第四章 幂函数、指数函数和对数函数（单元分层自测·能力提升卷）高一数学湘教版必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第四章 幂函数、指数函数和对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 3．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 5．若对任意实数都有 成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 11．在人工智能（AI）领域中，神经网络是模拟生物神经系统结构与信息处理机制，用于学习数据规律、提取特征、完成预测与决策任务的数学模型．神经网络中的激活函数通过对线性加权和进行非线性映射，为网络引入非线性表达能力．是最常用的激活函数，下面关于表述正确的是（   ） A． B．是减函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数的单调递减区间为______． 13．设函数，则满足的实数的取值范围是__________． 14．已知函数的图像与直线，有四个不同的交点，若这四个交点的横坐标分别为，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 16．（15分）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 17.（15分）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，即．已知函数的图象关于点成中心对称，函数．（为自然对数的底数） (1)求函数的定义域，并判断函数的单调性（只需判断即可）； (2)求函数的对称中心； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 19.（17分）某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； (2)当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） (3)记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第四章 幂函数、指数函数和对数函数·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A D C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增 【详解】（1）由，，..........1分 所以的定义域为，..........2分 又，..........4分 因为，所以，，..........5分 所以，，..........6分 即函数的值域为...........7分 （2）由（1）知，，..........8分 ，则..........9分 ，..........10分 当时，单调递减，，..........11分 当时，单调递增，， 又因为， 所以当时，，即，..........12分 此时在上单调递减； 当时，，即， 此时在上单调递增...........13分 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，..........2分 所以，即，解得，..........5分 故的取值范围为...........6分 （2）因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，..........7分 也即有两个不相等的实根，所以，即，..........9分 设，即与有两个不同的交点，..........11分 的简图如下： 当时，单调递减，当时，单调递增，则，..........14分 又当时，， 所以结合图像可知， 故的取值范围为...........15分 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，其图象开口向下、对称轴为，又在定义域上单调递增，..........2分 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立...........4分 则，且，解得，..........6分 故的取值范围为...........7分 （2）令，由得，..........8分 则，..........9分 当，即时，取最大值. 条件“对任意，都有”等价于对一切成立，..........10分 即，则，..........12分 即对一切成立...........13分 根据对勾函数的性质可知在上单调递增，..........14分 故，所以，即的取值范围为...........15分 18．（17分） 【答案】(1)定义域为，函数在上单调递增； (2)对称中心为 (3)的取值范围是 【详解】（1）因为 所以，即，解得...........2分 所以函数的定义域为. 令，..........3分 因为，所以单调递增，即单调递增...........4分 又因为单调递增，所以函数在上单调递增...........5分 （2） 因为函数的图象关于点成中心对称，..........8分 所以，即...........9分 所以...........10分 因为上式对任意成立，所以，解得 所以函数的对称中心为...........11分 （3）因为，使得不等式成立， 所以...........12分 由（1）得在上单调递增，所以...........13分 ， 令，设..........14分 因为，所以，即，所以..........15分 即. 所以，解得...........16分 实数的取值范围是...........17分 19．（17分） 【答案】(1)选模型③， (2)至少需要小时 (3) 【详解】（1）由表格中的数据可知，随着的增大，函数的值增长得越来越快，..........1分 模型①②中，随着的增大，的值增长的速度越来越慢，不符合要求， 模型③中，随着的增大，的值增长的速度越来越快，符合要求，..........2分 根据题意可得，解得，，则，..........3分 此时，，，..........4分 故符合题意...........5分 （2）由，可得，所以，..........7分 故，..........9分 所以此模型至少需要训练小时才能进入可用阶段...........10分 （3）由题意可得， 因为，即， 所以，..........11分 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 故当时，，..........12分 设，其中，由题意可知函数在上的最小值为， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，..........13分 ①当时，即当时，函数在上单调递增， 所以，解得，符合题意；..........14分 ②当时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）...........16分 综上所述..........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第四章 幂函数、指数函数和对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知 ，解得，所以的定义域为. 2．下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于B，函数单调递增且与轴有唯一交点，可以用二分法求零点； 对于C，因为，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 对于D，函数为开口向下的抛物线与轴有两个交点，可以用二分法求零点. 3．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 4．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过判断函数的奇偶性排除部分选项，再结合函数的零点个数确定最终选项. 【详解】由题意，函数 的定义域为. 因为 ，所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，故排除选项 B C； 又因为 等价于 ，解得 ，即函数 只有唯一零点 ， 观察选项 D ，其图象在 轴正半轴上有交点（即存在非零零点），故排除选项 D ； 综上所述，只有选项 A 符合题意. 5．若对任意实数都有 成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由不等式判断为上的增函数，再根据分段函数单调递增的要求：各段单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解即可. 【详解】由对任意恒成立，可得是上的单调递增函数， 故分段函数单调递增需满足三个条件： 当时，为增函数，故底数需满足； 当时，为增函数，故需满足，解得； 在分段点处，左段函数值不大于右段函数值，即，解得， 综上，实数的取值范围为. 6．已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程与方程的实数解分别是， 令， 则函数与的交点横坐标为，函数与的交点横坐标为， 函数，，的图像如下图所示： 故. 7．函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，分析可知内层函数的值域包含，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令，因为函数的值域为，则内层函数的值域包含， 当时，内层函数的值域为，符合题意； 当时，因为内层函数的值域包含， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 8．已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或. 当时，，开口向下，对称轴为，，； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增. 作出的大致图象如下， 由图可知，直线与图象有3个交点； 直线与图象有4个交点. 所以函数的零点个数是7个. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A选项，由换底公式，可得，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，当且时，，故C错误； D选项，，故D正确． 10．已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式代值计算即可判断A；根据分段函数解析式，分别求得值域，求并集即可判断B；画出函数图象即可判断CD． 【详解】A选项，，A选项正确； B选项，当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数的值域为，B选项正确； C选项，由图象可知，函数的单调递增区间为，所以C选项错误； D选项，由图可知，若有三个不等实根，则直线与图象有三个不同交点，由数形结合得，当时符合，故D选项正确． 11．在人工智能（AI）领域中，神经网络是模拟生物神经系统结构与信息处理机制，用于学习数据规律、提取特征、完成预测与决策任务的数学模型．神经网络中的激活函数通过对线性加权和进行非线性映射，为网络引入非线性表达能力．是最常用的激活函数，下面关于表述正确的是（   ） A． B．是减函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用对数运算求函数值可判断A；通过分析复合函数的单调性判断B；通过求指数型复合函数的值域可判断C；通过指数式的运算可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为的定义域为，且在上单调递减，所以是上的增函数，故B不正确； 对于C，恒成立，故，则，故，故C正确； 对于D，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】根据复合函数单调性同增异减求得正确答案. 【详解】， 由，即，解得. 函数的图象开口向下，对称轴是，在上递增， 而在上递减， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递减区间是. 故答案为： 13．设函数，则满足的实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】记，然后判断的单调性和奇偶性，再利用这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】记，定义域为， 因为，所以为偶函数， 因为当时，单调递增，由复合函数性质可知单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 则不等式， 平方得，解得，即. 14．已知函数的图像与直线，有四个不同的交点，若这四个交点的横坐标分别为，则的取值范围是______． 【答案】． 【分析】画出函数图象，根据图象得出的取值范围和之间的关系，进而求解. 【详解】画出函数图象： 由图象可知当函数与有四个不同的交点时， 不妨设，则， 所以，即， 所以，所以， 令，即， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增 【详解】（1）由，， 所以的定义域为， 又， 因为，所以，， 所以，， 即函数的值域为. （2）由（1）知，， ，则 ， 当时，单调递减，， 当时，单调递增，， 又因为， 所以当时，，即， 此时在上单调递减； 当时，，即， 此时在上单调递增. 16.（15分）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 所以，即，解得， 故的取值范围为. （2）因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， 也即有两个不相等的实根，所以，即， 设，即与有两个不同的交点， 的简图如下： 当时，单调递减，当时，单调递增，则， 又当时，， 所以结合图像可知， 故的取值范围为. 17．（15分）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，其图象开口向下、对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得， 故的取值范围为. （2）令，由得， 则， 当，即时，取最大值. 条件“对任意，都有”等价于对一切成立， 即，则， 即对一切成立. 根据对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，所以，即的取值范围为. 18．（17分）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，即．已知函数的图象关于点成中心对称，函数．（为自然对数的底数） (1)求函数的定义域，并判断函数的单调性（只需判断即可）； (2)求函数的对称中心； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为，函数在上单调递增； (2)对称中心为 (3)的取值范围是 【详解】（1）因为 所以，即，解得. 所以函数的定义域为. 令， 因为，所以单调递增，即单调递增. 又因为单调递增，所以函数在上单调递增. （2） 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以，即. 所以. 因为上式对任意成立，所以，解得. 所以函数的对称中心为. （3）因为，使得不等式成立， 所以. 由（1）得在上单调递增，所以. ， 令，设 因为，所以，即，所以 即. 所以，解得. 实数的取值范围是. 19．（17分）某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； (2)当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） (3)记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 【答案】(1)选模型③， (2)至少需要小时 (3) 【详解】（1）由表格中的数据可知，随着的增大，函数的值增长得越来越快， 模型①②中，随着的增大，的值增长的速度越来越慢，不符合要求， 模型③中，随着的增大，的值增长的速度越来越快，符合要求， 根据题意可得，解得，，则， 此时，，， 故符合题意. （2）由，可得，所以， 故， 所以此模型至少需要训练小时才能进入可用阶段. （3）由题意可得， 因为，即， 所以， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 故当时，， 设，其中，由题意可知函数在上的最小值为， 因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，即当时，函数在上单调递增， 所以，解得，符合题意； ②当时，即当时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）. 综上所述. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第四章 幂函数、指数函数和对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．下列函数不宜用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 3．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 5．若对任意实数都有 成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知方程与方程的实数解分别是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，则函数的零点个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，下列说法正确的是（    ） A． B．函数的值域为 C．函数的单调递增区间为 D．若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 11．在人工智能（AI）领域中，神经网络是模拟生物神经系统结构与信息处理机制，用于学习数据规律、提取特征、完成预测与决策任务的数学模型．神经网络中的激活函数通过对线性加权和进行非线性映射，为网络引入非线性表达能力．是最常用的激活函数，下面关于表述正确的是（   ） A． B．是减函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数的单调递减区间为______． 13．设函数，则满足的实数的取值范围是__________． 14．已知函数的图像与直线，有四个不同的交点，若这四个交点的横坐标分别为，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 16．（15分）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 17.（15分）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，即．已知函数的图象关于点成中心对称，函数．（为自然对数的底数） (1)求函数的定义域，并判断函数的单调性（只需判断即可）； (2)求函数的对称中心； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 19.（17分）某科研团队在训练一款AI图象识别模型时发现：在持续的训练过程中，随着训练时间（单位：）的加长，模型相对准确率期待值会增加．下表是部分统计数据： 为了描述模型相对准确率期待值随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①，②，③． (1)选出最符合实际的函数模型，并求出的表达式； (2)当相对准确率期待值不小于时，模型进入可用阶段，请问此模型至少需要训练多少小时才能进入可用阶段？（保留一位小数，参考数据，） (3)记，为了衡量模型训练综合效率，定义效率函数为，其中为效率系数．若要保证时，的最小值为，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $