轴的直线与椭圆交于A，B两点，且与直线交于点，直线与轴交于点. (1)求面积的最大值； (2)求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意求得椭圆的方程为，设，，进而根据基本不等式求得，再算面积即可； （2）设，，进而根据，，三点共线，结合向量表示求得，再根据两点间的距离公式求解即可得答案. 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，故，， 所以椭圆的方程为，如图， 设，，其中，， 因为在上，所以， 由基本不等式，， 故，当且仅当时，等号成立， 所以面积，即面积的最大值为. （2）设，，则，，三点共线， 所以，即，解得， 所以， ， 所以. 4．在平面直角坐标系中，椭圆的一个焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)设是曲线在第一象限上的动点，曲线在点处的切线与，轴的交点分别为点，. （i）证明：的斜率. （ii）设为中点， 求的中线的长度取值范围． 【答案】(1). (2)（i）证明：【方法一】由，得， 求导得，把代入得， 因为，所以，即； 【方法二】设代入到得 （※） 因为与相切，所以方程（※）有两个相等实根，即化简得 （ii）. 【分析】（1）根据椭圆离心率公式代入计算即可求出椭圆的标准方程； （2）（i）【方法一】将椭圆方程转化为函数，利用导数的几何意义即可证明； 【方法二】设直线方程，并与椭圆方程联立，化简得到一元二次方程，根据相切的性质可得，计算即可证明； （ii）求出中点坐标，由直线方程和椭圆方程求出中点坐标的关系，由两点间的距离公式和基本不等式即可求出最小值. 【解析】（1）设的方程为， 由题意知，，，，解得， 故的方程为. （2）（i）略 （ii）设，， 　　 则，， 所以的中点的坐标为，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 5．已知椭圆方程的左焦点为，椭圆上一点，位于第一象限，点关于原点的对称点记作点，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到的值； （2）三角形面积等于三角形的面积倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出 ，令换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【解析】（1）由椭圆方程，得，所以，， 若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去. 设，，，此时， 则，由斜率公式得，， 又因为，在椭圆上，所以①，②， 式子②－①，得， 所以 . 因此. （2）因为点关于原点的对称点为，所以点到的距离是点到的距离的倍， 因此三角形面积等于三角形的面积的倍. 椭圆左焦点为，因为点关于原点的对称点记作点，且在第一象限， 因此直线的斜率不为，设直线方程为， 联立方程组， 即，， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 因此当且仅当时取得最小值， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为. 题型三：向量问题 1．已知椭圆：，过点的直线交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】或. 【分析】分斜率存在，不存在两种情况，当直线轴时，不合题意； 当直线斜率存在时，联立直线与椭圆方程，得到，， 再根据，得出，从而解出值，得到直线方程. 【解析】设点坐标为，N点坐标为， 当直线轴时，直线的方程为，代入椭圆方程可得， 设,， 则，，不满足题意. 当直线斜率存在时，设其方程为，联立， 消去并整理得， 则， 由韦达定理得，， 若，则， 所以，代入， 化简得，即，即 解得， 所以直线的方程为或. 2．已知椭圆：的通径长为3，其离心率． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，为椭圆上一点，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用通径长公式和离心率公式求出和，从而得到椭圆的方程． （2）设，，，将直线和椭圆联立方程组，利用韦达定理得到，由得到，由为椭圆上一点，将代入椭圆，通过计算得到． 【解析】（1）椭圆：的通径长为3， 则①， 因为，所以②，， 联立①②，解得，， 则椭圆的方程为． （2）直线与椭圆交于，两点， 设，，， 则，得，则， 因为，所以， 因为为椭圆上一点，所以代入椭圆得： ， 解得， 即， 将代入， 整理得到，解得或． 3．设分别是椭圆的左、右焦点． (1)若是该椭圆上的一个动点，且，求点的坐标； (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 (1)　　设出点的坐标后再根据及点在椭圆上求解出点的坐标； (2)　　联立直线与椭圆的方程后根据为锐角利用向量夹角进行求解直线的斜率的取值范围． 【解析】（1）由题意知，，，，所以，， 设，则， 又，有，解得，所以； （2）显然不满足题意，设直线的方程为，设，， 联立，，解得，① ，，则， 又为锐角，则，即，， 所以 ， 解得，② 由①②，解得或， 所以实数的取值范围为． 4．双曲线经过点，不垂直x轴的直线与交于不同于P的A、B两点，直线、分别与轴交于点、． (1)求的离心率； (2)设直线与x轴交于点Q，且，求点A的横坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可. 【解析】（1）将代入双曲线方程，可得， 因为双曲线中 ，所以， 即离心率为 . （2）如图，作出符合题意的图形， 　　 设 ，直线 方程为， 令 ，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或 （因为此时与点 重合,舍去），即. 5．已知双曲线，O为坐标原点． (1)求的右焦点到渐近线的距离； (2)若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； (3)若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算右焦点的坐标，使用点到直线的距离求解； （2）分析等腰三角形的边长，使用坐标法求解； （3）联立直线与双曲线的方程，消元，使用韦达定理求解. 【解析】（1）由题知，，右焦点为，渐近线方程为， 根据双曲线对称性不妨取，则右焦点到渐近线的距离. （2）设，则，， 若，，解得， 若，则，代入双曲线方程解得，矛盾； 若，，解得， 综上，点P的横坐标为或. （3）易知直线的斜率存在，故设直线的方程为， 得， 令且，得且， 设，则，， ， 当时，，当时，， 所以的取值范围为：. 题型四：定点问题 1．已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若点是直线：上的动点，过可作曲线的两条切线，，切点分别为，， （Ⅰ）证明直线恒过定点，并求出此定点的坐标； （Ⅱ）设（2）（Ⅰ）中的定点为，是否存在与点相异的点，使得恒为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）设，，，为坐标原点， 则，即，　　 整理，得，其中，故， 同理，， 故，都在直线上，　　 又，故，即， 令，解得， 故直线恒过定点．　　 （Ⅱ）存在， 【分析】（1）设，从而得到，，再根据向量数量积的计算，进而整理即可得到曲线的方程； （2）（Ⅰ）设，再根据圆的性质得到直线的方程，进而即可证明直线恒过定点，并得到此定点的坐标； （Ⅱ）先根据对称性确定点在直线上，设，再利用圆上的特殊点列方程求出，并求出定值，进而再证明对圆上任意一点，都有恒为定值即可． 【解析】（1）设，则，， 由，得，整理得． 所以曲线的方程为． （2）（Ⅰ）略 （Ⅱ）由（2）（Ⅰ），知， 显然直线：交圆：于，两点， 又显然圆关于直线对称， 设圆上任意一点沿直线对称得到点，则， 假设对圆上任意一点，都恒为定值，即，所以， 所以点在直线上，设． 由，都在圆上，则，即，解得，或（不符合题意，舍去）． 当时，，　　 以下证明：对圆：上任意一点，都有， ． 综上所述，存在与点相异的点，使得恒为定值． 2．若为坐标原点，、为抛物线上不同的两点，直线、的斜率分别为，. (1)证明直线恒过定点；并求出定点坐标； (2)若抛物线的焦点为，求面积的最小值；并求出面积取最小值时的直线方程. 【答案】(1)证明：设，， 、为抛物线上不同的两点， 由得，则，. 由，得，即. 由题意，直线斜率不为，设其方程为. 与联立得. 由韦达定理得. 所以，解得. 故直线的方程为，恒过定点. (2)； 【分析】（1）设点坐标，将斜率条件转化为纵坐标关系式，设直线联立抛物线，利用韦达定理求定点. （2）利用三角形面积公式（以为底）建立面积关于参数的表达式，进而求最值. 【解析】（1）略 （2）抛物线的焦点，如下图所示： 由（1）知直线过点，则. 由得. 则. 的面积. 当时，取得最小值，. 此时直线的方程为. 3．已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方． (1)求圆C的方程． (2)过点的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设圆心，由直线与圆相切，得，求出的值即可； （2）当直线轴时，显然存在；直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，将直线方程与圆方程联立，结合韦达定理和，求解即可. 【解析】（1）因为圆心C在x轴上且在直线l的右上方，设圆心， 则，即，解得或(舍去). 所以圆C的方程为. （2）当直线轴时，x轴平分，此时N可以为x轴上任意一点． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，点，，， 由，消去得，经检验， 所以，； 若x轴平分，则，即， 所以， 即，又， ，即， 即，解得， 所以当点N坐标为时，能使得总成立. 4．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，且经过点，直线过点与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)在轴上是否存在一点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）因为椭圆过点，代入椭圆方程，再结合是椭圆的焦点，即可求解椭圆的标准方程； （2）直线为水平直线时，不存在；当直线不是水平直线时 设直线方程为，，，联立椭圆的方程，运用韦达定理，则表示出，由于在线段上，，其中，求得，再求出直线的方程； （3）当不是水平直线时，利用韦达定理表示出 ，利用，求出定点为；当是水平直线时，直接验证定点的坐标. 【解析】（1）因为椭圆过点，所以① 又因为是椭圆的焦点，所以② 由①②，解得，， 所以椭圆的标准方程： （2）直线为水平直线时，三点共线，不符合题意， 设直线方程为， 联立，得， ， 设，，， 则 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. （3）设则 当不是水平直线时， ，得，所以 得对一切恒成立，故， 所以定点为； 当是水平直线时，，，有成立 所以存在定点，使得恒成立 　　 题型五：定值问题 1．已知椭圆的上顶点与右焦点间的距离为，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于点，的动点，直线，分别交直线于，两点，求（为坐标原点）的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意计算即可得； （2）设，则有，再表示出直线、的方程，即可得、点坐标，最后计算即可得解. 【解析】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）知，，设， 因为点在椭圆上，所以，即有， ，则直线的方程为， 令，得，所以， ，则直线的方程为， 令，得，所以， 则，， 所以 . 2．已知双曲线：的焦距为4，它的一条渐近线的倾斜角为. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，过双曲线的右焦点的直线交的右支于，两点，的外接圆交轴于另一点. （i）证明：； （ii）若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）， ， 所以，即， 在与中， 又，所以， 所以，即； （ii）或 【分析】（1）根据已知列方程求双曲线参数，即可得； （2）设，，联立双曲线并应用韦达定理得，，且，（i）应用斜率的两点式整理化简得，从而有，再应用正弦定理且，即可证；（ii）设，利用四点共圆及韦达公式得，再由向量数量积的坐标表示列方程求，即可得. 【解析】（1）由题可知， 解得，所以双曲线的方程为； （2）由题知，设，， 联立， ，且，， 因为都在双曲线的右支上，所以有，解得， （i）略； （ii）设，由四点共圆得且， 即， 所以， ， 解得或，因为，所以，， 即所求直线的方程为或. 3．已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为． (1)求C的方程； (2)，设点P，Q均在C上，且满足． （i）若，证明：；（ii）若直线的斜率为2，求t的值． 【答案】(1) (2)（i）证明：设，，则， 化简得，所以． 同理，由，可得， 所以；（ii） 【分析】（1）根据离心率和实轴长列方程组求解即可； （2）（i）设，代入数量积化简即可得证； （ii）设直线方程，分别与圆、双曲线方程联立，得到两个关于的二次方程，利用两方程同解，系数成比例求解. 【解析】（1）由题意可得，解得，，所以C的方程为． （2）（i）略 （ii）由（i）可得点P，Q均在圆上． 设直线的方程为． 由得① 由得②， 且， 方程①②的解均为点P，Q的横坐标，所以， 解得，，满足，，所以t的值为 4．已知椭圆C：的长半轴长为2，半焦距为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过动点的直线交轴于点，交于点，（点在第一象限），且是线段的中点．过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点． ①设直线，的斜率分别为，，证明：为定值； ②求直线的斜率的最小值． 【答案】(1) (2)设（，）， 因为，且是线段的中点，可得，． 则直线的斜率，直线的斜率，可得， 所以为定值； ② 【分析】（1）根据题意可得，，进而可得，即可得椭圆方程； （2）①设，可得，，结合斜率公式分析证明；②设，，以及直线、的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得，进而可得，结合基本不等式求最值. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为， 由题意可知，，则， 所以椭圆的标准方程为． （2）①略 ②设，，直线的方程为，直线的方程为， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 所以， 同理，， 则， ， 所以， 由，，可知， 所以，当且仅当时等号成立，此时， 所以直线的斜率的最小值为． 5．在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 【答案】(1) (2)2或． (3)由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，，．　　 将与联立，可得， 即． 由判别式，得，解得． 则，．　　 设直线和的斜率分别为，．则 所以直线和的斜率之和为定值． 【分析】（1）设点，利用直接法求轨迹方程即可； （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆，由三角形的面积公式及平方关系可得，取的中点，由半角公式可得，由锐角三角函数可得，即点到直线的距离为，设直线方程为，利用点到直线的距离公式列式求解即可； （3）设直线方程为，，，联立直线与圆的方程，利用韦达定理及直线的斜率公式计算直线和的斜率之和即可证明. 【解析】（1）设点．由，得， 即．　　 化简得，即的方程为． （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆． ，解得． 因为，所以．　　 取的中点，则，． 所以，即点到直线的距离为．　　 此时直线的斜率显然存在，设：． 由，得，解得或． 即直线的斜率为2或. （3）略 题型六：定直线问题 1．已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，且直线不与轴重合． （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）点关于原点的对称点为，连接，设为原点到直线的距离，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据左焦点可知，结合离心率可得，即可得椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，，，联立方程可得韦达定理，由题意可得，结合韦达定理运算求解；（ii）分析可知，，进而可得，换元运算求解即可. 【解析】（1）由题意知：， 因为离心率，则，可得， 所以椭圆的标准方程为． （2）（i）由题意可知：直线过点，斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去得， 则，， 可得 ， 整理得：，即， 因为，则，解得， 所以直线的方程为或，即或； （ii）由（i）可知：， 因为为中点，故， 又因为点关于原点对称的点为， 则， 则， 令，则，可得， 因为，则，， 可得，即，则， 所以原点到动直线的距离的取值范围为． 2．已知椭圆的左、右焦点是、，左右顶点是、，过的直线与椭圆交于两点、(不是左、右顶点)，直线与交于点，求证直线与交点在一条定直线上. 【答案】由椭圆方程可知，，，设直线的方程是，代入椭圆方程得，易知，设，，，则，直线的方程是 ①，直线的方程是 ②，设，既满足①也满足②，则，故直线与交点在一条定直线：上. 【分析】由点斜式分别写出与的方程，两式子消去，根据韦达定理可得，的坐标关系，进而可以得到点M在一条定直线x＝2上； 【解析】略. 3．已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上 【分析】（1）根据条件，可得b，c的值，根据的关系，可得的值，即可得答案. （2）将直线l与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，求出直线AN、BM的方程，联立求解，化简整理，即可得答案. 【解析】（1）依题意可得，解得，则， 所以椭圆的方程为； （2）点在定直线上，理由如下： 设点， 联立，与直线联立消去，整理得， 由，得 且， 所以， 易知，则， 两式作商得，解得， 故在定直线上． 4．已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【解析】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 5．在直角坐标系中，点到直线的距离与点到点的距离相等，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知经过点的直线与交于，两点，且． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）由（i）直线的方程为， 联立方程组，解得，不妨设， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 可得，所以的方程为， 同理可得：直线的方程为， 联立方程组，可得， 整理得 ， 所以点的横坐标的值恒为，所以点在直线上. 【分析】（1）根据抛物线的定义，可得曲线是以为焦点，的抛物线，进而求得抛物线的方程；（2）（i）设直线的方程为，联立方程组，得到，由弦长公式，求得，列出方程，求得的值，即可求解； （ii）由（i），联立方程组，求得，设直线的方程为，联立方程组得到，得出直线和的方程，联立方程组，化简求得，即可得到结论. 【解析】（1）因为点到直线的距离与点到点的距离相等， 根据抛物线的定义，可得曲线是以为焦点，以为准线的抛物线， 设抛物线的方程为，则，可得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得，可得， 由弦长公式，可得， 因为，所以，所以，解得， 所以直线的方程为. （ii）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $