专题05 幂函数、指数函数与对数函数大题综合六大常考题型（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题05 幂函数、指数函数与对数函数大题综合六大常考题型 题型一 幂函数性质及其综合应用 题型二 指数函数性质及其综合应用 题型三 对数函数性质及其综合应用 题型四 指数函数与对数函数结合综合应用 题型五 幂指对函数零点与方程的综合应用 题型六 幂指对函数的新定义综合问题 题型一：幂函数性质及其综合应用 1．已知幂函数在上单调递减． (1)若命题：，为真命题，求实数的最小值； (2)求不等式的解集． 2．已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 3．已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 4．已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若函数，当时，的最大值为16，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数a，b（），使得函数在上的值域为？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 5．已知幂函数的图象经过点，函数. (1)证明：是偶函数. (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增. (3)求不等式的解集. 6．已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)函数在上的最小值为，求实数的值. 题型二：指数函数性质及其综合应用 1．已知函数（常数）. (1)当时，解不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的奇偶性，并说明理由. 2．定义在上的奇函数和偶函数满足． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值． 3．设函数（，且）． (1)若，且不等式在区间恒成立，求实数的取值范围； (2)若，函数在区间上的最小值为，求实数的值． 4．已知. (1)讨论函数的奇偶性. (2)若，指出函数在区间上的单调性并求出函数在区间上的值域. (3)解关于的不等式. 5．已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)存在，使得成立，求实数m的取值范围． 6.已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． 7．已知函数且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 8.已知定义在R上的函数． (1)当时，求的值域； (2)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是函数的局部对称点，求实数m的取值范围． 题型三：对数函数性质及其综合应用 1．已知函数（且）在区间上的最大值是2． (1)求的值； (2)若函数的定义域为，求关于的不等式的解集． 2．已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求实数a的值； (2)已知函数的定义域是R，对任意的，都有不等式恒成立，求实数m的取值范围． 3．已知函数（，且）. (1)当时，求函数的定义域； (2)求关于x的不等式的解集； (3)当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围. 4．已知，． (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围． 5.已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 6．已知函数. (1)解关于的不等式：. (2)，函数的最小值为，求实数的值. (3)若函数，问：是否存在这样的实数，使得函数的最大值为2？若存在，请求出的值;若不存在请说明理由. 题型四：幂函数、指数函数与对数函数结合综合应用 1．已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 2．已知函数是偶函数， (1)求的值． (2)令，， （ⅰ）求的值域． （ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 3．已知函数且是定义在上的偶函数，且 (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，无需证明； (3)对于任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 4．已知函数是偶函数． (1)求实数k的值； (2)求的最小值； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 5．已知函数，函数为偶函数． (1)求实数t的值并写出的单调递增区间； (2)若对于，，都有成立，求实数a的取值范围． 6．已知函数是上的奇函数 (1)求实数的值 (2)用单调性的定义证明：函数在上单调递增 (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围 7.已知函数且是偶函数. (1)求的值； (2)判断函数在的单调性，并用定义证明； (3)若，且对有解，求的取值范围. 题型五：幂指对函数零点与方程的综合应用 1．已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 2．已知函数，其中且. （1）若函数在区间单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若关于的方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围. 3.已知函数（且）. (1)求函数的奇偶性； (2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围. 4.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 5.已知函数是偶函数． (1)求的值： (2)设函数，若不等式对任意的恒成立．求实数的取值范围； (3)设，当为何值时，关于的方程有实根． 6.已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数的最大值为1，求实数的值； (3)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 7.已知函数，在时最大值为 2，最小值为 1. (1)求实数的值； (2)设，若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 题型六：幂指对函数的新定义综合问题 1．若函数满足对任意的，都有，则称具有超可加性． (1)判断函数是否具有超可加性，并说明理由； (2)若函数具有超可加性，求实数的取值范围； (3)若函数具有超可加性，，且当时，，证明：对任意的正整数，不等式在区间上均恒成立． 2．定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”． (1)若是上的“好函数”，求的取值范围． (2)设是上的“好函数”，且，求证：． (3)已知是上的“好函数”，设，证明：． 3．对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为“位差奇函数”. (1)判断和是否是“位差奇函数”，并说明理由. (2)若，，且为“位差奇函数”. ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围. 4．设函数在区间上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数在区间上的“和值”为. (1)判断函数在上的“和值”是否为0，并说明理由； (2)若函数在区间上的“和值”为，求实数的取值范围； (3)若，且函数在区间上有唯一“和值”，求的值. 5．定义在的函数满足对任意、，都有，则称 为 “类对数型”函数. (1)求证：为 “类对数型”函数； (2)当时，，请判断并证明函数的单调性； (3)若为 “类对数型”函数， 求的值. 6.我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间上的“阶搭配函数”；当时，称为区间上的“阶自搭配函数”. (1)判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在区间上的“4阶搭配函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在区间上的“阶搭配函数”，求实数的取值范围. 7.设函数在非空数集上的值域为，即，若，则称为上的“精英函数”. (1)分别判断，是否为上的“精英函数”，并说明理由； (2)设，若存在实数，使得为上的“精英函数”，求实数的取值范围； (3)若为上的“精英函数”，求证：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 幂函数、指数函数与对数函数大题综合六大常考题型 题型一 幂函数性质及其综合应用 题型二 指数函数性质及其综合应用 题型三 对数函数性质及其综合应用 题型四 指数函数与对数函数结合综合应用 题型五 幂指对函数零点与方程的综合应用 题型六 幂指对函数的新定义综合问题 题型一：幂函数性质及其综合应用 1．【详解】（1）因为是幂函数，所以， 即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以，代入得， ，，即，使得成立，则， 设，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 即，则实数的最小值为. （2）， ， 其三个零点分别为，且的系数为正， 所以解得或. 2．【详解】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 3．【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； (2)在上单调递增，证明如下： 由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增 （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 4．【详解】（1）设幂函数（为常数）， 则，则，故. （2）令，因为，所以， 则可转化为，. 当时，的最大值在处取得，即. 解得或，即或（舍去），故. 当时，的最大值在处取得，即. 解得或，即或（舍去），故. 综上，实数的值为或. （3）由函数可知其在定义域内为单调递减函数. 若存在实数，，使得函数在上的值域为，则： ，， 两式相减可得： 所以. 则. 令，则， 由，得，则. 故实数的取值范围为. 5．【详解】(1)因为为幂函数，设， 代入可得，解得， 所以，所以， 证明：的定义域为关于原点对称， ， 所以是偶函数. (2)任取，则 ， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以在上单调递增. (3) （3）， 因为在上单调递增且为偶函数， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 6．【详解】（1）设函数， 则，得， 所以. (2)是偶函数，证明： ，所以函数的定义域为，关于原点对称； 又， 所以函数是偶函数. （3）由（1）知，则，对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增，， 解得，满足题意； 当，即时，，解得或（舍去）； 当，即时在上单调递减，， 解得（舍去）. 综上，或. 题型二：指数函数性质及其综合应用 1．【详解】（1）当时，，不等式即. 令，则，两边同乘得，即，所以或. 因为，所以，即，解得，所以该不等式的解集为. （2）由得，两边同乘得，即. 令，当时，则恒成立，只需. 因为的图象开口向下、对称轴为，在上单调递减，所以时取最大值， 所以，即实数的取值范围是. (3)的定义域为，且. 若为偶函数，则对任意都有，即，故； 若为奇函数，则对任意都有，即，故. 所以当时为偶函数（此时）， 当时为奇函数（此时）， 当时既不是奇函数也不是偶函数. 2.【详解】（1）因为是上的奇函数，故； 因为是上的偶函数，故. 由 ①，将替换为得：， 代入奇偶性性质化简得：② 联立①②两个方程： ①②得：，即​； ①②得：，即. （2）由题意，得. 令，当时，，且，此时可转化为关于的二次函数， ，，该二次函数开口向下，对称轴为. 当时，在上单调递减，最大值为，与题目最大值为矛盾，舍去； 当时，在上的最大值在对称轴处取得： ， 解得，又，故 3．【详解】（1），因为，解得， 因为，且，在R上为单调递增函数， 则函数为R上单调递增的奇函数， 不等式等价于， 所以，即在区间恒成立， 当时，，则， 当时，，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，解得或（舍）， 所以， 令，则在单调递增，所以，即， 设，对称轴为， 当时，则在区间单调递减， 则，解得：符合题意， 当时，则在区间单调递减，在区间单调递增， ，解得：或（舍）， 综上所述或． 4．【详解】（1）解：已知，故， 令，即，整理得，解得， 令，即， 整理得，解得， 综上所述，当时，为偶函数，当时为奇函数，当时，为非奇非偶函数. （2）解：若，则， 当，，令，则有，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在时，取得最小值， 又因为，，， 故在处，取得最大值， 综上值域为. （3）解：根据题意，令，则， 由可得，即， ①当，即时，解得或，即或， 解得或； ②当，即时，解得，即，解得； ③当，即时，解得或，即或， 解得或； ④当，即时，解得，即，解得. 综上所述：时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为. 5．【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以， 又因为定义域关于原点对称，所以，即， 所以; 在上单调递增，单调递增， 证明：设任意，且, 则, 因为，所以， 又，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）因为，所以， 由存在，使得成立， 则，存在时成立， 令，， 则，存在时成立， 构造函数， 故， 而，当且仅当，即取等号， 对于单调递减，在单调递增， 所以，, 所以, ∴ 故的取值范围为. 6.【详解】（1）由题可得的定义域为，因为函数为奇函数， 所以， 解得，经检验当时，为奇函数． 又，所以，解得． (2)在上单调递增． 证明：任取，，且， 所以 ， 又，，且，所以，，所以， 即，所以在上单调递增 （3）由题意知 令，则，， 即在区间的最小值为2， 当，即，所以在上单调递增， 所以，解得，满足条件； 当，即，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，方程无解； 当，即，所以在上单调递减， 所以，解得，不满足条件． 综上，m的值为． 7．【详解】（1）由为定义在上的奇函数，得，即， 故，. 由，结合，得，故. 在上单调递增，且. 由，得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. （2）由，整理得， 解得（舍去），故. ，令， 则，故. 当时，单调递增，得. 函数，开口向上，对称轴为. 当时，；当时，， 故函数在上的值域为. 8.【详解】（1）当时，， 令，则可转化为， 即， 的值域为． （2）由是函数的局部对称点， 得，， 代入整理得．① 令，则，当且仅当时取等号， 则， 代入①式得，即． 在上单调递增， ，， ∴实数m的取值范围为． 题型三：对数函数性质及其综合应用 1．【详解】（1）已知函数（且）在区间上的最大值是2． 时，在区间上单调递减，时，在区间上单调递增， 则有或，解得或. （2）函数的定义域为，则恒成立， 有，由（1）可知， ，即，得， 解得，即不等式的解集为. 2．【详解】（1）解：当时，函数在上单调递增， 则，， 由题意得：，解得满足题设， 当时，函数在上单调递减， 则，， 由题意得，解得满足题设， 综上或； （2）解：∵函数的定义域是R， ∴对任意不等式恒成立， ，即，∴， ∵对任意的，都有不等式恒成立， 由，得， ∴对任意的，不等式恒成立， 由，得， 令且，则对任意的，不等式恒成立， 因为，当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为1， ∴，又，故实数m的取值范围为. 3．【详解】（1）当时，， 由，得，故函数的定义域为. （2）由题意，知1在的定义域内，即当时，成立，所以. 的定义域为， 设，， 所以函数为上的增函数， 由，知，故关于x的不等式的解集为. （3）设，， 设，，易知在上为增函数， 所以，故. 又对任意实数恒成立， 故.故实数m的取值范围为. 4．【详解】（1）当时，， 则，得， 故不等式的解集为. （2），则， 得且， 若，则，得满足； 若，则或且， 若，即，此时方程的根为，满足； 若即， 因为，所以由题意可知，得， 综上，的取值范围为. 5.【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，即在定义域内恒成立. 所以，即， 所以，即， 所以，即在定义域内恒成立， 所以，所以. 若，则无意义，不合题意； 若，则， 令，得， 解得或. 所以函数的定义域为. 综上所述，，函数的定义域为. (2)由（1）知，， 因为在上单调递减，是增函数， 所以函数在区间上单调递减. 证明：设，且， . 因为，所以 又， 即 所以，所以，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由（1）知，，， 所以. 因为在上单调递增， 所以， 即恒成立， 所以. 所以的取值范围是. 6．【详解】（1）关于的不等式， 对数函数的真数必须大于0，因此需满足：，解得. 当时，在定义域上单调递增，因此不等式等价于：     ，解得. 当时，在定义域上单调递减，因此不等式等价于： ，解得. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （2）， 定义域. 令内层函数， 这是开口向下的二次函数，对称轴， 因此当时，取得最大值，即. 已知，外层函数在上单调递减， 因此当取最大值时，取得最小值： ，得 ，即. (3)不存在， 定义域： 令内层函数，. 设（），则， 得， 当且仅当，时，等号成立， 因此，即，有最小值，无最大值. 当时，外层函数在上单调递增，无最大值，不符合要求； 当时，外层函数在上单调递减，因此当取最小值时， 取得最大值，即， 令，得，，与矛盾. 题型四：幂函数、指数函数与对数函数结合综合应用 1．【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，即，，则，解得，因为，所以. 当时，，由，得，解得，即的定义域为，，满足题意. 综上，； （2）因为，使得，所以，由（1）知，. 由为上的单调递增函数，为单调递增函数，所以在上单调递增，故. ，当时，， 所以，由题意得，即，解得，即实数的取值范围为. 2．.【详解】（1）是偶函数， 即 ，， ，． （2）（ⅰ）由（1）可得． ， 令，则． ，． 在上单调递增， 的值域为． （ⅱ）令，则，． 不等式，可化为，即对任意恒成立． 令，的对称轴为，只需． 当时，恒成立． 当时，在单调递增，，解得． 当时，在单调递减，，解得． 综上所述，的取值范围是． 3．【详解】（1）解：函数是定义在上的偶函数， 整理得， 又，可得， 或， ； （2）解：函数在上单调递增； （3）解：由（2）知，函数在上为增函数，在上单调递减， 故对于任意的，存在，使得成立， 即存在， 等价于存在，使得成立， ，即， 又函数在上单调递减，在上的最小值为， ，即实数的取值范围为. 4．【详解】（1）函数的定义域为， 因为为偶函数，所以， 即，解得， 此时函数的定义域为， 且， 所以为偶函数，符合题意， 所以； （2）由（1）可得， 因为，，所以，当且仅当，即时等号成立； 所以， 即的最小值为，当时取得最小值； （3）由（1）可得， 则， 由不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立， 令，则， 所以不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以当时取得最小值， 所以，即实数的取值范围为. 5．【详解】（1）∵为偶函数，∴恒成立， ∴恒成立，即，∴ ∴． 的单调递增区间为 （2）， 当且仅当即时等号成立，∴ 由题意可得：恒成立， 即恒成立， 由有意义，得， 由有意义，得在恒成立， 即在上恒成立，设， 易知在上的值域为，故，所以． 又恒成立， 即恒成立， 即恒成立，即恒成立， ，∴． 综上，实数a的取值范围为 6．【详解】（1）因为是上的奇函数，对任意满足，即： ， 所以代入得： ， 整理得对任意恒成立，故，结合得：. (2)证明：由（1）得，任取，且， 则，即， 因此， 故 ， 因为，，所以， 所以在上单调递增. （3），因为是增函数，复合函数单调性得是上的增函数， 又是奇函数，所以原不等式变形为： ， 由单调性得：，即 令，时由基本不等式得，且， 代入得：，即 ， 函数在单调递增，故，因此， 即的取值范围为. 7.【详解】（1）因为函数且是偶函数， 所以，即， 所以， 所以，因为不一定为零，所以； (2)由（1）得，则在上单调递增，理由如下： 任取，且，则 ， 因为，且，所以， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）当时，因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为为偶函数，所以由， 则， 即 令，则，所以， 所以在时有解， 所以，令， 在上单调递增，则， 所以，所以，且， 所以且， 即的取值范围为. 题型五：幂指对函数零点与方程的综合应用 1．【详解】（1）解：当时，，则满足， 令，则，可得，即，解得， 所以，解得，即函数的定义域为. （2）解：由，可得， 即，所以， 令，则， 方程即为，整理得，其中， 要使得方程在上有解， 即方程在上有解，即在上有解， 又由， 当且仅当，即时，即时，等号成立，所以恒成立， 所以使得方程在上有解，实数的取值范围为. 2．【详解】解（1）由复合函数的单调性法则，以及的定义域可得 或或 （2）原方程 （其中）， 其中）， 令，原条件关于的方程在区间内有两个不同的根 记，由二次方程根的分布的求解方法可得 ． 3.【详解】（1）解：对于函数，有，则，解得， 所以函数的定义域为， ，故函数为奇函数. （2）解：由可得， 则， 令，其中， 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数， 当时，， 因此，实数的取值范围是. 4.【详解】解：函数为奇函数， ． ，即， 恒成立． ，即恒成立， ． 又时，无意义， ，经检验，符合题意． 由可知， 定义域为，且在上为增函数． 不等式对于恒成立， ． 函数为减函数， 在区间上为增函数． 在区间上的最小值为， 实数的取值范围为． 易知在区间上为增函数， 在区间上为减函数， 只需满足即可保证的方程在区间上有解． ，解得． 当时，关于的方程在上有解． 5.【详解】（1）由函数是定义域在R上的偶函数， 则对于，都有，即， 即对于，都有，得． （2）结合（1）可得， 则， 令， 由在R上单调递增，在R上单调递减， 所以在上单调递增，得， 则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立， 所以即可， 又， 由对勾函数的性质可得当时，取得最小值， 所以的最小值为，即， 所以实数n的取值范围为． （3）令，，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值， 所以，则， 令，则， 则原问题转化为关于的方程的根的个数， 对于有解，令，则表示开口向上的抛物线， ①当在有一个零点时，， 可得：或； ②当在有两个零点时， ， 可得：或. 综上：或. 6.【详解】（1）因为是偶函数，所以， 即对任意恒成立， 所以，则，故， 由于的任意性，所以. （2）由（1）得， 所以的最大值为1， 令，则的最大值为1， ①当，即时，时，，所以； ②当，即时，时，，得（舍去）； 综上，实数． （3）因为，， 函数有且只有一个零点，即方程有且只有一个实数根， 由，得， 则，即， 因为恒成立，所以， 又在上单调递减，故，则， 所以的取值范围是. 7.【详解】（1）由可知，函数的图象关于对称， 又，所以函数在上单调递增， 可得即解得. （2）易知， 所以即为， 即， 令，则，原方程转化为. 则关于的方程有四个不同的实数解等价于关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 题型六：幂指对函数的新定义综合问题 1．【详解】（1）不具有超可加性， 理由如下： 因为， 即，所以不具有超可加性． （2）因为 ， 若具有超可加性， 则对任意的， 均有， 即， 当时，，当时，， 则恒成立，可得，解得， 所以实数的取值范围是． （(3)证明：因为具有超可加性， 所以对任意的，都有，即， 则， ， 可得， 令，又，则， 又当时，， 当时，则，可得， 又因为， 可得， 当时，， 即，可得， 又因为， 即，则， 可得，且，则， 所以 ， 故 ． 2．【详解】（1）由题可知任意，，且，， 即， 解得，因为，所以， 故，即的取值范围为． (2)由好函数定义，取，，则，又，故， 再取，，则，得， 两式相加得，证明完毕． (3)由是上的“好函数”可知， 当时，， 令，，，则， 即， 故， 化简可得． 3．.【详解】(1)为“位差奇函数”，不是“位差奇函数”，理由： 为“位差奇函数”，不是“位差奇函数”，理由如下： 由，得 ， 函数为奇函数， 对于任意m有为位差奇函数， 又，设， 此时，若为奇函数， 则恒成立，矛盾， 不存在m有为“位差奇函数”； (2)①证明：由已知，， 因为为“位差奇函数”，所以存在实数m， 使得为奇函数， 即在R上恒成立； 由 恒成立， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，即， 因为，所以； ②由①知，，则不等式化为： ，则， 因为 ， 令，则，， 故当时，取到最小值，所以， 故a的取值范围为. 4．【详解】（1）函数在上的“和值”不为0，理由如下： 若函数在上的“和值”为0， 由于，不妨令，此时无解，矛盾， 从而函数在上的“和值”不为0； （2）， 令，则， 因为，所以，则， 因为，所以， 因为函数在区间上的“和值”为， 所以使得，即， 则， 则，得， 故实数的取值范围为； （3），则， 则由题意可知，， 则，得， 因为有唯一“和值”，所以，即； ①若，则在单调递增，则， 则，则，不符合题意； ②若，则在单调递减，故， 则，则，不符合题意； ③若，则在单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 则， 则， 若，即，则，符合题意； 若，即， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上，或. 5．【详解】(1)证明：的定义域为，满足定义要求. 对任意， ；， 即，满足“类对数型”函数定义，故是“类对数型”函数. (2)是单调递增函数. 证明：令，得，解得. 对任意，有. 根据题目条件，当时，因此. 将改写为，代入“类对数型”恒等式得， 移项整理得结合，可得. 即对任意，都有，因此在定义域上单调递增. （3）令，代入定义得. 对任意，令，代入定义得， 即，得. 原式中，共对，加上， 总和为. 6.【详解】(1)否，理由如下： 令，则， 化简得，此方程无解， 故不是区间上的“5阶自搭配函数”； （2）成立，即， 当单调递减，值域为， 单调递减，值域为， 由已知，则 由于，则， 解得，或， 又，所以，所以，当且仅当时等号成立， 即的最大值为2. （3）成立，即， 对任意单调递增，值域为. 在区间单调递减，在区间单调递增， 且在区间上的图象关于直线对称如下图： 由图可知若存在唯一的使，可得， 此时的值域为， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 7. 【答案】 (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的单调性求出值域，结合精英函数的定义进行判断即可； （2）先分析二次函数：对称轴，开口向上；再分类讨论单调性：当或：函数单调，验证值域包含于，仅、满足；当：函数先减后增，存在使值域包含于，区间内均满足；最后得出结论. （3）用函数的单调性的定义，结合指数函数和对数函数的单调性判断单调性，由“精英函数”定义得值域，进而转化为对数不等式；再通过指数变形、结合基本不等式，得，最终证得. 【详解】（1）是上的“精英函数”，不是上的“精英函数”，证明如下： 因为是上的增函数， 所以有， 因为，所以是上的“精英函数”. 因为是上的增函数， 所以有， 因为不是子集，所以不是上的“精英函数”. （2）因为在上的值域， 又因是开口向上的二次函数，对称轴为，则分3种情况讨论： 当时，在上单调递增， 值域， 由，需满足：，故 所以满足条件. 当，在递减、递增， 设表示中最大的数， 值域. 由，需满足： 因为，， 所以， 故存在满足条件，因此均成立. 当，此时在上单调递减，值域. 由，需满足：， 两个不等式相加消去得：，解得. 结合，得. 综上所述，实数的取值范围是. （3）， 所以该函数的定义域为， 设是内任意两个实数，且，则有， ， ， 因为， 所以， 所以 所以在上单调递减，且， 所以值域. 由“精英函数”定义可得，得： ， 对变形：， 对变形：， 所以， 令，， 因为，所以， 则式子变为：， 因为， 所以 ，而， 所以. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 幂函数、指数函数与对数函数大题综合六大常考题型 题型一 幂函数性质及其综合应用 题型二 指数函数性质及其综合应用 题型三 对数函数性质及其综合应用 题型四 指数函数与对数函数结合综合应用 题型五 幂指对函数零点与方程的综合应用 题型六 幂指对函数的新定义综合问题 题型一：幂函数性质及其综合应用 1．已知幂函数在上单调递减． (1)若命题：，为真命题，求实数的最小值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，再采用参变分离法将存在性命题转化为，再根据函数在上的单调性求出最小值. （2）代入解析式后通过移项通分结合穿针引线法求解分式不等式即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以，代入得， ，，即，使得成立，则， 设，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 即，则实数的最小值为. （2）， ， 其三个零点分别为，且的系数为正， 所以解得或. 2．已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由幂函数的定义求解即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质即可求解； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 3．已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明如下： 由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）由题意设幂函数为，将代入即可求得幂函数的解析式； （2）设，比较与的大小，结合函数单调性即可证明在上的单调性； （3）由（2）知在上单调递增，可解得在上的值域，设，根据题意有，分析二次函数的单调区间即可求其最小值，即的取值范围. 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）略 （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 4．已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若函数，当时，的最大值为16，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数a，b（），使得函数在上的值域为？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）设，代点求值； （2）令，结合一元二次函数求最值即可； （3）根据的单调性列方程组，两式相减化简得出，根据，求出的范围，最后利用一元二次函数求值域. 【详解】（1）设幂函数（为常数）， 则，则，故. （2）令，因为，所以， 则可转化为，. 当时，的最大值在处取得，即. 解得或，即或（舍去），故. 当时，的最大值在处取得，即. 解得或，即或（舍去），故. 综上，实数的值为或. （3）由函数可知其在定义域内为单调递减函数. 若存在实数，，使得函数在上的值域为，则： ，， 两式相减可得： 所以. 则. 令，则， 由，得，则. 故实数的取值范围为. 5．已知幂函数的图象经过点，函数. (1)证明：是偶函数. (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)因为为幂函数，设， 代入可得，解得， 所以，所以， 证明：的定义域为关于原点对称， ， 所以是偶函数. (2)任取，则 ， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据幂函数定义求解出的解析式，再根据的关系证明奇偶性； （2）通过取值、作差、变形、判断符号、下定义，完成单调性证明即可； （3）根据的单调性和奇偶性解不等式，注意定义域. 【详解】（1）略 （2）略 （3）， 因为在上单调递增且为偶函数， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 6．已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明： ，所以函数的定义域为，关于原点对称； 又， 所以函数是偶函数. (3)或 【分析】（1）设幂函数解析式，代入已知点求参数即可； （2）函数为偶函数，根据偶函数的定义证明即可； （3）将转化为二次函数，根据对称轴与区间的位置分类讨论，求不同情况下的最小值，结合区间验证解的合理性即可. 【详解】（1）设函数， 则，得， 所以. （2）略 （3）由（1）知，则，对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增，， 解得，满足题意； 当，即时，，解得或（舍去）； 当，即时在上单调递减，， 解得（舍去）. 综上，或. 题型二：指数函数性质及其综合应用 1．已知函数（常数）. (1)当时，解不等式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)的定义域为，且. 若为偶函数，则对任意都有，即，故； 若为奇函数，则对任意都有，即，故. 所以当时为偶函数（此时）， 当时为奇函数（此时）， 当时既不是奇函数也不是偶函数. 【分析】（1）令把不等式化为关于的分式不等式，求出后回代求； （2）分离参数得，再令转化为二次函数在闭区间上的最值问题； （3）分别考察与是否恒成立来确定的取值，其余情形即为非奇非偶. 【详解】（1）当时，，不等式即. 令，则，两边同乘得，即，所以或. 因为，所以，即，解得，所以该不等式的解集为. （2）由得，两边同乘得，即. 令，当时，则恒成立，只需. 因为的图象开口向下、对称轴为，在上单调递减，所以时取最大值， 所以，即实数的取值范围是. （3）略 2．定义在上的奇函数和偶函数满足． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇偶函数性质，将替换为构造方程组，加减消元求得和的解析式； （2）换元转化为二次函数，结合二次函数单调性、对称轴分类讨论，由区间上最大值列方程求解参数. 【详解】（1）因为是上的奇函数，故； 因为是上的偶函数，故. 由 ①，将替换为得：， 代入奇偶性性质化简得：② 联立①②两个方程： ①②得：，即​； ①②得：，即. （2）由题意，得. 令，当时，，且，此时可转化为关于的二次函数， ，，该二次函数开口向下，对称轴为. 当时，在上单调递减，最大值为，与题目最大值为矛盾，舍去； 当时，在上的最大值在对称轴处取得： ， 解得，又，故 3．设函数（，且）． (1)若，且不等式在区间恒成立，求实数的取值范围； (2)若，函数在区间上的最小值为，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得的范围，判断的奇偶性和单调性，并由此把问题转化为在区间恒成立，求解即可； （2）求出的值，得，利用换元法，令，设，转化为二次函数求最值问题，分类讨论求解即可． 【详解】（1），因为，解得， 因为，且，在R上为单调递增函数， 则函数为R上单调递增的奇函数， 不等式等价于， 所以，即在区间恒成立， 当时，，则， 当时，，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，解得或（舍）， 所以， 令，则在单调递增，所以，即， 设，对称轴为， 当时，则在区间单调递减， 则，解得：符合题意， 当时，则在区间单调递减，在区间单调递增， ，解得：或（舍）， 综上所述或． 4．已知. (1)讨论函数的奇偶性. (2)若，指出函数在区间上的单调性并求出函数在区间上的值域. (3)解关于的不等式. 【答案】(1)时，为偶函数，时，为奇函数，时，为非奇非偶函数 (2)在上单调递减，在上单调递增，值域为 (3)答案见解析 【分析】（1）根据奇偶函数的定义讨论求值即可； （2）令，将问题转化为，，再根据对勾函数的单调性求解即可； （3）令，则，进而将问题转化为，再分当， 当，当，当，四种情况讨论求解. 【详解】（1）解：已知，故， 令，即，整理得，解得， 令，即， 整理得，解得， 综上所述，当时，为偶函数，当时为奇函数，当时，为非奇非偶函数. （2）解：若，则， 当，，令，则有，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在时，取得最小值， 又因为，，， 故在处，取得最大值， 综上值域为. （3）解：根据题意，令，则， 由可得，即， ①当，即时，解得或，即或， 解得或； ②当，即时，解得，即，解得； ③当，即时，解得或，即或， 解得或； ④当，即时，解得，即，解得. 综上所述：时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为. 5．已知奇函数的定义域为. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明：设任意，且, 则, 因为，所以， 又，， 所以，即， 所以在上单调递增； (3). 【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）存在，使得恒成立，令，，转化为，存在时成立求解. 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以， 又因为定义域关于原点对称，所以，即， 所以; （2）在上单调递增，证明略； （3）因为，所以， 由存在，使得成立， 则，存在时成立， 令，， 则，存在时成立， 构造函数， 故， 而，当且仅当，即取等号， 对于单调递减，在单调递增， 所以，, 所以, ∴ 故的取值范围为. 6.已知函数为奇函数，满足． (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若在区间上的最小值为2，求m的值． 【答案】(1)，． (2)在上单调递增． 证明：任取，，且， 所以 ， 又，，且，所以，，所以， 即，所以在上单调递增． (3)-2． 【详解】（1）由题可得的定义域为，因为函数为奇函数， 所以， 解得，经检验当时，为奇函数． 又，所以，解得． （2）略 （3）由题意知 令，则，， 即在区间的最小值为2， 当，即，所以在上单调递增， 所以，解得，满足条件； 当，即，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，方程无解； 当，即，所以在上单调递减， 所以，解得，不满足条件． 综上，m的值为． 7．已知函数且是定义在上的奇函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用奇函数的性质确定参数，由判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集； (2)由求出底数，通过换元法将转化为关于的二次函数，根据的取值范围确定的区间，再利用二次函数的单调性求解值域. 【详解】（1）由为定义在上的奇函数，得，即， 故，. 由，结合，得，故. 在上单调递增，且. 由，得. 所以，解得. 所以不等式的解集为. （2）由，整理得， 解得（舍去），故. ，令， 则，故. 当时，单调递增，得. 函数，开口向上，对称轴为. 当时，；当时，， 故函数在上的值域为. 8.已知定义在R上的函数． (1)当时，求的值域； (2)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是函数的局部对称点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则可转化为，通过换元法把求的值域转化为求二次函数的值域； （2）由是函数的局部对称点，得，，代入整理得，令，则，那么，把问题转化为求解关于的函数的值域. 【详解】（1）当时，， 令，则可转化为， 即， 的值域为． （2）由是函数的局部对称点， 得，， 代入整理得．① 令，则，当且仅当时取等号， 则， 代入①式得，即． 在上单调递增， ，， ∴实数m的取值范围为． 题型三：对数函数性质及其综合应用 1．已知函数（且）在区间上的最大值是2． (1)求的值； (2)若函数的定义域为，求关于的不等式的解集． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）分类讨论，利用函数单调性和最值，求的值； （2）由的定义域为，求的值，利用单调性解对数不等式. 【详解】（1）已知函数（且）在区间上的最大值是2． 时，在区间上单调递减，时，在区间上单调递增， 则有或，解得或. （2）函数的定义域为，则恒成立， 有，由（1）可知， ，即，得， 解得，即不等式的解集为. 2．已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求实数a的值； (2)已知函数的定义域是R，对任意的，都有不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分，两种情况讨论，结合对数函数的单调性求出函数的最值，从而可得出答案； （2）由函数的定义域是R，可求得，对任意的，都有不等式恒成立，即恒成立，令且，利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】（1）解：当时，函数在上单调递增， 则，， 由题意得：，解得满足题设， 当时，函数在上单调递减， 则，， 由题意得，解得满足题设， 综上或； （2）解：∵函数的定义域是R， ∴对任意不等式恒成立， ，即，∴， ∵对任意的，都有不等式恒成立， 由，得， ∴对任意的，不等式恒成立， 由，得， 令且，则对任意的，不等式恒成立， 因为，当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为1， ∴，又，故实数m的取值范围为. 3．已知函数（，且）. (1)当时，求函数的定义域； (2)求关于x的不等式的解集； (3)当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用对数函数真数部分大于零解不等式； (2)由成立可求出一个a的取值范围，再利用定义判断函数的单调性，利用单调性解不等式； (3)含参恒成立问题可以转化为求的最小值，将其化简并利用换元法，进一步判断其单调性，最后利用单调性求出其最小值. 【详解】（1）当时，， 由，得，故函数的定义域为. （2）由题意，知1在的定义域内，即当时，成立，所以. 的定义域为， 设，， 所以函数为上的增函数， 由，知，故关于x的不等式的解集为. （3）设，， 设，，易知在上为增函数， 所以，故. 又对任意实数恒成立， 故.故实数m的取值范围为. 4．已知，． (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数函数的单调性和真数大于零来解不等式； （2）解一元一次或一元二次方程，使满足的根只有一个即可. 【详解】（1）当时，， 则，得， 故不等式的解集为. （2），则， 得且， 若，则，得满足； 若，则或且， 若，即，此时方程的根为，满足； 若即， 因为，所以由题意可知，得， 综上，的取值范围为. 5.已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数的定义域为. (2)由（1）知，， 因为在上单调递减，是增函数， 所以函数在区间上单调递减. 证明：设，且， . 因为，所以 又， 即 所以，所以，即， 所以函数在区间上单调递减. (3) 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出的值，再解不等式，即可求出函数的定义域； （2）根据函数解析式，利用复合函数的单调性可判断，再根据定义证明即可； （3）根据对数函数的性质，结合的单调性，求得其取值范围，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，即在定义域内恒成立. 所以，即， 所以，即， 所以，即在定义域内恒成立， 所以，所以. 若，则无意义，不合题意； 若，则， 令，得， 解得或. 所以函数的定义域为. 综上所述，，函数的定义域为. （2）略 （3）由（1）知，，， 所以. 因为在上单调递增， 所以， 即恒成立， 所以. 所以的取值范围是. 6．已知函数. (1)解关于的不等式：. (2)，函数的最小值为，求实数的值. (3)若函数，问：是否存在这样的实数，使得函数的最大值为2？若存在，请求出的值;若不存在请说明理由. 【答案】(1)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 (2) (3)不存在， 定义域： 令内层函数，. 设（），则， 得， 当且仅当，时，等号成立， 因此，即，有最小值，无最大值. 当时，外层函数在上单调递增，无最大值，不符合要求； 当时，外层函数在上单调递减，因此当取最小值时， 取得最大值，即， 令，得，，与矛盾. 综上所述，不存在这样的实数，使得函数的最大值为. 【分析】（1）将对数不等式转化为整式不等式，进而利用对数函数的单调性，同时严格保证真数大于0的定义域要求. （2）分析内层二次函数的最值，结合外层对数函数的单调性，确定的最小值点，列方程求解. （3）先求内层函数的最值，再分和讨论的最大值，验证是否存在符合条件的. 【详解】（1）关于的不等式， 对数函数的真数必须大于0，因此需满足：，解得. 当时，在定义域上单调递增，因此不等式等价于：     ，解得. 当时，在定义域上单调递减，因此不等式等价于： ，解得. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （2）， 定义域. 令内层函数， 这是开口向下的二次函数，对称轴， 因此当时，取得最大值，即. 已知，外层函数在上单调递减， 因此当取最大值时，取得最小值： ，得 ，即. （3）略 题型四：幂函数、指数函数与对数函数结合综合应用 1．已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的单调性可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，即，，则，解得，因为，所以. 当时，，由，得，解得，即的定义域为，，满足题意. 综上，； （2）因为，使得，所以，由（1）知，. 由为上的单调递增函数，为单调递增函数，所以在上单调递增，故. ，当时，， 所以，由题意得，即，解得，即实数的取值范围为. 2．已知函数是偶函数， (1)求的值． (2)令，， （ⅰ）求的值域． （ⅱ）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】(1)利用偶函数的定义即可求解； (2) （ⅰ）由题可得，令，即，结合对勾函数的单调性即可求解； （ⅱ）令，将问题转化为对任意恒成立． 令，的对称轴为，转化为，结合二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】（1）是偶函数， 即 ，， ，． （2）（ⅰ）由（1）可得． ， 令，则． ，． 在上单调递增， 的值域为． （ⅱ）令，则，． 不等式，可化为，即对任意恒成立． 令，的对称轴为，只需． 当时，恒成立． 当时，在单调递增，，解得． 当时，在单调递减，，解得． 综上所述，的取值范围是． 3．已知函数且是定义在上的偶函数，且 (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，无需证明； (3)对于任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增 (3) 【分析】（1）由函数是定义在上的偶函数，可得，可求得，再根据求得，即可得出答案； （2）根据函数解析式即可得出结论； （3）根据（2），在对于任意，存在，使得成立，即存在，求出的最小值，即可得出答案. 【详解】（1）解：函数是定义在上的偶函数， 整理得， 又，可得， 或， ； （2）解：函数在上单调递增； （3）解：由（2）知，函数在上为增函数，在上单调递减， 故对于任意的，存在，使得成立， 即存在， 等价于存在，使得成立， ，即， 又函数在上单调递减，在上的最小值为， ，即实数的取值范围为. 4．已知函数是偶函数． (1)求实数k的值； (2)求的最小值； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，再代入检验即可； （2）利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值； （3）依题意可得不等式对任意恒成立，令，即可得到不等式对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，结合对勾函数的性质求出，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为为偶函数，所以， 即，解得， 此时函数的定义域为， 且， 所以为偶函数，符合题意， 所以； （2）由（1）可得， 因为，，所以，当且仅当，即时等号成立； 所以， 即的最小值为，当时取得最小值； （3）由（1）可得， 则， 由不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立， 令，则， 所以不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以当时取得最小值， 所以，即实数的取值范围为. 5．已知函数，函数为偶函数． (1)求实数t的值并写出的单调递增区间； (2)若对于，，都有成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）已知函数为偶函数，利用求出参数t，并根据指数函数的单调性即可分析出单调区间； （2）已知，，成立，则，求出，可得，恒成立，根据对数函数的单调性得恒成立，求出，再根据对数函数的定义域，综合可求实数a的取值范围. 【详解】（1）∵为偶函数，∴恒成立， ∴恒成立，即，∴ ∴． 的单调递增区间为 （2）， 当且仅当即时等号成立，∴ 由题意可得：恒成立， 即恒成立， 由有意义，得， 由有意义，得在恒成立， 即在上恒成立，设， 易知在上的值域为，故，所以． 又恒成立， 即恒成立， 即恒成立，即恒成立， ，∴． 综上，实数a的取值范围为 6．已知函数是上的奇函数 (1)求实数的值 (2)用单调性的定义证明：函数在上单调递增 (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)证明：由（1）得，任取，且， 则，即， 因此， 故 ， 因为，，所以， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）由求解； （2）先证明，再由推证； （3）判断的单调性，结合的奇函数性质求解. 【详解】（1）因为是上的奇函数，对任意满足，即： ， 所以代入得： ， 整理得对任意恒成立，故，结合得：. （2）略； （3），因为是增函数，复合函数单调性得是上的增函数， 又是奇函数，所以原不等式变形为： ， 由单调性得：，即 令，时由基本不等式得，且， 代入得：，即 ， 函数在单调递增，故，因此， 即的取值范围为. 7.已知函数且是偶函数. (1)求的值； (2)判断函数在的单调性，并用定义证明； (3)若，且对有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 由（1）得，则在上单调递增，理由如下： 任取，且，则 ， 因为，且，所以， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增； (3). 【分析】（1）借助偶函数的性质计算即可得； （2）借助单调性定义计算即可得； （3）借助函数的单调性及奇偶性可将原问题转化为含参不等式问题，参变分离后借助换元法计算即可得. 【详解】（1）因为函数且是偶函数， 所以，即， 所以， 所以，因为不一定为零，所以； （2）略 （3）当时，因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为为偶函数，所以由， 则， 即 令，则，所以， 所以在时有解， 所以，令， 在上单调递增，则， 所以，所以，且， 所以且， 即的取值范围为. 题型五：幂指对函数零点与方程的综合应用 1．已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，得到不等式，令，求得，进而得到的定义域； （2）由，得到，令，转化为在上有解，结合基本不等式，求得恒成立，进而得到答案. 【详解】（1）解：当时，，则满足， 令，则，可得，即，解得， 所以，解得，即函数的定义域为. （2）解：由，可得， 即，所以， 令，则， 方程即为，整理得，其中， 要使得方程在上有解， 即方程在上有解，即在上有解， 又由， 当且仅当，即时，即时，等号成立，所以恒成立， 所以使得方程在上有解，实数的取值范围为. 2．已知函数，其中且. （1）若函数在区间单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，若关于的方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）由复合函数的单调性和对数函数的定义域列出不等式组，解之可得； （2）把对数方程转化为指数方程，换元后转化为一元二次方程，再由二次方程根的分布知识得结论． 【详解】解（1）由复合函数的单调性法则，以及的定义域可得 或或 （2）原方程 （其中）， 其中）， 令，原条件关于的方程在区间内有两个不同的根 记，由二次方程根的分布的求解方法可得 ． 3.已知函数（且）. (1)求函数的奇偶性； (2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可得出结论； （2）由可得出，求出函数在上的值域，可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：对于函数，有，则，解得， 所以函数的定义域为， ，故函数为奇函数. （2）解：由可得， 则， 令，其中， 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数， 当时，， 因此，实数的取值范围是. 4.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）由列等式即可求出； （2）根据的单调性即可求出的取值范围； （3）要使方程有解，即满足，再解不等式即可. 【详解】解：函数为奇函数， ． ，即， 恒成立． ，即恒成立， ． 又时，无意义， ，经检验，符合题意． 由可知， 定义域为，且在上为增函数． 不等式对于恒成立， ． 函数为减函数， 在区间上为增函数． 在区间上的最小值为， 实数的取值范围为． 易知在区间上为增函数， 在区间上为减函数， 只需满足即可保证的方程在区间上有解． ，解得． 当时，关于的方程在上有解． 5.已知函数是偶函数． (1)求的值： (2)设函数，若不等式对任意的恒成立．求实数的取值范围； (3)设，当为何值时，关于的方程有实根． 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）利用偶函数的定义即可求出的值； （2）结合（1）可得的解析式，从而可得的解析式，进而可将原不等式可转化为在上恒成立，再求的最小值即可； （3）利用换元法令，得到，将原问题转化为关于的一元二次方程的解的个数即可． 【详解】（1）由函数是定义域在R上的偶函数， 则对于，都有，即， 即对于，都有，得． （2）结合（1）可得， 则， 令， 由在R上单调递增，在R上单调递减， 所以在上单调递增，得， 则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立， 所以即可， 又， 由对勾函数的性质可得当时，取得最小值， 所以的最小值为，即， 所以实数n的取值范围为． （3）令，，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值， 所以，则， 令，则， 则原问题转化为关于的方程的根的个数， 对于有解，令，则表示开口向上的抛物线， ①当在有一个零点时，， 可得：或； ②当在有两个零点时， ， 可得：或. 综上：或. 6.已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数的最大值为1，求实数的值； (3)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)4 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合对数的运算法则即可得解； （2）利用换元法与二次函数的性质即可得解； （3）利用参数分离法，结合指数函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 即对任意恒成立， 所以，则，故， 由于的任意性，所以. （2）由（1）得， 所以的最大值为1， 令，则的最大值为1， ①当，即时，时，，所以； ②当，即时，时，，得（舍去）； 综上，实数． （3）因为，， 函数有且只有一个零点，即方程有且只有一个实数根， 由，得， 则，即， 因为恒成立，所以， 又在上单调递减，故，则， 所以的取值范围是. 7.已知函数，在时最大值为 2，最小值为 1. (1)求实数的值； (2)设，若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把二次函数配成顶点式，得到对称轴，结合判断单调性，代入端点值列方程组求出； （2）先化简方程，令，原方程转化为关于的二次方程，一个正数对应两个，要有4个解，就需要二次方程有两个不等正根，利用判别式、韦达定理列不等式，求出范围. 【详解】（1）由可知，函数的图象关于对称， 又，所以函数在上单调递增， 可得即解得. （2）易知， 所以即为， 即， 令，则，原方程转化为. 则关于的方程有四个不同的实数解等价于关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 需满足，解得， 所以实数的取值范围为. 题型六：幂指对函数的新定义综合问题 1．若函数满足对任意的，都有，则称具有超可加性． (1)判断函数是否具有超可加性，并说明理由； (2)若函数具有超可加性，求实数的取值范围； (3)若函数具有超可加性，，且当时，，证明：对任意的正整数，不等式在区间上均恒成立． 【答案】(1)不具有超可加性，理由如下： 因为， 即，所以不具有超可加性． (2); (3)证明：因为具有超可加性， 所以对任意的，都有，即， 则， ， 可得， 令，又，则， 又当时，， 当时，则，可得， 又因为， 可得， 当时，， 即，可得， 又因为， 即，则， 可得，且，则， 所以 ， 故 ． 【分析】（1）根据题意取特殊值检验即可； （2）根据题意分析可得，结合指数函数性质运算求解即可； （3）根据题意可得，进而可得，可得，进而分析证明. 【详解】（1）不具有超可加性，理由略； （2）因为 ， 若具有超可加性， 则对任意的， 均有， 即， 当时，，当时，， 则恒成立，可得，解得， 所以实数的取值范围是． （3）略. 2．定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”． (1)若是上的“好函数”，求的取值范围． (2)设是上的“好函数”，且，求证：． (3)已知是上的“好函数”，设，证明：． 【答案】(1) (2)由好函数定义，取，，则，又，故， 再取，，则，得， 两式相加得，证明完毕． (3)由是上的“好函数”可知， 当时，， 令，，，则， 即， 故， 化简可得． 【分析】（1）参变分离得到，求出，从而得到答案； （2）取，，得到，再取，，得，证明出结论； （3）令，，，则，求和即可. 【详解】（1）由题可知任意，，且，， 即， 解得，因为，所以， 故，即的取值范围为． （2）略 （3）略 3．对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为“位差奇函数”. (1)判断和是否是“位差奇函数”，并说明理由. (2)若，，且为“位差奇函数”. ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围. 【答案】(1)为“位差奇函数”，不是“位差奇函数”，理由： 为“位差奇函数”，不是“位差奇函数”，理由如下： 由，得 ， 函数为奇函数， 对于任意m有为位差奇函数， 又，设， 此时，若为奇函数， 则恒成立，矛盾， 不存在m有为“位差奇函数”； (2) ①证明：由已知，， 因为为“位差奇函数”，所以存在实数m， 使得为奇函数， 即在R上恒成立； 由 恒成立， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，即， 因为，所以； ② 【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义分别判断即可； （2）①根据题意可得为奇函数，则，化简整理求出的表达式，再结合指数函数的性质即可得出结论； ②分离参数可得，化简分离常数求出的最小值即可. 【详解】（1）略 （2）①略 ②由①知，，则不等式化为： ，则， 因为 ， 令，则，， 故当时，取到最小值，所以， 故a的取值范围为. 4．设函数在区间上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数在区间上的“和值”为. (1)判断函数在上的“和值”是否为0，并说明理由； (2)若函数在区间上的“和值”为，求实数的取值范围； (3)若，且函数在区间上有唯一“和值”，求的值. 【答案】(1) 函数在上的“和值”不为0，理由如下： 若函数在上的“和值”为0， 由于，不妨令，此时无解，矛盾， 从而函数在上的“和值”不为0； (2) (3)或 【分析】（1）举反例，令即可； （2）求出的值域，转化为集合之间的包含关系求解； （3）根据求出， 再分、、三种情况讨论即可. 【详解】（1）略 （2）， 令，则， 因为，所以，则， 因为，所以， 因为函数在区间上的“和值”为， 所以使得，即， 则， 则，得， 故实数的取值范围为； （3），则， 则由题意可知，， 则，得， 因为有唯一“和值”，所以，即； ①若，则在单调递增，则， 则，则，不符合题意； ②若，则在单调递减，故， 则，则，不符合题意； ③若，则在单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 则， 则， 若，即，则，符合题意； 若，即， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上，或. 5．定义在的函数满足对任意、，都有，则称 为 “类对数型”函数. (1)求证：为 “类对数型”函数； (2)当时，，请判断并证明函数的单调性； (3)若为 “类对数型”函数， 求的值. 【答案】(1)证明：的定义域为，满足定义要求. 对任意， ；， 即，满足“类对数型”函数定义，故是“类对数型”函数. (2)是单调递增函数. 证明：令，得，解得. 对任意，有. 根据题目条件，当时，因此. 将改写为，代入“类对数型”恒等式得， 移项整理得结合，可得. 即对任意，都有，因此在定义域上单调递增. (3) 【分析】（1）验证满足类对数型恒等式，即； （2）先令得，再对 利用及条件，由恒等式变形得，证明单调递增； （3）令得，再将原式按互为倒数的两项配对求和，加上 即得结果. 【详解】（1）略. （2）略. （3）令，代入定义得. 对任意，令，代入定义得， 即，得. 原式中，共对，加上， 总和为. 6.我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间上的“阶搭配函数”；当时，称为区间上的“阶自搭配函数”. (1)判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在区间上的“4阶搭配函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在区间上的“阶搭配函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)否，理由如下： 令，则， 化简得，此方程无解， 故不是区间上的“5阶自搭配函数”； (2)2 (3) 【分析】（1）取特殊值可得方程无解，即不是区间上的“5阶自搭配函数”； （2）根据“阶搭配函数”定义求得值域间的包含关系，再由不等式性质可得结论； （3）将问题转化为值域包含关系问题，再由二次函数性质得出不等式关系，解不等式即可得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）成立，即， 当单调递减，值域为， 单调递减，值域为， 由已知，则 由于，则， 解得，或， 又，所以，所以，当且仅当时等号成立， 即的最大值为2. （3）成立，即， 对任意单调递增，值域为. 在区间单调递减，在区间单调递增， 且在区间上的图象关于直线对称如下图： 由图可知若存在唯一的使，可得， 此时的值域为， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 7.设函数在非空数集上的值域为，即，若，则称为上的“精英函数”. (1)分别判断，是否为上的“精英函数”，并说明理由； (2)设，若存在实数，使得为上的“精英函数”，求实数的取值范围； (3)若为上的“精英函数”，求证：. 【答案】(1)是上的“精英函数”，不是上的“精英函数”，证明如下： 因为是上的增函数， 所以有， 因为，所以是上的“精英函数”. 因为是上的增函数， 所以有， 因为不是子集，所以不是上的“精英函数”. (2) (3) ， 所以该函数的定义域为， 设是内任意两个实数，且，则有， ， ， 因为， 所以， 所以 所以在上单调递减，且， 所以值域. 由“精英函数”定义可得，得： ， 对变形：， 对变形：， 所以， 令，， 因为，所以， 则式子变为：， 因为， 所以 ，而， 所以. 【分析】（1）根据幂函数的单调性求出值域，结合精英函数的定义进行判断即可； （2）先分析二次函数：对称轴，开口向上；再分类讨论单调性：当或：函数单调，验证值域包含于，仅、满足；当：函数先减后增，存在使值域包含于，区间内均满足；最后得出结论. （3）用函数的单调性的定义，结合指数函数和对数函数的单调性判断单调性，由“精英函数”定义得值域，进而转化为对数不等式；再通过指数变形、结合基本不等式，得，最终证得. 【详解】（1）略 （2）因为在上的值域， 又因是开口向上的二次函数，对称轴为，则分3种情况讨论： 当时，在上单调递增， 值域， 由，需满足：，故 所以满足条件. 当，在递减、递增， 设表示中最大的数， 值域. 由，需满足： 因为，， 所以， 故存在满足条件，因此均成立. 当，此时在上单调递减，值域. 由，需满足：， 两个不等式相加消去得：，解得. 结合，得. 综上所述，实数的取值范围是. （3）略 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $