第3章 圆锥曲线与方程（单元分层自测·基础通关卷）数学苏教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学单元自测 第3章 圆锥曲线与方程·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D C C B A B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．5 13．3 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由椭圆得， 根据椭圆定义可得， 所以的周长为.（6分） （2）设椭圆的左右焦点为，由题可得，， 由椭圆的定义， 即. 所以点P到右焦点的距离为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为．（6分） （2）联立得． 由题可得， 解得，．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意知，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且开口向下， 故设抛物线的方程为， 由图可知，隧道截面总宽度为米，总高度为米，长方形部分高度为米， 则抛物线部分的高度为米. 因为抛物线关于轴对称，所以点的横坐标为， 又因为点在轴下方米处，所以点的纵坐标为，即. 将点代入方程，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 又因为隧道宽度为米，所以的取值范围是， 故该隧道抛物线部分的方程为.（7分） （2）因为行车道总宽度为米，且关于轴对称， 所以车辆最外侧边缘的横坐标为或. 不妨取，代入抛物线方程，得，解得. 此时，隧道顶部在处距离地面的高度为米. 设通过隧道的车辆限制高度为米， 根据题意， 要求行驶车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米， 即，即，解得. 故通过隧道的车辆限制高度为米. （15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题可知， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为；（5分） （2）设，其中，， ， 所以， 因为，所以， 所以当时，取得最小值； 当时，取得最大值；（10分） （3）设直线的方程为， 联立，消去整理可得， 则，解得， 且， 因为，所以， 因为， 即， 整理可得， 即， 即，即， 解得或，都符合， 所以或.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得.（4分） （2）由（1）知，双曲线：，则， 所以右焦点，设， （ⅰ）因直线的斜率为2，则其方程为，即， 联立，消去整理得：， 由韦达定理，， ；（9分） （ⅱ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去整理得：， 则 由韦达定理，， 因， 则 ， 因为直线，的斜率之积为， 所以，化简得，解得或， 所以直线的方程为或.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第3章 圆锥曲线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为方程 表示一个焦点在轴上的椭圆， 所以 ，解得. 2．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】椭圆：的长半轴长， 分别是椭圆左、右焦点，点在上， 由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长， 所以. 3．已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为 由已知，可得， 化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 4．双曲线的两条渐近线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线 可化为 所以 ，，两条渐近线为 直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，因此两条渐近线的夹角为 5．已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为：， 设点到抛物线的准线：的距离为， 则，等号在时成立， 所以的最小值为9. 6．设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【解析】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解， 由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 7．设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，渐近线方程为，即，， 则，得 所以，则渐近线方程为. 8．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一：由题意可知：，且直线的斜率不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则，可得，， 则，， 可得， 所以的取值范围为； 解法二：设直线的倾斜角为，点在点上方， 则，， 则， 由题意知，，即， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 【答案】ABD 【解析】因为是抛物线的焦点，所以，解得，A正确； 设，因为点在抛物线上，故， 所以，B正确； 当与轴的正半轴夹角为时，此时，又， 故为等边三角形，C错误； 由抛物线性质，可知，故点在的垂直平分线上，D正确． 11．已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 【答案】5 【解析】抛物线：的准线为直线， 由上的一点到直线的距离为8，得点到直线的距离为5， 由抛物线定义得. 13．如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 【答案】3 【解析】设，且且， 则处的切线方程为，则， 故， ， 因为，所以，得（舍）或， 则，故. 14．在双曲线的一支上有不同的三点，，，且与焦点满足，则的值为________． 【答案】 【解析】已知双曲线方程，则，，， 根据双曲线的第二定义得，即， 同理，，， 因为，所以，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知直线MN经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于M，N两点，其左焦点为，求的周长． （2）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离． 【解析】（1）由椭圆得， 根据椭圆定义可得， 所以的周长为. （2）设椭圆的左右焦点为，由题可得，， 由椭圆的定义， 即. 所以点P到右焦点的距离为. 16．（15分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【解析】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 17．（15分） 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该隧道抛物线部分的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 【解析】（1）由题意知，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且开口向下，故设抛物线的方程为， 由图可知，隧道截面总宽度为米，总高度为米，长方形部分高度为米，则抛物线部分的高度为米. 因为抛物线关于轴对称，所以点的横坐标为， 又因为点在轴下方米处，所以点的纵坐标为，即. 将点代入方程，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 又因为隧道宽度为米，所以的取值范围是， 故该隧道抛物线部分的方程为. （2）因为行车道总宽度为米，且关于轴对称， 所以车辆最外侧边缘的横坐标为或. 不妨取，代入抛物线方程，得，解得. 此时，隧道顶部在处距离地面的高度为米. 设通过隧道的车辆限制高度为米， 根据题意， 要求行驶车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米， 即，即，解得. 故通过隧道的车辆限制高度为米. 18．（17分） 已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点． (1)求点到直线的距离； (2)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； (3)若直线的斜率为，且，求实数的值． 【解析】（1）由题可知， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为； （2）设，其中，， ， 所以， 因为，所以， 所以当时，取得最小值； 当时，取得最大值； （3）设直线的方程为， 联立，消去整理可得， 则，解得， 且， 因为，所以， 因为， 即， 整理可得， 即， 即，即， 解得或，都符合， 所以或. 19．（17分） 已知双曲线：（）的渐近线方程为. (1)求的值. (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 【解析】（1）已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得. （2）由（1）知，双曲线：，则， 所以右焦点，设， （ⅰ）因直线的斜率为2，则其方程为，即， 联立，消去整理得：， 由韦达定理，， ； （ⅱ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去整理得：， 则 由韦达定理，， 因， 则 ， 因为直线，的斜率之积为， 所以，化简得，解得或， 所以直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第3章 圆锥曲线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的两条渐近线的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．6 B．10 C．12 D．15 7．设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 11．已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 13．如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 14．在双曲线的一支上有不同的三点，，，且与焦点满足，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知直线MN经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于M，N两点，其左焦点为，求的周长． （2）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离． 16．（15分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 17．（15分） 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该隧道抛物线部分的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 18．（17分） 已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点． (1)求点到直线的距离； (2)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； (3)若直线的斜率为，且，求实数的值． 19．（17分） 已知双曲线：（）的渐近线方程为. (1)求的值. (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学单元自测 第3章 圆锥曲线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的两条渐近线的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知点是抛物线：上任意一点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．6 B．10 C．12 D．15 7．设双曲线（，）的左焦点到两条渐近线的距离之和为，为该双曲线的半焦距，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8．直线过抛物线的焦点，交抛物线于，两点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 11．已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______． 13．如图，过椭圆上一点作椭圆的切线分别交轴于点 ，则 _____.（若在椭圆上，则处的切线方程为 ) 14．在双曲线的一支上有不同的三点，，，且与焦点满足，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）已知直线MN经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于M，N两点，其左焦点为，求的周长． （2）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为7，求点P到右焦点的距离． 16．（15分） 已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 17．（15分） 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该隧道抛物线部分的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 18．（17分） 已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点． (1)求点到直线的距离； (2)若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； (3)若直线的斜率为，且，求实数的值． 19．（17分） 已知双曲线：（）的渐近线方程为. (1)求的值. (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $