专题03圆锥曲线与直线圆（期末复习讲义，5重难题型+分层验收）高二数学下学期沪教版

专题03圆锥曲线与直线圆（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01椭圆双曲线离心率求值、范围题 题型02联立方程求弦长、三角形面积 题型03抛物线定义转化距离类小题 题型04圆锥曲线定点、定值、定直线大题 题型05直接法、定义法求动点轨迹方程 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 斜率、直线方程、两直线平行垂直判定、点到直线、平行线距离计算 熟练直线基础运算与位置、距离求解 基础必考 圆两类方程、线圆/圆圆位置判定、弦长、切线方程求解 掌握圆方程、线圆位置、弦长与切线求解 中档高频 椭圆定义、标准方程、基本量关系、焦点判定、离心率求解 掌握定义、基本量、离心率计算 核心必考、大题常客 双曲线定义、标准方程、基本量、渐近线、离心率 掌握定义、渐近线、离心率，区分椭圆 填空高频易错题 抛物线标准方程、焦点准线、定义距离转化、离心率 活用定义，掌握焦点准线与距离转化 中档题型、最值常考 直线与曲线联立、判别式、韦达定理、弦长、面积、参数范围 熟练联立韦达，解决弦长、最值、参数问题 期末压轴、分值最高 知识点01 有理数的概念 1. 斜率公式： 2. 两点斜率： 3. 点斜式： 4. 垂直判定：；平行判定： 5. 点到直线距离： ·示例：已知直线，求点到直线的距离。 解： ·易错点：1. 倾斜角时斜率不存在，解题必须单独讨论； 2. 竖直/水平直线垂直时，不满足，不可硬套公式； 3. 距离公式必须带绝对值+根号，极易漏写 知识点02圆的方程与位置关系 1. 圆标准方程：，圆心，半径 2. 圆一般方程： 3. 线圆位置判定：相离，相切，相交 4. 弦长公式： ·示例：已知圆，直线，求直线被圆截得的弦长。 解：圆心，，圆心到直线距离 弦长： ·易错点：1. 圆一般方程必须满足，否则无轨迹； 2. 弦长公式易错漏乘系数2，或混淆与位置； 3. 过定点切线问题，易遗漏斜率不存在的竖直切线。 知识点03 椭圆 1. 定义： 2. 标准方程（焦点x轴）： 3. 核心关系： 4. 离心率： ·示例：已知椭圆，求离心率。 解：，， . ·易错点：1. 与双曲线公式混淆，椭圆是，非； 2. 误将短轴当作长轴，导致焦点位置判断错误； 3. 记错离心率范围，椭圆。 知识点04 双曲线 1. 定义： 2. 标准方程（焦点x轴）： 3. 核心关系： 4. 离心率： 5. 渐近线： ·示例：求双曲线的渐近线与离心率。 解：，渐近线： ， ·易错点：1. 定义必须带绝对值，无绝对值为双曲线单支； 2. 焦点在y轴时，渐近线公式会互换，极易写错； 3. 混淆椭圆、双曲线平方关系，是高频失分点。 知识点05 抛物线 1. 右开口标准方程： 2. 焦点：，准线： 3. 核心性质：，抛物线上点到焦点距离=到准线距离 ·示例：求抛物线的焦点与准线方程。 解：，焦点，准线 ·易错点：1. 混淆四种开口抛物线的焦点、准线位置； 2. 误把当作，参数计算出错； 3. 不会利用定义转化距离，导致最值题目计算繁琐。 知识点06 解析几何综合大题 1. 韦达定理： 2. 通用弦长公式： ·示例：直线与椭圆联立，求弦长。 解：联立得， 代入弦长公式得： ·易错点：1. 大题忽略，导致参数范围出错； 2. 弦长公式遗漏，结果直接错误； 3. 联立方程未整理成标准二次式，韦达定理套用失误。 题型一 椭圆双曲线离心率求值、范围题 解｜题｜技｜巧 1. 求值类：无需单独求，优先寻找比例关系，直接算离心率； 2. 范围类：结合几何约束、边长不等式、角度范围，转化为不等关系； 3. 遇焦点三角形，优先使用余弦定理结合定义列式求解。 易｜错｜点｜拨 1. 根据题干条件，列出等量/不等关系； 2. 代入曲线固有公式，消去，得到只含的式子； 3. 两边同除，转化为关于的方程/不等式； 4. 结合离心率固有范围，求解最终结果。 【典例1】（25-26高二上·上海·期末）已知点为平面中两定点，如图，经过点的双曲线和的焦点分别为正三角形和正方形的顶点，其中为边上的中点.设和的离心率分别为和，则正确的大小关系为（    ） A． B． C． D．以上选项均有可能 【答案】C 【分析】根据正三角形和正方形的性质，结合双曲线的定义和离心率公式进行运算比较即可. 【详解】设正三角形的边长为，则双曲线的焦距为，设半实轴长为， 因为点是边上的中点， 所以，所以， 所以由双曲线的定义有 ； 设正方形对角线长为，则双曲线的焦距为，设半实轴长为， 所以该正方形的边长为， 因为点是边上的中点， 所以， 所以由双曲线的定义有 ， 运用计算器，可得，， 所以. 故选：C 【典例2】（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线的离心率为，则______． 【答案】1 【分析】先结合题意求出双曲线的基本量，再结合题意建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意得，可得， 因为双曲线的离心率为，所以，解得（负根舍去）. 故答案为：1 【变式1】（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径作圆，若椭圆与圆有四个不同的交点，且该四个交点恰为一个面积为的矩形的四个顶点，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【分析】由椭圆方程可得，以为直径的圆为：，联立圆与椭圆的方程，求出，结合矩形其中一个顶点为及矩形的面积为，列方程求解即可. 【详解】由椭圆，得，则， 以为直径的圆为：， 联立，则， 而矩形其中一个顶点为， 因为矩形的面积为，所以，即， 则，解得，则， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由离心率定义求解； （2）设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【详解】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 题型二 联立方程求弦长、三角形面积 答｜题｜模｜板 1. 设直线方程与曲线方程，联立方程组； 2. 整理为一元二次方程，写出、韦达定理结果； 3. 代入弦长公式求出弦长； 4. 求点到直线距离，代入面积公式计算结果。 【典例1】若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由双曲线方程可得渐近线方程；利用垂径定理可求得弦长. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 由双曲线方程知：渐近线方程为，即， 圆心到渐近线的距离，所求弦长为. 故选：B. 【典例2】设，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，则的面积为_____________． 【答案】1 【分析】在中，由 ，得到，再由椭圆的定义得到求解. 【详解】解： 在中，因为 ， 所以， 由椭圆的定义得：， 两式求得， 所以， 故答案为：1 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用轨迹法，结合条件列式，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设，， 所以，整理为，； （2）设直线与曲线的两个交点分别为，， 联立，得，得，， 所以弦长. 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）设常数，已知直线与双曲线交于两点. (1)若两点分别在双曲线的左支和右支上，求的取值范围； (2)设，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合双曲线的性质，根据直线与双曲线有两个异支交点，即可得到结果； （2）利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出三角形面积. 【详解】（1）由题知，直线恒过， 又双曲线的渐近线方程为， 所以要使直线与双曲线交于左支和右支上的两点， 则，即的取值范围为. （2）由题联立，可得， 所以， 所以， 又点到直线距离为， 所以的面积为. 题型三 抛物线定义转化距离类小题 答｜题｜模｜板 1. 根据抛物线方程，确定开口方向、准线方程； 2. 利用定义将焦点距离转化为点到准线距离； 3. 结合几何最值原理求解，得出结果。 易｜错｜点｜拨 1. 记错值，混淆焦点、准线位置； 2. 不会定义转化，强行联立计算，耗时且易算错； 3. 最值问题未取垂直位置，导致结果偏大。 【典例1】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，求出与抛物线的交点，再利用点到直线距离求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线， 点在抛物线的内部，因为点是抛物线上一点， 所以等于点到准线的距离，过点向准线作垂线，交抛物线于点，即当点移动到时，取最小值，即， 则点到直线的距离， 故选：B． 【典例2】（24-25高二下·上海静安·期末）设是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为_______． 【答案】 【分析】首先确定椭圆左顶点坐标，然后设建立距离平方函数化简，分析的值，即可求得. 【详解】易知椭圆左顶点，因为点在抛物线上，设， 此时， 易知当，即时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 【变式1】已知A，B是抛物线上的两点，A与B关于x轴对称，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】设，则，，利用两点距离公式求得，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，则，， 所以 ． 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 【变式2】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________. 【答案】4 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】解：如图所示： 设点M在准线上的射影为D， 由抛物线的定义知， ∴要求的最小值，即求的最小值， 当D，M，P三点共线时，最小， 最小值为. 故答案为：4 题型四 圆锥曲线定点、定值、定直线大题 答｜题｜模｜板 1. 设含参直线方程，联立圆锥曲线； 2. 写出韦达定理，代入待求表达式； 3. 化简整理，消去参数； 4. 若结果为常数，即为定值；若恒过固定点，即为定点。 【典例1】（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知椭圆的上顶点，离心率为，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． (1)求椭圆的标准方程； (2)判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)存在，； (3) 【分析】（1）根据题意得到的值即可； （2）根据题意，设直线方程为，，联立得到，结合，进而得到，则直线过定点，再由，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半即可求解； （3）由（2）得，则，再令，结合基本不等式求最值即可． 【详解】（1）椭圆上顶点，离心率为， ，又， 解得， 故椭圆的标准方程为； （2）当轴时，不可能垂直， 故可设直线方程为， 由，得， 方程的判别式， 设，， ， 所以， 又因为，所以 即，即：， 所以 代入可得， 整理得：，解得（舍）或， 所以直线的方程为，令，得， 所以直线过定点， ，为直角三角形， 当为中点时，即时，， 所以，存在，当时，的长度为定值； （3）由（2）知， 所以面积 ， 令，所以代入可得： ， 此时，所以面积的最大值是． 【典例2】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知焦点在轴的双曲线，实轴长为2，焦距为4，、分别为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线交于、两点. (1)求双曲线方程： (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)记左顶点为，直线、分别交直线于、两点，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】（1）根据题意，由，求解； （2）直线方程为，与双曲线方程联立，求得弦长和左焦点到直线的距离d，由求解； （3）当直线的斜率不存在时，易得点A，B的坐标，从而得到点P，Q的坐标求解；当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立，设，求得点P的坐标，同理求得点Q的坐标，利用平面向量数量积运算结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，， 所以双曲线的方程为：； （2）由（1）知，则直线方程为， 与双曲线方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 则弦长， ， 左焦点到直线的距离为， 所以； （3）如图所示： 当直线的斜率不存在时，，则， 所以，则； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 与双曲线方程联立，，消去y得， 由韦达定理得， 设，令，得则， 同理， 所以， 则， ， ， ， . 综上：为定值0. 【变式1】设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线平分线段，求直线的倾斜角； (3)若点M是抛物线的准线与轴的交点，在轴上是否存在定点，对任意过点的直线与抛物线交于两点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由， 【答案】(1) (2)或 (3)，此时点的坐标为 【分析】（1）设直线，与抛物线方程联立，利用，即可求解； （2）根据（1）的结果，求线段的中点，再代入直线，即可求直线的斜率，最后根据倾斜角与斜率的关系，即可求解； （3）首先过点的直线与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，即可判断是否存在定点的坐标. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 所以设直线，，，联立 ，得， 所以，，得， 所以抛物线的标准方程为； （2）由（1）可知，， 设点是线段的中点，则由， ， 由题意可得点在直线上，所以， 即，解得：或， 设直线的倾斜角为，则，或， 又，所以直线的倾斜角为或； （3）点的坐标为， 过点的直线设为，，, 联立，得， ，得或， ，， 设 ， 当时，必须且只需，（常数）， 此时点的坐标为. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是利用韦达定理表示,并借助抛物线和韦达定理进行化简. 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆，直线与椭圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向椭圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交椭圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.问：直线是否过定点？若是，请求出此定点；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)直线过定点. 【分析】（1）联立椭圆方程与直线的方程，利用根与系数的关系和弦长公式即可求解； （2）设出切线的方程，然后与椭圆方程联立，根据根与系数的关系求出在处的切线方程分别为和，将点的坐标代入即可求解； （3）结合图形先计算当直线的斜率不存在和斜率为时两直线的交点，设出斜率存在时直线的方程并与椭圆方程联立，根据根与系数的关系和点的关系求出点的坐标，利用点的坐标表示出直线的方程，最后证明定点满足直线的方程即可. 【详解】（1）设， 由，得，即，化简得； 所以， 所以； （2）显然过点向椭圆引的切线的斜率均存在，设，， 由，得， 所以，化简得； ，， 所以，即，； 所以，即，又点在直线上，所以； 同理，又点在直线上，所以； 所以直线的方程为，即； （3）设， ①当直线的斜率不存在，即轴时，直线的方程为，与椭圆联立得；    设，则直线的方程为， 代入直线，得； 又，所以为的中点，所以， 所以的斜率， 所以直线为，即； ②当直线经过时，直线的斜率为，直线的方程为；    由，得，即， 所以或，所以或； 如图，取，所以，所以； 又为的中点，所以，所以； 所以的斜率，所以直线为，即； ③当直线的斜率存在，设直线的方程为，即，    由，得， ，解得或； ，， ， 由，得，， 又，所以，所以； 又为的中点，所以，所以； 所以的斜率， 所以直线为； 由①②知，当直线的斜率不存在时其方程为； 当直线的斜率为时其方程为； 由，得交点坐标为，所以若直线过定点则定点为； 现只要证明点满足即可， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证，上式显然成立， 综上，直线过定点. 题型五 直接法、定义法求动点轨迹方程 答｜题｜模｜板 1. 设动点坐标； 2. 根据题干几何条件列出等式； 3. 化简整理为标准曲线方程； 4. 剔除无效点、限制取值范围。 【典例1】（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 【典例2】（25-26高二上·上海·期末）已知线段的端点A的坐标是，动点B在双曲线上运动，且，则点M的轨迹方程为______ 【答案】 【分析】设，，则，然后通过向量的坐标公式求出，进而代入即可得解. 【详解】设，，则， 因为，所以， 即，所以， 代入得， 所以点M的轨迹方程为：. 【变式1】已知点到点的距离等于它到直线的距离， (1)求点的轨迹方程; (2)若，求周长的最小值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）根据抛物线的定义可将问题转化成的最小值，根据三点共线即可求解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到直线的距离相等， 所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）由题意知，焦点为,, 当的值最小时，的周长最小. 设点在抛物线的准线上的射影为，根据抛物线的定义，可知 ， 因此的最小值即的最小值. 根据平面几何的知识可得，当 三点共线时，即可作准线于, 与抛物线交于,此时 三点共线， 此时， 所以周长的最小值为 【变式2】如图所示，已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程. 【答案】 【分析】延长，与的延长线交于点，连接，由角平分线、中位线性质得，，再根据椭圆定义得，即可得轨迹. 【详解】 延长，与的延长线交于点，连接， 由是的外角的角平分线，且， 在中，且为线段的中点 又为线段的中点，由三角形的中位线：， 根据椭圆的定义得：，则， 点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，点的轨迹方程：. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案. 【详解】解：由题意，，， ，当且仅当时，等号成立， 的最大值是25． 故选：D． 二、填空题 2．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于________. 【答案】 【分析】设出点的坐标，根据已知建立方程组，求出点的纵坐标即可求出面积. 【详解】椭圆的半焦距，则，设点， 于是，消去得， 所以的面积. 故答案为： 3．已知双曲线：的离心率为，则双曲线的两条渐近线夹角（锐角）的正切值为__________. 【答案】 【分析】由双曲线的离心率求出渐近线的斜率，根据直线的夹角公式即可求得答案. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，即，则， 故双曲线两条渐渐近线的斜率为， 设双曲线的两条渐近线的夹角为，则， 故答案为： 三、解答题 4．已知抛物线：，焦点为，一条直线与抛物线交于A、B两点 (1)若直线斜率为1，证明线段中点的横坐标为定值； (2)若直线过，且，求直线方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示中点坐标； （2）利用韦达定理表示焦点弦长公式，即可求解. 【详解】（1）抛物线：，焦点为， 设直线为，与抛物线联立方程，得， 得，所以线段中点的横坐标为（定值）. （2）设直线的方程为，与抛物线联立方程， 得，， ，得， 所以直线方程为. 5．已知，，为平面内的一个动点，且满足． (1)求点的轨迹方程； (2)设直线经过点，且与点的轨迹相交所得弦长为，求直线的方程； 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)根据两点间距离公式应用已知条件化简即可得轨迹方程; (2)设直线方程,把半径,弦长和圆心到直线距离转化为关于的方程求解即可. 【详解】（1）设因为，，且满足 所以 化简得, 即得 点的轨迹方程为 （2）因为点的轨迹方程为,圆心为,半径 设的方程为或 又因为与点的轨迹相交所得弦长为, 所以圆心到直线的距离 ,即得解得,且符合题意. 的方程为或 所以的方程为或 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线标准方程及离心率公式求解. 【详解】因为双曲线方程为， 所以，，， 因为离心率为，所以， 解得：，所以. 故选：C. 二、填空题 2．已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为_______． 【答案】 【分析】设，，根据题意，得到，代入椭圆方程，即可求解. 【详解】解：设是所求轨迹上的一点，且， 因为，且，可得， 即，可得， 代入椭圆，可得，整理得， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 三、解答题 3．（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和记得到的平行四边形的面积为S；设； (1)求椭圆的离心率； (2)用的坐标表示点C到直线的距离，并证明：平行四边形的面积； (3)设与的斜率之积为，求面积S的值； 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程计算离心率即可； （2）讨论和，分别写出直线的方程，由距离公式即可求得点到直线的距离，由面积公式即可证明； （3）设出直线和的方程，联立椭圆求出的坐标，结合（2）中面积公式求解即可； 【详解】（1）因为椭圆，所以，，故， 由此可知； （2）当时，直线的方程为：， 则点到直线的距离为； 当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为， 也满足， 则点到直线的距离为；因为， 则； （3）设，，，设， 直线与椭圆联立可得， 同理直线与椭圆联立可得， 不妨令，则，， ，， 则； 4．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离是到点的距离的倍． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若，求过点且与曲线相切的直线的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的轨迹方程； （2）设出直线的方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程，求得直线的斜率，进而求得直线的方程. 【详解】（1）设，由题意得，两边平方并整理得， 故曲线的轨迹方程为； （2）曲线：是以为圆心，半径为的圆. 显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 即，所以，解得， 所以直线的方程为或， 即或. 5．（24-25高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆方程，直接求离心率； （2）首先利用垂直关系，先求点的坐标，再求点的坐标； （3）首先设，设，，首先根据，得到，再根据，得到坐标的关系，最后根据，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，，则， 所以椭圆的离心率； （2），，设，，， 因为，所以，即，即 设，，， 由题意可知，，得，， 则； （3）设，，设，，，， 由，所以，得， ，，， 由，所以，且， 化简得，又， 所以，即 所以，得， 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心为的中点，利用向量运算将用来表示，转化为椭圆上一点到焦点的距离范围求解即可. 【详解】，即的圆心，半径为， 椭圆方程中，，， 则圆心为椭圆的右焦点，线段为的直径，连接， 因此 ，点为椭圆上任意一点， 则，，即， 所以. 故选：A 二、填空题 2．（25-26高二上·上海普陀·期末）设焦点为，的椭圆上的一点P也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是______． 【答案】 【分析】先利用抛物线的定义和焦半径公式得到点的坐标，再代入椭圆中求出椭圆的方程，再利用三角形面积公式求得面积即可. 【详解】对于椭圆，可得其焦点一定在轴上， 如图，作出符合题意的图形，设，    结合对称性，不妨设点在轴的上方， 由焦半径公式得，解得， 则，将代入抛物线方程，可得，解得，则， 将代入椭圆方程，得到，解得， 则，即， 得到，故. 故答案为： 三、解答题 3．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的离心率与抛物线的方程； (2)过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程； (3)点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程． 【答案】(1)离心率为；抛物线的方程为 (2) (3) 【分析】（1）由椭圆的标准方程直接求出离心率；由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，求出，得到抛物线的方程； （2）设动点的坐标为，利用直接法求出动点的轨迹方程； （3）设直线方程为，，．利用“设而不求法”表示出，即可求得. 【详解】（1）因，，故，从而椭圆的离心率为．           且椭圆的右焦点坐标为． 于是由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，得，即． 从而抛物线的方程为． （2）设动点的坐标为，由条件，且点，在直线上，可得． 于是．           即． 故动点的轨迹方程为：． （3）由于，设直线方程为，，． 由得，故． 则．           又点到直线的距离，故由 ， 解得，从而．因此，直线的方程为． 4．（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆，点为上关于原点对称的两点，点为上异于的一点，点满足，其中为实数． (1)求椭圆的离心率； (2)若点的坐标为，，且直线经过点，求点的坐标； (3)若存在点，使得直线与直线垂直，且直线与有两个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由方程得到，再算出即可得到离心率； （2）根据通过向量计算求出点坐标，再根据和两点写出直线的方程，与椭圆方程联立即可得点坐标； （3）同（2）中方法得到点坐标，再利用垂直关系得到直线的方程，与椭圆方程联立得到二次方程，使其判别式大于零，再通过变量代换解该不等式得到的范围. 【详解】（1）由椭圆的方程可得，则，∴. （2）因为点为椭圆上关于原点对称的两点，点的坐标为，所以点的坐标为， 设点，已知且，即， ∴，解得，所以点的坐标为， 已知直线经过点和点，由斜率公式可得直线的斜率， 于是可写出直线的点斜式方程，即， 联立，解得或，和横坐标不相等， 当时，，当时，，所以点的坐标为或. （3）设，则，且满足，同（2）中推导可得，其中， 因为直线与垂直，若，则，可得， 结合点坐标可写出直线方程为即，与椭圆方程联立， 得，整理得， 依题意有，化简得， 当时，，此时直线为，与椭圆联立得即，同样满足上式， 由椭圆方程知，令，因为，所以， 代入不等式右侧构造函数， 再令，则，利用二次函数性质可得最大值为，即， 解得. 【点睛】对形式复杂的表达式最值问题合理使用变量代换可以简化分析. 5．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线，直线过点，且与的右支交于两点，与的两条渐近线分别交于两点． (1)若为的右焦点，直线与轴垂直，求的面积； (2)求证：； (3)若，试将的面积表示成关于的函数． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题求出点的坐标，再运用三角形面积公式，即可得解； （2）设出直线，分别与双曲线与渐近线联立，计算可得线段的中点与线段的中点重合，即可得证； （3）利用（2）中所得信息，表示出，再根据，化简得，由的范围可求出的范围，再运用三角形的面积公式表示出，再代入，即可得解. 【详解】（1）由题可知，，则， 若为的右焦点，且直线与轴垂直，故直线为. 该双曲线的渐近线为，不妨假设点在第一象限，点在第四象限， 则直线与的两条渐近线的交点分别为，， 故此时.    （2）    不妨假设点为直线与渐近线的交点，点为直线与渐近线的交点， 设，，，， 易知直线的斜率不为，故设直线， 联立直线与双曲线，，得， 若直线与双曲线的右支交于两点，则有， ， ， 由，可得， 由，可得且，即，， 则线段中点的纵坐标为. 联立直线与渐近线，，得，同理可得， 故线段中点的纵坐标为， 注意到线段中点的纵坐标与线段中点的纵坐标相同，又因为四点共线， 故线段的中点与线段的中点重合， 设重合于点，则有，， 结合图象可知，两式相减即可得，得证. （3）由，得， 由（2）可知，， ， 代入得，， 化简得：， 由（2）可知，，，， 故此时， 又由，得，又因为，解得， 则. 由（2）可知，，， 故， ， 得：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03圆锥曲线与直线圆（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01椭圆双曲线离心率求值、范围题 题型02联立方程求弦长、三角形面积 题型03抛物线定义转化距离类小题 题型04圆锥曲线定点、定值、定直线大题 题型05直接法、定义法求动点轨迹方程 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 斜率、直线方程、两直线平行垂直判定、点到直线、平行线距离计算 熟练直线基础运算与位置、距离求解 基础必考 圆两类方程、线圆/圆圆位置判定、弦长、切线方程求解 掌握圆方程、线圆位置、弦长与切线求解 中档高频 椭圆定义、标准方程、基本量关系、焦点判定、离心率求解 掌握定义、基本量、离心率计算 核心必考、大题常客 双曲线定义、标准方程、基本量、渐近线、离心率 掌握定义、渐近线、离心率，区分椭圆 填空高频易错题 抛物线标准方程、焦点准线、定义距离转化、离心率 活用定义，掌握焦点准线与距离转化 中档题型、最值常考 直线与曲线联立、判别式、韦达定理、弦长、面积、参数范围 熟练联立韦达，解决弦长、最值、参数问题 期末压轴、分值最高 知识点01 有理数的概念 1. 斜率公式： 2. 两点斜率： 3. 点斜式： 4. 垂直判定：；平行判定： 5. 点到直线距离： ·示例：已知直线，求点到直线的距离。 ·易错点：1. 倾斜角时斜率不存在，解题必须单独讨论； 2. 竖直/水平直线垂直时，不满足，不可硬套公式； 3. 距离公式必须带绝对值+根号，极易漏写 知识点02圆的方程与位置关系 1. 圆标准方程：，圆心，半径 2. 圆一般方程： 3. 线圆位置判定：相离，相切，相交 4. 弦长公式： ·示例：已知圆，直线，求直线被圆截得的弦长。 弦长： ·易错点：1. 圆一般方程必须满足，否则无轨迹； 2. 弦长公式易错漏乘系数2，或混淆与位置； 3. 过定点切线问题，易遗漏斜率不存在的竖直切线。 知识点03 椭圆 1. 定义： 2. 标准方程（焦点x轴）： 3. 核心关系： 4. 离心率： ·示例：已知椭圆，求离心率。 ·易错点：1. 与双曲线公式混淆，椭圆是，非； 2. 误将短轴当作长轴，导致焦点位置判断错误； 3. 记错离心率范围，椭圆。 知识点04 双曲线 1. 定义： 2. 标准方程（焦点x轴）： 3. 核心关系： 4. 离心率： 5. 渐近线： ·示例：求双曲线的渐近线与离心率。 ·易错点：1. 定义必须带绝对值，无绝对值为双曲线单支； 2. 焦点在y轴时，渐近线公式会互换，极易写错； 3. 混淆椭圆、双曲线平方关系，是高频失分点。 知识点05 抛物线 1. 右开口标准方程： 2. 焦点：，准线： 3. 核心性质：，抛物线上点到焦点距离=到准线距离 ·示例：求抛物线的焦点与准线方程。 ·易错点：1. 混淆四种开口抛物线的焦点、准线位置； 2. 误把当作，参数计算出错； 3. 不会利用定义转化距离，导致最值题目计算繁琐。 知识点06 解析几何综合大题 1. 韦达定理： 2. 通用弦长公式： ·示例：直线与椭圆联立，求弦长。 代入弦长公式得： ·易错点：1. 大题忽略，导致参数范围出错； 2. 弦长公式遗漏，结果直接错误； 3. 联立方程未整理成标准二次式，韦达定理套用失误。 题型一 椭圆双曲线离心率求值、范围题 解｜题｜技｜巧 1. 求值类：无需单独求，优先寻找比例关系，直接算离心率； 2. 范围类：结合几何约束、边长不等式、角度范围，转化为不等关系； 3. 遇焦点三角形，优先使用余弦定理结合定义列式求解。 易｜错｜点｜拨 1. 根据题干条件，列出等量/不等关系； 2. 代入曲线固有公式，消去，得到只含的式子； 3. 两边同除，转化为关于的方程/不等式； 4. 结合离心率固有范围，求解最终结果。 【典例1】（25-26高二上·上海·期末）已知点为平面中两定点，如图，经过点的双曲线和的焦点分别为正三角形和正方形的顶点，其中为边上的中点.设和的离心率分别为和，则正确的大小关系为（    ） A． B． C． D．以上选项均有可能 【典例2】（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线的离心率为，则______． 【变式1】（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径作圆，若椭圆与圆有四个不同的交点，且该四个交点恰为一个面积为的矩形的四个顶点，则椭圆的离心率为______． 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 题型二 联立方程求弦长、三角形面积 答｜题｜模｜板 1. 设直线方程与曲线方程，联立方程组； 2. 整理为一元二次方程，写出、韦达定理结果； 3. 代入弦长公式求出弦长； 4. 求点到直线距离，代入面积公式计算结果。 【典例1】若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【典例2】设，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，则的面积为_____________． 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）设常数，已知直线与双曲线交于两点. (1)若两点分别在双曲线的左支和右支上，求的取值范围； (2)设，求的面积. 题型三 抛物线定义转化距离类小题 答｜题｜模｜板 1. 根据抛物线方程，确定开口方向、准线方程； 2. 利用定义将焦点距离转化为点到准线距离； 3. 结合几何最值原理求解，得出结果。 易｜错｜点｜拨 1. 记错值，混淆焦点、准线位置； 2. 不会定义转化，强行联立计算，耗时且易算错； 3. 最值问题未取垂直位置，导致结果偏大。 【典例1】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【典例2】（24-25高二下·上海静安·期末）设是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为_______． 【变式1】已知A，B是抛物线上的两点，A与B关于x轴对称，，则的最小值为__________． 【变式2】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________. 题型四 圆锥曲线定点、定值、定直线大题 答｜题｜模｜板 1. 设含参直线方程，联立圆锥曲线； 2. 写出韦达定理，代入待求表达式； 3. 化简整理，消去参数； 4. 若结果为常数，即为定值；若恒过固定点，即为定点。 【典例1】（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知椭圆的上顶点，离心率为，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． (1)求椭圆的标准方程； (2)判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由； (3)求面积的最大值． 【典例2】（25-26高二上·上海宝山·期末）已知焦点在轴的双曲线，实轴长为2，焦距为4，、分别为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线交于、两点. (1)求双曲线方程： (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)记左顶点为，直线、分别交直线于、两点，证明：为定值. 【变式1】设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线平分线段，求直线的倾斜角； (3)若点M是抛物线的准线与轴的交点，在轴上是否存在定点，对任意过点的直线与抛物线交于两点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由， 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆，直线与椭圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向椭圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交椭圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.问：直线是否过定点？若是，请求出此定点；若不是，请说明理由. 题型五 直接法、定义法求动点轨迹方程 答｜题｜模｜板 1. 设动点坐标； 2. 根据题干几何条件列出等式； 3. 化简整理为标准曲线方程； 4. 剔除无效点、限制取值范围。 【典例1】（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·上海·期末）已知线段的端点A的坐标是，动点B在双曲线上运动，且，则点M的轨迹方程为______ 【变式1】已知点到点的距离等于它到直线的距离， (1)求点的轨迹方程; (2)若，求周长的最小值. 【变式2】如图所示，已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 二、填空题 2．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于________. 3．已知双曲线：的离心率为，则双曲线的两条渐近线夹角（锐角）的正切值为__________. 三、解答题 4．已知抛物线：，焦点为，一条直线与抛物线交于A、B两点 (1)若直线斜率为1，证明线段中点的横坐标为定值； (2)若直线过，且，求直线方程. 5．已知，，为平面内的一个动点，且满足． (1)求点的轨迹方程； (2)设直线经过点，且与点的轨迹相交所得弦长为，求直线的方程； 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 二、填空题 2．已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为_______． 三、解答题 3．（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和记得到的平行四边形的面积为S；设； (1)求椭圆的离心率； (2)用的坐标表示点C到直线的距离，并证明：平行四边形的面积； (3)设与的斜率之积为，求面积S的值； 4．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离是到点的距离的倍． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若，求过点且与曲线相切的直线的方程． 5．（24-25高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（25-26高二上·上海普陀·期末）设焦点为，的椭圆上的一点P也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是______． 三、解答题 3．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合． (1)求椭圆的离心率与抛物线的方程； (2)过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程； (3)点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程． 4．（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆，点为上关于原点对称的两点，点为上异于的一点，点满足，其中为实数． (1)求椭圆的离心率； (2)若点的坐标为，，且直线经过点，求点的坐标； (3)若存在点，使得直线与直线垂直，且直线与有两个公共点，求实数的取值范围． 5．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线，直线过点，且与的右支交于两点，与的两条渐近线分别交于两点． (1)若为的右焦点，直线与轴垂直，求的面积； (2)求证：； (3)若，试将的面积表示成关于的函数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $