精品解析：吉林长春市净月实验中学2026-2027学年第一学期 八年级数学学科 10月第一次阶段学情自测

长春市净月实验中学 八年级数学阶段学情自测 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数轴的特征，及正负数在数轴上的表示求解并判断，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，， A.∵，故选项错误,符合题意； B.∵，则，故选项正确，不符合题意； C.∵，，∴，，故选项正确，不符合题意； D.∵，，∴，故选项正确，不符合题意； 故选：A． 2. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点（即两代数式之和乘以两代数式之差，等于两代数式的平方差）是解决问题的关键． 根据平方差公式解决此题． 【详解】解：A、和，和不分别相同，不符合平方差公式； B、，不符合平方差公式； C、，符合平方差公式； D、，不符合平方差公式． 故本题选：C． 3. 如图，在中，，，是的中线，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． 根据中线的定义得到，，根据勾股定理逆定理得到，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5， ∴EF=AB=5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2解答． 5. 如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 代入，，得：． 6. 如图，中，是的中线，于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积，关键是知识点的灵活应用；根据等腰三角形三线合一可得，进而利用勾股定理可得的长，利用等面积可求，最后利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵中，是的中线， ∴， ∴， ∵于点，， ∴， ∴，即：， ∴在中，，  故选：A ． 7. 我们规定：对于任意的正数，的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义当时，；当时，即可解答． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键． 8. 4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以． 【详解】解：， ， ∵， ∴， 整理，得， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 10. 若，，则代数式的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】因式分解后利用整体代入的思想即可解决问题． 【详解】解： ， ∵，，， ∴原式， 故答案为：. 【点睛】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，学会利用整体代入的思想解决问题． 11. 若的乘积中不含项，___________． 【答案】 4 【解析】 【分析】展开两个多项式的乘积，定位项的系数，根据乘积中不含项的条件，令该项系数为0，建立关于的方程求解． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项， ∴项的系数为0，即， ∴． 12. 规定：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“完美组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如2，8，18这三个数，，，，其结果都是整数，所以2，8，18三个数称为“完美组合”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．若3，12，27三个数是“完美组合”，则其中最小算术平方根的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义以及算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．先求出最小算术平方根，然后求出平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴最小算术平方根是6， ∴最小算术平方根的平方根是． 故答案为：． 13. 下列说法： ①的小数部分是；②平方根与立方根等于它本身的数是0和1； ③的立方根是；④是7的平方根；⑤；⑥的算术平方根是2． 其中正确的有______．（填序号） 【答案】④⑤ 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根、无理数的估算以及算术平方根的概念；需要根据定义逐一判断每个说法的正确性． 【详解】解：①的整数部分是 2，小数部分应为，故错误； ② 平方根等于本身的数是0，立方根等于本身的数是0、1、，但同时满足平方根和立方根等于本身的数是0，故错误； ③ 的立方根是，不是，故错误； ④ 是7的平方根之一，故正确； ⑤ ，所以，故正确； ⑥ ，8的算术平方根不是2，因为，故错误． 故正确是④⑤， 故答案为：④⑤． 14. 如图，在中，，，于点．、分别是边、上的动点，且，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④平分．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟知等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，证明进而得到对应边对应角相等，即可证明①正确；由对应边相等，得到，即可证明②正确；在中，利用，再进行线段转化，即可证明③正确；根据等腰三角形的性质，得到不一定成立，即可证明④不正确；最终得到结论即可． 【详解】解：对于①：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①正确，符合题意； 对于②：由①得：， ∴是等腰直角三角形， ∴②正确，符合题意； 对于③：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴③正确，符合题意； 对于④：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定成立， ∴平分不一定成立， ∴④不正确，不符合题意； 综上所述：所有正确结论的序号是①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题 15. 计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法，求代数式的值，熟练掌握性质是解题的关键．先利用完全平方公式，整式的乘法，整式的加减，进行化简，然后将，代入计算即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 18. 如图①，的斜边比直角边长，另一直角边长为，求的长． （1）请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程． （2）拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ①求的长． ②的长为___________． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理列出方程解答即可； （2）①根据翻折的性质得到，即可根据线段的和差求出的长； ②在中，结合翻折的性质，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为； 【小问2详解】 解：①∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ∴， ∴； ②∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为． 19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）在AD上求作点G，使得GA＝GB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接GC，若AG＝1，∠BAC＝45°，求△BGC的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，交AD于点G， （2）首先证明∠BGC=90°，然后利用面积公式求得结果． 【小问1详解】 解：尺规作图如下： ∴点G即为所求； 【小问2详解】 ∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝45° ∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝22.5°，BD＝CD ∴GC＝GB ∵由（1）得GA＝GB＝1 ∴∠GBA＝∠BAD＝22.5°，GC＝GB＝1 ∴∠BGD＝∠CGD＝∠3＋∠1＝22.5°＋22.5°＝45° ∴∠BGC＝90° ∴S△BGC＝BG·GC＝×1×1＝． 【点睛】本题考查尺规作图——作已知线段的垂直平分线以及等腰三角形的性质，利用交轨法作图是解决问题的关键． 20. 对于一个图形，通过不同的方法计算其面积可得到一些数学等式，在整式乘法的学习中，我们常借助几何图形对等式进行直观解释．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形． （1）将其中2块小长方形置于一边长为的正方形框内，摆放如图2所示．用两种不同的方法表示空白部分面积，可得到的数学等式为____________； （2）如图3，将4块小长方形拼成一个“回形”正方形．用两种不同的方法表示空白部分面积，可得到的数学等式为____________； （3）应用（2）中的结论解决下列问题： ①若，则____________； ②如图4，已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，一元二次方程的解法，正方形的性质，熟练掌握完全平方式是解答关键． （1）根据正方形和矩形的面积公式来求解； （2）根据正方形和矩形的面积公式来求解； （3）①利用（2）的结果来求解；②根据题意得到，解方程求出的值，进而得到两个小正方形的边长，再利用面积公式求解． 【小问1详解】 解：空白正方形的边长为， 方法一：空白部分的面积为：； 方法二：空白部分的面积为：， 所以得到的数字等于为：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：空白处正方形的边长为，外面正方形的边长为， 方法一：空白部分面积为， 方法二：， 所以得到的数字等于为：． 故答案为： ． 【小问3详解】 解：①， ， 即， ． 故答案为：． ②由题意可知，， ， 整理得， 解得，（舍去）， ，． 正方形和正方形中 ，， ． 21. 类比探究题： 【探究】 （1）如图①，在等腰直角中，过点C作直线，且于点D，于点E，求证：． 【应用】 （2）如图②，在等腰直角中，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，则___________． 【拓展】 （3）在【应用】条件下，延长交于点F，如图③，则___________． 【答案】（1）证明：∵于点，于点，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴； 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】(1)证即可求解； (2)证即可求解； (3)设，根据，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在等腰直角中，，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：设， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市净月实验中学 八年级数学阶段学情自测 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，是的中线，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 6. 如图，中，是的中线，于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 我们规定：对于任意的正数，的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______． 10. 若，，则代数式的值是_______． 11. 若的乘积中不含项，___________． 12. 规定：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“完美组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如2，8，18这三个数，，，，其结果都是整数，所以2，8，18三个数称为“完美组合”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．若3，12，27三个数是“完美组合”，则其中最小算术平方根的平方根是______． 13. 下列说法： ①的小数部分是；②平方根与立方根等于它本身的数是0和1； ③的立方根是；④是7的平方根；⑤；⑥的算术平方根是2． 其中正确的有______．（填序号） 14. 如图，在中，，，于点．、分别是边、上的动点，且，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④平分．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题 15. 计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图①，的斜边比直角边长，另一直角边长为，求的长． （1）请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程． （2）拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上， ①求的长． ②的长为___________． 19. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）在AD上求作点G，使得GA＝GB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接GC，若AG＝1，∠BAC＝45°，求△BGC的面积． 20. 对于一个图形，通过不同的方法计算其面积可得到一些数学等式，在整式乘法的学习中，我们常借助几何图形对等式进行直观解释．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形． （1）将其中2块小长方形置于一边长为的正方形框内，摆放如图2所示．用两种不同的方法表示空白部分面积，可得到的数学等式为____________； （2）如图3，将4块小长方形拼成一个“回形”正方形．用两种不同的方法表示空白部分面积，可得到的数学等式为____________； （3）应用（2）中的结论解决下列问题： ①若，则____________； ②如图4，已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是24，分别以为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 21. 类比探究题： 【探究】 （1）如图①，在等腰直角中，过点C作直线，且于点D，于点E，求证：． 【应用】 （2）如图②，在等腰直角中，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点，则___________． 【拓展】 （3）在【应用】条件下，延长交于点F，如图③，则___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $