培优专题01 圆锥曲线的标准方程和简单几何性质（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

培优专题01圆锥曲线的标准方程和简单几何性质（专项训练） 常考题型·精准突破 考点一 圆锥曲线及其标准方程 ◆题型1 圆锥曲线定义及辨析（重） ◆题型2 求圆锥曲线标准方程（重） ◆题型3 根据圆锥曲线方程求参数 ◆题型4 根据圆锥曲线方程求参数范围 ◆题型5 抛物线的焦半径公式（高频） ◆题型6 焦点三角形问题（高频） ◆题型7 圆锥曲线上点到定点距离的和、差最值（难） ◆题型8 圆锥曲线的轨迹问题（难） 考点二 圆锥曲线的简单几何性质 ◆题型9 圆锥曲线的范围问题 ◆题型10 圆锥曲线的对称性问题 ◆题型11 双曲线的渐近线（重） ◆题型12 求离心率或离心率的取值范围（高频） ◆题型13 由离心率求参数或参数的取值范围 ◆题型14 圆锥曲线的几何性质综合（难） ◆题型15 圆锥曲线的实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆锥曲线及其标准方程 ◆题型1 圆锥曲线定义及辨析 1．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．线段 D．射线 【答案】D 【分析】利用表示复数对应的点到点和到点的距离之差等于，得到的轨迹是一条射线． 【详解】复数满足条件， 设，为虚数单位， 则， 它表示复数Z对应的点到点和到点的距离之差等于， 故点的轨迹是一条射线. 2．（26-27高二上·云南昆明·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离小1， 所以点到点的距离与它到直线的距离相等， 符合抛物线定义，则点的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线， 且，解得，则点的轨迹方程为. 3．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）下列说法正确的是 A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【答案】D 【详解】平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数（大于两焦点间距离）的点的轨迹是椭圆， 对于A，； 对于B，，故AB均错； 对于C，方程表示椭圆，则有，故C错误； 若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且，，故焦点坐标为，故D正确. 4．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知为椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据椭圆性质写出顶点坐标，算出向量，由，求出；由椭圆的定义可知椭圆上任意一点满足，结合条件求解即可． 【详解】由椭圆性质可知，，，则，， 所以，解得， 联立，解得，所以． 5．（26-27高二上·福建·期中）（多选）已知点，，曲线：，则下列说法中，正确的有（ ） A．曲线上存在点，使得 B．直线与曲线没有交点 C．若过点的直线与曲线有两个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 【答案】AD 【分析】分情况去掉绝对值符号，进而可作出曲线，再结合每个选项的条件逐项判断 选项A：满足条件的曲线是双曲线的右支，所以存在点； 选项B：直线与一、三象限的曲线的渐近线不平行，故直线与曲线有交点； 选项C：结合图像，可知直线与曲线有两个交点，显然； 选项D：点到直线距离公式求得：，结合点是曲线上在第三象限内的一点，可求得：. 【详解】分情况去掉绝对值符号，进而可作出曲线，再结合每个选项的条件逐项判断即可. 当，时，曲线：； 当，时，曲线：； 当，时，曲线：（不存在）； 当，时，曲线：. 画出图形如图所示：    对于选项A：满足条件的曲线是双曲线的右支， 所以存在曲线上的点，使得成立，故选项A正确； 对于选项B：一、三象限曲线的渐近线方程为， 则直线与曲线有交点，故选项B错误； 对于选项C：设过点的直线：，与曲线有两个交点，显然，故选项C错误； 对于选项D：设，由点到直线距离公式得：，， 所以. 因为点是曲线上在第三象限内的一点，则有， 即，所以，故选项D正确. ◆题型2 求圆锥曲线标准方程 6．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解的焦距. 【详解】由题可知与有相同的渐近线， 故设的方程为：， 点代入得：， 把代入所设方程得：， ，，因此，即，双曲线的焦距为. 7．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 8．（2027高三·全国·专题练习）直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程消去得到关于的二次方程，由判别式大于零确定的范围，再利用韦达定理和弦长公式建立关于的方程求解即可． 【详解】由得：． ，所以或， 因为． ． 解得或， ∴抛物线方程为或． 9．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线及双曲线的焦点，再由给定条件求出椭圆方程. 【详解】抛物线的焦点为，双曲线的焦点为， 依题意，椭圆过点，其焦点为， 则，所以所求椭圆方程为. 10．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知为椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则下列结论错误的是（      ） A．点坐标为 B． C．右焦点坐标为 D．椭圆的方程为 【答案】B 【分析】利用直角三角形斜边中线性质结合面积求出c，得到A点坐标，代入椭圆方程联立解出参数，逐一验证选项． 【详解】由题意知，是直角在点的直角三角形，是中点，由直角三角形的性质得， ， 直线倾斜角为，故点， 则，解得， 故，故A正确； 把代入椭圆方程得，解得， 故，故B错误； 右焦点坐标为，故C正确； 椭圆方程为，故D正确． ◆题型3 根据圆锥曲线方程求参数 11．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】分别求出椭圆与双曲线的焦点坐标，可得圆的方程为，，联立圆的方程与双曲线方程得到交点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】由椭圆，可得,所以椭圆的焦点在轴，且焦点坐标为; 由双曲线，可得,所以双曲线的焦点在轴，且焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上， 所以该圆的圆心为原点，半径为，圆的方程为， 所以，解得; 双曲线方程为：， 联立，解得， 将代入椭圆方程可得：， 解得(负值舍去) 故选：B 12．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，可得a，c值，根据双曲线定义，可得，分别检验，分析即可得答案. 【详解】由双曲线的方程可得，则， 解得， 由双曲线的定义可知， 因为，所以或13. 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 故选：C 13．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）已知椭圆：，：，其中，则（     ） A．与的长轴长相等 B．的焦距小于的焦距 C．与有公共点 D．与的离心率相等 【答案】BD 【详解】将椭圆整理为标准形式得.由，得，因此焦点都在轴上. 选项A：的长半轴，长轴长为；的长半轴，长轴长为，二者长轴长不相等，A错误； 选项B：椭圆焦距满足，的半焦距，焦距为；的半焦距，焦距，即的焦距小于的焦距，B正确； 选项C：对任意上的点，都有，不满足的方程，两个椭圆没有公共点，C错误； 选项D：的离心率；的离心率，二者离心率相等，D正确. 14．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，若一个圆恰好经过，和三点，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆标准方程为，，由题得，， 根据椭圆参数关系，计算得，即， 由此左焦点，右焦点，上顶点，设过三点的圆的方程为，. 将三个点的坐标分别代入方程，得到： ，解得，，. 圆的一般方程对应的半径公式，代入参数计算：. 15．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设点，利用抛物线焦半径公式可得，再结合列方程，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线：的焦点为，准线为， 设点，由于于，故， 的圆心为，由于，故， 结合点在上，则，即，即， 解得，即点的横坐标为. ◆题型4 根据圆锥曲线方程求参数范围 16．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据椭圆的几何性质，利用已知条件得出，再区分焦点x轴、y轴两类讨论求． 【详解】由题意知，，则有， 当焦点在轴时，，则，解得；符合， 当焦点在轴时，，则，解得；符合， 综上可得，m的值为或． 17．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）如果曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的第二定义来转化原式为，进而可得，再由曲线是双曲线可得所求值的范围. 【详解】由曲线，变形为​， 由方程两边非负且表示双曲线（有解），所以. 将看成点到定点的距离， 再将看成点到直线的距离，且定点不在直线上， 由圆锥曲线的第二定义可知，离心率，即. 因为曲线为双曲线，所以，即，解得. 因此实数的取值范围为. 18．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）曲线C：，下列结论正确的有（   ） A．若，则曲线C的渐近线为 B．若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C．若曲线C表示椭圆，则 D．若曲线C表示双曲线，则或 【答案】BD 【分析】A选项，根据双曲线的计算公式求解；B选项，根据圆的标准方程计算即可；C选项，根据椭圆的标准方程计算即可；D选项，根据双曲线的标准方程计算即可. 【详解】A选项，当时，，曲线的渐近线为：，所以A选项错误； B选项，若曲线C表示圆，则，解得，则曲线为，圆的半径为，所以B选项正确； C选项，曲线C表示椭圆，则，解得：且，所以C选项错误； D选项，曲线C表示双曲线，则，解得：或，所以D选项正确. 19．（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，故C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，故D正确. 20．（2026·湖南怀化·二模）（多选）已知双曲线C：，则下列结论正确的是（   ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值无关 C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D．存在实数，使得点在C上 【答案】ABC 【分析】A.由求解判断；B.由C的焦距为2判断；C.由和求解判断；D.结合，由判断. 【详解】由题意得，则，A正确． 由题意知，故C的焦距为2，与m的取值无关，B正确． 由，解得，又，所以m的取值范围为，C正确． 假设存在实数，使得点在C上，则，． 当时，，则， 所以在上无实数解，D错误． ◆题型5 抛物线的焦半径公式 21．（2026·山东·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题可得，，设点，则， 由，可得，因为，所以解得. 22．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】根据抛物线的几何性质，因为点为抛物线上的一点，抛物线的准线为，所以， 因此解得. 23．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知抛物线，若两点在抛物线上，焦点为，，则直线的斜率为__________． 【答案】 【分析】设，，利用抛物线的定义用表示进而得出之间的关系，最后代入到弦长公式里即可求解. 【详解】 设，， 因此：，得， ，得， 因此，直线斜率必然存在， 由弦长公式，代入，解得. 所以直线的斜率为. 24．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 【答案】14 【分析】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案． 【详解】由抛物线方程得， 设，， 由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点， 所以， ，， 所以， 即该光线经过的路程为. 25．（2026·湖南长沙·模拟预测）（多选）已知抛物线：，点为其焦点，直线为其准线．点在上，点为在上的正投影．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对A，抛物线，可得，焦点坐标为，A正确； 对B，该抛物线准线的方程为，点在竖直准线上的正投影，横坐标与准线一致为， 纵坐标与相同为2，即，B正确； 对C，由抛物线定义，等于到准线的距离，即；到的距离为，显然，C错误； 对D，是直角在的直角三角形，两条直角边长度均为2，面积，D正确. ◆题型6 焦点三角形问题 26．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为 C．的最大值为9 D．的最小值为4 【答案】ABC 【详解】选项A，椭圆半长轴长，半短轴长，半焦距，故离心率为，A正确； 选项B，因为椭圆上异于长轴端点的动点，则， 则的周长为，B正确； 选项C，由上得，则，当点为短轴顶点时取等，故C正确； 选项D，设，则，，， 则 ，当点为短轴顶点时，取得最小值为，故D错误. 27．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．面积的最大值为 D．存在点P，使得 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的标准方程，找出，，；对于A选项，利用椭圆的定义即可求解；对于B选项，分析出点在左顶点时，取最小值，计算即可；对于C选项，表示出的面积，，分析出，计算即可得的面积的最大值；对于D选项，假设点存在，设，将转化为，计算求. 【详解】椭圆，则，，， 所以，，，，， 对于A选项，由椭圆的定义可得，，故A正确； 对于B选项，当点在左顶点时，取最小值， 左顶点，此时，故B正确； 对于C选项，， ，， 所以，故C正确； 对于D选项，假设存在点，使得， 设点，则 因为，所以， ，， 由得，， 整理得，，则， 代入， 可得，解得，无实数解， 说明点不存在，故D错误. 28．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆光学性质以及梯形中位线定理确定焦点三角形中的大小，结合椭圆定义与余弦定理建立的等量关系，最终求出椭圆离心率. 【详解】记是的平分线，设点处的切线为直线，则. 设，则，所以根据椭圆光学性质， 点处切线与、的夹角均为，即. 过点作，过点作，过点作，则， 点、到切线的距离分别为， . 因为为的中点，，由梯形中位线性质得， 原点到切线的距离为：. 由题知，解得，即，故. 在中，由余弦定理得： ， 结合椭圆定义，将右边变形为： ， 代入，，得，整理得，即. 椭圆离心率. 29．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，满足，且的面积为． (1)求的渐近线方程； (2)设，直线与交于，两点，，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合双曲线定义、直角三角形勾股定理及面积公式推导的关系，进而求得渐近线方程； （2） 联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得中点坐标，结合的垂直性质求解，即可得到双曲线方程. 【详解】（1）设，，由双曲线定义得 ， 平方得： ， 由，结合勾股定理得 ， 的面积，故， 联立得，即， 结合双曲线关系，得，整理得， 故的渐近线方程为. （2）由（1）知，故的方程可写为， 将代入上式，化简得， 设，中点为， 由韦达定理得，故，代入直线方程得， 即， 由得，直线斜率为1，故， 又，故，解得（经检验符合条件）， 则，故的方程为. 30．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，且.过的直线与交于，两点. (1)求的方程； (2)若，均在的右支上，且的周长为，求的方程； 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由题意可得，再由，求出的值，即可得答案； （2）由的周长为，结合双曲线的定义可得，设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理及弦长公式求出的值，即可得答案. 【详解】（1）因为，即， 所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. （2）因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图：    因为，设直线， 代入， 得， 整理得：. 设， 因为均在的右支上， 所以，且， 所以， 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：， 即. ◆题型7 圆锥曲线上点到定点距离的和、差最值 31．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一动点，下列等式不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义可判断A；利用三角形的三边关系可判断B；结合椭圆的定义及焦半径的范围可判断CD. 【详解】由题意可得，结合椭圆定义可得， ， 对于A：，则，， 且，故可能成立，故A错误； 对于B：，故不可能成立，故B正确； 对于C：当为椭圆短轴端点时，， 当为椭圆长轴端点时，， 所以的范围是， 只要且可满足条件， 由可得，所以可能成立，故C错误； 对于D：，即， 代入椭圆定义可得，， 只要，由，解得，又， 所以当时，成立，故D错误. 32．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围. 【详解】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 33．（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用双曲线的定义推出，结合曲线与圆的位置关系推出，进而求出最大值． 【详解】双曲线方程为，则， ， ，， 又、分别是圆和上的点， 即、在以为圆心，半径为的圆上， ， ． 故选：D． 34．（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值． 【详解】由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1， 过点作直线，垂足为，如图所示， 由抛物线定义可知，， 所以， 当点在同一直线时，可取到最小值， 因为点到直线的距离为6， 所以，即的最小值为5． 35．（2026·陕西·三模）设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为. 直线过定点，且，即. 根据直角三角形的性质可得直角顶点的轨迹是以线段为直径的圆（除外）， 圆心为中点，半径. 根据抛物线的定义可得抛物线上任意动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即（为到直线的距离）. . 根据几何性质，对固定的，的最小值是到上述圆心的距离减去半径； 所以， 又的最小值是圆心到准线的距离，圆心到准线的距离为， 因此的最小值为. ◆题型8 圆锥曲线的轨迹问题 36．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设动点的坐标为，根据，结合两点间公式，列出方程，准确化简，即可得到动点的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，且，，为原点， 因为，所以可得， 即， 可得， 可得， 令，可得， 可得，所以， 可得，即， 整理得，即动点的轨迹方程为. 37．（26-27高二上·全国·课后作业）如图所示，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点．建立适当的平面直角坐标系，则曲线的方程为________． 【答案】 【详解】方法一：以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，，， 依题意得， 所以曲线是以，为焦点的双曲线， 则，， 所以，， 故曲线的方程为． 方法二：同解法一建立平面直角坐标系，则依题意可得， 所以曲线是以，为焦点的双曲线， 设双曲线的方程为，则有解得， 故曲线的方程为． 38．（25-26高二下·上海·期中）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】由题意知翻折后点E与落点F重合，因此折痕l是线段的垂直平分线， 点P在l上，根据垂直平分线性质可得， 结合抛物线定义判断：已知，因此PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分. 另解： 如下图所示，以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，则，，，， 因为是的中点，所以， 因为翻折后落在上，落点为，所以设的坐标为， 折痕是和连线的垂直平分线，的中点坐标为， 的斜率为，因此的斜率为， 所以的点斜式方程为， 在上，且，设P的坐标为， 代入可得，化简可得， 因为点的坐标为，把替换成可得点的轨迹方程为， 是一个二次函数，所以点的轨迹为抛物线的一部分. 39．（2026高二·全国·专题练习）(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，根据给定条件，结合三角形重心定理即可求解； （2）设点，根据题意列出方程即可求解. 【详解】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，，如图所示， 设的重心，依题意，， 因此点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为的椭圆（除点外）， 该椭圆长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以的重心的轨迹方程为. （2）设点到直线的距离为，依题意，， 于是，化简得，即， 所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆，其方程为. 40．（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由： 假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． 【分析】（1）设点，由两直线斜率之积化简求解方程； （2）假设存在符合题设的直线，由点差法求出直线斜率，验证可知直线不存在. 【详解】（1）设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）略 考点二 圆锥曲线的简单几何性质 ◆题型9 圆锥曲线的范围问题 41．（2026·甘肃兰州·一模）已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，设点为曲线的任意一点，且，进而根据点到直线的距离，结合三角恒等变换求解即可. 【详解】曲线变形得，表示轴右侧的部分椭圆， 所以，， 设点为曲线的任意一点，且， 点到直线的距离为： 因为，， 所以， 所以， 所以曲线上的点到直线的距离的取值范围是. 42．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量垂直的性质得到点的轨迹，再结合双曲线和圆的性质求出的最小值. 【详解】 双曲线，右焦点， 因为，所以， 则点在以为直径的圆上，设点， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以的最小值为， ， 因为，代入可得， 因为是右支上的动点，所以，， ， 又，所以， 所以的最小值为. 43．（2026·山西运城·一模）（多选）已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（   ） A．圆与直线相切 B．圆的面积的最小值是 C．的最大值是 D．存在点，使得 【答案】ACD 【分析】对AB直接用抛物线的定义判断可得，对CD用抛物线的定义及距离公式即可得. 【详解】如图：过点作于点，设，则，. 对于A，由抛物线的定义可知，圆心到直线的距离等于半径， 所以圆与直线相切，A正确； 对于B，因为圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的面积的最小值是，B错误； 对于C，因为，所以， 所以， 令，则， 当且仅当，即时等号成立，所以C正确； 对于D，，， 化简得，得，即，再代入 得，所以存在或使得成立，D正确. 44．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知曲线上一点到的距离与到直线的距离之比为. (1)求曲线的方程： (2)过点的直线与曲线相交于两点，求的最大值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意列出表达式，化简即可； （2）方法一：设，表示出，通过 ，的范围即可求出；方法二：设，分情况讨论，若直线的斜率存在且设为，联立得，再设，通过函数的单调性判断即可；方法三：设，直线为，联立得到，设，通过函数的单调性即可判断. 【详解】（1）由题意知，化简得， 故曲线的方程为； （2）方法一：设，由题意知 所以， 因为，所以，又， 又是直线被椭圆截得的弦在轴上投影的长度， 当直线为轴时，该弦为长轴，投影长度取最大值4，故， 所以，当或时取等. 故的最大值为2. 方法二：设，由题意知 若直线的斜率存在设为，则， 联立，消去得， 易知，所以. 所以， 故， 设，则， 所以， 易知在递减，所以时的最大值为2， 若直线的斜率不存在时，易知，故的最大值为2 方法三：设，由题意知 由题意知直线设为，则， 联立，化简得， 易知，所以， 所以 故， 设，则， 设则 因为在递减，所以 当直线的斜率为0时，易知，故的最大值为2. 45．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）不妨设点在第一象限，再分与讨论，再结合双曲线的对称性即可得. 【详解】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：； （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则， 又，则，故， 又在第一象限，则； 若，则由， 由、， 即， 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. ◆题型10 圆锥曲线的对称性问题 46．（25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 【答案】C 【分析】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解. 【详解】    由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 故选：C 47．（25-26高二下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以．    48．（2026·河南周口·三模）已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上，代入点可得，即可得渐近线方程. 【详解】根据双曲线对称性可知点，，在双曲线上， 则，解得， 且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 49．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______． 【答案】1 【分析】根据焦点相同可得，再由椭圆以及双曲线对称性代入交点坐标，联立方程即可得结果. 【详解】由题知其焦点均在轴上，又因为焦点相同，即， 因为四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，利用椭圆以及双曲线对称性可知四个交点均在直线上， 不妨设第一象限的公共点为，则有且， 消去得，即， 解得， 故答案为：1 50．（2026高三·全国·专题练习）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； 【详解】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 从而或或或， 因为是的重心，设， 则有，即得， 所以或或或； ◆题型11 双曲线的渐近线 51．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知双曲线：的右支上有任意两点、，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知无限趋近于两条渐近线的夹角，结合正切二倍角公式求出渐近线斜率，进而计算离心率. 【详解】如图所示； 由题知当点，点的横坐标趋近于正无穷大时，，就无限贴近两条渐近线， 又，，由对称性可得，， 由，，或（舍去）， ，双曲线的离心率为. 52．（2026·福建泉州·模拟预测）（多选）已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 【答案】BC 【分析】本题利用双曲线离心率公式得到的取值范围，再结合两直线夹角定义、通径公式、焦点到渐近线距离的二级结论，逐一对四个选项进行推理判断，完成多选． 【详解】对于A，根据两条相交直线夹角的范围为， 得双曲线渐近线夹角大于就是错误的，A错误； 对于B，， 由题意得，，， 解得，，B正确； 对于C，双曲线的通径长为， 由，得， 所以，C正确； 对于D，焦点到渐近线的距离， 由，得，D错误． 53．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义求的长度，根据题意结合离心率的条件可得，利用余弦定理结合求出的值，进而得到渐近线方程. 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 54．（26-27高二上·全国·课后作业）根据以下条件，分别求出双曲线的方程： (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (2)过点，离心率； (3)与双曲线有共同的渐近线，且过点． 【答案】(1)或． (2) (3) 【详解】（1）由两顶点间的距离是6得，即． 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得，即， 于是有． 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为或． （2）依题意，双曲线的实轴可能在轴上，也可能在轴上，分别讨论如下： 若双曲线的实轴在轴上，设双曲线的方程为．由，得． 因为，所以① 由点在双曲线上，得② 由①②得，．此时双曲线的方程为．若双曲线的实轴在轴上，设双曲线的方程为． 同理有，，，解得（舍去）． 故双曲线的实轴只能在轴上，所求双曲线的方程为． （3）设所求双曲线的方程为．将点代入得． 所以双曲线的方程为，即． 55．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，再将点P坐标代入双曲线方程，联立解出，从而得到双曲线C的标准方程； （2）先排除直线斜率不存在的情况，设过右焦点的直线方程与双曲线联立，结合韦达定理、弦长公式与三角形面积条件求出斜率，再通过坐标运算求出． 【详解】（1）由题可得，所以的方程为． （2）由（1）得， 当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得， 此时的面积为，不符合， 所以直线斜率存在，设直线， 联立得， 则，所以， 所以， 又点M到直线的距离为， 所以（舍去）或， 则，， 所以． ◆题型12 求离心率或离心率的取值范围 56．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的方程确定圆心即为右焦点，得出的值，利用向量加法的平行四边形法则（中线向量公式）求出，再结合椭圆的定义求出，最后代入离心率公式即可. 【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径， 因为为椭圆的右焦点，所以的坐标为，即， 因为为圆的直径，所以圆心是线段的中点， 根据向量的中点公式，可得， 因为，所以，即， 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可知， 又已知，所以，解得, 所以椭圆的离心率. 57．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最大值即可. 【详解】设，令，则，， 所以，所以， 在中，，则由余弦定理得 ， 所以， 所以， 令，由，可得，则 ， 当或时，取最大值：， 所以的最大值为. 58．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线定义求出各线段长度，借助公共角的余弦值相等建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】因为点在双曲线的左支上，故， 设，由得，， 代入得，即， 因此，，， 又点A在双曲线C的左支上，则，解得， ， 在中，由余弦定理，， 在中，， 由两式相等得，化简得：， 即，整理得，即， 因此离心率. 59．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据点到直线距离公式求出、利用余弦定理求出，根据列方程即可求出答案. 【详解】如图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，∴， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，，即，因此，双曲线的离心率为. 60．（26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测）已知椭圆，左顶点为，上顶点为，（为坐标原点） (1)求的离心率； (2)过点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，求直线与直线的斜率之积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小问由和，计算可得椭圆的离心率； （2）小问设，，，，由作差法可得，由，，三点共线，可得，则计算可得. 【详解】（1） 设椭圆的半焦距为，由已知有，又由， 消去得，解得，所以椭圆的离心率为． （2）由（1）知，，，故椭圆方程为． 设，，，则有，， 将两式作差，可得，则， 又轴，则，且，，三点共线，所以， 因为，， 则， 所以直线与直线的斜率之积为． ◆题型13 由离心率求参数或参数的取值范围 61．（25-26高二上·云南曲靖·期中）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，直线，若上任意一点都满足，则可取的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由上任意一点都满足，可知直线与圆：相离，利用圆心到直线的距离大于圆的半径，结合离心率，列得关于的不等式，选出正确选项. 【详解】由题可知，若上任意一点都满足，则点在圆：外. 所以圆心到直线的距离大于圆的半径， 即，. 因为椭圆的离心率为，所以，即. 因此，. 故选：D. 62．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即.    63．（2025高二上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由 得， 解得，所以， 所以. 故选：D. 64．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率为，得，将点代入双曲线方程，得，代入，得利用不等式的性质，可得其取值范围. 【详解】由的离心率为，得，所以． 所以双曲线的渐近线方程为. 因为点在上，所以，，， 所以， 因为，所以 故选：A. 65．（2026·上海杨浦·模拟预测）设与双曲线相交于不同两点. (1)若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； (2)若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； (3)在（2）的条件下，若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）由双曲线离心率与双曲线开口程度关系可得答案； （2）由题设结合到角公式可得答案； （3）设 ，将直线与双曲线方程联立，然后由题设及韦达定理可得，最后由题设及不等式性质可得答案. 【详解】（1）对于双曲线，  ， 双曲线开口越开阔即双曲线离心率更大 ， 又等轴双曲线离心率为 ，   ∴ ； （2）， 从而双曲线渐近线为，斜率分别为，  ， 因双曲线的两条渐近线的夹角为 ， ， 解得：或 ， ∴双曲线的标准方程为：或 . （3）设 ， 联立消去得： ， 由题设可得 ，由韦达定理可得： ， 从而：，得.由题可得，代入坐标， 可得： ，因， 则，令，则， 注意到，则. ◆题型14 圆锥曲线的几何性质综合 66．（26-27高二上·云南昆明·期中）（多选）已知曲线C：，下列结论正确的是（    ） A．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则曲线是圆，其半径为 C．若，则曲线是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则曲线是两条直线 【答案】ACD 【分析】A，根据椭圆的标准方程求解；B，根据圆的标准方程求解；C，根据双曲线的标准方程和渐近线方程的公式求解；D，利用直线的方程得解. 【详解】A，转化为， ，，则下面的分母更大， 则长轴在轴上，焦点就在轴上，故选项A正确； B，，转化为，即， 则曲线是圆，其半径为，故选项B错误； C，因为，所以或， 当时，转化为， 则曲线是焦点在轴的双曲线，其渐近线方程为； 当时，转化为， 则曲线是焦点在轴的双曲线，其渐近线方程为； 综上可知，，则曲线是双曲线，其渐近线方程为， 故选项C正确； D，当，时，转化为， 这是两条平行于轴的直线，故选项D正确. 67．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）（多选）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点，如图所示．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．若右焦点到一条渐近线的距离为，且双曲线的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的方程为 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．当过点时，光由所经过的路程为 【答案】ACD 【分析】对于A，由又双曲线C的渐近线方程为得，解出即可判断；对于B，利用的最小值为即可判断；对于C，在中，，由勾股定理及双曲线的定义得即可判断；对于D，利用双曲线的定义得，最后利用两点间的距离公式即可判断. 【详解】对于A，因为右焦点到一条渐近线的距离为，所以因为双曲线C的渐近线方程为，所以，解得，所以C的方程为，故A正确； 对于B，由，，得，所以的最小值为，故B不正确； 对于C，在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，， 即，所以，则，故C正确； 对于D，由题意可知，，当过点时，由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D正确. 68．（2027·江西·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，，O为坐标原点，则（    ） A．的准线方程为 B． C．的最小值为 D．的面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用抛物线的标准方程求出准线方程，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标公式可判断B选项；利用抛物线的定义可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A，由题意知，抛物线的焦点为，准线方程为，故A正确； 对于B，显然直线的斜率不为0，设的方程为，、， 联立，得， 则，且，， 所以， 则，故B正确； 对于C，分别过、作的准线的垂线，垂足分别为、，则， 当且仅当、、三点共线时等号成立，此时， 则的最小值为3，故C错误； 对于D，的面积， 当时，的面积取得最小值，故D正确． 69．（2026·四川南充·模拟预测）（多选）已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B． C．为一个定值 D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】设点，点的坐标分别为，，联立方程组，结合韦达定理得到，值，然后再逐一判断. 【详解】由抛物线的方程为，，抛物线的焦点到准线的距离为，A正确. 如图所示； 由题知点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为. 设点，点的坐标分别为，，联立方程组， ，由韦达定理得，. . ，B错误. 由过焦点的弦长公式得. ，直线的斜率为，同理推出. ，C正确. ，，， ，，由 ，直线的斜率为，D正确. 70．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点P，使得的面积为2 C．椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义结合△ABF₂的周长为8的条件，即可求出的值，从而判断选项A；由椭圆中焦点三角形最大面积为，求出最大面积即可判断选项B；分情况考虑直角三角形的顶点，即可判断选项C；先内切圆的面积公式可知最大时，内切圆半径最大，求出内切圆半径；再由正弦定理可得外接圆半径的等量关系，当时，此时外接圆半径最小，求出最小值，即可判断选项D. 【详解】对于A，由题可知，椭圆焦点在轴上，由椭圆的定义可知，， 又，所以的周长为，所以，选项A正确； 对于B，由A知，则椭圆的方程为，即，所以， 因为，所以不存在点，使的面积为2，选项B错误； 对于C，若为直角三角形，当时，存在两个这样的点；当时，存在两个这样的点； 当时，可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括，两点，因为，所以圆与椭圆有四个交点， 即椭圆上存在4个不同的点，使得. 因此，椭圆上存在8个不同的点，使得为直角三角形，选项C错误； 对于D，由的周长为，设内切圆的半径为， 则，所以当最大时，内切圆半径最大， 此时为上顶点或下顶点，，则，解得； 设外接圆的半径为，由正弦定理可得， 由选项C可知，存在点使得，则，此时， 所以内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为，选项D正确. ◆题型15 圆锥曲线的实际应用 71．（26-27高二上·全国·课前预习）（判断）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ） 【答案】错误 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标． 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为． 72．（25-26高二上·陕西商洛·期末）双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 【答案】8 【分析】由双曲线的性质即可求解. 【详解】已知双曲线，可得：， 设光线与双曲线C的交点为，双曲线C的左焦点为． 所以， 由题意知，共线， 因为，所以， 故路径长． 故答案为：8. 73．（26-27高二上·全国·课后作业）某火星探测器的运行轨道是以火星（其半径百千米）的中心为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为8百千米，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为800百千米．假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百千米时进行变轨，其中，分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，则此时探测器与火星表面的距离为________百千米．（精确到1百千米） 【答案】 【分析】根据题意求出轨道方程为，设变轨时，探测器位于，则，结合轨道方程求出，再利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】设轨道方程为，且． 因为，，所以，，所以， 所以轨道方程为． 设变轨时，探测器位于，则， 与联立，解得，， 所以． 故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百千米． 74．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知农历每月的第天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为 其中为常数，根据以上信息，下列说法中正确的有（    ） A．农历每月第天（，）和第天的月相外边缘形状相同 B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 C．月相外边缘的离心率第8天时取最大值 D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内 【答案】CD 【分析】结合椭圆的基本性质与三角函数的单调性、对称性，逐一分析各选项的正确性即可得答案. 【详解】选项A：农历第天对应，椭圆项分母为； 第天对应，项分母为， 二者不相等，椭圆形状不同，A错误. 选项B：椭圆长半轴，短半轴，半焦距， 椭圆上点到焦点距离最大值为， 由于为整数，，故最大值小于，B错误. 选项C：离心率， 当（对应第8天）时，最接近，此时取最大值， 即第8天离心率取最大值，C正确. 选项D：农历初六至初八对应，此时， 满足，正弦函数在上单调递增， 故，即离心率在区间内，D正确. 75．（25-26高二下·上海·阶段检测）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy. (1)求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程（不需写过程）； AB段：___________________；BC段：___________________；CD段：___________________. (2)规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？ 【答案】(1)AB段：；BC段：；CD段： (2) 【分析】(1)利用双曲线及圆的定义判断即可. (2)由两点间距离公式再转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）∵线路段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6， ∴线路段所在的曲线是以定点M，N为左右焦点的双曲线的左支（一部分），则其方程为； ∵线路段上任意一点到O的距离都相等，∴线路段所在的曲线是以O为圆心，以为半径的圆， 则其方程为； ∵线路段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6， ∴线路段所在的曲线是以定点Q，P为上下焦点的双曲线的下支（一部分）， 则其方程为； （2）设，由，则， 由（1）得，， 即，则，∴当时，； 则站点为时，站点G到景点Q的距离最近. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．焦点坐标为，，且长轴长等于12的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆方程为，易得、，再结合，即可求解. 【详解】设椭圆方程为，由题可得：，，即 根据解得：，所以椭圆方程为. 2．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．点P的坐标为 【答案】D 【详解】由题意，联立方程，消去得：，解得或 即，则，A正确； ∵，即 对于处的切线斜率分别为 ∴，即，B正确； 在点A的切线方程为，即 同理可得在点B的切线方程为 联立方程，解得，即P，D不正确； ∵，则， ∴，即，C正确； 3．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，点满足是等边三角形，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的标准方程得到，，以及的值，分类讨论点，异侧和同侧两种情况，当点，异侧时，无解，舍去；当点，同侧时，根据椭圆的定义以及等边的边的关系得到点，，三点共线，从而分析出，在中运用余弦定理，最后代入中计算即可. 【详解】由椭圆：，可得，， ，， 所以焦点，，， 因为点在上，则由椭圆的定义可知，， 以为圆心，作一个半径为6的圆，则点在此圆上， 当点，异侧时，如图所示， 设，则， 在等边中，， 在中，由余弦定理得， ， 在中，，故， 所以点，异侧舍去； 当点，同侧时，如图所示， 在等边中，， 则，又因为， 所以，即点，，三点共线， 故， 设，则， 在中，由余弦定理得，， 即， 整理得，，， 所以. 4．已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义转化得到距离差，由双曲线的定义判定轨迹，再根据确定只取双曲线下支，写出带范围的轨迹方程． 【详解】，，， ，，， 因为都在椭圆上，所以，， 所以的轨迹是以为焦点的双曲线的下支（，动点离更近）， 由，，得， 所以的轨迹方程是． 5．已知双曲线的实轴长为2，且一条渐近线倾斜角为，则该双曲线的焦距为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由给定倾斜角求出即可. 【详解】依题意，双曲线的渐近线的倾斜角为， 则，由题意，则，半焦距， 所以该双曲线的焦距. 6．过抛物线的焦点F作直线l，直线l交该抛物线于A，B两点（B在第一象限），且，若直线l的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为准线方程为， 过点分别作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义：抛物线上任一点到焦点距离等于到准线距离， ， 设直线的倾斜角为， ，， ，， ，， 由题意得，，代入得：， ，两边约去：， ，，， ， 故. 二、多选题 7．已知椭圆，若P在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最大值为 C．的周长小于 D．满足是直角三角形的点P有4个 【答案】ABC 【分析】先由椭圆方程求得基本参数，结合椭圆定义、余弦定理、轨迹交点等知识逐一判断选项. 【详解】由椭圆，可知椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 选项A：若，则为椭圆短轴端点，此时，， 在中，，故，A正确； 选项B：椭圆上点对两焦点的张角最大值在短轴端点处取得， 由余弦定理得， 故，即的最大值为，B正确； 选项C：的周长为，C正确； 选项D：分三类讨论：①直角在：过作轴垂线交椭圆得2个点； ②直角在：同理得2个点；③直角在：在以为直径的圆上， 由于该圆的半径为，且圆心和椭圆中心重合，，故该圆与椭圆将有4个交点， 由此可知满足是直角三角形的点P共有8个，D错误. 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与该双曲线交于，两点，则（     ） A．到渐近线的距离为 B．的最小值为 C．若，在左、右两支上，则直线的斜率的取值范围为 D．若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值 【答案】BCD 【分析】先根据双曲线的标准方程得到，，，及渐近线的方程．对于A，根据点到直线的距离公式计算即可判断；对于B，分①直线交于双曲线的左右两支和②直线交于双曲线的右支两种情况分析，进而得到的最小值即可判断；对于C，结合题意直线的斜率的绝对值小于，计算即可判断；对于D，根据圆的性质，及双曲线的定义即可判断． 【详解】由题意可得，，， 所以，，渐近线的方程为，即， 对于A，到渐近线的距离为，故A错误；      对于B，若直线交于双曲线的左、右两支，显然当，为左右交点时，取得最小值，此时，，则最小值为， 若直线交于双曲线的右支，显然当直线垂直于轴时，取得最小值，此时，，则最小值为， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，由渐近线方程的斜率为，当直线的斜率的绝对值小于时，过的直线与双曲线交于，两点在左、右两支上， 此时直线的斜率的取值范围为，故C正确； 对于D，设内切圆圆心为，内切圆与，，相切于点，，， 则，，， 因为，所以， 令的横坐标为，则，解得， 所以若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标恒为，即为定值，故D正确． 9．已知为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，点的坐标为，延长线段，与分别交于点，，则（   ） A． B．一定为钝角 C． D．直线过定点 【答案】BCD 【分析】根据题意，得到，可判定A错误；设直线方程为，联立方程组，求得，结合，可判定B正确；根据抛物线的定义和焦半径公式，求得和，可判定C正确；设，求得的方程，联立方程组，求得且，求得直线的方程，求得过定点，可判断D正确. 【详解】对于A，由抛物线的焦点为，可得，解得，所以A错误； 对于B，设过点的直线方程为，且 由选项A知，抛物线的方程为，联立方程组， 整理得，则，且， 因为，可得， 则 ， 可得向量和的夹角为钝角，所以为钝角，所以B正确； 对于C，由抛物线的定义，可得， 则， ， 因为和在直线上，且满足 可得，， 所以，且， 所以，所以C正确； 对于D，设，且直线的方程为， 设，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，即，同理可得：， 则，且， 又由直线的斜率为， 所以直线的方程， 将代入，可得，化简得， 令，可得，所以直线过定点，所以D正确. 三、填空题 10．已知椭圆的右焦点为，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，OM=MF，且的外接圆面积为π，则椭圆C的短轴长为_______． 【答案】 【分析】由确定的横坐标，利用外接圆半径求出其纵坐标绝对值的候选值，再用点差法建立弦中点与椭圆参数的关系，筛选候选值并求短轴长． 【详解】由右焦点为，得． 设，由，得，解得． 记，由于非退化，故，且，． 由外接圆面积为，得其半径，根据正弦定理推得的外接圆半径公式，有，整理得，解得或． 因为，所以直线的斜率存在，且． 设，，两点坐标分别满足椭圆方程，相减得． 由于的斜率存在且为不同两点，故，又为的中点，所以，，从而． 代入，得． 因为，所以，排除，故，进而． 结合，解得，所以椭圆的短轴长为． 11．如图，已知是双曲线的焦点，是相应的顶点，是轴上的点，满足，则双曲线的离心率的最小值为________. 【答案】 【分析】根据两角差的正切公式及基本不等式得出，再根据同角三角函数的关系化简即可求解． 【详解】由题知，， 设为双曲线的左焦点，左顶点，， 则 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 整理得或（负值舍去）， 所以， 所以． 12．已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为， 如图，作准线，准线， 联立，得， ，解得， 设，则， 又， 当且仅当时等号成立. 四、解答题 13．下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系，设抛物线的方程为，灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标，灯口圆半径该点的纵坐标，从而得到是抛物线上的点，将该点代入抛物线方程得解； （2）保持光源与顶点距离不变，即不变，新灯口边缘点为 ，代入，解出的值，从而得到所求. 【详解】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系， 抛物线方程设为， 灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标， 灯口圆半径该点的纵坐标， 灯口半径cm，灯深cm，故边缘点为，此点在抛物线上， 则有 ，解得 ， ， 焦点到顶点的距离为， 即光源应安置在旋转轴上距顶点（即）处. （2）保持光源与顶点距离不变，即不变， 新灯口边缘点为，代入，得到 ， 解得 ，即 ， 即探照灯的深度为 （即）. 14．已知双曲线：（，）的离心率为2，双曲线经过点．过点的直线，分别与双曲线交于不同的两点，（，不与点重合），且直线，的倾斜角互补． (1)求双曲线的标准方程； (2)试证明直线的斜率为定值； (3)若线段的中点为，设，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)证明：显然直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，将其与双曲线方程联立得， 化简得（，且）． 设，由韦达定理，，得， 将代入直线的方程，解得，则． 同理可得． 故直线的斜率. (3)或 【分析】（1）把点代入双曲线方程结合离心率公式以及的关系即可求解； （2）设直线的方程为，与双曲线联立根据韦达定理解出点的坐标，同理可得点的坐标，再根据两点斜率公式即可证明； （3）根据的坐标可求出点的坐标，然后消去参数即可求解. 【详解】（1）由题意，则,∵点在双曲线上， ∴，解得，则， ∴双曲线的标准方程为． （2）略 （3）由（2）得，， ∴的中点的坐标为， 即，整理得：，又因为， 所以点的轨迹方程为：或. 15．已知椭圆C：的长半轴长为2，半焦距为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过动点的直线交轴于点，交于点，（点在第一象限），且是线段的中点．过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点． ①设直线，的斜率分别为，，证明：为定值； ②求直线的斜率的最小值． 【答案】(1) (2)设（，）， 因为，且是线段的中点，可得，． 则直线的斜率，直线的斜率，可得， 所以为定值； ② 【分析】（1）根据题意可得，，进而可得，即可得椭圆方程； （2）①设，可得，，结合斜率公式分析证明；②设，，以及直线、的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得，进而可得，结合基本不等式求最值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由题意可知，，则， 所以椭圆的标准方程为． （2）①略 ②设，，直线的方程为，直线的方程为， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 所以， 同理，， 则， ， 所以， 由，，可知， 所以，当且仅当时等号成立，此时， 所以直线的斜率的最小值为． 1 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题01圆锥曲线的标准方程和简单几何性质（专项训练） 常考题型·精准突破 考点一 圆锥曲线及其标准方程 ◆题型1 圆锥曲线定义及辨析（重） ◆题型2 求圆锥曲线标准方程（重） ◆题型3 根据圆锥曲线方程求参数 ◆题型4 根据圆锥曲线方程求参数范围 ◆题型5 抛物线的焦半径公式（高频） ◆题型6 焦点三角形问题（高频） ◆题型7 圆锥曲线上点到定点距离的和、差最值（难） ◆题型8 圆锥曲线的轨迹问题（难） 考点二 圆锥曲线的简单几何性质 ◆题型9 圆锥曲线的范围问题 ◆题型10 圆锥曲线的对称性问题 ◆题型11 双曲线的渐近线（重） ◆题型12 求离心率或离心率的取值范围（高频） ◆题型13 由离心率求参数或参数的取值范围 ◆题型14 圆锥曲线的几何性质综合（难） ◆题型15 圆锥曲线的实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆锥曲线及其标准方程 ◆题型1 圆锥曲线定义及辨析 1．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）在复平面中，满足等式的所对应点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．线段 D．射线 2．（26-27高二上·云南昆明·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）下列说法正确的是 A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点的轨迹方程为，则点的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 4．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知为椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，，则的值为________． 5．（26-27高二上·福建·期中）（多选）已知点，，曲线：，则下列说法中，正确的有（ ） A．曲线上存在点，使得 B．直线与曲线没有交点 C．若过点的直线与曲线有两个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 ◆题型2 求圆锥曲线标准方程 6．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A． B． C． D． 7．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2027高三·全国·专题练习）直线截抛物线所得弦长为，此抛物线方程为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 9．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）若椭圆过抛物线的焦点， 且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（   ） A． B． C． D． 10．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知为椭圆的左、右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则下列结论错误的是（      ） A．点坐标为 B． C．右焦点坐标为 D．椭圆的方程为 ◆题型3 根据圆锥曲线方程求参数 11．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆与双曲线的交点和焦点都在同一个圆上，则（    ） A． B． C．2 D．3 12．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 13．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）已知椭圆：，：，其中，则（     ） A．与的长轴长相等 B．的焦距小于的焦距 C．与有公共点 D．与的离心率相等 14．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，若一个圆恰好经过，和三点，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． ◆题型4 根据圆锥曲线方程求参数范围 16．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．或 17．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）如果曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）曲线C：，下列结论正确的有（   ） A．若，则曲线C的渐近线为 B．若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C．若曲线C表示椭圆，则 D．若曲线C表示双曲线，则或 19．（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）关于方程，下列说法正确的有（ ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线（满足） D．若方程表示双曲线，则或 20．（2026·湖南怀化·二模）（多选）已知双曲线C：，则下列结论正确的是（   ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值无关 C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 D．存在实数，使得点在C上 ◆题型5 抛物线的焦半径公式 21．（2026·山东·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过抛物线上点，作其准线的垂线，垂足为，若为正三角形，则点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 23．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知抛物线，若两点在抛物线上，焦点为，，则直线的斜率为__________． 24．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为____ . 25．（2026·湖南长沙·模拟预测）（多选）已知抛物线：，点为其焦点，直线为其准线．点在上，点为在上的正投影．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． ◆题型6 焦点三角形问题 26．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为 C．的最大值为9 D．的最小值为4 27．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为1 C．面积的最大值为 D．存在点P，使得 28．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 29．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，满足，且的面积为． (1)求的渐近线方程； (2)设，直线与交于，两点，，求的方程． 30．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，且.过的直线与交于，两点. (1)求的方程； (2)若，均在的右支上，且的周长为，求的方程； ◆题型7 圆锥曲线上点到定点距离的和、差最值 31．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一动点，下列等式不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 34．（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 35．（2026·陕西·三模）设抛物线：的焦点为，斜率不为1的直线过点，过点作直线的垂线，垂足为，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． ◆题型8 圆锥曲线的轨迹问题 36．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，为原点，为平面内的动点，且，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 37．（26-27高二上·全国·课后作业）如图所示，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点．建立适当的平面直角坐标系，则曲线的方程为________． 38．（25-26高二下·上海·期中）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 39．（2026高二·全国·专题练习）(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 40．（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4． (1)求点的轨迹的方程． (2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由． 考点二 圆锥曲线的简单几何性质 ◆题型9 圆锥曲线的范围问题 41．（2026·甘肃兰州·一模）已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 43．（2026·山西运城·一模）（多选）已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（   ） A．圆与直线相切 B．圆的面积的最小值是 C．的最大值是 D．存在点，使得 44．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知曲线上一点到的距离与到直线的距离之比为. (1)求曲线的方程： (2)过点的直线与曲线相交于两点，求的最大值. 45．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． ◆题型10 圆锥曲线的对称性问题 46．（25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 47．（25-26高二下·广西崇左·期末）设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 48．（2026·河南周口·三模）已知点，，，中有3个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 49．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______． 50．（2026高三·全国·专题练习）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． ◆题型11 双曲线的渐近线 51．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知双曲线：的右支上有任意两点、，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 52．（2026·福建泉州·模拟预测）（多选）已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 53．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 54．（26-27高二上·全国·课后作业）根据以下条件，分别求出双曲线的方程： (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (2)过点，离心率； (3)与双曲线有共同的渐近线，且过点． 55．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求． ◆题型12 求离心率或离心率的取值范围 56．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 57．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（     ） A． B． C． D． 58．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 59．（2027高三·全国·专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 60．（26-27高三上·辽宁朝阳·阶段检测）已知椭圆，左顶点为，上顶点为，（为坐标原点） (1)求的离心率； (2)过点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，求直线与直线的斜率之积； ◆题型13 由离心率求参数或参数的取值范围 61．（25-26高二上·云南曲靖·期中）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，直线，若上任意一点都满足，则可取的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 62．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 63．（2025高二上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 64．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 65．（2026·上海杨浦·模拟预测）设与双曲线相交于不同两点. (1)若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； (2)若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； (3)在（2）的条件下，若，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围. ◆题型14 圆锥曲线的几何性质综合 66．（26-27高二上·云南昆明·期中）（多选）已知曲线C：，下列结论正确的是（    ） A．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则曲线是圆，其半径为 C．若，则曲线是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则曲线是两条直线 67．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）（多选）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点，如图所示．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．若右焦点到一条渐近线的距离为，且双曲线的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线的方程为 B．的最小值为 C．若，则的面积为 D．当过点时，光由所经过的路程为 68．（2027·江西·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，，O为坐标原点，则（    ） A．的准线方程为 B． C．的最小值为 D．的面积的最小值为 69．（2026·四川南充·模拟预测）（多选）已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B． C．为一个定值 D．若，则直线的斜率为 70．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点P，使得的面积为2 C．椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 ◆题型15 圆锥曲线的实际应用 71．（26-27高二上·全国·课前预习）（判断）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ） 72．（25-26高二上·陕西商洛·期末）双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 73．（26-27高二上·全国·课后作业）某火星探测器的运行轨道是以火星（其半径百千米）的中心为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为8百千米，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为800百千米．假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百千米时进行变轨，其中，分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，则此时探测器与火星表面的距离为________百千米．（精确到1百千米） 74．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知农历每月的第天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为 其中为常数，根据以上信息，下列说法中正确的有（    ） A．农历每月第天（，）和第天的月相外边缘形状相同 B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 C．月相外边缘的离心率第8天时取最大值 D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内 75．（25-26高二下·上海·阶段检测）某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy. (1)求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程（不需写过程）； AB段：___________________；BC段：___________________；CD段：___________________. (2)规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？ 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．焦点坐标为，，且长轴长等于12的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 2．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．点P的坐标为 3．设椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，点满足是等边三角形，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 4．已知点，，，以点为一个焦点作过的椭圆，椭圆的另一个焦点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的实轴长为2，且一条渐近线倾斜角为，则该双曲线的焦距为（     ） A． B． C．或 D．或 6．过抛物线的焦点F作直线l，直线l交该抛物线于A，B两点（B在第一象限），且，若直线l的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知椭圆，若P在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最大值为 C．的周长小于 D．满足是直角三角形的点P有4个 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与该双曲线交于，两点，则（     ） A．到渐近线的距离为 B．的最小值为 C．若，在左、右两支上，则直线的斜率的取值范围为 D．若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值 9．已知为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，点的坐标为，延长线段，与分别交于点，，则（   ） A． B．一定为钝角 C． D．直线过定点 三、填空题 10．已知椭圆的右焦点为，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，OM=MF，且的外接圆面积为π，则椭圆C的短轴长为_______． 11．如图，已知是双曲线的焦点，是相应的顶点，是轴上的点，满足，则双曲线的离心率的最小值为________. 12．已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 四、解答题 13．下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 14．已知双曲线：（，）的离心率为2，双曲线经过点．过点的直线，分别与双曲线交于不同的两点，（，不与点重合），且直线，的倾斜角互补． (1)求双曲线的标准方程； (2)试证明直线的斜率为定值； (3)若线段的中点为，设，求点的轨迹方程． 15．已知椭圆C：的长半轴长为2，半焦距为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过动点的直线交轴于点，交于点，（点在第一象限），且是线段的中点．过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点． ①设直线，的斜率分别为，，证明：为定值； ②求直线的斜率的最小值． 1 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题01圆锥曲线的标准方程和简单几何性质（专项训练） 常考题型·精准突破 考点一 圆锥曲线及其标准方程 ◆题型1 圆锥曲线定义及辨析 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】 5．【答案】AD ◆题型2 求圆锥曲线标准方程 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】B ◆题型3 根据圆锥曲线方程求参数 11．【答案】B 12．【答案】C 13．【答案】BD 14．【答案】D 15．【答案】C ◆题型4 根据圆锥曲线方程求参数范围 16．【答案】D 17．【答案】C 18．【答案】BD 19．【答案】ABD 20．【答案】ABC ◆题型5 抛物线的焦半径公式 21．【答案】C 22．【答案】B 23．【答案】 24．【答案】14 25．【答案】ABD ◆题型6 焦点三角形问题 26．【答案】ABC 27．【答案】ABC 28．【答案】A 29． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合双曲线定义、直角三角形勾股定理及面积公式推导的关系，进而求得渐近线方程； （2） 联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得中点坐标，结合的垂直性质求解，即可得到双曲线方程. 【详解】（1）设，，由双曲线定义得 ， 平方得： ， 由，结合勾股定理得 ， 的面积，故， 联立得，即， 结合双曲线关系，得，整理得， 故的渐近线方程为. （2）由（1）知，故的方程可写为， 将代入上式，化简得， 设，中点为， 由韦达定理得，故，代入直线方程得， 即， 由得，直线斜率为1，故， 又，故，解得（经检验符合条件）， 则，故的方程为. 30． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由题意可得，再由，求出的值，即可得答案； （2）由的周长为，结合双曲线的定义可得，设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理及弦长公式求出的值，即可得答案. 【详解】（1）因为，即， 所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. （2）因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图：    因为，设直线， 代入， 得， 整理得：. 设， 因为均在的右支上， 所以，且， 所以， 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：， 即. ◆题型7 圆锥曲线上点到定点距离的和、差最值 31．【答案】B 32．【答案】A 33．【答案】D 34．【答案】D 35．【答案】D ◆题型8 圆锥曲线的轨迹问题 36．【答案】A 37．【答案】 38．【答案】D 39． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，根据给定条件，结合三角形重心定理即可求解； （2）设点，根据题意列出方程即可求解. 【详解】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，，如图所示， 设的重心，依题意，， 因此点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为的椭圆（除点外）， 该椭圆长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以的重心的轨迹方程为. （2）设点到直线的距离为，依题意，， 于是，化简得，即， 所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆，其方程为. 40． 【答案】(1) (2)不能，理由： 假设存在符合题设的直线，设， 则，两式相减整理得． 又因为为线段的中点，所以，， 所以直线的斜率． 由点斜式方程可知，直线的方程为，即． 由消去，整理得，（*） 判别式， 所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立， 故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点． 【分析】（1）设点，由两直线斜率之积化简求解方程； （2）假设存在符合题设的直线，由点差法求出直线斜率，验证可知直线不存在. 【详解】（1）设点， 则直线的斜率，直线的斜率， 由题意知，即，化简整理得， 所以点的轨迹的方程为． （2）略 考点二 圆锥曲线的简单几何性质 ◆题型9 圆锥曲线的范围问题 41．【答案】D 42．【答案】B 43．【答案】ACD 44． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意列出表达式，化简即可； （2）方法一：设，表示出，通过 ，的范围即可求出；方法二：设，分情况讨论，若直线的斜率存在且设为，联立得，再设，通过函数的单调性判断即可；方法三：设，直线为，联立得到，设，通过函数的单调性即可判断. 【详解】（1）由题意知，化简得， 故曲线的方程为； （2）方法一：设，由题意知 所以， 因为，所以，又， 又是直线被椭圆截得的弦在轴上投影的长度， 当直线为轴时，该弦为长轴，投影长度取最大值4，故， 所以，当或时取等. 故的最大值为2. 方法二：设，由题意知 若直线的斜率存在设为，则， 联立，消去得， 易知，所以. 所以， 故， 设，则， 所以， 易知在递减，所以时的最大值为2， 若直线的斜率不存在时，易知，故的最大值为2 方法三：设，由题意知 由题意知直线设为，则， 联立，化简得， 易知，所以， 所以 故， 设，则， 设则 因为在递减，所以 当直线的斜率为0时，易知，故的最大值为2. 45． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）不妨设点在第一象限，再分与讨论，再结合双曲线的对称性即可得. 【详解】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：； （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则， 又，则，故， 又在第一象限，则； 若，则由， 由、， 即， 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. ◆题型10 圆锥曲线的对称性问题 46．【答案】C 47．【答案】D 48．【答案】A 49．【答案】1 50． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； 【详解】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 从而或或或， 因为是的重心，设， 则有，即得， 所以或或或； ◆题型11 双曲线的渐近线 51．【答案】B 52．【答案】BC 53．【答案】B 54． 【答案】(1)或． (2) (3) 【详解】（1）由两顶点间的距离是6得，即． 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得，即， 于是有． 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为或． （2）依题意，双曲线的实轴可能在轴上，也可能在轴上，分别讨论如下： 若双曲线的实轴在轴上，设双曲线的方程为．由，得． 因为，所以① 由点在双曲线上，得② 由①②得，．此时双曲线的方程为．若双曲线的实轴在轴上，设双曲线的方程为． 同理有，，，解得（舍去）． 故双曲线的实轴只能在轴上，所求双曲线的方程为． （3）设所求双曲线的方程为．将点代入得． 所以双曲线的方程为，即． 55． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，再将点P坐标代入双曲线方程，联立解出，从而得到双曲线C的标准方程； （2）先排除直线斜率不存在的情况，设过右焦点的直线方程与双曲线联立，结合韦达定理、弦长公式与三角形面积条件求出斜率，再通过坐标运算求出． 【详解】（1）由题可得，所以的方程为． （2）由（1）得， 当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得， 此时的面积为，不符合， 所以直线斜率存在，设直线， 联立得， 则，所以， 所以， 又点M到直线的距离为， 所以（舍去）或， 则，， 所以． ◆题型12 求离心率或离心率的取值范围 56．【答案】A 57．【答案】D 58．【答案】A 59．【答案】C 60． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小问由和，计算可得椭圆的离心率； （2）小问设，，，，由作差法可得，由，，三点共线，可得，则计算可得. 【详解】（1） 设椭圆的半焦距为，由已知有，又由， 消去得，解得，所以椭圆的离心率为． （2）由（1）知，，，故椭圆方程为． 设，，，则有，， 将两式作差，可得，则， 又轴，则，且，，三点共线，所以， 因为，， 则， 所以直线与直线的斜率之积为． ◆题型13 由离心率求参数或参数的取值范围 61．【答案】D 62．【答案】D 63．【答案】D 64．【答案】A 65． 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）由双曲线离心率与双曲线开口程度关系可得答案； （2）由题设结合到角公式可得答案； （3）设 ，将直线与双曲线方程联立，然后由题设及韦达定理可得，最后由题设及不等式性质可得答案. 【详解】（1）对于双曲线，  ， 双曲线开口越开阔即双曲线离心率更大 ， 又等轴双曲线离心率为 ，   ∴ ； （2）， 从而双曲线渐近线为，斜率分别为，  ， 因双曲线的两条渐近线的夹角为 ， ， 解得：或 ， ∴双曲线的标准方程为：或 . （3）设 ， 联立消去得： ， 由题设可得 ，由韦达定理可得： ， 从而：，得.由题可得，代入坐标， 可得： ，因， 则，令，则， 注意到，则. ◆题型14 圆锥曲线的几何性质综合 66．【答案】ACD 67．【答案】ACD 68．【答案】ABD 69．【答案】ACD 70．【答案】AD ◆题型15 圆锥曲线的实际应用 71．【答案】错误 72．【答案】8 73．【答案】 74．【答案】CD 75． 【答案】(1)AB段：；BC段：；CD段： (2) 【分析】(1)利用双曲线及圆的定义判断即可. (2)由两点间距离公式再转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）∵线路段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6， ∴线路段所在的曲线是以定点M，N为左右焦点的双曲线的左支（一部分），则其方程为； ∵线路段上任意一点到O的距离都相等，∴线路段所在的曲线是以O为圆心，以为半径的圆， 则其方程为； ∵线路段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6， ∴线路段所在的曲线是以定点Q，P为上下焦点的双曲线的下支（一部分）， 则其方程为； （2）设，由，则， 由（1）得，， 即，则，∴当时，； 则站点为时，站点G到景点Q的距离最近. 综合攻坚·知能拔高 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D D A B A ABC BCD BCD 10． 11． 12． 13．(1) (2) 【分析】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系，设抛物线的方程为，灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标，灯口圆半径该点的纵坐标，从而得到是抛物线上的点，将该点代入抛物线方程得解； （2）保持光源与顶点距离不变，即不变，新灯口边缘点为 ，代入，解出的值，从而得到所求. 【详解】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系， 抛物线方程设为， 灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标， 灯口圆半径该点的纵坐标， 灯口半径cm，灯深cm，故边缘点为，此点在抛物线上， 则有 ，解得 ， ， 焦点到顶点的距离为， 即光源应安置在旋转轴上距顶点（即）处. （2）保持光源与顶点距离不变，即不变， 新灯口边缘点为，代入，得到 ， 解得 ，即 ， 即探照灯的深度为 （即）. 14．(1) (2)证明：显然直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，将其与双曲线方程联立得， 化简得（，且）． 设，由韦达定理，，得， 将代入直线的方程，解得，则． 同理可得． 故直线的斜率. (3)或 【分析】（1）把点代入双曲线方程结合离心率公式以及的关系即可求解； （2）设直线的方程为，与双曲线联立根据韦达定理解出点的坐标，同理可得点的坐标，再根据两点斜率公式即可证明； （3）根据的坐标可求出点的坐标，然后消去参数即可求解. 【详解】（1）由题意，则,∵点在双曲线上， ∴，解得，则， ∴双曲线的标准方程为． （2）略 （3）由（2）得，， ∴的中点的坐标为， 即，整理得：，又因为， 所以点的轨迹方程为：或. 15．(1) (2)设（，）， 因为，且是线段的中点，可得，． 则直线的斜率，直线的斜率，可得， 所以为定值； ② 【分析】（1）根据题意可得，，进而可得，即可得椭圆方程； （2）①设，可得，，结合斜率公式分析证明；②设，，以及直线、的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得，进而可得，结合基本不等式求最值. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由题意可知，，则， 所以椭圆的标准方程为． （2）①略 ②设，，直线的方程为，直线的方程为， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 所以， 同理，， 则， ， 所以， 由，，可知， 所以，当且仅当时等号成立，此时， 所以直线的斜率的最小值为． 1 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $