2026-2027学年浙教版七年级数学上册 期中专题复习： 新定义问题

2026-2027年浙教版七年级第一学期期中专题复习：新定义问题 【知识导图】 【知识梳理】 【一阶练习】 1. 定义关于a，b的新运算：，其中a，b为整数，且为a与b的乘积，例如，，，，若，则的结果为（ ） A. 1或 B. C. 4或 D. 2. 若a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算为：，则的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 10 3.计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（ ） A. B. 72 C. D. 4.现定义两种运算“”“”：对于任意两个整数，，，则的值是（ ） A. 8 B. -4 C. 2 D. -2 5.现规定一种新运算“*”：，如，计算（ ） A. B. C. D. 6.现定义两种同级运算“”“”．对于任意两个整数，，，则的结果是（ ） A. 39 B. 90 C. 12 D. 【二阶练习】 1.一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝5，n＝9，此时成立，那么这样的一对数m，n，我们称为“协调数对”，记为（m，n）．若（a，3）是它的“协调数对”，则a的值是 　 　．若（b，c）是它的“协调数对”，则9b﹣5c的值是 　 　． 2.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如：十进制中26，用十六进制表示为，具体转化方法：（对应十六进制A）；十进制中123用十六进制表示为，具体转化方法：（对应十六进制B）．由上可知，在十六进制中_____（运算结果用十进制表示）； 在十进制中2024＝_____（运算结果用十六进制表示）． 3.对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则．例如，．若，，，，…，依此规律进行下去，得到一列数，，，，…．（n为正整数），__________． 4.对于个位数字不为零的任意三位数M，将其个位数字与百位数字对调得到M′，则称M′为M的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为F（M）．例如，273为372的“倒序数”，． （1）F（421）＝　 　 ； （2）对于任意三位数，F（M）＝ 　 （用含a、c的代数式表示）． 5.小霞同学定义了两种新运算：D（x）＝x+1，R（x）＝x﹣2（x为实数），例如：D（2）＝2+1＝3，R（3）＝3﹣2＝1．若a为实数，则下列运算正确的是（　　） A．2D（a）＝R（2a） B．2R（D（a））＝R（D（2a）） C．R（2D（a））＝2D（R（a）） D．R（D（2a））＝D（R（2a）） 6.用“☆”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝a2﹣b2．例如：7☆4＝72﹣42＝33，那么5☆﹣3＝　 　 ；﹣1☆（2☆3）＝　 　 ． 【三阶练习】 1.根据以下素材，探究完成任务． 素材1：对于任何有理数，可用表示不超过的最大整数，如：，意思是数不超过的最大整数是． 素材2：现对进行如下操作：取的三分之一，再取不超过它的最大整数，重复进行操作，即：，进行3次操作之后开始变为固定值． 任务1．______；______． 任务2．任意整数进行3次操作，开始变为固定值，求取到的最大数和最小数． 任务3．任意整数进行3次操作，开始变为固定值0，请直接写出所有符合条件的数的和． 2.【阅读理解】 若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是的“妙点”。例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的“妙点”．又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的“妙点”，但点D是的“妙点”． 【知识应用】 备用图 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． （1）数3__________（填“是”或“不是”）的“妙点”，数2__________（填“是”或“不是”）的“妙点”． （2）若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是的妙点，求x的值． （3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，当t为何值时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案） 3.对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为　 　； （2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值； （3）若a0和a1关于1的“相对关系值”为1，a1和a2关于2的“相对关系值”为1，a2和a3关于3的“相对关系值”为1，…，a20和a21关于21的“相对关系值”为1． ①a0+a1的最大值为　 　； ②a1+a2+a3+…+a20的值为　 　（用含a0的式子表示）． 4.把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：，，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素，如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”，例如集合就是一个“好的集合”；集合不是一个“好的集合”，因为2是该集合的元素，但不是该集合的元素． （1）集合 （填“是”或“不是”）“好的集合”；集合 （填“是”或“不是”）“好的集合”； （2）请你再写出两个好的集合，要求： ①不得与上面出现过的集合重复； ②一个集合中要有5个元素，另一个集合中要有6个元素； 有5个元素的集合：{ }； 有6个元素的集合：{ }； （3）在所有“好的集合”中，元素个数最少的集合是{ }． 5.对于有理数a，b，现定义运算“”对于任意两个整数，， （1）计算的值； （2）计算的值 6.任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例∶，则． （1）填空：______，_____，_____． （2）若，求m和n的值． 7.观察下列两个等式：，．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如数对，都是“共生有理数对”． （1）判断数对是不是“共生有理数对”，并写出计算过程； （2）如果是“共生有理数对”，且，求的值． 8.定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对1进行2次“”运算，由于1是奇数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果6是偶数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是3．据此回答下列问题： （1）求的运算结果． （2）若为奇数，且的运算结果为6，求的值． （3）若为奇数，且的运算结果为4，直接写出的值． 9.【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答） （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式．________；_________；________； （3）想一想，将一个非零有理数的圈次方写成乘方幂的形式等于________； （4）比较________（填“>”“<”或“=”）； 【灵活应用】 （5）算一算：． 10.小华在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，输入，的值可在屏幕上输出运算结果． （1）①求的值； ②求的值； （2）计算和的值，并根据计算结果判断小华设计的运算程序是否满足交换律． 11.对于有理数x、y规定一种新运算：x◎y＝ax+y．其中a为常数，等式右边是乘法和加法运算，已知3◎4＝13． （1）求常数a的值； （2）求◎2的值． 12.观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对，都是“共生有理数对”． （1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　是　 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）； （3）如果（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（﹣5）mn的值． 13.在实数范围内定义运算“※”：a※b＝ab﹣ab，例如：3※2＝3×2﹣32＝4． （1）若a＝5，b＝﹣4，计算a※b的值． （2）若（﹣2）※x＝1，求x的值． （3）若a﹣b＝2022，求a※b﹣b※a的值． 14.观察下列三个等式：2+2＝2×2，，，我们将使等式a+b＝ab成立的一对实数a，b称为“美好数对”，记为（a，b），例如数对（2，2），，都是“美好数对”，请回答下列问题： （1）数对是“美好数对”吗？请说明理由． （2）若是“美好数对”，求a的值． （3）若（﹣3，m2﹣2m）是“美好数对”，求代数式m2﹣2m的值． 15.在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“⊕”表示相加．例如：向右转⊕向左转＝立正，向左转⊕向左转＝向后转，等等．分别用数字符号0，1，﹣1，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表． ⊕ 0（立正） 1（向右转） ﹣1（向左转） 2（向后转） 0（立正） 0 1 ﹣1 2 1（向右转） 1 2 0 n ﹣1（向左转） ﹣1 0 2 1 2（向后转） 2 x y m 请完成下面问题： （1）上述表格中，x＝　 　 ，y＝　 　 ，m＝　 　 ． （2）若用字母a表示任何一种体育口令，则a⊕0＝a ． （3）判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）． 16.【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如：A＝x2+2x﹣3，A经过处理器得到B＝（1+2）x﹣3＝3x﹣3． 【应用】若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若A＝3x2﹣2x+5，则B＝ 　 ； （2）若A＝4x2﹣5（2x﹣3），求关于x的方程B＝9的解； 【延伸】已知M＝（m+3）x2﹣x+7，M是关于x的二次多项式，若N是M经过上述处理器得到的整式． ①若满足N＝4x+7，且x≠0，求m的值． ②若满足N＝x+2m+14的解x是整数，求整数m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年浙教版七年级第一学期期中专题复习：新定义问题 【知识导图】 【知识梳理】 【一阶练习】 1. 定义关于a，b的新运算：，其中a，b为整数，且为a与b的乘积，例如，，，，若，则的结果为（ ） A. 1或 B. C. 4或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义，根据可依次推导出，，然后根据或即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 或． 故选A． 2. 若a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算为：，则的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，根据题中的新定义运算求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 3.计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（ ） A. B. 72 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解本题的关键是从表格中找出十六进制与十进制间的转换关系．在表格中找出A和B所对应的十进制数字，然后根据十进制表示出，根据表格中E对应的十进制数字可把用十六进制表示．即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 用十进制表示为， ∵用十进制表示的数14用十六进制表示为E， ∴用十六进制表示为， 故选：A． 4.现定义两种运算“”“”：对于任意两个整数，，，则的值是（ ） A. 8 B. -4 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： =（-8+6-1）（-3+5-1） =（-3）1 =-3-1 =-4， 故选：B． 5.现规定一种新运算“*”：，如，计算（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了新定义运算，有理数的减法，根据新定义运算列式求解即可． 详解】． 故选：C． 6.现定义两种同级运算“”“”．对于任意两个整数，，，则的结果是（ ） A. 39 B. 90 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，定义新运算，先根据新定义将6和8进行新运算，同时计算括号内的，再将结果进行新运算即可． 【详解】原式 ． 故选：D． 【二阶练习】 1.一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝5，n＝9，此时成立，那么这样的一对数m，n，我们称为“协调数对”，记为（m，n）．若（a，3）是它的“协调数对”，则a的值是 　　．若（b，c）是它的“协调数对”，则9b﹣5c的值是 　0　． 【分析】利用“协调数对”的定义进行解答和化简即可． 【解答】解：∵（a，3）是它的“协调数对”， ∴﹣＝， 整理得：﹣1＝， 解得a＝； ∵（b，c）是它的“协调数对”， ∴﹣＝， 等式两边都乘以30，得6b﹣10c＝15b﹣15c， 移项，合并同类项，得9b﹣5c＝0． 故答案为：，0． 2.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如：十进制中26，用十六进制表示为，具体转化方法：（对应十六进制A）；十进制中123用十六进制表示为，具体转化方法：（对应十六进制B）．由上可知，在十六进制中_____（运算结果用十进制表示）； 在十进制中2024＝_____（运算结果用十六进制表示）． 【答案】 ①. 108 ②. 【解析】 【分析】本题属于新定义的问题，注意按照例子直接套用即可，根据十六制与十进制的换算方法计算即可． 【详解】解：∵在十六进制中C对应十进制数字12， ∴十六进制数转换成十进制数为：； 十进制数2024转换成十六进制数方法： （对应十六进制8）， （对应十六进制E）， ∴十进制数2024转换成十六进制数为． 故答案为：108，． 3.对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则．例如，．若，，，，…，依此规律进行下去，得到一列数，，，，…．（n为正整数），__________． 【答案】4726 4.对于个位数字不为零的任意三位数M，将其个位数字与百位数字对调得到M′，则称M′为M的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为F（M）．例如，273为372的“倒序数”，． （1）F（421）＝　3　 ； （2）对于任意三位数，F（M）＝　|a﹣c|　 （用含a、c的代数式表示）． 【专题】整式；运算能力． 【分析】（1）根据定义，计算421的倒序数，再求差值的绝对值除以99； （2）用代数式表示三位数及其倒序数，化简表达式． 【解答】解：（1）对于个位数字不为零的任意三位数M，将其个位数字与百位数字对调得到M′，则称M′为M的“倒序数”， 对于三位数421，其倒序数为124， 则|421﹣124|＝297，297÷99＝3， 故F（421）＝3； （2）对于三位数，其倒序数为， 则， 故． 故答案为：3；|a﹣c|． 5.小霞同学定义了两种新运算：D（x）＝x+1，R（x）＝x﹣2（x为实数），例如：D（2）＝2+1＝3，R（3）＝3﹣2＝1．若a为实数，则下列运算正确的是（　　） A．2D（a）＝R（2a） B．2R（D（a））＝R（D（2a）） C．R（2D（a））＝2D（R（a）） D．R（D（2a））＝D（R（2a）） 【专题】实数；运算能力． 【分析】按照新定义的运算方法化简各选项进行比较即可． 【解答】解：A、2D（a）＝2（a+1）＝2a+2，R（2a）＝2a﹣2，故A错误，不符合题意； B、2R（D（a））＝2R（a+1）＝2（a+1﹣2）＝2a﹣2，R（D（2a））＝R（2a+1）＝2a+1﹣2＝2a﹣1， 故B错误，不符合题意； C、R（2D（a））＝R（2a+2）＝2a，2D（R（a））＝2D（a﹣2）＝2×（a﹣2+1）＝2a﹣2， 故C错误，不符合题意； D、R（D（2a））＝R（2a+1）＝2a﹣1，D（R（2a））＝D（2a﹣2）＝2a﹣1， 故D正确，符合题意． 故选：D． 6.用“☆”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝a2﹣b2．例如：7☆4＝72﹣42＝33，那么5☆﹣3＝　16　 ；﹣1☆（2☆3）＝　﹣24　 ． 【专题】实数；运算能力． 【分析】根据定义的新运算列式计算即可． 【解答】解：5☆﹣3 ＝52﹣（﹣3）2 ＝25﹣9 ＝16， 2☆3 ＝22﹣32 ＝4﹣9 ＝﹣5， ﹣1☆（2☆3） ＝﹣1☆（﹣5） ＝（﹣1）2﹣（﹣5）2 ＝1﹣25 ＝﹣24， 故答案为：16；﹣24． 【三阶练习】 1.根据以下素材，探究完成任务． 素材1：对于任何有理数，可用表示不超过的最大整数，如：，意思是数不超过的最大整数是． 素材2：现对进行如下操作：取的三分之一，再取不超过它的最大整数，重复进行操作，即：，进行3次操作之后开始变为固定值． 任务1．______；______． 任务2．任意整数进行3次操作，开始变为固定值，求取到的最大数和最小数． 任务3．任意整数进行3次操作，开始变为固定值0，请直接写出所有符合条件的数的和． 【答案】任务1：1；；任务2：最大数和最小数分别是和；任务3：315 【解析】 【分析】本题考查了新定义，有理数的大小比较，有理数的除法，理解新定义是解答本题的关键． 任务1．直接根据新定义计算即可； 任务2．根据新定义，利用临界值求解即可； 任务3．根据新定义，求出临界值，再求和即可． 【详解】任务1：， 故答案为：1； 任务2：因为 所以进行3次操作，开始变为固定值，n取到的最大数和最小数分别是和 任务3：因为 所以整数n进行3次操作，开始变为固定值0，n取到的最大数和最小数分别是26和9， 所以 2.【阅读理解】 若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是的“妙点”。例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的“妙点”．又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的“妙点”，但点D是的“妙点”． 【知识应用】 备用图 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． （1）数3__________（填“是”或“不是”）的“妙点”，数2__________（填“是”或“不是”）的“妙点”． （2）若数轴上有一点Q表示的数是x，且点Q是的妙点，求x的值． （3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，当t为何值时，点P，A和B中恰有一个点为其余两点的“妙点”？（请直接写出答案） 【答案】（1）不是 不是 （2）或 （3）秒或20秒或15秒． 3.对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为　 　； （2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值； （3）若a0和a1关于1的“相对关系值”为1，a1和a2关于2的“相对关系值”为1，a2和a3关于3的“相对关系值”为1，…，a20和a21关于21的“相对关系值”为1． ①a0+a1的最大值为　 　； ②a1+a2+a3+…+a20的值为　 　（用含a0的式子表示）． 【答案】（1）8；（2）a的值为4或﹣2；（3）①3；②20a0+210或250﹣20a0 【解析】 【分析】（1）根据新定义列式计算便可； （2）根据新定义列出方程进行解答便可； （3）①根据题意列出方程|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，再分别四种情况：a0≥1，a1≥1；a0≥1，a1＜1；a0＜1，a1≥1；a0＜1，a1＜1；根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可； ②先根据已知条件求出a1，a2，a3，…，a20取值范围，再根据绝对值的性质求得a1，a2，a3，…，a20与a0的关系，便可求得结果． 【详解】解：（1）由“相对关系值”的意义可得， ﹣3和5关于1的“相对关系值”为|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝4+4＝8． 故答案为：8； （2）∵a和2关于1的“相对关系值”为4， ∴|a﹣1|+|2﹣1|＝4． ∴|a﹣1|＝3． 解得a＝4或﹣2， 答：a的值为4或﹣2； （3）①根据题意得，|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1， 分别四种情况： 当a0≥1，a1≥1时，有a0﹣1+a1﹣1＝1，则a0+a1＝3； 当a0≥1，a1＜1时，有a0﹣1+1﹣a1＝1，则a0﹣a1＝1，得a0+a1＝1+2a1＜3； 当a0＜1，a1≥1时，有1﹣a0+a1﹣1＝1，则a1﹣a0＝1，得a0+a1＝1+2a0＜3； 当a0＜1，a1＜1时，有1﹣a0+1﹣a1＝1，则a0+a1＝1＜3； 由上可知，a0+a1的最大值为3； 故答案为3； ②当0＜a0＜1时，|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，|a1﹣2|+|a2﹣2|＝1，|a2﹣3|+|a3﹣3|＝1，…，|a19﹣20|+|a20﹣20|＝1， ∴1＜a1＜2，2＜a2＜3，…，19＜a19＜20， ∴1﹣a0+a1﹣1＝1，即a1﹣a0＝1； 2﹣a1+a2﹣2＝1，即a2﹣a1＝1； 同理可得：a3﹣a2＝1，…，a20﹣a19＝1， ∴a1＝1+a0，a2＝1+a1＝2+a0，a3＝1+a2＝3+a0，…，a20＝1+a19＝20+a0， ∴a1+a2+a3+…a20＝1+a0+2+a0+3+a0+…+20+a0 ＝1+a0+2+a0+3+a0…+20+a0 ＝20a0+（1+2+3+…20） ＝20a0+（1+20）× ＝20a0+210． 当1＜a0≤2，1≤a1＜2时， a0+a1＝3，a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝1，…a21﹣a20＝1， ∴a1＝3﹣a0，a2＝4﹣a0，a3＝5﹣a0，…a20＝22﹣a0；a21﹣a20＝1； ．．a1＝3﹣a0，a2＝4﹣a0，a3＝5﹣a0，…a20＝22﹣a0 ∴a1+a2+a3+…+a20 ＝3﹣a0+4﹣a0+5﹣a0+…+22﹣a0 ＝（3+4+5+…+22）﹣20a0 ＝（3+22）×﹣20a0 ＝250﹣20a0， 综上所述：a1+a2+a3+…+a20的值为20a0+210或250﹣20a0， 故答案为：20a0+210或250﹣20a0． 4.把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：，，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素，如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”，例如集合就是一个“好的集合”；集合不是一个“好的集合”，因为2是该集合的元素，但不是该集合的元素． （1）集合 （填“是”或“不是”）“好的集合”；集合 （填“是”或“不是”）“好的集合”； （2）请你再写出两个好的集合，要求： ①不得与上面出现过的集合重复； ②一个集合中要有5个元素，另一个集合中要有6个元素； 有5个元素的集合：{ }； 有6个元素的集合：{ }； （3）在所有“好的集合”中，元素个数最少的集合是{ }． 【答案】（1）不是，是 （2）， （3）7． 【解析】 【分析】本题主要考查新定义，有理数的加减运算，一元一次方程的应用，利用“好的集合”的定义，只要确定集合元素之和等于10即可． （1）根据“好的集合”的定义，即可求解； （2）根据“好的集合”的定义，即可求解； （3）根据题意得：元素个数最少的“好的集合”是只有一个元素的集合，设其元素为x，则有，解出即可． 【小问1详解】 解：∵不在集合内， ∴集合不是 “好集合”； ∵，，，，都在集合内， ∴集合是 “好的集合”； 【小问2详解】 解：有5个元素的集合： 有6个元素的集合：， 理由：∵，，，，在集合内， ∴集合是“好的集合”； ∵，，，，，在集合内， ∴集合是“好的集合”； 【小问3详解】 解：元素个数最少的“好的集合”就是只有一个元素的集合， 设其元素为x，则有， 解得， 故元素个数最少的“好的集合”是． 5.对于有理数a，b，现定义运算“”对于任意两个整数，， （1）计算的值； （2）计算的值 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】考查了有理数的混合运算，此题是定义新运算题型． （1）根据新定义得到的值即可； （2）先根据新定义得到的值，再根据新定义得到的值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 6.任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例∶，则． （1）填空：______，_____，_____． （2）若，求m和n的值． 【答案】（1），，； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，绝对值的意义，有理数的减法和乘法，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新运算进行计算即可； （2）由 得到，，再根据可得出答案． 【小问1详解】 解：依题意得： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，． 7.观察下列两个等式：，．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“，”为“共生有理数对”，记为，如数对，都是“共生有理数对”． （1）判断数对是不是“共生有理数对”，并写出计算过程； （2）如果是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】（1）不是“共生有理数对”，过程见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据题目中的定义，可以计算出数对是否为“共生有理数对”； （2）根据是“共生有理数对”，且，可以求出，进而求得的值． 【小问1详解】 解：不是“共生有理数对”， 是“共生有理数对”， 理由：，，， 不是“共生有理数对”； 【小问2详解】 解：是“共生有理数对”，且， ， 解得， ． 8.定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对1进行2次“”运算，由于1是奇数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果6是偶数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是3．据此回答下列问题： （1）求的运算结果． （2）若为奇数，且的运算结果为6，求的值． （3）若为奇数，且的运算结果为4，直接写出的值． 【答案】（1）2 （2）7 （3）11 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的运算、代数式求值、解一元一次方程，数字类规律探索等知识，理解新定义的对正整数进行次“”运算是解题关键． （1）根据新定义的对正整数进行次“”运算求解即可； （2）根据是奇数，进行2次计算求解即可； （3）是奇数，可得第一次运算结果为，第二次运算结果为， 为偶数求解即可． 【小问1详解】 解：依题意可得，表示对4进行1次“”运算， ， ； 【小问2详解】 若为奇数，且的运算结果为6， 第一次运算结果为， 为偶数， 第二次运算结果为， 【小问3详解】 若为奇数，且的运算结果为4， 第一次运算结果为， 为偶数， 第二次运算结果为， 偶数，第三次运算结果为 解得：． 9.【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答） （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式．________；_________；________； （3）想一想，将一个非零有理数的圈次方写成乘方幂的形式等于________； （4）比较________（填“>”“<”或“=”）； 【灵活应用】 （5）算一算：． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）＞； （5）． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的除法运算，乘方运算，以及有理数混合运算，正确理解相关运算法则是解题的关键． （1）根据题目给出的定义，进行计算即可； （2）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可； （3）从（2）中总结归纳相关规律即可； （4）将两数变形，求出具体值，再比较大小即可； （5）先将除方转化为乘方，再运用有理数混合运算的方法进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）； ； ； 故答案为：； （3）a的圈n次方为：； 故答案为：； （4）， ， ， ， 故答案为：＞； （5）． 10.小华在电脑中设置了一个有理数的运算程序：，输入，的值可在屏幕上输出运算结果． （1）①求的值； ②求的值； （2）计算和的值，并根据计算结果判断小华设计的运算程序是否满足交换律． 【答案】（1）①；② （2），，小华设计的运算程序不满足交换律． 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的混合计算： （1）①根据新定义可得，据此计算求解即可；②先根据新定义计算出，再计算出的结果即可得到答案； （2）根据新定义分别计算出和的值，若二者的值相等，则满足交换律，若不相等，则不满足交换律． 【小问1详解】 解：①由题意得， ； ② ， ∴ ； 【小问2详解】 解： ， ， ∴， ∴小华设计的运算程序不满足交换律． 11.对于有理数x、y规定一种新运算：x◎y＝ax+y．其中a为常数，等式右边是乘法和加法运算，已知3◎4＝13． （1）求常数a的值； （2）求◎2的值． 【专题】实数；运算能力． 【分析】（1）根据新运算，将3◎4＝13转化为关于a的等式解答； （2）根据（1）中所求的a的值，根据新定义规定的运算，转化为一般运算解答． 【解答】解：（1）由新定义可知3◎4＝3a+4＝13，解得a＝3， ∴常数a的值为3； （2）◎2＝32． 12.观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对，都是“共生有理数对”． （1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 　是　 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）； （3）如果（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（﹣5）mn的值． 【专题】规律型；推理能力． 【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义，进行求解即可； （2）根据“共生有理数对”的定义，进行判断即可； （3）根据“共生有理数对”的定义求出mn的值，代入求解即可． 【解答】解：（1）∵1﹣2＝﹣1，1×2+1＝3， ∴1﹣2≠1×2+1， ∴数对（1，2）不是“共生有理数对”； （2）∵（m，n）是“共生有理数对”， ∴m﹣n＝mn+1， ∴﹣n﹣（﹣m）＝mn+1＝（﹣n）•（﹣m）+1， ∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”， 故答案为：是； （3）∵（m，n）是“共生有理数对”， ∴m﹣n＝mn+1， ∵m﹣n＝4， ∴mn＝3， ∴（﹣5）mn＝（﹣5）3＝﹣125． 13.在实数范围内定义运算“※”：a※b＝ab﹣ab，例如：3※2＝3×2﹣32＝4． （1）若a＝5，b＝﹣4，计算a※b的值． （2）若（﹣2）※x＝1，求x的值． （3）若a﹣b＝2022，求a※b﹣b※a的值． 【专题】新定义；整体思想；实数；整式；运算能力． 【分析】（1）利用新定义的规定列式运算即可； （2）利用新定义的规定得到一元一次方程，解方程即可得出结论； （3）利用新定义的规定化简后，利用整体代入的方法解答即可． 【解答】解：（1）原式＝5×（﹣4）﹣5（﹣4） ＝﹣20﹣5﹣2 ＝﹣27； （2）∵（﹣2）※x＝1， ∴， 解得：； （3）原式＝ab﹣ab﹣（ab﹣ba） ＝ab﹣ab﹣ab+ba （a﹣b）， 当a﹣b＝2022时， 上式2022 ＝﹣3033． 14.观察下列三个等式：2+2＝2×2，，，我们将使等式a+b＝ab成立的一对实数a，b称为“美好数对”，记为（a，b），例如数对（2，2），，都是“美好数对”，请回答下列问题： （1）数对是“美好数对”吗？请说明理由． （2）若是“美好数对”，求a的值． （3）若（﹣3，m2﹣2m）是“美好数对”，求代数式m2﹣2m的值． 【专题】实数；整式；运算能力． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列得方程，解方程即可； （3）根据题意求得﹣3+m2﹣2m＝﹣3（m2﹣2m），进而求得m2﹣2m的值． 【解答】解：（1）数对是“美好数对”，理由如下： ∵﹣4，﹣4， ∴﹣44， ∴数对是“美好数对”； （2）∵是“美好数对”， ∴aa， 解得：a＝﹣2； （3）∵（﹣3，m2﹣2m）是“美好数对”， ∴﹣3+m2﹣2m＝﹣3（m2﹣2m）， ∴4（m2﹣2m）＝3， ∴m2﹣2m． 15.在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“⊕”表示相加．例如：向右转⊕向左转＝立正，向左转⊕向左转＝向后转，等等．分别用数字符号0，1，﹣1，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表． ⊕ 0（立正） 1（向右转） ﹣1（向左转） 2（向后转） 0（立正） 0 1 ﹣1 2 1（向右转） 1 2 0 n ﹣1（向左转） ﹣1 0 2 1 2（向后转） 2 x y m 请完成下面问题： （1）上述表格中，x＝　﹣1　 ，y＝　1　 ，m＝　0　 ． （2）若用字母a表示任何一种体育口令，则a⊕0＝a ． （3）判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）． 【专题】实数；整式；运算能力． 【分析】（1）根据新定义分别求出向后转⊕向右转，向后转⊕向左转，向后转⊕向后转的结果即可得到答案； （2）根据任意口令⊕立正＝该任意口令即可得到答案； （3）只需要证明向右转⊕向左转＝立正，向左转⊕向右转＝立正，向右转⊕向左转+向后转＝向右转⊕（向左转+向后转）即可． 【解答】解：（1）由向后转⊕向右转＝向左转，可得x＝﹣1； 由向后转⊕向左转＝向右转，可得y＝1， ∵向后转⊕向后转＝立正， ∴m＝0； （2）由任意口令⊕立正＝该任意口令可得a⊕0＝a； （3）由表可知向右转⊕向左转＝立正，向左转⊕向右转＝立正， ∴符合加法的交换律； 由条件可知向右转⊕向左转+向后转＝向右转， 由条件可知向右转⊕向左转+向后转＝向右转⊕（向左转+向后转）， ∴符合加法交换律． 16.【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如：A＝x2+2x﹣3，A经过处理器得到B＝（1+2）x﹣3＝3x﹣3． 【应用】若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若A＝3x2﹣2x+5，则B＝ x+5　 ； （2）若A＝4x2﹣5（2x﹣3），求关于x的方程B＝9的解； 【延伸】已知M＝（m+3）x2﹣x+7，M是关于x的二次多项式，若N是M经过上述处理器得到的整式． ①若满足N＝4x+7，且x≠0，求m的值． ②若满足N＝x+2m+14的解x是整数，求整数m的值． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）根据题意进行计算即可求解； （2）根据题意，得出B＝﹣6x+15，进而解方程即可求解； （3）①根据题意得N＝[（m+3）﹣1]x+7＝（m+2）x+7，又N＝4x+7，得出m+2＝4，进而即可求解．②根据题意得（m+2）x+7＝x+2m+14，得出，根据 x，m都是整数，得出m+1＝±1，±5，进而即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得：B＝（3﹣2）x+5＝x+5； 故答案为：x+5； （2）A＝4x2﹣5（2x﹣3）＝4x2﹣10x+15， ∴B＝（4﹣10）x+15＝﹣6x+15， 又∵B＝9， ∴﹣6x+15＝9， ∴x＝1， ∴关于x的方程B＝9的解为 1． （3）①由题可知，N＝[（m+3）﹣1]x+7＝（m+2）x+7， 同时，N＝4x+7， ∴（m+2）x+7＝4x+7， ∵x≠0， ∴m+2＝4， ∴m＝2． ②根据题意可得（m+2）x+7＝x+2m+14，则（m+2）x+7＝x+2m+14，（m+1）x＝2m+7， ∴， ∵x，m都是整数， ∴m+1＝±1，±5， ∴m＝0，﹣2，4，﹣6（m＝﹣2舍去）， ∴整数m的值是 0 或 4 或﹣6． 1 学科网（北京）股份有限公司 $