第二章 圆锥曲线（高效培优单元自测·强化卷）数学北师大版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学第二章圆锥曲线单元强化卷，覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度题型，适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|双曲线渐近线夹角、抛物线焦半径、椭圆离心率范围等|聚焦概念辨析与基本运算，如第5题结合椭圆定义探究离心率取值，体现数学眼光| |多项选择题|3/18|椭圆性质、抛物线焦点准线关系、方程曲线类型判断|考查多维度理解，如第10题综合抛物线定义与几何性质，发展推理能力| |填空题|3/15|双曲线渐近线方程、椭圆弦长、共渐近线双曲线方程|强化数学语言表达，如第13题通过直线与椭圆相交求弦长，提升运算能力| |解答题|5/67|椭圆方程求解、直线与椭圆位置关系、双曲线中点问题等|综合创新设计，如第19题探究线段中点存在性，融合几何直观与逻辑推理，符合真题命题趋势|

第二章 圆锥曲线（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．双曲线的两条渐近线的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的离心率为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，其中为定点且＝8，若且到的距离为2，是的中点，则点到中点的距离是（    ） A．8 B．4 C．2 D． 7．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知抛物线：（），若圆与的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 11．关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知双曲线的离心率，则渐近线方程为________、________． 13．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 14．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 16．（15分）设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线相交于两点，点为线段的中点． (1)求的取值范围； (2)求证：点的纵坐标为定值． 17．（15分）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 18．（17分）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 19．（17分）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆锥曲线（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．双曲线的两条渐近线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将双曲线化为标准方程，根据渐近线公式求出两条渐近线，再由两条渐近线的倾斜角求夹角． 【详解】双曲线 可化为 所以 ，，两条渐近线为 直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，因此两条渐近线的夹角为 2．若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，由抛物线，得， 因为，所以，解得，又，所以， 所以的面积为. 3．双曲线的离心率为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用双曲线的离心率定义及参数的关系列方程求解的值. 【详解】由题干可得：，， 又 ，代入已知条件得 ，整理得，即， 结合的条件，解得. 4．已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 5．已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义和题设等式求出焦半径，再结合椭圆中焦半径的范围，求解不等式即得离心率范围.． 【详解】由椭圆的定义，得， 又，联立解得， 因， 即 ,解得, 则离心率， 又，所以． 6．已知集合，其中为定点且＝8，若且到的距离为2，是的中点，则点到中点的距离是（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】B 【详解】由，知点M的轨迹为椭圆． 又，∴， 又为三角形的中位线，∴. 7．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 8．已知抛物线：（），若圆与的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径为3， 由C的准线与该圆相切，得圆心到准线的距离为，解得， 所以C的焦点坐标为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 10．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 【答案】ABD 【分析】由抛物线的定义与性质依次验证选项即可，对于C，只需要考虑是否存在内角为的情况即可. 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，解得，A正确； 设，因为点在抛物线上，故， 所以，B正确； 当与轴的正半轴夹角为时，此时，又， 故为等边三角形，C错误； 由抛物线性质，可知，故点在的垂直平分线上，D正确． 11．关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知双曲线的离心率，则渐近线方程为________、________． 【答案】 【详解】因为双曲线的离心率， 所以，即，， 又，则， 所以双曲线的渐近线方程为． 13．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【答案】/ 【分析】依题意，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得. 【详解】由题意知，椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为． 联立方程，消去y整理得． 设，由根与系数的关系，得． 则. 14．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 【答案】 【详解】依题意，设双曲线M的方程为， 将点代入得,解得， 所以双曲线M的方程为. 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值. 【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 16．（15分）设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线相交于两点，点为线段的中点． (1)求的取值范围； (2)求证：点的纵坐标为定值． 【答案】(1). (2)证明：设，则, 则点Q的纵坐标为. ∴点Q的纵坐标为定值2. 【分析】(1)利用直线与抛物线联立得到一元二次方程，然后利用判别式大于0求参数范围即可； (2)使用韦达定理得到纵坐标两根之和与的关系，然后得到定值 【详解】（1）直线l：与抛物线：联立得， ∴， 解得. （2）略 17．（15分）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【详解】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 18．（17分）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，坐标为 (2) 【详解】（1）因为椭圆方程为，所以，，所以， 所以，，，所以长轴长为，短轴长为，焦距为， 坐标为； （2）因为，两点在椭圆上，所以 ， ， 所以的周长为 . 19．（17分）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）略 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 圆锥曲线（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B B B C B 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9 10 11 ABD ABD ABD 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共20分．） 12． 13．/ 14． 四、解答题（本题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值. 【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 16．（15分） 【答案】(1). (2)证明：设，则, 则点Q的纵坐标为. ∴点Q的纵坐标为定值2. 【分析】(1)利用直线与抛物线联立得到一元二次方程，然后利用判别式大于0求参数范围即可； (2)使用韦达定理得到纵坐标两根之和与的关系，然后得到定值 【详解】（1）直线l：与抛物线：联立得， ∴， 解得. （2）略 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【详解】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 18．（17分） 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，坐标为 (2) 【详解】（1）因为椭圆方程为，所以，，所以， 所以，，，所以长轴长为，短轴长为，焦距为， 坐标为； （2）因为，两点在椭圆上，所以 ， ， 所以的周长为 . 19．（17分） 【答案】(1) (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）略 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $