第6章 幂函数、指数函数和对数函数全章高频重点题型突破（专项训练）数学苏教版必修第一册

第6章 幂函数、指数函数和对数函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型一、幂函数的图像与性质 题型二、指数函数的定义域与值域 题型三、指数函数的图像问题 题型四、指数函数（复合）的单调性与最值 题型五、对数函数的定义域与值域 题型六、对数函数的图像问题 题型七、对数函数（复合）的单调性与最值 题型八、指数函数与对数函数的定点 题型九、幂指对函数的比大小 题型十、幂指对函数的实际应用 核心提升：重难题型归纳 题型一、幂指对函数与奇偶性结合 题型二、幂指对函数的综合应用 题型三 幂指对函数恒成立与有解问题 题型四 新定义函数问题 题型专练：高频重难特训 题型一、幂函数的图像与性质 1．（2026·高一·安徽宣城·阶段检测）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由是幂函数，则，解得； 因为图象关于轴对称，所以函数为偶函数，则指数为偶数； 又图象与轴、轴均无交点，所以，即， 又且，只需检验，易得只有时，为偶数， 故，所以，符合题意，因此． 2．（2026·高一·江苏·阶段检测）“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意得，因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，，如图所示， 图像经过第一、二象限； 当时，，如图所示， 图像分布在 第一、三象限. 故可得“幂函数的图象分布在第一、二象限”等价于“”， 于是“”可推出“或2”，而“或2”推不出“”， 于是“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的充分不必要条件. 故选：C. 3．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中③对应的幂函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】图中4个函数图象对应的幂函数分别为：①表示，②表示，③表示，④表示. 故选：B 4．关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 【答案】C 【解析】若的图象不过原点，A错误； 对于幂函数，当时，恒成立，因此函数图象不过第四象限，B错误； 当时，的定义域为，且在上单调递增，为非奇非偶函数，C正确； 当时，的图象过第一、三象限，D错误． 故选：C. 题型二、指数函数的定义域与值域 5．（2026·高一·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域满足，解得. 所以该函数的定义域为. 故选：B. 6．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 7．（2026·高一·河北·期末）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调递增，所以要使函数的值域为， 须满足函数在上单调递增，即， 且，解得， 则． 故选：D 8．（2026·高一·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为 所以，解得. 所以的定义域为 由得 所以. 当，即时，， 当，即时，. 所以的值域为, 故选：A. 题型三、指数函数的图像问题 9．（2026·高三·河南·阶段检测）已知函数，若且，则的最小值为（   ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【解析】 作出函数的图象，如图所示，因为，即，因为，由图可知，，即，所以有． 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A． 10．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】D 【解析】对于A，根据图象为单调递减的，可知，即A错误； 对于B，由函数图象与轴交点在负半轴上，即可得，可得，因此B错误； 对于C，根据已有分析可知，所以，即C错误； 对于D，由可知函数的图象单调递增，且与轴交点在正半轴上， 因此可知函数的图象不经过第四象限. 故选：D 11．（2026·高一·河北邯郸·期末）“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由图象不经过第一象限，则，解得， 而，故是图象不经过第一象限的必要不充分条件． 故选：B 12．（2026·高二·山东枣庄·学业考试）的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 由图知函数单调递减，故，排除A，B项； 由图知，当时，， 因时，函数为减函数，故得. 故选：D. 题型四、指数函数（复合）的单调性与最值 13．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 当时，， 所以如果存在最小值， 则，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 14．（2026·高二·江西赣州·阶段检测）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B. 15．（2026·高三·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 16．（2026·高一·四川成都·阶段检测）函数在区间上的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，令，则， 原函数化为，函数开口向上，对称轴为，， 在对称轴处取得最小值，最小值为, 所以的最小值为1． 故选：D． 题型五、对数函数的定义域与值域 17．（2026·高三·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得， 则， 则为增函数，所以． 18．（2026·高一·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，由，得， ， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 19．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，即，解得， 则函数的定义域为． 故选：D 20．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 函数的值域为，即能取到所有正数. 当时，，能取到所有正数，满足条件； 当时，是开口向上的二次函数，要让函数取到所有正数， 需，所以； 当时，是开口向下的二次函数，无法取到所有正数，不符合条件. 综上，. 故实数的取值范围是. 题型六、对数函数的图像问题 21．（2026·高三·江苏宿迁·期末）已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可得，，， 则，故A正确； 则，故B正确； 因为，，所以，故C错误； 当时，，满足，故D可能成立； 故选：C． 22．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，其中， 要使得当时，不等式恒成立， 只需在上的图象位于的图象的下方， 如图所示，画出函数和的图象， 当时，函数在上的图象位于的图象的上方，不符合题意，舍去； 当时，只需，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：C. 23．（2026·高一·广东江门·期末）已知函数且的图像经过坐标原点.则函数与函数在同一直角坐标系下的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数且的图像经过坐标原点. 所以，得到. 所以且. 当时，函数的图象为选项A,B中的图象， 此时，因为， 所以，所以，由图可知A,B均错误； 当时，函数的图象为选项C,D中的图象， 此时，因为， 所以，因为，所以有可能大于1， 所以根据图象可知，D正确. 故选：D. 24．（2026·高一·湖南·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以函数的定义域为，关于原点对称，D选项错误； 又， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A选项； 当时，函数，故排除C选项. 故选：B. 题型七、对数函数（复合）的单调性与最值 25．（2026·高三·江苏·阶段检测）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，解得或，即函数定义域为. 设， ，在上单调递减. 是开口向上的二次函数，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”规则，的单调增区间为. 26．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，得，故的取值范围是. 27．（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则, 令, 所以函数存在最小值， 则在上有大于0的最小值, 由二次函数的图像与性质可得：， 解得：, 所以实数的取值范围是 故选：A 28．（2026·高一·山东聊城·阶段检测）已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】D 【解析】化简得，，当时，，因此， 由二次函数性质可知在区间上单调递减. 当时，函数在定义域内单调递增，所以函数在区间上单调递减， 所以，由题意可得，解得，符合； 当时，函数在定义域内单调递减，所以函数在区间上单调递增， 所以， 由题意可得，解得，符合. 综上，或. 故选：D. 题型八、指数函数与对数函数的定点 29．（2026·高一·广东肇庆·期末）已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】依题意，当，即时，恒有，因此点， 当时，恒有，因此点，所以. 故选：B. 30．（2026·高一·四川南充·阶段检测）已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由指数函数的图象恒过定点可知 函数的图象恒过定点. 又点在直线上， 所以，所以. 则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 31．（2026·高一·云南·期中）已知关于的函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为指数函数（且）的图象过定点， 令，即，得对应的函数值， 所以函数（且）的图象恒过定点． 故选：C． 32．（2026·高一·广东东莞·期中）函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由（且）， 令，则， 即的图象恒过定点，则， 由，所以，， 又， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 题型九、幂指对函数的比大小 33．函数的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由图可知，直线与x轴上半部分图象交点的横坐标从小到大依次为， 由此可知． 故选：D 34．（2026·高一·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 而， 所以. 故选：C. 35．（2026·高三·江苏镇江·开学考试）设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，又， ，即. 故选：D. 36．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知，，，则a、b、c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，故， 因为，所以， 因为，所以，所以，即 故选：D 题型十、幂指对函数的实际应用 37．（2026·高一·广东江门·期末）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道宽度W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当时，公式中真数里的1可以忽略不计.按照香农公式，若将带宽W变为原来的2倍，信噪比从100提升到2000，传递速度C变为原来的k倍，则k约为（   ）其中 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 当时，， 则， 故传递速度C大约是原来的倍． 故选：C. 38．（2026·高一·吉林长春·期末）华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（    ） （参考数值：） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， 由参考数值可得：， 大约增加了， 故选：B 39．（2026·高二·江苏徐州·期末）我们通常用里氏震级来标定地震规模的大小，里氏震级与震源中心释放的能量有关，二者满足关系式2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，2024年6月12日，四川甘孜州石渠县发生里氏4.7级地震，则里氏8.0级地震释放的能量是里氏4.7级地震释放的能量的（    ） A．1.7倍 B．4.95倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【解析】当时，有，即，即， 当时，有，即，即， 故. 故选：D. 40．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为yKB． （1）y关于x的函数解析式为______； （2）如果病毒占据内存不超过，时，计算机能够正常使用，则本次开机计算机能正常使用_____分钟． 【答案】 ， 57 【解析】因为这种病毒开机时据内存，每3分钟后病苺所占内存是原来的2倍， 所以，一个三分钟后它占据的内存为； 两个三分钟后它占据的内存为； 三个三分钟后它占据的内存为； 所以分钟后的病每所占内存为， 所以，． （2）由题意，病毒占据内存不超过时，计覚机能够正常化用，又， 故有，解得． 所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟． 故答案为：，；57 题型一、幂指对函数与奇偶性结合 1．（2026·高一·四川凉山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减. (1)求的值； (2)已知实数满足不等式，求实数的取值范围. 【解析】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，即， 因为，所以或， 又幂函数的图象关于轴对称， 时，满足题意；时，不满足题意， 所以. （2）由（1）可得，所以， 又幂函数在和上单调递减， 可得：或或， 解得：或或空集， 综上，实数的取值范围是. 2．（2026·高一·湖北荆州·期末）已知函数是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，得， 则， 因为函数是R上的奇函数， 所以恒成立，所以. 则，函数在R上单调递减. （2）由题意得是R上的奇函数，可得， 有， 又因为函数在R上单调递减，所以， 整理得，则， 解得，所以实数x的取值范围是. 3．（2026·高一·广东广州·期中）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； 【解析】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. 4．（2026·高一·江苏盐城·期末）已知函数 (1)当时，解不等式 ； (2)若函数是偶函数，求实数的值； (3)在（2）的条件下，若函数的最小值为，求实数的值． 【解析】（1）当时，， 则不等式，可得，即为 因为为单调递增函数，可得，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）由函数为偶函数， 则满足，即， 所以， 又因为， 所以恒成立，所以，即实数的值为. （3）由（2）知：函数， 可得 ， 因为， 所以， 令，可得， 又因为的最小值为，即在上的最小值为， 则满足，解得；或，此时无解. 综上可得，故实数的值为. 题型二、幂指对函数的综合应用 5．（2026·高一·浙江台州·期末）已知函数与函数关于对称． (1)求函数的解析式； (2)，都有，求的取值范围． 【解析】（1）令， 因为函数与函数关于对称， 所以， 所以， 所以. （2）因为，所以， 因为， 所以，所以. 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 同理，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 令，则在上单调递减， 又因为对任意的，都成立， 所以，即. 6．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围． 【解析】（1）的定义域为， 因为，可得. 又因为且，所以. （2）由（1）可知：. 因为，， 则，，可得. 因为在上单调递增， 则，即在上恒成立. 又在上最小值为0，则，解得， 且，所以的取值范围为. 7．（2026·高一·广东深圳·期末）设函数． (1)当时， （i）求的定义域； （ii）解不等式； (2)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）（i）当时，， 于是有， 所以函数的定义域为； （ii）由题意，知， 由或， 由，所以， 原不等式的解集为； （2），即， 因为在上是增函数，在上是减函数， 所以函数在上是增函数， 所以时，； 时，， 所以实数的取值范围是． 8．（2026·高一·云南昆明·期末）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 【解析】（1）当时，的定义域为，因为，所以是增函数， 即，所以，解得， 所以的解集为． （2），所以，（） ， ，因为，所以，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2． （3）因为，所以是增函数，所以在上的最小值为，最大值为， ，在的最大值与最小值之和不大于，即 等价转化为恒成立， 因为，所以的最大值为，所以，化简得， 解得，又因为， 所以． 题型三 幂指对函数恒成立与有解问题 9．（2026·高二·上海·期末）已知函数为定义在上的偶函数，其中． (1)求实数的值； (2)设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）由为偶函数，得，即，解得， 当时，，且对于任意的，都有， 经此检验知，当为偶函数时，的值为； （2）由，等号当且仅当时成立， 问题转化为不等式对于恒成立， 即对于恒成立， 令，由，且， 代入可知对于恒成立， ， 由于函数在上严格增，当时取最小值为0， 因此，实数的取值范围是. 10．（2026·高一·安徽·期中）已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【解析】（1）设（，且）， 由，得， 所以. （2）由题意得，所以是偶函数. 由（1）得, 任取则， ， ，所以在上单调递增， 由，得， 易得，， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为， 所以， 得， 即t的取值范围为. 11．（2026·高一·湖南长沙·期末）已知是定义域为的奇函数，且． (1)求实数的值； (2)用定义法证明在上是减函数； (3)若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由于定义域为的函数是奇函数， 所以，解得, 当时，，故是定义域为的奇函数， 所以. （2）证明如下：设任意， ∵，∴，即，∴， ∴在上是减函数． （3）由不等式移项得， 又因为为奇函数，所以， 所以. 因为在上是减函数， 所以，即，对恒成立， 令，当且仅当，即时，等号成立， 所以． 12．（2026·高一·天津·期末）设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并求证； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数的定义域为，且是奇函数， 所以，解得， 此时．，满足题意，所以． （2）是上的增函数，证明如下： 对于任意的实数，且， ， 因为指数函数是增函数，所以，故， ，所以，即， 所以是上的增函数． （3）因为函数是奇函数，所以， 即 又是上的增函数，所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为，当且仅当即时等号成立 所以，即实数的取值范围是． 题型四 新定义函数问题 13．（2026·高一·江苏南通·期末）已知，的定义域均为，给出下面两个定义： ①若，，则称与为“任意交换函数组”； ②若有且仅有一个，使得，则称与为“唯一交换函数组”． (1)判断下列函数组是否是“任意交换函数组”或者“唯一交换函数组”． ①，；②，． (2)设，（），且与为“任意交换函数组”． ①求的解析式； ②设，若存在，使得与为“唯一交换函数组”，求实数的取值范围． 【解析】（1）对于①，，， 所以恒成立，所以与为“任意交换函数组”． 对于②，，， 由得，所以与为“唯一交换函数组”． （2）①因为与为“任意交换函数组”，所以恒成立， 因为，， 所以，解得，所以． ②因为与为“唯一交换函数组”， 由， 整理得到， 所以方程有且只有一个解． 则，整理得到， 方法一：因为，所以， 因为存在满足条件，故只需要， 化简得， 若，，解得， 若，由，解得． 综上可得或． 方法二：方程在区间上有解， 若有一解，则， 解得或． 若有两解，则，即， 即，又，所以，所以方程组无解， 综上可得或． 14．（2026·高一·广东广州·期末）若函数的值域是它的定义域的一个子集，则称是“自满的”. (1)判断函数是否为“自满的”，并说明理由； (2)已知，函数是“自满的”； （i）若，求的取值范围； （ii）求的最大值. 【解析】（1）是，理由如下： ， 则，解得：，即定义域. 令，，则，故. 在上单调递增，因此值域为， 因为，所以，故， 所以为“自满的”. （2）（i）由可得：， 所以， 因为为“自满的”，所以，可得， 即，解得. 由于是“自满的”，， 所以的值域为，即对称轴，解得. ，设，则 因为函数在上单调递增，所以 所以的取值范围是. （ii）方法1：由题得的值域是的子集，的对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， 所以，可得， 因为，所以，故； ②当，即时， ， 所以，， 所以，则. 化简可得. 由可得：，即. 所以，结合，可得， 则，解得：. ③当，即时， ， 所以，， 所以，则. 化简可得. 由可得：，即. 所以，结合，可得， 则，解得：. ④当，即时，在上单调递减， 所以，可得， 因为，所以，故，即； 综上可得，当时，的值域为，满足题意，所以的最大值为4. 方法2：因为为“自满的”，所以 所以对任意，即， 因为， 所以， 所以，当时，的值域为，满足题意，所以的最大值为4. 15．（2026·高一·山西忻州·期末）定义一种新的运算“”：，都有． (1)对于任意实数，试判断与的大小关系； (2)若关于的不等式的解集中恰有5个整数，求实数的取值范围； (3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，都有， 所以， ， 所以. （2）因为， 所以不等式可化为， 即， 要满足题意，则必有，解得或， 令，则其图象对称轴为直线， 由于，，则， 所以函数的一个零点在区间， 要使关于的不等式的解集中恰有5个整数， 则这个整数解是， 所以的另一个零点在区间 , 从而，即， 解得或， 综上所述，实数的取值范围是. （3）因为， 所以 ， 设，其中，令，则，则， 所以，则， 所以函数的值域为， 由 ， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以， 故函数的值域为， 根据题意可得，，所以 ， 即，所以且， 解得且， 所以实数的取值范围是. 16．（2026·高一·广东汕尾·期末）在函数性质中，我们定义两种函数变换：对于函数，定义其偶性分量为，奇性分量为． 设函数，其中． (1)求的偶性分量和奇性分量； (2)若的最小值为2，求的值； (3)设函数，且，求函数在区间上的值域． 【解析】（1）     . （2）由， 因为，所以，     当且仅当，即时，等号成立． 又因为是增函数，故，     由题意知，的最小值为2，故，即．     经检验，当时，，满足条件． （3）， 此时有，所以 令，则，令，     对任意     所以在上单调递增， 因为在上单调递增， 故在上单调递增，且，     令，     对任意，有， 在上单调递增，又因为在上单调递增，     所以在上单调递增， 故，     又因为时，，故， 所以的值域为． 1．（2026·高一·福建厦门·期中）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递增，且，所以，即， 因为在上单调递减，且，所以，即，所以. 2．设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增，且，所以，即. 因为函数在R上单调递减，且，所以，即，所以. 3．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）函数的最小值是（    ） A．不存在 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】令，则，. 因为，所以. 因为函数在区间上单调递增，所以. 所以函数没有最小值. 4．（2026·高二·河南驻马店·开学考试）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，所以，且函数是减函数， 所以， 在上单调递减，在上单调递增， 令，解得， 由复合函数单调性可得 函数的单调递增区间为 5．（2026·高三·北京门头沟·开学考试）已知函数，则是（     ） A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 【答案】C 【解析】由题知，解得，定义域关于原点对称，代入得： ， 因此是奇函数，故B、D错误. 将函数化简为，令内层函数， 可知该函数在上随增大单调递减； 外层函数是单调递增函数，故在整个定义域上单调递减， 因此在子区间上也单调递减. 综上，是奇函数且在单调递减，故C正确. 6．方程正实数解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】注意到， 故，即， 等式两边除以，得， 又在上单调递减，且， 所以只能，解得． 7．已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 构造函数：， 易知函数是上的减函数，且， 由，可知：， 又，所以，则， 又因为，所以． 8．设函数，则函数（   ） A．是偶函数也是周期函数 B．是偶函数但不是周期函数 C．不是偶函数是周期函数 D．既不是偶函数也不是周期函数 【答案】A 【解析】根据题意，， 易分析知皆有，故而有，是一个常数函数， 从而说明既是偶函数也是周期函数（无最小正周期），故A正确. 9．（多选题）（2026·高一·河南·期中）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的单调递增区间为 C．函数与是同一函数 D．若函数是幂函数，则 【答案】AC 【解析】对于A选项，因为函数的定义域为， 所以对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为，故A正确； 对于B选项，函数在和上单调递增， 其单调递增区间应写成和，不能用并集符号“”连接，故B错误； 对于C选项，当时，， 当时，， 所以， 这与的对应关系和定义域完全相同， 所以与是同一函数，故C正确； 对于D选项，若函数是幂函数， 则需满足系数为，即， 解得或. 所以“若函数是幂函数，则”这一说法不全面，故D错误. 10．（多选题）（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为，则 C．若的值域为，则 D．若在上单调递增，则 【答案】ABD 【解析】选项A：若的定义域为，则对任意恒成立. 当时，恒成立，符合要求； 当时，需满足，解得，综上故A正确; 选项B：若的定义域为，则不等式的解集为，可得，解得，故B正确； 选项C：若的值域为，则函数的值域包含区间，此时需满足，解得，故C错误； 选项D：若在上单调递增，则在上有定义，又函数的对称轴为，需满足，得，故D正确. 11．（多选题）（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）已知函数的定义域为R，则下列说法正确的是（    ） A．若在R是增函数，则的值域是R； B．若对任意的，有，则在R上单调递减； C．若存在n个（，，），使得成立，则在R上单调递增； D．若定义在R上的函数对任意实数a，b均有，，当时，．则不等式的解集为． 【答案】BD 【解析】选项A，单调递增函数的值域不一定是R.例如取，它在R上单调递增， 但其值域为，并非全体实数R，与选项表述不符，错误； 选项B，任取且，当时，， 由得，即， 符合R上单调递减的定义，正确； 选项C，单调递增要求对任意，都有， 仅存在n个点满足不能保证函数整体单调. 例如取，取时，有， 但在R上不是单调递增函数，与选项表述不符，错误； 选项D，令，由 得，故或； 若，则对任意都有，与矛盾，故. 由知，且； 当时，，若存在，使，则， 而，应有，矛盾； 结合，故在R上恒为正. 由及，得. 任取，则，由条件， 于是，故在R上单调递减. 原不等式左端化为， 由及单调递减，得， 即，解得，解集为，正确. 12．（2026·高一·上海嘉定·阶段检测）若是正整数，方程有两个不相等的实数根、，且，则正整数的最小值为______． 【答案】3 【解析】因为方程有两个不相等的实数根、， 所以有，，解得，， 所以要有， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以正整数的最小值为3. 13．（2026·高一·北京·期中）函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】由题定义域为R， ， 故为奇函数，则等价于， 又当时，函数单调递增，函数在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增，又为奇函数， 所以函数在定义域上单调递增， 所以，解得. 即不等式的解集为 14．（2026·高一·广西玉林·期中）已知函数（且）经过点． (1)求的值； (2)①求值；②若，求的值． (3)画出函数图象，直接写出该函数在上的值域及单调区间； 【解析】（1）由题意，得， 而且，则. （2）①由（1）知，， 则，即. ②由，解得. （3）由（1）知，， 则函数的图象为： 由图可知，函数在上的值域为， 单调递增区间为，单调递减区间为. 15．函数，若在区间内恒有，解关于x的不等式． 【解析】若，则， 因为在区间上恒成立，所以， 因为均在上单调递增， 所以， 因为均在上单调递增， 所以， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， 则由 可得， 则，即， 得（舍）或，得， 故不等式的解集为. 16．（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【解析】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． 17．（2026·高二·重庆·期末）已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）的定义域为，又为奇函数，则. 又，即，解得. 则， 由，则，满足条件. （2）由（1）知， ，均在上单调递增， 在上单调递增. 在时恒成立，是上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， ，成立，此时，时，得到． 且令，即在时恒成立. 又，当且仅当时等号成立， 即，故. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型一、幂函数的图像与性质 题型二、指数函数的定义域与值域 题型三、指数函数的图像问题 题型四、指数函数（复合）的单调性与最值 题型五、对数函数的定义域与值域 题型六、对数函数的图像问题 题型七、对数函数（复合）的单调性与最值 题型八、指数函数与对数函数的定点 题型九、幂指对函数的比大小 题型十、幂指对函数的实际应用 核心提升：重难题型归纳 题型一、幂指对函数与奇偶性结合 题型二、幂指对函数的综合应用 题型三 幂指对函数恒成立与有解问题 题型四 新定义函数问题 题型专练：高频重难特训 题型一、幂函数的图像与性质 1．（2026·高一·安徽宣城·阶段检测）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则（　　） A． B． C． D． 2．（2026·高一·江苏·阶段检测）“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中③对应的幂函数是（   ） A． B． C． D． 4．关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 题型二、指数函数的定义域与值域 5．（2026·高一·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·江苏常州·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·河北·期末）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 题型三、指数函数的图像问题 9．（2026·高三·河南·阶段检测）已知函数，若且，则的最小值为（   ） A． B．9 C． D． 10．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 11．（2026·高一·河北邯郸·期末）“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2026·高二·山东枣庄·学业考试）的图象如图所示，为常数，则（    ） A． B． C． D． 题型四、指数函数（复合）的单调性与最值 13．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（2026·高二·江西赣州·阶段检测）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（2026·高三·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2026·高一·四川成都·阶段检测）函数在区间上的最小值为（      ） A． B． C． D． 题型五、对数函数的定义域与值域 17．（2026·高三·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·高一·广东广州·期末）已知，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 19．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·高二·黑龙江哈尔滨·期末）函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型六、对数函数的图像问题 21．（2026·高三·江苏宿迁·期末）已知函数的图象如图所示，则下列关系不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 22．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2026·高一·广东江门·期末）已知函数且的图像经过坐标原点.则函数与函数在同一直角坐标系下的图象可能是（   ） A． B． C． D． 24．（2026·高一·湖南·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型七、对数函数（复合）的单调性与最值 25．（2026·高三·江苏·阶段检测）函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 26．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 27．（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（2026·高一·山东聊城·阶段检测）已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 题型八、指数函数与对数函数的定点 29．（2026·高一·广东肇庆·期末）已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．（2026·高一·四川南充·阶段检测）已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·高一·云南·期中）已知关于的函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 32．（2026·高一·广东东莞·期中）函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D．1 题型九、幂指对函数的比大小 33．函数的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是（   ）    A． B． C． D． 34．（2026·高一·内蒙古赤峰·期中）已知，，，则三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 35．（2026·高三·江苏镇江·开学考试）设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 36．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知，，，则a、b、c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 题型十、幂指对函数的实际应用 37．（2026·高一·广东江门·期末）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道宽度W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当时，公式中真数里的1可以忽略不计.按照香农公式，若将带宽W变为原来的2倍，信噪比从100提升到2000，传递速度C变为原来的k倍，则k约为（   ）其中 A． B． C． D． 38．（2026·高一·吉林长春·期末）华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（    ） （参考数值：） A． B． C． D． 39．（2026·高二·江苏徐州·期末）我们通常用里氏震级来标定地震规模的大小，里氏震级与震源中心释放的能量有关，二者满足关系式2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，2024年6月12日，四川甘孜州石渠县发生里氏4.7级地震，则里氏8.0级地震释放的能量是里氏4.7级地震释放的能量的（    ） A．1.7倍 B．4.95倍 C．倍 D．倍 40．一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为yKB． （1）y关于x的函数解析式为______； （2）如果病毒占据内存不超过，时，计算机能够正常使用，则本次开机计算机能正常使用_____分钟． 题型一、幂指对函数与奇偶性结合 1．（2026·高一·四川凉山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减. (1)求的值； (2)已知实数满足不等式，求实数的取值范围. 2．（2026·高一·湖北荆州·期末）已知函数是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 3．（2026·高一·广东广州·期中）已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； 4．（2026·高一·江苏盐城·期末）已知函数 (1)当时，解不等式 ； (2)若函数是偶函数，求实数的值； (3)在（2）的条件下，若函数的最小值为，求实数的值． 题型二、幂指对函数的综合应用 5．（2026·高一·浙江台州·期末）已知函数与函数关于对称． (1)求函数的解析式； (2)，都有，求的取值范围． 6．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围． 7．（2026·高一·广东深圳·期末）设函数． (1)当时， （i）求的定义域； （ii）解不等式； (2)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围． 8．（2026·高一·云南昆明·期末）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 题型三 幂指对函数恒成立与有解问题 9．（2026·高二·上海·期末）已知函数为定义在上的偶函数，其中． (1)求实数的值； (2)设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 10．（2026·高一·安徽·期中）已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 11．（2026·高一·湖南长沙·期末）已知是定义域为的奇函数，且． (1)求实数的值； (2)用定义法证明在上是减函数； (3)若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围． 12．（2026·高一·天津·期末）设为实数，已知函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并求证； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型四 新定义函数问题 13．（2026·高一·江苏南通·期末）已知，的定义域均为，给出下面两个定义： ①若，，则称与为“任意交换函数组”； ②若有且仅有一个，使得，则称与为“唯一交换函数组”． (1)判断下列函数组是否是“任意交换函数组”或者“唯一交换函数组”． ①，；②，． (2)设，（），且与为“任意交换函数组”． ①求的解析式； ②设，若存在，使得与为“唯一交换函数组”，求实数的取值范围． 14．（2026·高一·广东广州·期末）若函数的值域是它的定义域的一个子集，则称是“自满的”. (1)判断函数是否为“自满的”，并说明理由； (2)已知，函数是“自满的”； （i）若，求的取值范围； （ii）求的最大值. 15．（2026·高一·山西忻州·期末）定义一种新的运算“”：，都有． (1)对于任意实数，试判断与的大小关系； (2)若关于的不等式的解集中恰有5个整数，求实数的取值范围； (3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 16．（2026·高一·广东汕尾·期末）在函数性质中，我们定义两种函数变换：对于函数，定义其偶性分量为，奇性分量为． 设函数，其中． (1)求的偶性分量和奇性分量； (2)若的最小值为2，求的值； (3)设函数，且，求函数在区间上的值域． 1．（2026·高一·福建厦门·期中）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）函数的最小值是（    ） A．不存在 B．2 C．1 D．0 4．（2026·高二·河南驻马店·开学考试）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·北京门头沟·开学考试）已知函数，则是（     ） A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 6．方程正实数解为（   ） A．1 B． C． D． 7．已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 8．设函数，则函数（   ） A．是偶函数也是周期函数 B．是偶函数但不是周期函数 C．不是偶函数是周期函数 D．既不是偶函数也不是周期函数 9．（多选题）（2026·高一·河南·期中）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数的单调递增区间为 C．函数与是同一函数 D．若函数是幂函数，则 10．（多选题）（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为，则 C．若的值域为，则 D．若在上单调递增，则 11．（多选题）（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）已知函数的定义域为R，则下列说法正确的是（    ） A．若在R是增函数，则的值域是R； B．若对任意的，有，则在R上单调递减； C．若存在n个（，，），使得成立，则在R上单调递增； D．若定义在R上的函数对任意实数a，b均有，，当时，．则不等式的解集为． 12．（2026·高一·上海嘉定·阶段检测）若是正整数，方程有两个不相等的实数根、，且，则正整数的最小值为______． 13．（2026·高一·北京·期中）函数，则不等式的解集为______. 14．（2026·高一·广西玉林·期中）已知函数（且）经过点． (1)求的值； (2)①求值；②若，求的值． (3)画出函数图象，直接写出该函数在上的值域及单调区间； 15．函数，若在区间内恒有，解关于x的不等式． 16．（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 17．（2026·高二·重庆·期末）已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $