精品解析：广东省东莞市两校联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题

2025—2026学年度第一学期两校联考高一数学 一、选择题： 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若，则实数之值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于轴对称 C. 的图象过点 D. 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，若时，关于的不等式恒成立，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题： 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设．且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为-4. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. “，”的否定为______． 13. 设，用表示为________ ． 14. 若关于的方程有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．15．（本小题满分13分） 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 16. 已知对数函数的图象过点. （1）求的解析式； （2）关于的方程在上有解，求的取值范围. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 18. 玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 19. 对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期两校联考高一数学 一、选择题： 1. 若全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再与集合B求并集即可. 【详解】由已知，，故. 故选：A 【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到补集、并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2. 已知函数，若，则实数之值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，再由求解. 【详解】令，则， 所以， 由， 解得. 故选：D． 【点睛】本题主要考查已知函数值求参数问题，属于基础题. 3. 设，则“且”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分不必要的定义判断即可. 【详解】且，则， 但，不能推出且， 例如：，满足，但. 故选：. 4. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根式的运算性质、根式与分数指数幂的互化、指数的运算性质逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 5. 已知幂函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于轴对称 C. 的图象过点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由于的定义域为，故ABC错误， 为上的单调递减函数，故，D正确， 故选：D 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：C 7. 设，若时，关于的不等式恒成立，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析得到，令，求出的值，即可得到时，从而求出的值，再检验即可. 【详解】因为当时， 要使时，关于的不等式恒成立， 所以当时，所以，则， 令，解得， 则当时，当时， 所以当时，即，解得或（舍去）； 当时，对于方程，解得，， 所以当时， 当时， 又当时，当时，符合题意. 所以. 故选：C 8. 已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数的定义分别求各部分的函数值的取值范围，从而得到函数的值域，依题意可得，即可得到不等式，解得即可． 【详解】解：因为， 当时，； 当时，． 所以， 因为存在实数，使得，即， 所以只要即可， 即，即，解得， 所以． 故选：A． 二、多项选择题： 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，利用不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由，，得，所以选项A正确； 对于选项B，由，得，所以选项B正确； 对于选项C，由，得，所以选项C错误； 对于选项D，由，得，所以选项D错误. 故选：AB. 10. 设．且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合不等式的性质、基本不等式求得正确答案. 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，设，则，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时满足，，所以，故D正确． 故选：ACD 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为-4. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据关于的不等式的解集为，得且关于的方程的解集为.根据根与系数的关系得到的关系，然后依次分析选项可得正确答案. 【详解】选项A：由关于的不等式的解集为， 得：函数的图象是一条开口向下的抛物线， 且与x轴有两个交点，分别是.所以选项A 正确； 选项B ：由选项A知，关于的方程的解集为， 所以，所以. 所以不等式可化为， 即，即.解得：. 所以不等式的解集为.所以选项B正确； 选项C ：，所以选项C正确； 选项D：由选项B知：.所以 因为，所以，当且仅当， 即时，等号成立. 因为，所以等号不成立，所以取不到-4，所以选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. “，”的否定为______． 【答案】，， 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定， “，”的否定为，，. 故答案为：，，. 13. 设，用表示为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】由， 得. 故答案为：. 14. 若关于的方程有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得、是的两根，、是的两根，且 （数轴上，的中点是，根据，不妨设，，再不妨设，，根据韦达定理可得 且，，整理化简可得，解得即可得的取值范围. 【详解】于的方程有且仅有四个实根，其中， 因为，所以， 则方程的两根为，方程的两根为， 则 （数轴上，的中点是， 因为， 不妨设，， 因为，是的两根， 所以，， 再不妨设， 因为，是的两根， 则 ，， 所以， 则，又， 因为，则， 故的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．15．（本小题满分13分） 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用交集的定义可求出； （2）由题意得，然后列不等式组可求得答案. 【小问1详解】 当时，， 所以或， 因为， 故或. 【小问2详解】 因为是的充分条件，所以 所以， 解得 ， 所以的取值范围为. 16. 已知对数函数的图象过点. （1）求的解析式； （2）关于的方程在上有解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出对数函数解析式，将点代入，求得参数，即得答案； （2）关于的方程在上有解，即在上有解，求出的值域，即得答案. 【小问1详解】 设对数函数且， 其图象过点，即， 故. 【小问2详解】 因为关于的方程在上有解， 故在上有解， 而当时，是增函数，故， 故的取值范围为. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得； （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得； （3）利用奇函数性质及单调性脱去法则、分离参数，再借助基本不等式求解即得. 【小问1详解】 由题意，定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 18. 玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元． 【解析】 【分析】（1）依题意分段表示利润与成本关系即可； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分段计算函数最值并比较即可. 【小问1详解】 由题意可得， 当时，， 则. 当时，， 则. 综上，的函数关系式为： . 【小问2详解】 当时，是二次函数，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，. 当时， 当且仅当，即时等号成立，此时； ， 当时，利润最大，最大利润为64.5元. 综上，当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元. 19. 对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】（1）和3； （2）8； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列出方程求解程即得. （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可. （3）根据不动点定义得恒有不动点，再借助判别式及一元二次不等式恒成立求解.. 【小问1详解】 由，得，解得或， 所以二次函数的不动点为和3. 【小问2详解】 依题意，方程有两个不相等的正实数根， 于是，解得， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 【小问3详解】 一元二次方程， 依题意，对任意实数，恒成立， 因此，而，解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $