第2章 圆锥曲线（复习讲义）高二数学沪教版选择性必修第一册

第2章 圆锥曲线 复习要点 1.掌握圆的标准方程和一般方程，会由条件求圆的方程。 2.会判断直线与圆、圆与圆的位置关系，会求切线、弦长和公共弦。 3.掌握椭圆、双曲线的定义、标准方程、离心率和渐近线。 4.掌握抛物线的定义、标准方程、焦点和准线。 复习重难点 重点：圆的方程与位置关系；三种圆锥曲线的定义和标准方程。 难点：焦点三角形；直线与圆锥曲线的中点弦。 知识点 圆的标准方程与一般方程 圆心 、半径 （）的圆的标准方程是 ____________。 方程 表示圆，当且仅当 ____________。此时圆心是 ____________，半径是 ____________。 注意：配方之前先看 、 的系数是不是 。等于 时是一个点，小于 时没有轨迹，都不是圆。 要点速测 1．（26-27高二上·河南信阳·阶段检测）圆心为，过点的圆的标准方程为______. 知识点 直线与圆的位置关系 圆心到直线的距离为 、半径为 时： 相交， 相切， 相离。相交时弦长是 ____________。 两圆的圆心距为 ，半径 。有公共点当且仅当 ____________。 外切， 内切。 注意：两圆方程相减得到的是 ____________。相切要分清外切和内切。 要点速测 2．（26-27高二上·河北·阶段检测）若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）若关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围是__________． 知识点 椭圆的定义与标准方程 平面内到两定点 、 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹是椭圆。，离心率 ____________，并且 ____________。 焦点在 轴时方程是 ____________（），焦点 。焦点在 轴时， 写在 下面，焦点 。 注意：椭圆上是距离之和。长轴看分母较大的那一项， 是长半轴。 要点速测 4．（26-27高二上·陕西渭南·阶段检测）焦点坐标为，，且长轴长等于12的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）若方程 表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 知识点 椭圆的离心率 离心率 。由 得 ____________。 要点归纳： 越大， 相对 越小，椭圆越扁。求离心率之前先确定焦点在哪条轴。 要点速测 6．（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知椭圆的标准方程为，则其离心率是________． 7．（26-27高二上·江苏·阶段检测）椭圆的焦距为2，则实数的值为（     ） A．或 B． C． D．或 知识点 双曲线的方程与渐近线 平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹是双曲线。，离心率 ____________。 焦点在 轴：____________，渐近线 ____________。焦点在 轴：，渐近线 。 注意：渐近线的斜率要看焦点在哪条轴。与渐近线平行的直线可以只有一个公共点，不一定是切线。 要点速测 8．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，则实数n的值是______ 知识点 抛物线的焦点与准线 （）的焦点是 ____________，准线是 ____________。曲线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。 点 的焦半径是 ____________。开口向左、向上、向下时，焦点到顶点、顶点到准线的距离都是 。 注意：焦点坐标取 的一半，不是 。与对称轴平行的直线可以只有一个公共点，教材说明它不是切线。 要点速测 9．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 题型1 由条件求圆的方程 ▌例1 （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）求下列圆的标准方程： (1)圆心在轴上，半径为5，且过点； (2)过，，三点． 解题要点 由条件求圆的方程 已知圆心和半径直接写标准方程。已知一般方程先配方，并检验 。 相切写成圆心到直线的距离等于半径。 ▌迁移练1-1 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2 （25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，. (1)求边上高所在直线方程； (2)求的外接圆方程. 题型2 直线与圆的位置关系 ▌例2 （26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知圆：． (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)已知直线：与圆交于，两点，若，求实数的取值范围． 解题要点 直线与圆的位置关系 比较圆心到直线的距离和半径。相交时弦长 。 两圆先算圆心距，再和两半径的和、差比较。 ▌迁移练2-1 （26-27高二上·河北·阶段检测）已知点在圆外，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练2-2 （26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知圆：，过点的直线与圆相交于，两点，则直线的斜率的取值范围是________． 题型3 椭圆的标准方程 ▌例3 （26-27高二上·江西南昌·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； (2)焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 解题要点 椭圆的标准方程 先由定义或 、、 的关系确定长半轴，再看焦点在哪条轴。 ，已知一条焦半径就可以求出另一条。 ▌迁移练3-1 （26-27高二上·河北·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则________． ▌迁移练3-2 （26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）过点，右焦点为，圆：，直线：（）与圆、椭圆分别相切于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求直线的方程； (3)求四边形的面积（为坐标原点）． 题型4 双曲线的渐近线与标准方程 ▌例4 （25-26高二上·河北雄安·期末）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 解题要点 双曲线的渐近线与标准方程 由渐近线读出 或 ，再由一个条件确定 、。 ，离心率 。 ▌迁移练4-1 （26-27高二上·广西柳州·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，且一条渐近线倾斜角为，则该双曲线的焦距为（     ） A． B． C．或 D．或 ▌迁移练4-2 （25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为______． 题型5 抛物线的焦点与焦半径 ▌例5 （25-26高二下·河南郑州·阶段检测）已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A，B两点． (1)求的准线方程； (2)证明：； 解题要点 抛物线的焦点与焦半径 先判断开口方向，焦点到顶点的距离是 。 上点 的焦半径是 。 ▌迁移练5-1 （25-26高二上·湖北荆州·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练5-2 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点A，B，D均在抛物线C上．若的重心恰为点F，则______． 难点一 焦点三角形 难点1：椭圆 椭圆上 ，所以焦点三角形的周长是 。 夹角为 时，面积是 。 难点2：双曲线 双曲线上两条焦半径之差的绝对值是 。先确定哪一条更长，再求各边。 面积同样用 。 难点精练 1．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知点，为椭圆（）的左、右焦点，为的上顶点，过点的直线与交于，两点，的短轴长为6．若直线垂直平分线段，则的周长为（   ） A． B．10 C． D． 2．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 难点二 中点弦 难点1：两端代入后相减 设两端点 、，中点 。代入曲线方程后相减，并用 、。 难点2：三种曲线的斜率 椭圆 ： 时 。 焦点在 轴的双曲线 ：。抛物线 ：。 难点精练 3．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆以及椭圆内一点，以点为中点的弦所在直线的斜率为（） A． B．2 C． D． 4．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为________． 基础达标 1．（26-27高二上·江苏·阶段检测）若圆的一条直径的端点坐标分别是和，则圆的方程为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 3．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ） A．若，则该椭圆的焦距为2 B．若，则该椭圆经过点 C．的取值范围为 D．若该椭圆的焦点在y轴上，则 4．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 6．（26-27高二上·河南鹤壁·阶段检测）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，若椭圆的长轴为，焦距为，则椭圆的标准方程为__________． 7．（26-27高二上·全国·课后作业）与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 8．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26； (2)经过点，焦点坐标分别为，； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点. 9．（26-27高二上·全国·课后作业）指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)； (2)． 10．（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 能力进阶 一、选择题 1．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为F，点B在C的准线上，且线段与C交于点A．若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）设直线与抛物线相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点．若，则______． 3．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）点是抛物线上一点，过焦点的直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若为的中点，，，点在以为直径的圆上，则的最小值为__________. 三、解答题 4．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且． (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值． 5．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆经过点，且与直线相切于点，圆的方程为． (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相切，且被圆所截得的线段长为，求直线的方程； (3)设为圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出所有满足条件的定点的坐标，及相对应的定值；若不存在，请说明理由． 6．（25-26高二下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为抛物线上两个不同的动点．当中点横坐标为2时，． (1)求抛物线的方程； (2)若直线过点，在轴上是否存在点，使得恒在以线段为直径的圆内？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆锥曲线 复习要点 1.掌握圆的标准方程和一般方程，会由条件求圆的方程。 2.会判断直线与圆、圆与圆的位置关系，会求切线、弦长和公共弦。 3.掌握椭圆、双曲线的定义、标准方程、离心率和渐近线。 4.掌握抛物线的定义、标准方程、焦点和准线。 复习重难点 重点：圆的方程与位置关系；三种圆锥曲线的定义和标准方程。 难点：焦点三角形；直线与圆锥曲线的中点弦。 知识点 圆的标准方程与一般方程 圆心 、半径 （）的圆的标准方程是 。 方程 表示圆，当且仅当 。此时圆心是 ，半径是 。 注意：配方之前先看 、 的系数是不是 。等于 时是一个点，小于 时没有轨迹，都不是圆。 要点速测 1．（26-27高二上·河南信阳·阶段检测）圆心为，过点的圆的标准方程为______. 【答案】 【详解】设该圆的标准方程为 由题意可得，，， 故圆的标准方程为. 知识点 直线与圆的位置关系 圆心到直线的距离为 、半径为 时： 相交， 相切， 相离。相交时弦长是 。 两圆的圆心距为 ，半径 。有公共点当且仅当 。 外切， 内切。 注意：两圆方程相减得到的是 公共弦所在的直线。相切要分清外切和内切。 要点速测 2．（26-27高二上·河北·阶段检测）若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆，可得圆心坐标为. 根据点到直线的距离公式，计算圆心到直线的距离. 若圆上到直线的距离为1的点仅有两个，说明与直线平行且距离为1的两条直线中，一条与圆相离，一条与圆相交（2个交点）， 则满足， 代入得，即． 所以的取值范围为. 3．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）若关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由关于的方程有两个不同实数解， 可得函数和函数的图象有两个不同的交点， 由，得， 所以表示以为圆心，为半径的圆的上半圆（含端点）. 是过定点的直线， 在同一坐标系内作出两函数的图象如图所示： 当直线过点时，直线的斜率为， 当直线过点时，直线的斜率为， 当直线与半圆相切时，可得，解得， 由函数和的图象有两个不同的交点，可得或， 所以实数的取值范围是. 知识点 椭圆的定义与标准方程 平面内到两定点 、 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹是椭圆。，离心率 ，并且 。 焦点在 轴时方程是 （），焦点 。焦点在 轴时， 写在 下面，焦点 。 注意：椭圆上是距离之和。长轴看分母较大的那一项， 是长半轴。 要点速测 4．（26-27高二上·陕西渭南·阶段检测）焦点坐标为，，且长轴长等于12的椭圆方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆方程为，由题可得：，，即 根据解得：，所以椭圆方程为. 5．（26-27高二上·上海宝山·阶段检测）若方程 表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为方程 表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得． 知识点 椭圆的离心率 离心率 。由 得 。 要点归纳： 越大， 相对 越小，椭圆越扁。求离心率之前先确定焦点在哪条轴。 要点速测 6．（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知椭圆的标准方程为，则其离心率是________． 【答案】 【详解】由题意可得， 所以离心率. 7．（26-27高二上·江苏·阶段检测）椭圆的焦距为2，则实数的值为（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】由椭圆，得且，即或. 由椭圆的焦距为2，得，即. 当时，，，，则，得； 当时，，，，则； 综上所述，实数的值为或. 知识点 双曲线的方程与渐近线 平面内到两定点距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹是双曲线。，离心率 。 焦点在 轴：，渐近线 。焦点在 轴：，渐近线 。 注意：渐近线的斜率要看焦点在哪条轴。与渐近线平行的直线可以只有一个公共点，不一定是切线。 要点速测 8．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，则实数n的值是______ 【答案】 18 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，因此该双曲线的实半轴长平方，虚半轴长平方，且， 又双曲线的焦距为10，由焦距定义得，解得半焦距， 根据双曲线的基本性质，将、、代入得： ，即， 解得，符合的要求, 知识点 抛物线的焦点与准线 （）的焦点是 ，准线是 。曲线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。 点 的焦半径是 。开口向左、向上、向下时，焦点到顶点、顶点到准线的距离都是 。 注意：焦点坐标取 的一半，不是 。与对称轴平行的直线可以只有一个公共点，教材说明它不是切线。 要点速测 9．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为． 题型1 由条件求圆的方程 ▌例1 （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）求下列圆的标准方程： (1)圆心在轴上，半径为5，且过点； (2)过，，三点． 解题要点 由条件求圆的方程 已知圆心和半径直接写标准方程。已知一般方程先配方，并检验 。 相切写成圆心到直线的距离等于半径。 【详解】（1）设圆心为， 则， 或， 圆心为或， 又，圆的标准方程为或； （2）设圆的一般方程为：. 将，，代入得： ， 所以圆的方程为：，所以圆的标准方程为. ▌迁移练1-1 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D ▌迁移练1-2 （25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，. (1)求边上高所在直线方程； (2)求的外接圆方程. 【详解】（1）边上高与垂直，因为 所以边上高的斜率为，又因为边上高过， 所以边上高所在直线方程为. （2）因为的外接圆方程过， 所以可设圆方程为，因为圆过，， 所以，由于三角形一定存在外接圆， 所以外接圆方程为. 题型2 直线与圆的位置关系 ▌例2 （26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知圆：． (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)已知直线：与圆交于，两点，若，求实数的取值范围． 解题要点 直线与圆的位置关系 比较圆心到直线的距离和半径。相交时弦长 。 两圆先算圆心距，再和两半径的和、差比较。 【详解】（1）圆整理得，圆心，半径． ，故点在圆外，切线有两条． ①当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，切线方程为； ②当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到的距离，符合题意． 所以所求切线方程为或． （2）圆心到直线：的距离， 弦长， 由得，即， 所以，化简得，即．所以实数的取值范围是． ▌迁移练2-1 （26-27高二上·河北·阶段检测）已知点在圆外，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将圆的方程化为标准方程得， 所以，解得或， 又点在圆外，故，解得， 因此的取值范围为． ▌迁移练2-2 （26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知圆：，过点的直线与圆相交于，两点，则直线的斜率的取值范围是________． 【答案】 【详解】依题意可得圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，即垂直于轴，此时直线与圆相切，不符合条件． 则直线的斜率存在，且设为，又直线过点， 则直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 若，则， 即，整理得，解得，或， 显然，即，整理得，解得， 综上直线的斜率的取值范围是． 题型3 椭圆的标准方程 ▌例3 （26-27高二上·江西南昌·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； (2)焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 解题要点 椭圆的标准方程 先由定义或 、、 的关系确定长半轴，再看焦点在哪条轴。 ，已知一条焦半径就可以求出另一条。 【详解】（1）已知椭圆中心在原点、焦点在轴上，设其标准方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：，解得， 因此所求椭圆标准方程为。 （2）由于椭圆焦点在坐标轴上且位置不确定，设其方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：， 解得，代入，得椭圆的标准方程为. ▌迁移练3-1 （26-27高二上·河北·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则________． 【答案】或 【详解】若，则的长轴长为，短轴长为，则，解得； 若，则的长轴长和短轴长分别为，，所以，解得； 因此或． ▌迁移练3-2 （26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知椭圆：（）过点，右焦点为，圆：，直线：（）与圆、椭圆分别相切于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求直线的方程； (3)求四边形的面积（为坐标原点）． 【详解】（1）由题意得，，解得， 所以椭圆的方程为； （2）因为直线与圆相切，所以， 整理得，又，得， 所以直线的方程为； （3）设直线与轴的交点为，切点，则点的坐标为， 联立，消得，解得，即， 则， ， 所以． 题型4 双曲线的渐近线与标准方程 ▌例4 （25-26高二上·河北雄安·期末）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 解题要点 双曲线的渐近线与标准方程 由渐近线读出 或 ，再由一个条件确定 、。 ，离心率 。 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，， ∴双曲线标准方程为． （2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 代入点的坐标，有，可得． 即双曲线的方程为，化为标准方程为． ▌迁移练4-1 （26-27高二上·广西柳州·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，且一条渐近线倾斜角为，则该双曲线的焦距为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】依题意，双曲线的渐近线的倾斜角为， 则，由题意，则，半焦距， 所以该双曲线的焦距. ▌迁移练4-2 （25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为，，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【详解】由双曲线的对称性不妨设双曲线方程为， 可得虚轴的一个端点，，， 因为，可得，两侧平方可得， 可得，所以，所以. 题型5 抛物线的焦点与焦半径 ▌例5 （25-26高二下·河南郑州·阶段检测）已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A，B两点． (1)求的准线方程； (2)证明：； 解题要点 抛物线的焦点与焦半径 先判断开口方向，焦点到顶点的距离是 。 上点 的焦半径是 。 【详解】（1）由题意得，因为点满足， 则，解得． 故，准线方程：． （2）当直线的斜率不存在时，此时轴， 由（1）得，将代入到，解得， 则，， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在且不为0时，设直线，如图： 联立，消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． ▌迁移练5-1 （25-26高二上·湖北荆州·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得曲线的方程为， ． 故选：C. ▌迁移练5-2 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点A，B，D均在抛物线C上．若的重心恰为点F，则______． 【答案】18 【详解】由题意知，． 设点A，B，D的横坐标分别为，，，则，所以． 由抛物线的定义得． 故答案为：18 难点一 焦点三角形 难点1：椭圆 椭圆上 ，所以焦点三角形的周长是 。 夹角为 时，面积是 。 难点2：双曲线 双曲线上两条焦半径之差的绝对值是 。先确定哪一条更长，再求各边。 面积同样用 。 难点精练 1．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知点，为椭圆（）的左、右焦点，为的上顶点，过点的直线与交于，两点，的短轴长为6．若直线垂直平分线段，则的周长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【详解】设的半焦距为，因为的短轴长为6，即，所以，, 连接,因为直线垂直平分线段,所以, 所以,由得,,. 连接，，因为垂直平分线段，所以，， 所以的周长． 2．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【详解】设，由椭圆定义可得， 设，则，所以，即， 因为，所以， 即， 两式相除得：， 所以，因为，所以， 根据对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以，所以， 所以，所以，所以. 难点二 中点弦 难点1：两端代入后相减 设两端点 、，中点 。代入曲线方程后相减，并用 、。 难点2：三种曲线的斜率 椭圆 ： 时 。 焦点在 轴的双曲线 ：。抛物线 ：。 难点精练 3．（24-25高二上·天津·期中）已知椭圆以及椭圆内一点，以点为中点的弦所在直线的斜率为（） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设以为中点的弦端点, 则, 由,得, 即, 所以直线的斜率. 故选:C 4．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为________． 【答案】 【详解】设，，依题意，点，在椭圆上， 所以，两式相减得，， 即，变形得， 因为的中点为，所以，， 设直线的斜率为， 所以， 所以直线的方程为，化为斜截式方程为. 故答案为：. 基础达标 1．（26-27高二上·江苏·阶段检测）若圆的一条直径的端点坐标分别是和，则圆的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得圆心坐标为，半径. 所以圆的方程为. 2．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）设椭圆：的上、下焦点分别为，，上的点满足，则（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由椭圆，得半长轴长． 因为在椭圆上，所以． 又，所以． 3．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ） A．若，则该椭圆的焦距为2 B．若，则该椭圆经过点 C．的取值范围为 D．若该椭圆的焦点在y轴上，则 【答案】D 【详解】若，则椭圆方程为，所以， 从而，选项A不正确； 若，则椭圆方程为，点的坐标不满足方程， 即该椭圆不经过点，选项B错误； 因为方程表示椭圆，所以， 解得，且，选项C错误； 因为椭圆的焦点在y轴上，所以，解得， 选项D正确. 4．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对于双曲线，得， 设所求双曲线方程为， 因为所求双曲线与双曲线有公共焦点，所以 将点代入得：， 将代入上式，去分母整理得： . 可得，，符合题意. 因此所求双曲线方程为. 5．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 【答案】C 【详解】以为原点，建立平面直角坐标系，如图： 设该圆弧所在圆为圆． 将的坐标代入圆的方程，得，解得， ∴圆． 当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7． 故选：C． 6．（26-27高二上·河南鹤壁·阶段检测）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，若椭圆的长轴为，焦距为，则椭圆的标准方程为__________． 【答案】 【详解】由条件可知，，，则，，所以， 所以椭圆的标准方程为. 7．（26-27高二上·全国·课后作业）与抛物线共顶点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程为______． 【答案】或 【详解】因为抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以直线与坐标轴的交点即抛物线的焦点，令，得；令，得，所以抛物线的焦点坐标为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 综上所述，所求抛物线的标准方程为或． 8．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26； (2)经过点，焦点坐标分别为，； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点. 【详解】（1）由题意可得，椭圆焦点在轴上，， ，， ∴椭圆的标准方程为. （2）由题意可得，椭圆焦点在轴上，， 设椭圆方程为，， 代入点得，化简得，解得或（舍）， ∴，∴椭圆的标准方程为. （3）由题意可得，所求椭圆焦点在轴上，， 设所求椭圆方程为，则， 代入点可得，， 化简得，解得或（舍）， ∴椭圆的标准方程为. 9．（26-27高二上·全国·课后作业）指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)； (2)． 【详解】（1）抛物线的标准方程为，所以， 抛物线开口向左，所以焦点坐标为，准线方程为． （2）抛物线的标准方程为，所以． ①当时，，抛物线开口向右，所以焦点坐标是，准线方程是； ②当时，，抛物线开口向左，所以焦点坐标是，准线方程是． 综上所述，当 时，抛物线的焦点坐标为，准线方程为． 10．（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦点到准线的距离为； (2)经过点； (3)焦点为直线与坐标轴的交点． 【详解】（1）已知抛物线的焦点在轴上，可设方程为， 由焦点到准线的距离为5，知，， 所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为或． （2）因为点在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为，则由，解得； 若抛物线的标准方程为，则由，解得． 故所求抛物线的标准方程为或． （3）对于直线方程，令，得；令，得，所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 当焦点为时，，所以，此时抛物线的标准方程为． 故所求抛物线的标准方程为或． 能力进阶 一、选择题 1．（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为F，点B在C的准线上，且线段与C交于点A．若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，所以， 则， 所以，解得：， 所以 根据对称性可得直线的斜率为. 二、填空题 2．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）设直线与抛物线相交于点A，B，点F为抛物线C的焦点．若，则______． 【答案】 【详解】设，联立直线和抛物线方程，消去得， 由一元二次方程根与系数的关系可得； 由抛物线的性质可知，，则，即，等式两侧同时平方可得，整理可得，即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：1. 3．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）点是抛物线上一点，过焦点的直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若为的中点，，，点在以为直径的圆上，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】过点作⊥轴于点，准线与轴交于点， 因为若F为AK的中点，，所以，故Rt≌Rt， 则，故， 则，将代入中，得，即， 又，由勾股定理得， 即，解得，， 过点作⊥准线于点，则， 要想求的最小值，即求的最小值， 又Q在以为直径的圆上，设圆心为，则， 直径为，半径，连接， 故，所以， 故当四点共线时，取得最小值， 最小值为. 故答案为： 三、解答题 4．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且． (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值． 【详解】（1）点为抛物线上一点，则① 且，根据抛物线的定义可得②， 由①②解得， 抛物线的标准方程为 （2）不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q， 设，联立得，得， ，解得． 由韦达定理，得，， 又，③， 又两点P，Q在直线l：上， 故式子③，化简得：， 即， 把韦达定理代入，得， 即， 解得或， 直线l不过原点，， 故m的值为． 5．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆经过点，且与直线相切于点，圆的方程为． (1)求圆的方程； (2)若直线与圆相切，且被圆所截得的线段长为，求直线的方程； (3)设为圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出所有满足条件的定点的坐标，及相对应的定值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1） 因为圆经过点，且与直线相切于点， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，易得其方程为， 当时，弦长为的直径，舍去； 当时，由圆的弦长公式可得，符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 因为直线与圆相切，且被圆所截得的线段长为， 所以，解得， 此时直线方程为， 综上，满足条件的直线方程为和. （3）因为圆心，半径， 所以， 点为圆上任意一点，代入方程可得， 所以， 设，则， 因为为定值，所以， 所以， 将代入上式右边化简可得， 因为为圆上任意一点，所以上式两边同次系数相同， 即， 解得或， 所以存在，当定点为时，；当定点为时，. 6．（25-26高二下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为抛物线上两个不同的动点．当中点横坐标为2时，． (1)求抛物线的方程； (2)若直线过点，在轴上是否存在点，使得恒在以线段为直径的圆内？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由抛物线的定义知：， 因为，可得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）解：设直线的方程为，且 联立方程组，整理得， 判别式恒成立，且， 法一：由，可得， 将代入，可得 ， 再将代入得， 整理得， 由恒在以线段为直径的圆内等价于对恒成立， 则满足或，解得， 综上可得，存在这样的点，且，满足题意. 法二：设直线的方程为，且， 可得，所以圆心为， 由， 圆的方程为， 因为点在圆内，可得， 整理得， 因为恒在以线段为直径的圆内等价于对恒成立， 则满足或，解得， 综上可得，存在这样的点，且，满足题意. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $