第2章 圆锥曲线（单元分层自测·能力提升卷）高二数学沪教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学单元自测 第2章 圆锥曲线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，1—6题每题4分，7—12题每题5分，共54分） 1．（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）已知圆的方程，与直线相交于，两点，且（为坐标原点），则m的值为______；以为直径的圆的方程为______. 【答案】 或 【解析】由圆的一般方程可得，解得. 设过直线与已知圆交点的圆的方程为： ， 整理得：. 如图所示，由可知，原点在以为直径的圆上， 将代入上述圆的方程得：，即①. 以为直径的圆的圆心在直线上， 由圆的一般方程得圆心坐标为，代入直线方程得 ， 解得. 将代入①式，得. 将、代入圆的方程：， 可得： 整理配方得：. 2．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】由椭圆的焦点在x轴上，得， 由，解得， 所以椭圆的方程为，则. 设， 则 ， 由可得， 则的取值范围为. 3．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线（，）右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 【答案】 【解析】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点， 所以双曲线经过第一象限的渐近线的倾斜角不小于， 即， 所以， 所以离心率， 即. 4．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知椭圆，直线与椭圆C交于不同的两点A，B，点，若为定值，则实数t的值为______． 【答案】 【解析】由题可知，直线：恒过定点， 所以直线与椭圆C  必有两个交点， 联立，整理得：， 设，，由韦达定理得：，， 向量，， 所以， 又，， 故， 所以 ， 因为为定值，所以，解得. 5．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 【答案】 【解析】抛物线的焦点，准线，由抛物线定义得， 则，当且仅当是线段的延长线与抛物线的交点时取等号， 直线，由且，得，即点， 所以的最大值为，此时点P的坐标为. 6．（26-27高二上·广东·阶段检测）用3个圆可构成“卡通鼠”形象，如图：圆的圆心为且过原点，圆心都在轴上且半径都为的圆、圆均与圆外切．若过点的直线截圆、圆、圆所得弦长均为，则______． 【答案】 或 【解析】圆的半径为，设圆心，其中， 由于圆和圆外切，且圆的半径为， 则，解得， 即点，同理可得点， 若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时直线与圆、圆都相离，不合题意， 因此可设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为， 且圆、圆的半径均为， 所以直线截圆、圆的弦长为， 圆心到直线的距离为， 则直线截圆的弦长为， 由题意可得，解得， 所以，． 7．（24-25高二上·河北衡水·阶段检测）过抛物线焦点且斜率为的直线与交于两点，若为的内角平分线，则面积最大值为______． 【答案】 或 【解析】由抛物线方程知，，则直线， 联立，可得或，不妨令， 则，且， 由为的内角平分线，则， 设，则，整理得， 显然在圆心为，半径为2的圆上，且直线过圆心， 故点到直线距离的最大值2， 所以面积最大值为. 故答案为：. 8．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】由题知，的焦点，准线为， 如图，作准线，准线， 联立，得， ，解得， 设，则， 又， 当且仅当时等号成立. 9．（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则________． 【答案】 【解析】 如图所示，分别过四点向准线作垂线，垂足分别为， 设的横坐标分别为， 由抛物线定义及梯形中位线可知则，， ， ， 易知，则， 即的最小值为， 设直线，，， 联立抛物线得，整理得， 所以，则， 由基本不等式可知，当且仅当等号成立， 故，解得. 故答案为： 10．（25-26高二上·安徽安庆·期中）椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上动点，下面说法正确的是____ ①.椭圆离心率为 ②.若，则的最大值为5 ③.的取值范围为 ④.作直线与椭圆相交于，两点，中点为，则 【答案】②③④ 【解析】由题设且焦点在轴上，则，故椭圆标准方程为， 所以且，①错， 由，且，即在椭圆内， 所以，而， 所以，当且仅当共线且在之间时取等号， 所以的最大值为5，②对， 由，且， 所以，③对， 设，显然的斜率存在，， 联立，则， 所以，且， 所以，而为的中点，则， 所以，经验证满足，④对. 故答案为：②③④ 11．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）新月联盟的标志中有一轮新月与栖息于其上的鸽子，其中新月部分可看作将圆被直线所截得的劣弧部分绕该直线向内折叠得到的图形，如图所示．若直线与该图形的边缘恰有4个交点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】设原点关于直线的对称点为. 两点连线与对称轴垂直，中点在对称轴上，列出方程组 ，解得，即. 折叠后的圆弧所在圆的圆心为，半径为，圆的方程为. 直线恒过定点. 若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即 整理得到，两边平方，， ，，解得. 联立，代入得， ，解得. 取交点， 所以 结合图形， 当时，，原点到直线的距离，直线与圆没有公共点，舍去；所以与折叠后的圆弧相切时． 直线绕点从经过点的位置转到与折叠后的圆弧相切的位置之间时，与该图形的边缘恰有个交点，所以． 所以的取值范围是． 12．（24-25高二下·四川泸州·开学考试）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，则直线HN过定点____________． 【答案】 【解析】设椭圆E的方程为， 由椭圆过点， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. 直线的方程为，即. ①若过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 方程中，令， 可得，，在直线AB方程中， 令可得， 由得到. 则HN方程：，直线过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， ， 解得或. 由韦达定理可得， 所以， 且 ， 联立可得 则直线， 将点代入整理得， 将韦达定理所得各式代入可得 ， 即， 化简得显然成立， 综上可得，直线HN过定点 故答案为：.    【点睛】方法点睛：求定点问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，根据条件求解定点，再证明一般情况下也过此定点； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点. 二、选择题（本大题共4题，13—14题每题4分，15—16题每题5分，共18分） 13．（24-25高二上·辽宁·期末）已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 【答案】B 【解析】椭圆，直线过右焦点， 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，， 由，消去得，， 整理得，所以， 设长轴上的点， 可得， 所以 ， 当且仅当时，即时， 为定值，此时点坐标为， 当直线直线的斜率为0时，，计算可得， 所以在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，且点坐标为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题时主要是由题中一个量（本题是数量积）与参数无关，解决此类问题，关键是要选定一个参数（参数可以是直线的斜率、截距，可以是动点坐标等），使用参数表示题中变化的量，再用这些变化的量表示题中不变的量，求得与参数无关，完成求解． 14．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在双曲线的左支上，故， 设，由得，， 代入得，即， 因此，，， 又点A在双曲线C的左支上，则，解得， ， 在中，由余弦定理，， 在中，， 由两式相等得，化简得：， 即，整理得，即， 因此离心率. 15．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解析】因为，， 则，直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 双曲线的渐近线方程为， 则直线与渐近线平行，两平行线间距离， 曲线：过点， 过点与直线平行的直线方程为， 两平行线间距离， 结合图形可知点到直线的距离， 则的面积， 所以的面积有最大值，但没有最小值. 16．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）点关于直线对称的点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D．（去掉点） 【答案】D 【解析】直线可化为， 令解得即直线恒过点． 又点与点关于直线对称， 即， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，即点满足方程， 若直线的斜率存在，则斜率， 过点且斜率为2的直线方程为， 设此时点关于直线方程对称的点为， 则解得即， 综上所述，动点的轨迹方程为（去掉点）． 三、解答题（本大题共5题，共78分；17—19题每题14分，20—21题每题18分） 17．（14分）（25-26高二下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，椭圆 的左焦点为，且到上任意一点的距离最小值为1． (1)求的方程； (2)过的直线与交于、两点，与轴交于点，且在线段之间，为的右顶点． （i）若的面积是的面积的3倍，求的方程； （ii）设，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【解析】（1）由椭圆 的左焦点为，得椭圆的半焦距， 由到上任意一点的距离最小值为1，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由（1）得，直线的斜率存在，设其方程为，则， 由，得，而的面积是的面积的3倍， 则，由在线段上，得是线段的中点，于是， 又点在椭圆上，则，解得， 所以直线的方程为. （ii）由消去得， 设，则， 由，得，则，同理， 因此， 所以为定值. 18．（14分）（25-26高二下·云南昆明·期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点，过左焦点且与轴不重合的直线交于，两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若在轴上存在异于的定点，使得直线与直线的斜率比值为定值， ①求定点的坐标； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)① ；② 【解析】（1）由题意知，离心率为，经过点，则， 解得，所以椭圆的标准方程为． （2）①由题意可设，，， 设直线的方程为， 联立，得， 则，，得， 记直线的斜率为，直线的斜率为， 则， 要使为定值，则，解得或（舍去），此时， 故在轴上存在异于点的定点，使得直线与直线的斜率比值为定值． ②由①可得，，， 则 由， 故 ， 当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为． 19．（14分）（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知圆与圆：关于直线对称． (1)求圆的标准方程． (2)过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）点在定直线上 【解析】（1）设圆心关于直线对称的圆心， 由题意有，解得， 所以圆； （2）（i）当直线的斜率不存在时，，则， 所以，解出， 所以,, 所以，解得或， 所以，， 所以四边形的面积：； 当斜率存在时，设的方程为：，则的方程为：， 所以圆心到直线的距离为：， 所以， 同理得， 所以四边形的面积：， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立， 由，可得，即时，四边形面积的最大值为； （ii）点在定直线上， 由题意有，理由如下： 当直线的斜率不存在时，由（i）有， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 所以，解得，所以； 当斜率存在时，设的方程为：，设， 所以，消元得， 所以， 所以， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 联立，消去,可得： ， 所以，即点在直线上. 20．（18分）（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线： 的离心率为，点在双曲线上； (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得为定值. 【解析】（1）因为双曲线的离心率为，点在双曲线上， 所以，解得，. 所以双曲线的方程为. （2）圆：的圆心，半径为. 因为是圆上的动点，直线与圆相切，所以，. 所以. 设，因为点是双曲线上的动点，所以. 所以， 当时，取得最小值，此时， 所以. （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为. 联立，整理得， 且， 设，，则，， 直线的方程为， 令，则，即. 同理可得，. 因为关于原点对称，所以， 即， 整理得， 即， 整理得，即， 所以或. 若，则，则直线方程为，即， 此时直线过点，不符合题意. 若，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又，在中，为斜边， 所以当为中点时，. 因此存在点，使得为定值. 21．（18分）（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知椭圆的长轴长为，点在上． (1)求的离心率； (2)若点在上，为坐标原点，求面积的最大值； (3)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为（异于点），直线与的另一个交点为（异于点），求直线与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：由椭圆的长轴长为，可得，解得， 又由点在上，可得，解得，即， 所以， 所以椭圆的离心率为. （2）解：由（1）知：且，所以椭圆的方程为， 又由，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆相切，可得， 可得，解得， 所以直线与直线之间的距离为： ， 直线与直线之间的距离为： ， 所以两平行线间的最大距离为， 又因为， 所以的面积的最大值为. （3）解：因为动点在直线上，可设，其中， 再设，且， 可得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，可得， 所以，即， 同理可得：直线的方程为，且， 所以直线的斜率的倒数为， 所以直线的方程为，整理得， 设直线与轴的交点为， 令，可得，所以直线与轴的交点为. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第2章 圆锥曲线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，1—6题每题4分，7—12题每题5分，共54分） 1．（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）已知圆的方程，与直线相交于，两点，且（为坐标原点），则m的值为______；以为直径的圆的方程为______. 2．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 3．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线（，）右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 4．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知椭圆，直线与椭圆C交于不同的两点A，B，点，若为定值，则实数t的值为______． 5．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 6．（26-27高二上·广东·阶段检测）用3个圆可构成“卡通鼠”形象，如图：圆的圆心为且过原点，圆心都在轴上且半径都为的圆、圆均与圆外切．若过点的直线截圆、圆、圆所得弦长均为，则______． 7．（24-25高二上·河北衡水·阶段检测）过抛物线焦点且斜率为的直线与交于两点，若为的内角平分线，则面积最大值为______． 8．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 9．（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则________． 10．（25-26高二上·安徽安庆·期中）椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上动点，下面说法正确的是____ ①.椭圆离心率为 ②.若，则的最大值为5 ③.的取值范围为 ④.作直线与椭圆相交于，两点，中点为，则 11．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）新月联盟的标志中有一轮新月与栖息于其上的鸽子，其中新月部分可看作将圆被直线所截得的劣弧部分绕该直线向内折叠得到的图形，如图所示．若直线与该图形的边缘恰有4个交点，则的取值范围是____________． 12．（24-25高二下·四川泸州·开学考试）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，则直线HN过定点____________． 二、选择题（本大题共4题，13—14题每题4分，15—16题每题5分，共18分） 13．（24-25高二上·辽宁·期末）已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 14．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 16．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）点关于直线对称的点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D．（去掉点） 三、解答题（本大题共5题，共78分；17—19题每题14分，20—21题每题18分） 17．（14分）（25-26高二下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，椭圆 的左焦点为，且到上任意一点的距离最小值为1． (1)求的方程； (2)过的直线与交于、两点，与轴交于点，且在线段之间，为的右顶点． （i）若的面积是的面积的3倍，求的方程； （ii）设，，证明：为定值． 18．（14分）（25-26高二下·云南昆明·期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点，过左焦点且与轴不重合的直线交于，两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若在轴上存在异于的定点，使得直线与直线的斜率比值为定值， ①求定点的坐标； ②求面积的最大值． 19．（14分）（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知圆与圆：关于直线对称． (1)求圆的标准方程． (2)过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 20．（18分）（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线： 的离心率为，点在双曲线上； (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 21．（18分）（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知椭圆的长轴长为，点在上． (1)求的离心率； (2)若点在上，为坐标原点，求面积的最大值； (3)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为（异于点），直线与的另一个交点为（异于点），求直线与轴的交点坐标． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二数学单元自测 第2章圆锥曲线能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共12题，1一6题每题4分，7一12题每题5分，共54分) 1.8或1.6 5 2.[0,4] 3. 2 3+0 4. 5 5.17 （-7+1,-7+9) 2 8 12 6. 5 或2.4 5时 天9 8.3+2V2 9.6 10.②③④ 11. 7+4V74+2V13 3 3 12.(0,-2 二、选择题（本大题共4题，13一14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13 14 15 16 B A A 三、解答题（本大题共5题，共78分：17-19题每题14分，20-21题每题18分） 17.(14分) 【保】第c:名若=1o6>0肉左在点F(-10有国。的半面= 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由F到C上任意一点的距离最小值为1，得。-c=1解得a=2,b=Q-C=3, 折以椭圆C的方程为4+3三1.（⑦分 (2)(i)由1)得A22,0),直线的斜率存在，设其方程为y=k(x+1),则M(0,k), 由FA,=3=3引OF得SAAA=3SAo而△A,AM的面积是△OA的面积的3信， △A心=SM,由A在线段FM上，得A是线段FM的中点，于是A(-) 又点A在椭圆C上，则6+】 =1,解得k=±35 所以直线的方程为y=± g51 B (i)由y=k(x+1)消去y得(4k2+3X2+8k2x+4k2-12=0' 3x2+4y2=12 设A(X1,y,B(X,y2则X+X= 4K23七=4212， 8k2 4k2+3 由=入，得(x1y1-k)=(-1-X,-y小则=-义·同理μ=-： X1+1 X2+1 2.4k2-128k2 因此1+4=-(X1+名)=-2xx+x+名= 4k+34K+3=-2:-12=-8, x1+1x2+1 X12+X1+x2+14k2-12_8k2 -12+33 +1 4k2+34k2+3 所以入+μ为定值.(14分) 18.(14分) 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解折】(1)由题意知，离心率为2，经过点6,1，则么： 2 2’2 a=2 解得b=1, 所以椭圆E的标准方程为之+少=1.(7分) c=1 (2)①由题意可设AX,y,小Bx2,y,'Qt,0t-1' 设直线l的方程为x=my-1, 联立x=my21得㎡2+2y2-2my-1=0 x+2y=2 m42y=1 2m 则y+y, m2+2得y+y2=-2myy2, 记直线QA的斜率为k1,直线QB的斜率为k2, y1 k_x-t_yix2-t)_yi(my2-1-t)_my1y2-(1+tly1_(3+2tly+y2, k2 y2 y2x1-t y2my-1-t myy2-1+t]y2 y+(3+2ty2 X>-t 要使k为定值，则3+2t-,1,解得=-2或=-1（合去），此时k=-1 k2 13+2t k 故在x轴上存在异于点F的定点Q|-2,0,使得直线QA与直线QB的斜率比值为定值. ②由①可得y+y2=2m m2+2,y2=1 m2+2Q-2,01 则y-y2=y+y-4yy= 4m2 +4=2/2Vm2+1 + Ym2+22m2+2 m2+2 由S△ABO=S△AFQ+S△BFQ, 高wo25迈 2 2 1 2 m2+2 m2+2 √m2+1+ m2+1 V2 当且仅当m=0时等号成立，所以△ABQ面积的最大值为2： 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A F O (14分) 19.(14分) 【解析】(1)设圆心C1(-1,5)关于直线y=x+1对称的圆心C(a,b), b-5=-1 -01解附8。 由题意有 a+1 2 2 所以圆C:(x-4+y=4:(7分) (2)(i)当直线l1的斜率不存在时，11：x=3,则l2:y=0, 所以x-4y=4,解出y=±5， x=3 所以A(3,V3),B(3,-V3),AB=23. 所以x-42+y2=4 y=0 ,解得x=2或6， 所以E(2,0),F(6,0),EF=4, 所以四边形AEBF的面积：S=引AB×EF1×23×4=43。 当斜率存在时，设，的方程为：y=k(x-3,则，的方程为：y=(x-3), 所以圆心C(4,0到直线，的距离为：d=k一 Vk2+1 所以AB1=2P-d=24- k2 =23+1 k2+12V°k2+1 同理得EF=2 -2 4- 1+k 所以四边形AEBF的面积： 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k2+1八 +则S=23+t4-ts2×3+t片4-t=7. 1 令t= 2 当且仅当3+t=4-t时，即t=时等号成立， 1=1 由(=+12：可得K=1,即k=士1时，四边形AEBF面积的最大值为7： (i)点P在定直线x=0上， 由题意有M(2,0),N(6,0),理由如下： 当直线l1的斜率不存在时，由(i)有A(3,3),B(3,-V3), 所以直线MA的方程为：y=3(x-2),直线NB的方程为：y=- (x-6: 3 y=3(x-2) 所以v=3(x-6)”解得大=三0 y=-23所以P(0,-23: 当1斜率存在时，设l1的方程为：y=k(x-3),设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以X42+y4消元得1+k)x2-(6k+8)x+12+9k2=0. 1+A,七名=12+9K, 所以x+X=6k+8,X 1+k2 防以u产2阳6 X2-6 以省线n的方来y产之-2八B方y产6火-6矿 X2-6 y=_y(x-2) 联立X2 ，消去y可得： y=。(x-6) X2-6 X=2y(x-6-6y(x-2-2kx,-3(x-6-6k(x-3x1-2 y1(x26)-y2(x1-2)k(x1-3)(x2-6)-k(x2-3)(x1-2) 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6×6K+8-4×12+9k 6(x+x)-4x=1+k 1+k2 0 12-3X1-X2 2-3X1-X2 所以x=0,即点P在直线X=0上 E M (14分) 20.(18分) 【解析】(1)因为双曲线C的离心率为V2,点P(2,-1)在双曲线上， e=c=2 所以21卫 =1 解得a2=3:b2=3 a b2 c2=a2+b2 所以双曲线的方程为 33 =1.(6分) (2)圆E（x-5+y=2的圆心E5,0半径为2 因为T是圆E上的动点，直线ST与圆E相切，所以ST⊥TE,|TE=V2 VA 所以1sT=sE-ET=sE-2 设sX,y因为点s是双曲线C上的动点，所以_上=1 33 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 52.19, 所以1sE=x,-5+=x6-10x+25+x6-3=2x-2+2 当-艺对.l5E版得录小，化时5m习 所57-9-2- 2 .(12分) (3)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=x+m. 联立 -兰-1整理得1-kX-2mx-m-3=0 33 y=kx+m △=-2km2-41-k21-m2-3=4m2-3k2+3>0且1-k2≠0' 4x时水架X= 1-k2 直线pm的方程为y+1=y+凸 名2*29 令x=0则y=-1-2y+多，即M0,-1-2y+2 X1-2 X1-2 同理可得，N0,-1- 2y2+2 X2-2 yA P 因为M,N关于原点对称，所以-1-2y+2 2y2+2 +-1- X1-2 X2-2 0 即-1- 2kx1+m+2 2kX2+m+2 -1- =0 X1-2 X2-2 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得2k+1x1X2-2k-m+1x+x2-4m=0 即l2k+1-m2-3_2km2k-m+1-4m=0 1-k2 1-k2 整理得m2+2m+4m+6k+3=0,即m+3m+2k+1=0, 所以m=-3或m+2k+1=0. 若m+2k+1=0,则m=-2k-1,则直线方程为y=kx-2k-1,即y+1=kx-2, 此时直线AB过点P2,-1,不符合题意. 若m=-3,则直线方程为y=心-3，恒过定点D0,-3, 所以1PD=22+-1+3=22为定值， 又PQ⊥AB,在Rt△PQD中，PD为斜边， 所以当R为PD中点1，-2时，RQ)=PD=2 因此存在点R1,-2,使得QR|为定值.(18分) 21.(18分) 【解析】(1)解：由椭圆C:式+兰=1a>b>0)的长轴长为4可得2a=4解得a=2 又由点p(1, 3在C上，可得1（ 32 ,解得62=1即b=1' 462=1 所以c=a2-b2=4-1=V3 所以椭圆C的离心率为e=S_ a 2 .(6分) (2)解：由(1)知：a=2且b=1,所以椭圆C的方程为4 +y2=1, 又0100，P1,要.房以线0P字3 3 3 所以直线OP的方程为y= 2 x,即3x-2y=0, 设与直线OP平行且与椭圆相切的直线方程为3x-2y+m=0, 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 /3x-2y+m=0 联立方程组 整理得4x2+25x+m2-4=0' 因为直线与椭圆相切，可得A=23m}-4×4×(m2-4)=0' 可得m2=16,解得m=±4， 所以直线V3x-2y=0与直线√3x-2y+4=0之间的距离为： 0-4 d= 4-4V7 (3}+(-2277 直线/3x-2y=0与直线3x-2y-4=0之间的距离为： 0+4 d= 4=4V7 (V3+(-2277 所以两平行线间的最大距离为d=4 7, 42 aP00的鸭大值5-oed-豆4艺-1 V5x-2y+4=0 P√5x-2y-4=0 (12分) (3)解：因为动点M在直线x=4上，可设M(4,t),其中t≠0， 再设E(x1,y1),F(x,y2),且A(-2,0),B(2,0）, 可得直线A正的方程为y-合x+2, y=x+2) 联立方程组 6 整理得(2+9)X+4x+4t2-36=0' 4+y2=1 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可得-2+X1= 4t2 4-36,可得x=18-2, 2+ ,-2X1= t+9 t2+9 所以y=(18-2延+2=6，即E18=2t,6t》 6t+9 t+9 t2+92+9 同理可：直线nF的方程为y=分x-2且℉2子，广 t2+1’t2+1 所以直线EF的斜率的倒数为 18-2t_ 2t2-2 t+9 +1_18-2+1-(2-2j(2+9=-4+36=3-t, 6t+2t 6t(t+1)+2t(t2+9) 8t3+24t2t t2+9t2+1 所以直线EF的方程为x-2-2=3,(y+2t》整理得x=3=上 t2+12t t2+1 2y+1: 设直线EF与x轴的交点为T, 令y=0,可得x=1,所以直线EF与x轴的交点为T(1,0) 珠 M E (18分) 10/10………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学单元自测 第2章 圆锥曲线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，1—6题每题4分，7—12题每题5分，共54分） 1．（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）已知圆的方程，与直线相交于，两点，且（为坐标原点），则m的值为______；以为直径的圆的方程为______. 2．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 3．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线（，）右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 4．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知椭圆，直线与椭圆C交于不同的两点A，B，点，若为定值，则实数t的值为______． 5．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）若抛物线上的动点P到C的准线的距离为d，点，则的最大值为________，此时点P的坐标为________． 6．（26-27高二上·广东·阶段检测）用3个圆可构成“卡通鼠”形象，如图：圆的圆心为且过原点，圆心都在轴上且半径都为的圆、圆均与圆外切．若过点的直线截圆、圆、圆所得弦长均为，则______． 7．（24-25高二上·河北衡水·阶段检测）过抛物线焦点且斜率为的直线与交于两点，若为的内角平分线，则面积最大值为______． 8．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 9．（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则________． 10．（25-26高二上·安徽安庆·期中）椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上动点，下面说法正确的是____ ①.椭圆离心率为 ②.若，则的最大值为5 ③.的取值范围为 ④.作直线与椭圆相交于，两点，中点为，则 11．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）新月联盟的标志中有一轮新月与栖息于其上的鸽子，其中新月部分可看作将圆被直线所截得的劣弧部分绕该直线向内折叠得到的图形，如图所示．若直线与该图形的边缘恰有4个交点，则的取值范围是____________． 12．（24-25高二下·四川泸州·开学考试）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，则直线HN过定点____________． 二、选择题（本大题共4题，13—14题每题4分，15—16题每题5分，共18分） 13．（24-25高二上·辽宁·期末）已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 14．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 16．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）点关于直线对称的点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D．（去掉点） 三、解答题（本大题共5题，共78分；17—19题每题14分，20—21题每题18分） 17．（14分）（25-26高二下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，椭圆 的左焦点为，且到上任意一点的距离最小值为1． (1)求的方程； (2)过的直线与交于、两点，与轴交于点，且在线段之间，为的右顶点． （i）若的面积是的面积的3倍，求的方程； （ii）设，，证明：为定值． 18．（14分）（25-26高二下·云南昆明·期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点，过左焦点且与轴不重合的直线交于，两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若在轴上存在异于的定点，使得直线与直线的斜率比值为定值， ①求定点的坐标； ②求面积的最大值． 19．（14分）（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知圆与圆：关于直线对称． (1)求圆的标准方程． (2)过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 20．（18分）（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线： 的离心率为，点在双曲线上； (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 21．（18分）（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知椭圆的长轴长为，点在上． (1)求的离心率； (2)若点在上，为坐标原点，求面积的最大值； (3)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为（异于点），直线与的另一个交点为（异于点），求直线与轴的交点坐标． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $