第2章 圆锥曲线全章高频重点题型突破（六大高频+三大重难题型，专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

第2章 圆锥曲线全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 由条件求圆的方程（高频） 题型2 圆的切线与弦长（高频） 题型3 椭圆的标准方程（高频） 题型4 双曲线的定义与方程（高频） 题型5 抛物线的方程与焦点（高频） 题型6 直线与椭圆的交点（高频） 核心提升：重难题型归纳 题型1 焦点三角形（难） 题型2 轨迹与定点（难） 题型3 抛物线上的最值（难） 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 由条件求圆的方程 题型归纳 由条件求圆的方程 标准方程 （），圆心 ，半径 。 一般方程 表示圆，当且仅当 。圆心 ，半径 。 1．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）过，，三点的圆的半径为________． 2．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）已知圆经过，两点，并且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)求直线：被圆所截得的弦长； (3)已知点，以为圆心的圆与圆相切，求圆的标准方程． 3．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）已知圆关于直线对称的图形为圆. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于，两点，当 时，求直线的斜率. ◆题型2 圆的切线与弦长 题型归纳 圆的切线与弦长 点 在圆 上时，切线是 。 圆心到直线的距离为 且 时，弦长是 。 4．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·四川内江·阶段检测）已知圆 直线 (1)求证：直线l恒过定点； (2)若直线l与圆C 相切，求m 的值； (3)若，直线l与圆C相交于A， B 两点，求|AB|的值. 6．（26-27高二上·重庆石柱·阶段检测）已知点，圆C：，过点作圆的两条切线，切点分别为，. (1)求切线的方程； (2)求切点弦所在直线的方程． ◆题型3 椭圆的标准方程 题型归纳 椭圆的标准方程 ，。 焦点在 轴：（）。焦点在 轴时， 在 下面。 7．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，点在上，则________． 8．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 9．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． ◆题型4 双曲线的定义与方程 题型归纳 双曲线的定义与方程 ，，。 焦点在 轴：，渐近线 。 10．（26-27高二上·黑龙江绥化·期中）若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高二上·江苏·阶段检测）双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线的方程为，则双曲线的离心率________． 12．（24-25高二上·云南曲靖·阶段检测）已知原点为中心，坐标轴为对称轴的双曲线过点，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)直线与曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. ◆题型5 抛物线的方程与焦点 题型归纳 抛物线的方程与焦点 （）的焦点是 ，准线是 。 曲线上点 的焦半径是 。 13．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）某特色景区入口处，建有一座抛物线形拱门以提升景观.已知拱门底部宽度为12米，拱门最高点距地面6米.为确保车辆安全通行，需对通过车辆的高度进行限制.请同学按照以下要求建立平面直角坐标系：以拱门最高点为原点，平行于地面的方向为轴，竖直向下为轴正方向. (1)求该抛物线形拱门的方程； (2)一辆载货后总宽度为3.8米（即车厢左右两侧距中心线各1.9米）的货车需要安全通过此拱门.若货车车厢顶部为水平平面，请计算并说明，为了保证车厢顶部任何一点都不触及拱门，货车车厢的最大允许高度是多少米？（精确到0.1米） 15．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． ◆题型6 直线与椭圆的交点 题型归纳 直线与椭圆的交点 直线与椭圆联立，用判别式判断公共点个数。椭圆上恰有一个公共点就是相切。 中点为 且 时，斜率 。 16．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 17．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 18．（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的一个顶点为，离心率． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设运动直线L：与椭圆E相交于M、N两点，线段MN的中点为P，若，求k的值． ◆题型1 焦点三角形 题型归纳 焦点三角形 椭圆上 ，焦点三角形周长是 。 面积是 ， 是两边的夹角。 1．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，为与的一个公共点，且在第一象限． (1)求双曲线的半焦距； (2)若，求双曲线的标准方程； (3)求点的坐标及的面积． 2．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． ◆题型2 轨迹与定点 题型归纳 轨迹与定点 含参直线整理成 ，解 、 得到定点。 轨迹用定义或几何关系写方程，化成标准方程后再读焦点、离心率。 3．（26-27高二上·云南昆明·期中）设，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，过焦点向的外角平分线作垂线，垂足为，则点的轨迹方程是______________． 4．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆的方程为，直线：． (1)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值； (2)圆交轴于点，斜率为的直线交圆于，（异于点），直线，的斜率分别为，且，过作直线的垂线，垂足为，平面内求一定点，使得为定值． ◆题型3 抛物线上的最值 题型归纳 抛物线上的最值 到焦点的距离等于到准线的距离，折线改成到准线的垂线段。 上的焦半径是 。不用导数。 5．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知抛物线：上的一点（）到的焦点的距离为，点，是上不同的两点． (1)求的方程； (2)若，求点到直线的距离的最大值． 6．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知抛物线E：的焦点为，其上两点P，Q满足. (1)求E的方程； (2)若PQ的斜率为1，求其与x轴的交点坐标； (3)求PQ与x轴交点横坐标的最大值，并求当取得最大值时△PQF的面积. 一、选择题 1．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（26-27高二上·安徽安庆·阶段检测）设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于____________________ 3．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）圆：与圆：相交于，，且，则实数______． 4．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 5．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆：，直线：，点在直线上，若过点存在直线交圆于，两点，使得点为线段的中点，则点的横坐标的取值范围是______． 6．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，，直线的斜率为，则使成立的实数的值为________． 三、解答题 7．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知抛物线C：的焦点为，直线：与抛物线C交于A，B两点. (1)若O为坐标原点，当时，求的值. (2)设点，是否存在m，使得？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由. 8．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，、分别为椭圆的上、下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于、两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）若直线的倾斜角为，求的面积； （ii）若在轴上方，直线与直线的斜率分别为、，且，求直线的一般式方程. 9．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆过点，左焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线与椭圆交于两点（点在轴上方），若的面积与的面积之比为2：3，求直线的一般式方程． 10．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 11．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线过点且与直线垂直，点为圆：上的动点，直线与圆相交，且截得的弦长为． (1)求直线的方程； (2)求实数的值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 12．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. (1)求E的标准方程； (2)过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； 13．（25-26高二上·天津南开·期中）已知的三个顶点是，，. (1)求平分线所在直线的方程； (2)若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程； (3)求外接圆的方程. 14．（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）已知，如图，曲线由曲线和曲线组成．其中点，为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点．    (1)若，，求曲线的方程； (2)如图，作斜率为的直线l平行于曲线的渐近线，交曲线于点A，B，求弦的中点M的轨迹方程； (3)对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点C，D，求面积的最大值． 15．（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆锥曲线全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 由条件求圆的方程（高频） 题型2 圆的切线与弦长（高频） 题型3 椭圆的标准方程（高频） 题型4 双曲线的定义与方程（高频） 题型5 抛物线的方程与焦点（高频） 题型6 直线与椭圆的交点（高频） 核心提升：重难题型归纳 题型1 焦点三角形（难） 题型2 轨迹与定点（难） 题型3 抛物线上的最值（难） 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 由条件求圆的方程 题型归纳 由条件求圆的方程 标准方程 （），圆心 ，半径 。 一般方程 表示圆，当且仅当 。圆心 ，半径 。 1．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）过，，三点的圆的半径为________． 【答案】 或 【详解】设圆的方程为， 则，解得， 则圆的方程为，即， 所以过，，三点的圆的半径为. 2．（26-27高二上·北京顺义·阶段检测）已知圆经过，两点，并且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)求直线：被圆所截得的弦长； (3)已知点，以为圆心的圆与圆相切，求圆的标准方程． 【详解】（1）的中点为，直线的斜率， 故的中垂线为，即． 圆心既在中垂线上，又在上，联立解得， 半径， 故圆的标准方程为． （2）圆心到直线的距离， 由垂径定理得所得弦长为． （3），设圆的半径为． 若两圆外切，则，； 若两圆内切，则，得或（舍去）． 故圆的标准方程为或． 3．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）已知圆关于直线对称的图形为圆. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于，两点，当 时，求直线的斜率. 【详解】（1）圆，即， 则圆心为，半径为2，由题意直线与直线垂直， 所以直线：，即， 令，则在上， 即，解得，所以， 又圆与圆关于直线对称，半径不变，所以圆的方程为； （2）当直线为时，不合题意； 故可设直线为，而圆心到直线的距离为， 由题意，有，即，解得0或. ◆题型2 圆的切线与弦长 题型归纳 圆的切线与弦长 点 在圆 上时，切线是 。 圆心到直线的距离为 且 时，弦长是 。 4．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆即为， 则，解得，可知圆心为，半径， 可知圆心到直线的距离， 由题意可得：，即，解得. 5．（26-27高二上·四川内江·阶段检测）已知圆 直线 (1)求证：直线l恒过定点； (2)若直线l与圆C 相切，求m 的值； (3)若，直线l与圆C相交于A， B 两点，求|AB|的值. 【详解】（1）证明:由直线， 令，解得， 所以直线恒过定点. （2）直线l与圆C 相切，则圆心到直线的距离为， 则， 则，解得. （3）设圆心到直线的距离为， 则， 则， 6．（26-27高二上·重庆石柱·阶段检测）已知点，圆C：，过点作圆的两条切线，切点分别为，. (1)求切线的方程； (2)求切点弦所在直线的方程． 【详解】（1）当斜率不存在时，显然与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， ∴，解得，则，整理得. 综上，切线方程为和. （2）方法一：由（1）可知，圆的一个切线方程为，联立方程， 解得：，即， 又，，则， 由于直线与直线相互垂直，所以， 所以直线的方程为，整理得. 方法二：已知圆心，半径， 又，可得：， 则 以为半径，为圆心的圆的方程为， 即， 由此可得：直线为圆与圆公共弦所在直线， 则把圆与圆相减，得， 所以直线的方程为. 方法三：，，以为直径的圆的圆心为，半径为， 则其方程为，整理得：， 由此可得：直线为圆与圆公共弦所在直线， 把圆与圆相减，得：， 所以直线的方程为. ◆题型3 椭圆的标准方程 题型归纳 椭圆的标准方程 ，。 焦点在 轴：（）。焦点在 轴时， 在 下面。 7．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）的离心率为，点在上，则________． 【答案】 【详解】因为椭圆的离心率，即， 又点在上，得，整理可得， 所以，又，故． 8．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 【详解】（1）由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. （2）设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得，解得， 所以椭圆的方程为：. （3）设椭圆方程为， 则，，解得， 所以椭圆方程为. 9．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 【详解】（1）因为直线过椭圆的左焦点和一个顶点B， 令，解得，则上顶点，即， 令，解得，则左焦点，即， 所以，则离心率 （2）由（1）得，椭圆的方程为，与直线联立 ，消去y得， 解得或，则A点的横坐标， 所以的面积.    ◆题型4 双曲线的定义与方程 题型归纳 双曲线的定义与方程 ，，。 焦点在 轴：，渐近线 。 10．（26-27高二上·黑龙江绥化·期中）若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，，所以，，故. 根据双曲线的定义，. 又，所以或. 若，则，不符合三角形两边之和大于第三边. 因此. 11．（26-27高二上·江苏·阶段检测）双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线的方程为，则双曲线的离心率________． 【答案】或 【详解】双曲线焦点在坐标轴上，需分两种情况讨论： ①焦点在轴上：设双曲线标准方程为，其渐近线方程为. 由题知渐近线为，因此. 根据双曲线关系，代入得，因此离心率. ②焦点在轴上：设双曲线标准方程为，其渐近线方程为. 由题得，即. 代入得，因此离心率. 综上，双曲线的离心率为或. 12．（24-25高二上·云南曲靖·阶段检测）已知原点为中心，坐标轴为对称轴的双曲线过点，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)直线与曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点，当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 【详解】（1）依题意，设双曲线的方程为， 由双曲线过点，得，由双曲线的离心率为，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由消去得， 又，且是双曲线与直线唯一的公共点， 则，得，，点， 过点且与直线垂直的直线为， 令，得，令，得， 因此， 于是的轨迹方程为，， 所以的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（除两个顶点外）.    ◆题型5 抛物线的方程与焦点 题型归纳 抛物线的方程与焦点 （）的焦点是 ，准线是 。 曲线上点 的焦半径是 。 13．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得或， 不妨设， 因为， 所以， 即， 解得， 又因为抛物线的焦点坐标为，即. 14．（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）某特色景区入口处，建有一座抛物线形拱门以提升景观.已知拱门底部宽度为12米，拱门最高点距地面6米.为确保车辆安全通行，需对通过车辆的高度进行限制.请同学按照以下要求建立平面直角坐标系：以拱门最高点为原点，平行于地面的方向为轴，竖直向下为轴正方向. (1)求该抛物线形拱门的方程； (2)一辆载货后总宽度为3.8米（即车厢左右两侧距中心线各1.9米）的货车需要安全通过此拱门.若货车车厢顶部为水平平面，请计算并说明，为了保证车厢顶部任何一点都不触及拱门，货车车厢的最大允许高度是多少米？（精确到0.1米） 【详解】（1）按照题目要求建立平面直角坐标系，如图： 由题意可知，抛物线的标准方程为，且过点， 则，解得，由实际意义可知，， 所以该抛物线形拱门的方程为. （2）由对称性可知，当货车的左右两侧的车厢距离抛物线的对称轴米时，可通过的车辆高度最大. 过点作轴的垂线，与和抛物线分别交于点， 令，代入得， 所以，由实际意义可知货车车厢的最大允许高度为米. 15．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 【详解】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系， 抛物线方程设为， 灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标， 灯口圆半径该点的纵坐标， 灯口半径cm，灯深cm，故边缘点为，此点在抛物线上， 则有 ，解得 ， ， 焦点到顶点的距离为， 即光源应安置在旋转轴上距顶点（即）处. （2）保持光源与顶点距离不变，即不变， 新灯口边缘点为，代入，得到 ， 解得 ，即 ， 即探照灯的深度为 （即）. ◆题型6 直线与椭圆的交点 题型归纳 直线与椭圆的交点 直线与椭圆联立，用判别式判断公共点个数。椭圆上恰有一个公共点就是相切。 中点为 且 时，斜率 。 16．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 17．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 18．（24-25高二上·湖南株洲·阶段检测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的一个顶点为，离心率． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设运动直线L：与椭圆E相交于M、N两点，线段MN的中点为P，若，求k的值． 【详解】（1）由题意可知，，所以， 则所求椭圆的方程为； （2）设、，则， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以， 则， 因为，所以， 解得，满足， 所以. ◆题型1 焦点三角形 题型归纳 焦点三角形 椭圆上 ，焦点三角形周长是 。 面积是 ， 是两边的夹角。 1．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：与双曲线：（，）有公共焦点，为与的一个公共点，且在第一象限． (1)求双曲线的半焦距； (2)若，求双曲线的标准方程； (3)求点的坐标及的面积． 【详解】（1）已知椭圆中，， 故椭圆的半焦距，解得. 因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的半焦距为； （2）设.因为点在第一象限，所以. 由椭圆的定义得. 在中，，由余弦定理得：， 即. 又因为， 代入上式得：， 由双曲线的定义得， 两边平方得， 所以，即，解得. 又因为，所以. 故双曲线的标准方程为； （3）由（2）知双曲线的方程为，即. 将其代入椭圆的方程并整理得：， 即，解得. 因为点在第一象限，所以，代入得，故. 所以点的坐标为. 因此的面积. 2．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 【详解】（1）解法一：设抛物线与直线交于，， 联立方程组，整理得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线 与直线交于，， 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则，作差得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； （2）解法一：（i）依题意设直线的方程为，，，， 联立方程组，整理得 ，故， 所以 ，解得， 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即 时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：（i）依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组，整理得，故， 所以，解得 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32．    ◆题型2 轨迹与定点 题型归纳 轨迹与定点 含参直线整理成 ，解 、 得到定点。 轨迹用定义或几何关系写方程，化成标准方程后再读焦点、离心率。 3．（26-27高二上·云南昆明·期中）设，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，过焦点向的外角平分线作垂线，垂足为，则点的轨迹方程是______________． 【答案】 【详解】根据椭圆方程可得. 延长与交于，连接，如图所示： ∵直线为的外角平分线，且. ∴为线段的中点，且为等腰三角形，即. ∵ ∴ 又∵为线段的中点 ∴ ∴的轨迹方程为. 故答案为：. 4．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆的方程为，直线：． (1)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值； (2)圆交轴于点，斜率为的直线交圆于，（异于点），直线，的斜率分别为，且，过作直线的垂线，垂足为，平面内求一定点，使得为定值． 【详解】（1） 圆的方程为，圆心，半径， 设点关于直线的对称点， 则，的中点在上， 可列方程，解得， 所以， ， ， 所以的最小值为. （2） 对于圆的方程， 令，得， 所以坐标为， 设直线的方程为，，， 直线的方程与圆的方程联立得： ， 判别式 ， 由韦达定理，，， 由题意，，， 因为， 所以， 代入韦达定理，化简得： 所以， 即， 代入判别式，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 因为，且恒过定点， 所以， 因为直径所对的圆周角为直角， 所以的轨迹是以为直径的圆的部分圆弧， 圆心为中点， 半径为， 因为点在圆周上运动，要使为定值， 点即为该圆的圆心， 所以，此时为定值. ◆题型3 抛物线上的最值 题型归纳 抛物线上的最值 到焦点的距离等于到准线的距离，折线改成到准线的垂线段。 上的焦半径是 。不用导数。 5．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知抛物线：上的一点（）到的焦点的距离为，点，是上不同的两点． (1)求的方程； (2)若，求点到直线的距离的最大值． 【详解】（1）由抛物线的定义可得，解得，所以的方程为． （2）因为是上的一点，所以，解得，故． 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，，． 因为，所以，即即， 化简得，所以，即， 所以直线的方程可化为，即， 故直线过定点，又， 所以点到直线的距离的最大值为． 6．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知抛物线E：的焦点为，其上两点P，Q满足. (1)求E的方程； (2)若PQ的斜率为1，求其与x轴的交点坐标； (3)求PQ与x轴交点横坐标的最大值，并求当取得最大值时△PQF的面积. 【详解】（1）显然，，  所以E：. （2）不妨设：，，， 联立，有，   ， 此时，，   故，   即. 当PQ斜率时，， 于是，解得，   故交点坐标为. （3）求最大值不妨考虑. 因为，所以， 令，所以，易知在上随着的增大而减小， 故，故PQ与x轴交点横坐标的最大值为，此时，所以，所以：.   注意到此时F到PQ的距离，   故△PQF的面积. 一、选择题 1．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知F是双曲线C：的上焦点，直线与双曲线C交于A，B两点，其中A在第一象限，，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与双曲线都关于原点对称，则它们的交点也关于原点对称，记C的下焦点为， 利用对称性，四边形为平行四边形，则，， 可得，且， 不妨设，，， 离心率 ． 二、填空题 2．（26-27高二上·安徽安庆·阶段检测）设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于____________________ 【答案】或. 【详解】焦点在轴时：此时，椭圆中满足. 已知焦距为，即，得. 可得. 焦点在轴时：此时，椭圆中满足. 可得，解得. 综上，的值为或. 3．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）圆：与圆：相交于，，且，则实数______． 【答案】 或 【详解】 由，得 ，整理得， 即，说明原点在弦的垂直平分线上， 根据两圆相交的几何性质，公共弦的垂直平分线为两圆圆心的连线，因此、、三点共线， 由两圆的标准方程得圆心坐标，，三点共线则斜率相等，即 ，代入坐标得，解得. 4．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由，得，整理得， 即，则动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 令，则，表示过点，且斜率为的直线， 显然直线与圆有公共点， 因此，即，解得， 所以的取值范围是. 5．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆：，直线：，点在直线上，若过点存在直线交圆于，两点，使得点为线段的中点，则点的横坐标的取值范围是______． 【答案】 【详解】取中点，因为为线段的中点，所以， 所以的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设坐标为，可得， 代入化简得的轨迹方程， 过点存在直线交圆于，即圆与圆要有交点，需满足， 代入可得：， 即，解得：. 6．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，，直线的斜率为，则使成立的实数的值为________． 【答案】 【详解】不妨设点在x轴上方，根据正弦定理可得，结合直线的倾斜角可知轴，且直线的斜率为，设，根据斜率公式整理可得，再根据数量积的坐标运算求解即可. 由题意可知：，不妨设点在x轴上方， 取的中点，过分别作直线平行于x轴，分别交于点， 因为，由正弦定理可得， 设，则， 则，且， 可得， 又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可得，， 则，可得，即x轴， 则，可得直线的斜率为， 设，则， 则，， 整理可得，解得， 又因为， 且，可得， 即，所以. 三、解答题 7．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知抛物线C：的焦点为，直线：与抛物线C交于A，B两点. (1)若O为坐标原点，当时，求的值. (2)设点，是否存在m，使得？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为，所以，的方程为， 当时，设，， 由得，知，， 所以； （2）由得， 则，得， 知，， 设线段的中点为，则，， 假设存在，使得，则， 所以， 解得，故存在，使得. 8．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，、分别为椭圆的上、下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于、两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）若直线的倾斜角为，求的面积； （ii）若在轴上方，直线与直线的斜率分别为、，且，求直线的一般式方程. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，由，可得. 所以，. 所以椭圆的方程为. （2）（i）由（1）知. 若直线的倾斜角为，则其斜率为，所以其方程为，即. 设， 由，得. 则. 所以. 点到直线的距离为. 所以的面积为. （ii）因为直线不过椭圆与轴的交点，所以可设直线的方程为， 因为，所以，所以直线的斜率分别为. 因为直线不过，所以. 由，得. 则. 所以， 因为，所以，即，解得或（舍去）. 所以直线的方程为，即. 9．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆过点，左焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线与椭圆交于两点（点在轴上方），若的面积与的面积之比为2：3，求直线的一般式方程． 【详解】（1）由题得，； ，椭圆的方程为． （2）如图所示，显然直线斜率不为零， 设直线的方程与椭圆方程．联立整理， 设，①，②， 由得， ，即． 点在轴上方，点在轴下方，故 ③ 将③代入①得，再由②得， 解得点在轴上方， ， ∴直线的方程． 10．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【详解】（1）由条件可知， 因为，所以, 由对称性可知，； （2）设，，， 由，可知， 所以，得， 因为点，则， 所以，所以，则， 所以， 所以直线的斜率为； 11．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线过点且与直线垂直，点为圆：上的动点，直线与圆相交，且截得的弦长为． (1)求直线的方程； (2)求实数的值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 【详解】（1）因为直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为． 又因为直线过点，所以直线的方程为，即． （2）圆：的标准方程为， 则圆心，半径，． 因为圆心到直线的距离， 圆截直线所得的弦长为，所以，解得． （3）由（2），得圆的方程为． 设线段的中点为，． 因为，所以，则． 因为点在圆上运动，所以， 即， 化简，得， 即线段的中点的轨迹方程为． 12．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. (1)求E的标准方程； (2)过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； 【详解】（1）由题意得，， 所以. 因为短轴长为4，所以，解得， 所以， 所以E的标准方程为. （2）由（1）知，, 当直线的斜率不存在时，则，， 此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而， 则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在. 设直线的方程为，, 联立，消去y得，， ，且，. 因为以为直径的圆经过点，所以. 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即， 即直线的方程为或. 13．（25-26高二上·天津南开·期中）已知的三个顶点是，，. (1)求平分线所在直线的方程； (2)若直线经过点，且，到直线的距离相等，求的方程； (3)求外接圆的方程. 【详解】（1）因为，，. 所以， 所以与共线同向的单位向量为：， 以这两个单位向量为邻边作平行四边形，它是菱形，对角线平分．设，则点在的平分线上， 所以平分线的斜率为， 所以平分线所在直线的方程为，即； （2）当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 因为，到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线方程为或， 即或； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，到直线的距离不相等， 综上所述：的方程为或； （3）设外接圆的方程为， 则，即，解得， 所以外接圆的方程为. 14．（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）已知，如图，曲线由曲线和曲线组成．其中点，为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点．    (1)若，，求曲线的方程； (2)如图，作斜率为的直线l平行于曲线的渐近线，交曲线于点A，B，求弦的中点M的轨迹方程； (3)对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点C，D，求面积的最大值． 【详解】（1）由题意得，， 所以，解得， 则曲线的方程为：和； （2）由题意曲线的渐近线为：，设直线， 由，得， 所以，解得：， 又由数形结合知．设点，，， 则，，所以，， 所以，即点M在射线，上； （3）由（1）得，曲线，点， 设直线的方程为：， 由，得， 所以， 设，，所以，， 所以， 所以面积， 令，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为． 15．（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点F到这条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，过点F的直线l与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方．设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【详解】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2） 如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而 ，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆锥曲线全章高频重点题型突破 ◆题型1 由条件求圆的方程 1．【答案】 或 【详解】设圆的方程为， 则，解得， 则圆的方程为，即， 所以过，，三点的圆的半径为. 2．【详解】（1）的中点为，直线的斜率， 故的中垂线为，即． 圆心既在中垂线上，又在上，联立解得， 半径， 故圆的标准方程为． （2）圆心到直线的距离， 由垂径定理得所得弦长为． （3），设圆的半径为． 若两圆外切，则，； 若两圆内切，则，得或（舍去）． 故圆的标准方程为或． 3．【详解】（1）圆，即， 则圆心为，半径为2，由题意直线与直线垂直， 所以直线：，即， 令，则在上， 即，解得，所以， 又圆与圆关于直线对称，半径不变，所以圆的方程为； （2）当直线为时，不合题意； 故可设直线为，而圆心到直线的距离为， 由题意，有，即，解得0或. ◆题型2 圆的切线与弦长 4．【答案】B 【详解】圆即为， 则，解得，可知圆心为，半径， 可知圆心到直线的距离， 由题意可得：，即，解得. 5．【详解】（1）证明:由直线， 令，解得， 所以直线恒过定点. （2）直线l与圆C 相切，则圆心到直线的距离为， 则， 则，解得. （3）设圆心到直线的距离为， 则， 则， 6．【详解】（1）当斜率不存在时，显然与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， ∴，解得，则，整理得. 综上，切线方程为和. （2）方法一：由（1）可知，圆的一个切线方程为，联立方程， 解得：，即， 又，，则， 由于直线与直线相互垂直，所以， 所以直线的方程为，整理得. 方法二：已知圆心，半径， 又，可得：， 则 以为半径，为圆心的圆的方程为， 即， 由此可得：直线为圆与圆公共弦所在直线， 则把圆与圆相减，得， 所以直线的方程为. 方法三：，，以为直径的圆的圆心为，半径为， 则其方程为，整理得：， 由此可得：直线为圆与圆公共弦所在直线， 把圆与圆相减，得：， 所以直线的方程为. ◆题型3 椭圆的标准方程 7．【答案】 【详解】因为椭圆的离心率，即， 又点在上，得，整理可得， 所以，又，故． 8．【详解】（1）由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. （2）设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得，解得， 所以椭圆的方程为：. （3）设椭圆方程为， 则，，解得， 所以椭圆方程为. 9．【详解】（1）因为直线过椭圆的左焦点和一个顶点B， 令，解得，则上顶点，即， 令，解得，则左焦点，即， 所以，则离心率 （2）由（1）得，椭圆的方程为，与直线联立 ，消去y得， 解得或，则A点的横坐标， 所以的面积.    ◆题型4 双曲线的定义与方程 10．【答案】B 【详解】由题意，，，所以，，故. 根据双曲线的定义，. 又，所以或. 若，则，不符合三角形两边之和大于第三边. 因此. 11．【答案】或 【详解】双曲线焦点在坐标轴上，需分两种情况讨论： ①焦点在轴上：设双曲线标准方程为，其渐近线方程为. 由题知渐近线为，因此. 根据双曲线关系，代入得，因此离心率. ②焦点在轴上：设双曲线标准方程为，其渐近线方程为. 由题得，即. 代入得，因此离心率. 综上，双曲线的离心率为或. 12．【详解】（1）依题意，设双曲线的方程为， 由双曲线过点，得，由双曲线的离心率为，得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由消去得， 又，且是双曲线与直线唯一的公共点， 则，得，，点， 过点且与直线垂直的直线为， 令，得，令，得， 因此， 于是的轨迹方程为，， 所以的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（除两个顶点外）.    ◆题型5 抛物线的方程与焦点 13．【答案】C 【详解】由，得或， 不妨设， 因为， 所以， 即， 解得， 又因为抛物线的焦点坐标为，即. 14．【详解】（1）按照题目要求建立平面直角坐标系，如图： 由题意可知，抛物线的标准方程为，且过点， 则，解得，由实际意义可知，， 所以该抛物线形拱门的方程为. （2）由对称性可知，当货车的左右两侧的车厢距离抛物线的对称轴米时，可通过的车辆高度最大. 过点作轴的垂线，与和抛物线分别交于点， 令，代入得， 所以，由实际意义可知货车车厢的最大允许高度为米. 15．【详解】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系， 抛物线方程设为， 灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标， 灯口圆半径该点的纵坐标， 灯口半径cm，灯深cm，故边缘点为，此点在抛物线上， 则有 ，解得 ， ， 焦点到顶点的距离为， 即光源应安置在旋转轴上距顶点（即）处. （2）保持光源与顶点距离不变，即不变， 新灯口边缘点为，代入，得到 ， 解得 ，即 ， 即探照灯的深度为 （即）. ◆题型6 直线与椭圆的交点 16．【答案】B 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 17．【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 18．【详解】（1）由题意可知，，所以， 则所求椭圆的方程为； （2）设、，则， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以， 则， 因为，所以， 解得，满足， 所以. ◆题型1 焦点三角形 1．【详解】（1）已知椭圆中，， 故椭圆的半焦距，解得. 因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的半焦距为； （2）设.因为点在第一象限，所以. 由椭圆的定义得. 在中，，由余弦定理得：， 即. 又因为， 代入上式得：， 由双曲线的定义得， 两边平方得， 所以，即，解得. 又因为，所以. 故双曲线的标准方程为； （3）由（2）知双曲线的方程为，即. 将其代入椭圆的方程并整理得：， 即，解得. 因为点在第一象限，所以，代入得，故. 所以点的坐标为. 因此的面积. 2．【详解】（1）解法一：设抛物线与直线交于，， 联立方程组，整理得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线 与直线交于，， 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则，作差得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； （2）解法一：（i）依题意设直线的方程为，，，， 联立方程组，整理得 ，故， 所以 ，解得， 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即 时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：（i）依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组，整理得，故， 所以，解得 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32．    ◆题型2 轨迹与定点 3．【答案】 【详解】根据椭圆方程可得. 延长与交于，连接，如图所示： ∵直线为的外角平分线，且. ∴为线段的中点，且为等腰三角形，即. ∵ ∴ 又∵为线段的中点 ∴ ∴的轨迹方程为. 故答案为：. 4．【详解】（1） 圆的方程为，圆心，半径， 设点关于直线的对称点， 则，的中点在上， 可列方程，解得， 所以， ， ， 所以的最小值为. （2） 对于圆的方程， 令，得， 所以坐标为， 设直线的方程为，，， 直线的方程与圆的方程联立得： ， 判别式 ， 由韦达定理，，， 由题意，，， 因为， 所以， 代入韦达定理，化简得： 所以， 即， 代入判别式，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 因为，且恒过定点， 所以， 因为直径所对的圆周角为直角， 所以的轨迹是以为直径的圆的部分圆弧， 圆心为中点， 半径为， 因为点在圆周上运动，要使为定值， 点即为该圆的圆心， 所以，此时为定值. ◆题型3 抛物线上的最值 5．【详解】（1）由抛物线的定义可得，解得，所以的方程为． （2）因为是上的一点，所以，解得，故． 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，，． 因为，所以，即即， 化简得，所以，即， 所以直线的方程可化为，即， 故直线过定点，又， 所以点到直线的距离的最大值为． 6．【详解】（1）显然，，  所以E：. （2）不妨设：，，， 联立，有，   ， 此时，，   故，   即. 当PQ斜率时，， 于是，解得，   故交点坐标为. （3）求最大值不妨考虑. 因为，所以， 令，所以，易知在上随着的增大而减小， 故，故PQ与x轴交点横坐标的最大值为，此时，所以，所以：.   注意到此时F到PQ的距离，   故△PQF的面积. 一、选择题 1．A 二、填空题 2．【答案】或. 【详解】焦点在轴时：此时，椭圆中满足. 已知焦距为，即，得. 可得. 焦点在轴时：此时，椭圆中满足. 可得，解得. 综上，的值为或. 3．【答案】 或 【详解】 由，得 ，整理得， 即，说明原点在弦的垂直平分线上， 根据两圆相交的几何性质，公共弦的垂直平分线为两圆圆心的连线，因此、、三点共线， 由两圆的标准方程得圆心坐标，，三点共线则斜率相等，即 ，代入坐标得，解得. 4．【答案】 【详解】由，得，整理得， 即，则动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 令，则，表示过点，且斜率为的直线， 显然直线与圆有公共点， 因此，即，解得， 所以的取值范围是. 5．【答案】 【详解】取中点，因为为线段的中点，所以， 所以的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设坐标为，可得， 代入化简得的轨迹方程， 过点存在直线交圆于，即圆与圆要有交点，需满足， 代入可得：， 即，解得：. 6．【答案】 【详解】不妨设点在x轴上方，根据正弦定理可得，结合直线的倾斜角可知轴，且直线的斜率为，设，根据斜率公式整理可得，再根据数量积的坐标运算求解即可. 由题意可知：，不妨设点在x轴上方， 取的中点，过分别作直线平行于x轴，分别交于点， 因为，由正弦定理可得， 设，则， 则，且， 可得， 又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可得，， 则，可得，即x轴， 则，可得直线的斜率为， 设，则， 则，， 整理可得，解得， 又因为， 且，可得， 即，所以. 三、解答题 7．【详解】（1）因为，所以，的方程为， 当时，设，， 由得，知，， 所以； （2）由得， 则，得， 知，， 设线段的中点为，则，， 假设存在，使得，则， 所以， 解得，故存在，使得. 8．【详解】（1）设椭圆的焦距为，由，可得. 所以，. 所以椭圆的方程为. （2）（i）由（1）知. 若直线的倾斜角为，则其斜率为，所以其方程为，即. 设， 由，得. 则. 所以. 点到直线的距离为. 所以的面积为. （ii）因为直线不过椭圆与轴的交点，所以可设直线的方程为， 因为，所以，所以直线的斜率分别为. 因为直线不过，所以. 由，得. 则. 所以， 因为，所以，即，解得或（舍去）. 所以直线的方程为，即. 9．【详解】（1）由题得，； ，椭圆的方程为． （2）如图所示，显然直线斜率不为零， 设直线的方程与椭圆方程．联立整理， 设，①，②， 由得， ，即． 点在轴上方，点在轴下方，故 ③ 将③代入①得，再由②得， 解得点在轴上方， ， ∴直线的方程． 10．【详解】（1）由条件可知， 因为，所以, 由对称性可知，； （2）设，，， 由，可知， 所以，得， 因为点，则， 所以，所以，则， 所以， 所以直线的斜率为； 11．【详解】（1）因为直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为． 又因为直线过点，所以直线的方程为，即． （2）圆：的标准方程为， 则圆心，半径，． 因为圆心到直线的距离， 圆截直线所得的弦长为，所以，解得． （3）由（2），得圆的方程为． 设线段的中点为，． 因为，所以，则． 因为点在圆上运动，所以， 即， 化简，得， 即线段的中点的轨迹方程为． 12．【详解】（1）由题意得，， 所以. 因为短轴长为4，所以，解得， 所以， 所以E的标准方程为. （2）由（1）知，, 当直线的斜率不存在时，则，， 此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而， 则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在. 设直线的方程为，, 联立，消去y得，， ，且，. 因为以为直径的圆经过点，所以. 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即， 即直线P的方程为或. 13．【详解】（1）因为，，. 所以， 所以与共线同向的单位向量为：， 以这两个单位向量为邻边作平行四边形，它是菱形，对角线平分．设，则点在的平分线上， 所以平分线的斜率为， 所以平分线所在直线的方程为，即； （2）当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 因为，到直线的距离相等，所以， 解得，解得或， 所以直线方程为或， 即或； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，到直线的距离不相等， 综上所述：的方程为或； （3）设外接圆的方程为， 则，即，解得， 所以外接圆的方程为. 14．【详解】（1）由题意得，， 所以，解得， 则曲线的方程为：和； （2）由题意曲线的渐近线为：，设直线， 由，得， 所以，解得：， 又由数形结合知．设点，，， 则，，所以，， 所以，即点M在射线，上； （3）由（1）得，曲线，点， 设直线的方程为：， 由，得， 所以， 设，，所以，， 所以， 所以面积， 令，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为． 15．【详解】（1）设双曲线的焦距为2c， 点到渐近线的距离为， 因，代入解得， 又双曲线的一条渐近线为， 故双曲线的方程为：； （2） 如图，设，，设直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去可得：， ， 直线与双曲线右支交于两点，故，解得， 则， 原点O到直线的距离， 设，，联立消去可得：， 则，，，， 则 而 ，， 令，则， 当，即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $