精品解析：广东省东莞市东莞中学松山湖学校2026-2027学年高一上学期第一次段考数学试题

2026-2027学年度第一学期第一次段考 高一年级数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本卷共4页. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5．考生必须保证答题卡的整洁. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则等于（ ） A. {，1，3} B. {1，3} C. {0，1，2，3，4} D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可； 【详解】解：，， ． 故选：B． 2. 命题的否定是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在性量词命题的否定的结构形式可得正确的选项. 【详解】命题为存在性量词命题，其否定为全称量词命题， 且为， 故选：D. 3. 设为上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 11 B. C. 13 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为上的奇函数可得，，代入计算即可求解. 【详解】因为为上的奇函数， 所以，， 又当时，， 所以， 所以. 故选：C. 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析函数的奇偶性以及特定区间上函数值的正负来排除错误选项. 【详解】由函数解析式可知，分母，解得，即函数的定义域为 ， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称， 观察选项，C选项图象关于原点对称，故C错误； 当时，，则，所以，又 ，所以，即当时，函数图象位于轴上方， 观察选项，A选项在  上图象位于  轴下方，故A错误； 当时，，则，所以，又，所以，即当时，函数图象位于轴下方， 观察选项，D选项在  上图象位于  轴上方，故D错误； 综上所述，只有B选项符合题意，故B正确. 5. 已知命题p：函数为减函数，命题q：，则p是q的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求对应的参数的范围，再结合两个范围之间的关系可得两者之间的条件关系. 【详解】因为为减函数，则即， 而为的真子集，故是的充分不必要条件， 故选：C. 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据内函数的单调性结合非负性可求参数的取值范围. 【详解】设，则该函数在上单调递增且在上恒成立， 故，则在上单调递增，且恒成立，符合题设； 若，则，故， 综上，， 故选：C. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以. 故选：A. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“函数”定义结合分段函数值域列出关于m的不等关系即可求解. 【详解】由题可得函数定义域为，函数是“函数”， 所以函数值域为， 又当时，时单调递增，所以， 所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（　　） A. 函数是减函数 B. 已知函数，则函数 C. 已知，则 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据反比例函数的单调性判断；对于B：利用换元法求函数的解析式；对于C：代入求值进行判断；对于D：利用抽象函数求定义域的方法进行求解. 【详解】对于A：函数在，上是减函数，故A选项错误； 对于B：设，则， 所以， 所以，故B正确； 对于C：，所以， 所以，故C错误； 对于D：因为函数的定义域为， 所以，所以，所以函数的定义域为， 故D选项正确； 故选：BD 10. 已知，若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】对于，由，即， 当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确； 对于，因为， 当且仅当时，取到最小值，所以B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确； 对于，当且仅当，且， 即时，取等号，所以正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. 3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的性质得到，根据对于任意，都有得到在为增函数，从而得到，即可得到答案. 【详解】由题意得. 因为对于任意，都有， 所以对于任意，都有， 设，得在为增函数. 当时，在为减函数，不符合题意. 当时，. 所以可以为1，2，3. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合中只有一个元素，则满足条件的实数为____ 【答案】或 【解析】 【分析】分与进行讨论即可得. 【详解】当时，，则，故，符合要求； 当时，，令，解得； 综上所述：满足条件的实数为或. 故答案为：或. 13. 已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为___________． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，根据的值分类讨论即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或, 当时，，此时函数是奇函数，在上单调递减，定义域为，此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，符合题意； 当时，，此时函数是偶函数，在上单调递增，定义域为R，此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故不符合题意； 综上所述，的取值为， 故答案为： 14. ，定义：．记，若，，则函数的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先分和解，进而根据定义得，作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意有：当时，，所以， 由有：，即，解得， 所以当时，， 当时，，所以， 由有：，即，解得， 所以当时，， 所以当时，， 所以， 作出的图像： 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若存在实数，使得与可以同时成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，然后按照是否为空集分类讨论； （2）根据题意，可将问题转化成的讨论，再利用正难则反的思想，先计算出的范围，再求其补集即可. 【小问1详解】 ， 根据可知，，有两种情况： 若，则，解得； 若，根据可得，解得. 综上可得，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若存在实数x，使同时成立，即， 考虑正难则反，先求，有两种情况： 若，则，解得； 若且时，则有，解得， 或，解得， 综上可得当时，或， 则当时，. 则实数的取值范围. 16. 如图，点，为二次函数的图象与x轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1． （1）求的解析式． （2）设函数，是否存在，，使得在上单调递增，且在上的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，，． 【解析】 【分析】（1）由二次函数零点式设，结合面积为1求点纵坐标，再代入点坐标求参数； （2）先去绝对值写成分段函数，判断的单调性，由$[m,n]$上单调递增确定区间范围，再列方程组求解. 【小问1详解】 设，其中，设， 因为的面积为1，所以，得， 将的坐标代入，得，解得， 所以； 【小问2详解】 依题意得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增，所以， 则，即，解得， 故，． 17. 经市场调查，某店销售的某种商品在过去30天的日销售量（件）与日销售价格（元/件）都是时间（天）的函数，其中，，每件商品的综合成本为10元． （1）写出该店日销售利润W与时间之间的函数关系； （2）求该店日销售利润W的最大值．（注：销售利润=销售收入-销售成本） 【答案】（1）W （2）元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用，分别求得和上的函数解析式，即可得到答案. （2）由（1）中的函数解析式，利用二次函数和对勾函数的性质，分别求得和上的最大值，进而得到答案. 【小问1详解】 由题意，当时，； 当时，， 所以该店日销售利润W与时间之间的函数关系为． 【小问2详解】 由（1）知：当时，， 当时，取得最大值，最大值为； 当时，， 令，解得， 由对勾函数性质，可得在上单调递减， 在上单调递增，且当时，， 当时，， 由于，故时，的最大值为， 因为，所以该店日销售利润的最大值为元． 18. 已知函数． （1）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （2）设，解不等式． 【答案】（1） 在上是增函数. 证明如下： 在上任取两个数，且， ， ，，， ，，，， 在上是增函数； （2） 【解析】 【分析】（1）在上任取两个数，且，求出与0的大小，利用单调性定义得到结论； （2）求出，得到是偶函数，由得到，由在上是增函数得到在上是增函数，解不等式转化为解不等式组，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ，， 是偶函数，，， 在上是增函数，在上是增函数， 当时，， 当时，，在上是增函数， ，， ，， 不等式的解集为. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由： （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数的定义域是， ， 所以函数是奇函数； （2） 函数，，， 令，得，其中，方程无解， 所以定义域内不存在实数，使， 所以不是“局部反比例对称函数”； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可判断； （2）根据“局部反比例对称函数”的定义，列方程，转化为一元二次方程是否有实数根的问题，即可求解； （3）首先根据新定义，列方程，再利用换元设，转化为一元二次方程在给定区间有解问题，讨论对称轴和定义域的关系，列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数，， 若函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以，得， 即，其中， 令， 得，， 设，可知函数的对称轴为，开口向上， 当时，由，解得， 当时，由得，得， 综上可知，当时，方程在上有解， 即在上有解， 即是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次段考 高一年级数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本卷共4页. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5．考生必须保证答题卡的整洁. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则等于（ ） A. {，1，3} B. {1，3} C. {0，1，2，3，4} D. 2. 命题的否定是（　　） A. B. C. D. 3. 设为上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 11 B. C. 13 D. 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题p：函数为减函数，命题q：，则p是q的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（　　） A. 函数是减函数 B. 已知函数，则函数 C. 已知，则 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知，若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 11. 已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合中只有一个元素，则满足条件的实数为____ 13. 已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为___________． 14. ，定义：．记，若，，则函数的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若存在实数，使得与可以同时成立，求实数的取值范围． 16. 如图，点，为二次函数的图象与x轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1． （1）求的解析式． （2）设函数，是否存在，，使得在上单调递增，且在上的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由． 17. 经市场调查，某店销售的某种商品在过去30天的日销售量（件）与日销售价格（元/件）都是时间（天）的函数，其中，，每件商品的综合成本为10元． （1）写出该店日销售利润W与时间之间的函数关系； （2）求该店日销售利润W的最大值．（注：销售利润=销售收入-销售成本） 18. 已知函数． （1）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （2）设，解不等式． 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由： （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $