4.2 整式加减应用专项（题型归纳与提升训练） 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

整式加减应用专项：题型归纳与提升训练 （教师版·含解析） 一、课堂目标 1．能用字母熟练表示几何量与实际量：不仅会代入周长、面积、路程等基本公式，还能对不规则图形做“割与补”，把图形面积用含字母的式子表示出来； 2．掌握“整体思想”与“无关系数消元”策略：当某字母的系数被条件锁定时，能把含参代数式的值与该字母解耦，会处理“代数式的值与某字母取值无关”型问题； 3．理解数位原理并能灵活运用：会用位值原理表示多位数、完成数字调换后的表达，并据此分析“调换前后差是 9 的倍数”“和是 11 的倍数”等整除规律； 4．会解决数轴上的动点问题：能用含时间的整式表示动点位置与两点距离，并结合绝对值与位置条件完成化简，体会“数轴＋整式”的数形结合方法； 5．会处理“看错符号、抄错数字”的还原问题：理解还原的逆运算本质，能从错误结果出发把错项“换回来”，还原出原多项式并重新化简求值； 6．能完成方案选择型应用题：对购物优惠、话费套餐、租车进货等情境，会列式表示各方案费用、化简并作差比较，明确每种方案的最优适用范围。 二、知识讲解 （1）整式加减与实际问题 ① 列式的关键：明确实际问题中各量之间的关系，熟记常用公式—— 长方形周长 = 2×(长＋宽)，面积 = 长×宽；正方形周长 = 4×边长，面积 = 边长²； 圆的周长 ，面积 ；路程 = 速度×时间；工作总量 = 工作效率×工作时间。 ② 不规则图形：把图形“割”成几个基本图形之和，或“补”成大图形减去小图形，再列式化简。 ③ 示例：正方形的边长是 ，则周长是 ，面积是 。 （2）位值原理与数字问题 一个两位数，十位数字是 ，个位数字是 ，由于十位上的“1”代表 10，所以这个两位数应表示为 （注意：不是 ）。 若把十位数字与个位数字调换，新两位数为 ，调换前后两数之差为 ，是 9 的倍数；两数之和为 ，是 11 的倍数。 图象演绎：位值原理——数字调换前后，两位数的表示随之改变 （3）数轴上的动点问题（距离与整式化简） 数轴上两点间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值：若点 表示数 ，点 表示数 ，则 。 【核心工具】动点问题中，点从数 出发以每秒 个单位向右运动 秒，位置表示为 ；向右运动则用减法。两点距离先用差的绝对值表示，再由题目的位置条件去掉绝对值，化为整式加减化简——这就是“数轴＋整式”的基本套路。 图象演绎：数轴上动点 P 从 A 出发向右运动——位置与距离用含 t 的整式表示 （4）看错符号、抄错数字的还原问题 【题型特征】小明做一道整式加减题时，把某一项的符号看错（或把数字抄错），得到了一个错误的化简结果；已知正确答案与错误答案，求原多项式。 【还原方法】设原多项式中被看错的那一项为 ，按“正确结果 + 错误处理的那一项 − 正确处理的那一项”把错项“换回来”，即可还原出原式，再重新化简求值。 【核心思想】还原的本质是逆运算：错误的化简过程相当于对原式做了一次变动，把这次变动用整式加减“抵消”回去。 （5）方案选择问题（费用最优） 【题型特征】购物优惠、话费套餐、租车进货等情境给出两种（或多种）收费方式，总费用都是同一个量的代数式。要求比较不同方案，确定各自的最优适用范围。 【解题步骤】① 设出未知量（如通话时长 分钟、购买数量 件）；② 用代数式分别表示每种方案的费用并化简； ③ 作差比较：用“方案一的费用 − 方案二的费用”，由差式的符号（大于 0 / 等于 0 / 小于 0）确定各方案省钱的范围；④ 明确写出结论。 图象演绎：两方案费用随 x 的变化——交点左侧方案一省，右侧方案二省 例题1 1．一个长方形的一边长为 ，另一边比它长 ，则这个长方形的周长为 ＿＿＿＿＿＿＿＿。 【答案】 【解析】 ∵ 另一边长为 ， ∴ 另一边长 。 ∴ 周长 ， ∴ 周长 。 【结论】 【标注】 【知识点】整式加减与几何图形的应用 2．某果园种植了苹果、梨、桃三种果树，苹果种植面积是 ，梨种植面积是苹果种植面积的 2 倍还多 ，桃种植面积比苹果种植面积的 少 。 （1）该果园三种果树种植面积一共是多少 ？ （2）梨种植面积比桃种植面积多多少 ？ 【答案】 （1）；（2）。 【解析】 （1）∵ 梨种植面积为 ， 桃种植面积为 ， ∴ 总面积 ， ∴ 总面积 。 （2）梨比桃多 ， ∴ 梨比桃多 。 【结论】 （1）；（2）。 【标注】 【知识点】整式加减的综合（实际问题） 3．如图，一个长方形窗户的长为 、宽为 ，顶部装饰物由两个半径均为 的四分之一圆组成（阴影部分）。 图象演绎：窗户与顶部装饰物——装饰物为两个四分之一圆，半径均为 b/4 （1）请用代数式表示装饰物的面积：＿＿＿，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是＿＿＿（结果保留 ）； （2）当 ， 时，求窗户能射进阳光的面积（取 ）； 【答案】 （1），；（2）。 【解析】 （1）∵ 装饰物是两个四分之一圆，半径均为 ， ∴ 装饰物面积 ， ∴ 装饰物面积 。 ∴ 阳光面积 。 （2）∵ ，，且 ， ∴ 阳光面积 ， ∴ 阳光面积 。 【结论】 （1），；（2）。 【标注】 【知识点】整式加减与几何图形的应用 练习1 1．长方形的一边长等于 ，另一边比它小 ，那么这个长方形的周长是（　　）。 A． B． C． D． A．　　B．　　C．　　D． 【答案】 A 【解析】 ∵ 另一边长 ， ∴ 另一边长 。 ∴ 周长 ， ∴ 周长 。 【结论】 A 【标注】 【知识点】整式加减与几何图形的应用 2．如图，大长方形的长为 、宽为 ，在其中挖去两个并排的长方形 、（每个小长方形的长均为 ，宽均为 ，阴影部分为挖去区域）。 图象演绎：大长方形 3x×2x，挖去两个 x×x 的小长方形 S₁、S₂ （1）用含 的代数式表示剩余部分（空白部分）的面积； （2）当 时，求剩余部分的面积。 【答案】 （1）；（2）。 【解析】 （1）∵ 大长方形面积 ， 挖去部分面积 ， ∴ 剩余面积 。 （2）∵ ， ∴ 剩余面积 。 【结论】 （1）；（2）。 【标注】 【知识点】整式加减与几何图形的应用 3．做甲、乙两种长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）： 长 宽 高 甲纸盒 a b c 乙纸盒 1.5a 2b 2c （1）做这两种纸盒各一个，共用料多少平方厘米？ （2）做乙纸盒比做甲纸盒多用料多少平方厘米？ 【答案】 （1） 平方厘米；（2） 平方厘米。 【解析】 （1）∵ 甲盒表面积 ， 乙盒表面积 ， ∴ 乙盒表面积 。 ∴ 共用料 ， ∴ 共用料 平方厘米。 （2）多用料 ， ∴ 多用料 平方厘米。 【结论】 （1） 平方厘米；（2） 平方厘米。 【标注】 【知识点】整式加减与几何图形的应用 例题2 1．已知一个两位数，十位数字为 ，个位数字为 。 （1）用含 、 的代数式表示这个两位数； （2）把十位数字与个位数字调换，得到新两位数，求新两位数与原两位数的差（化简）； （3）说明：这个差一定能被 9 整除。 【答案】 （1）；（2）；（3）见解析。 【解析】 （1）∵ 十位上的“1”代表 10， ∴ 原两位数 。 （2）∵ 调换后十位数字为 ，个位数字为 ， ∴ 新两位数 。 ∴ 差 ， ∴ 差 。 （3）∵ 差 ，且 是整数， ∴ 差是 9 的倍数，即一定能被 9 整除。 【结论】 （1）；（2）；（3）见解析。 【标注】 【知识点】位值原理与整除规律 练习2 1．一个两位数的十位数字为 ，个位数字比十位数字大 ，则这个两位数可表示为 ＿＿＿＿＿＿＿＿（用含 的代数式表示）。 【答案】 【解析】 ∵ 个位数字比十位数字大 3， ∴ 个位数字为 。 ∴ 两位数 ， ∴ 两位数 。 【结论】 【标注】 【知识点】位值原理（列代数式） 2．一个三位数，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 。 （1）用代数式表示这个三位数； （2）把百位数字与个位数字调换，得到新三位数，求新三位数与原三位数的差（化简）； （3）说明：这个差一定能被 99 整除。 【答案】 （1）；（2）；（3）见解析。 【解析】 （1）∵ 百位上的“1”代表 100，十位上的“1”代表 10， ∴ 原三位数 。 （2）∵ 调换后百位数字为 ，十位数字仍为 ，个位数字为 ， ∴ 新三位数 。 ∴ 差 ， ∴ 差 。 （3）∵ 差 ，且 是整数， ∴ 差是 99 的倍数，即一定能被 99 整除。 【结论】 （1）；（2）；（3）见解析。 【标注】 【知识点】位值原理与整除规律 例题3 1．如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 4。动点 从点 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动，运动时间为 秒（）。 图象演绎：动点 P 越过 B 后，AP=2t+2，PB=2t−6 （1）用含 的代数式表示点 表示的数； （2）当 时，用含 的代数式表示线段 的长（化简）； 【答案】 （1）；（2）。 【解析】 （1）∵ 点 从 出发向右运动，速度为每秒 2 个单位， ∴ 点 表示的数 。 （2）∵ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ 。 【结论】 （1）；（2）。 【标注】 【知识点】数轴上的动点问题（绝对值与整式化简） 练习3 1．数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 2。动点 从点 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向右运动，运动时间为 秒（）。 （1）用含 的代数式表示点 表示的数； （2）当 时，用含 的代数式表示线段 的长（化简）。 【答案】 （1）；（2）。 【解析】 （1）∵ 点 从 出发向右运动，速度为每秒 1 个单位， ∴ 点 表示的数 。 （2）∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 。 【结论】 （1）；（2）。 【标注】 【知识点】数轴上的动点问题（绝对值与整式化简） 例题4 2．小明做一道整式加减题：“求多项式 与多项式 的差”。他误把 中的 抄成了 ，算得的结果是 。求多项式 ，并计算出正确的差。 【答案】 ；正确的差为 。 【解析】 ∵ ，其中 为抄错后的多项式， ∴ ， ∴ 。 ∵ 是把 抄成 得到的， ∴ 的其余部分 ， ∴ 。 ∴ 正确的差 ， ∴ 正确的差 。 【结论】 ；正确的差为 。 【标注】 【知识点】看错符号的还原问题 练习4 4．小华在计算一个多项式 减去 的差时，误将“减去”看成了“加上”，得到的结果是 。求多项式 ，并求出 的正确结果。 【答案】 ；。 【解析】 ∵ 小华算的是 ， ∴ ， ∴ 。 ∴ 正确的差 ， ∴ 。 【结论】 ；。 【标注】 【知识点】看错符号的还原问题 例题5 3．某电信公司推出两种话费套餐：甲套餐每月基础费 20 元，通话每分钟 0.15 元；乙套餐不收基础费，通话每分钟 0.35 元。设每月通话时长为 分钟。 （1）用含 的代数式分别表示两种套餐的月费用并化简； （2）当每月通话 150 分钟时，选哪种套餐更省钱？ （3）通话时长在什么范围内时，甲套餐更省钱？ 【答案】 （1）甲 元，乙 元；（2）甲套餐；（3）。 【解析】 （1）∵ 甲套餐费用 ，乙套餐费用 ， （2）∵ 当 时，甲 元， 乙 元， ∵ ， ∴ 选甲套餐更省钱。 （3）∵ 甲更省钱，即 ， ∴ ， ∴ 当 时，甲套餐更省钱。 【结论】 （1）甲 元，乙 元；（2）甲套餐；（3）。 【标注】 【知识点】方案选择问题（费用最优） 练习5 3．笔记本单价 元，圆珠笔单价 元。小红买 5 本笔记本、3 支圆珠笔；小明买 3 本笔记本、5 支圆珠笔。谁花的钱多？多多少元？（用代数式表示并化简） 【答案】 小红多，多 元；当 时小红多 元。 【解析】 ∵ 小红花钱 ，小明花钱 ， ∴ 差 ， ∴ 差 。 ∵ 当 时，， ∴ 小红花的钱多，多 元。 【结论】 小红多，多 元；当 时小红多 元。 【标注】 【知识点】整式加减的综合（实际问题） 三、出门测 1．李老师用长为 的铁丝做了一个长方形教具，其中一边长为 ，则另一边的长为（　　）。 A． B． C． D． A．　　B．　　C．　　D． 【答案】 A 【解析】 ∵ 长方形周长为 ， ∴ 邻边之和 。 ∴ 另一边 ， ∴ 另一边 。 【结论】 A 【标注】 【知识点】整式加减与几何图形的应用 2．如图所示的方框内有 9 个数字，数字的总和为 ，则图 2 中阴影（十字形）方框内 5 个数字的总和为（　　）。（用含 的代数式表示） 图象演绎：3×3 数字方阵与十字框——上下左右与中心各差一个公差 A． B． C． D． A．　　B．　　C．　　D． 【答案】 B 【解析】 ∵ 9 个数成等差排列，每行公差为 4，每列公差为 12， ∴ 中心数 ，9 个数之和 。 ∴ 十字形 5 个数 ， ∴ 十字形 5 个数之和 ， ∴ 十字形之和 。 【结论】 B 【标注】 【知识点】整式加减的综合 3．已知 ，，求 （化简），并求：当 时， 的值（用含 的代数式表示）。 【答案】 ；当 时 。 【解析】 ∵ ， ∴ ， ∴ 。 ∵ ， ∴ ， ∴ 。 【结论】 ；当 时 。 【标注】 【知识点】整式加减化简求值 4．某校组织学生去科技馆，联系了两家租车公司。A 公司：固定收费 800 元，每人再收 30 元；B 公司：不收固定费，每人收 50 元。设参加活动的学生共 人。 （1）用含 的代数式分别表示两家公司的收费； （2）当学生人数为 30 人时，选哪家公司更合算？ （3）当学生人数为何值时，两家公司收费相同？ 【答案】 （1）A 元，B 元；（2）B 公司；（3）。 【解析】 （1）∵ A 公司收费 ，B 公司收费 ， （2）∵ 当 时，A 元， B 元， ∵ ， ∴ 选 B 公司更合算。 （3）∵ 两公司收费相同，即 ， ∴ ， ∴ 。 【结论】 （1）A 元，B 元；（2）B 公司；（3）。 【标注】 【知识点】方案选择问题（费用最优） 学科网（北京）股份有限公司 $ 整式加减应用专项：题型归纳与提升训练 （学生版） 一、课堂目标 1．能用字母熟练表示几何量与实际量：不仅会代入周长、面积、路程等基本公式，还能对不规则图形做“割与补”，把图形面积用含字母的式子表示出来； 2．掌握“整体思想”与“无关系数消元”策略：当某字母的系数被条件锁定时，能把含参代数式的值与该字母解耦，会处理“代数式的值与某字母取值无关”型问题； 3．理解数位原理并能灵活运用：会用位值原理表示多位数、完成数字调换后的表达，并据此分析“调换前后差是 9 的倍数”“和是 11 的倍数”等整除规律； 4．会解决数轴上的动点问题：能用含时间的整式表示动点位置与两点距离，并结合绝对值与位置条件完成化简，体会“数轴＋整式”的数形结合方法； 5．会处理“看错符号、抄错数字”的还原问题：理解还原的逆运算本质，能从错误结果出发把错项“换回来”，还原出原多项式并重新化简求值； 6．能完成方案选择型应用题：对购物优惠、话费套餐、租车进货等情境，会列式表示各方案费用、化简并作差比较，明确每种方案的最优适用范围。 二、知识讲解 （1）整式加减与实际问题 ① 列式的关键：明确实际问题中各量之间的关系，熟记常用公式—— 长方形周长 = 2×(长＋宽)，面积 = 长×宽；正方形周长 = 4×边长，面积 = 边长²； 圆的周长 ，面积 ；路程 = 速度×时间；工作总量 = 工作效率×工作时间。 ② 不规则图形：把图形“割”成几个基本图形之和，或“补”成大图形减去小图形，再列式化简。 ③ 示例：正方形的边长是 ，则周长是 ，面积是 。 （2）位值原理与数字问题 一个两位数，十位数字是 ，个位数字是 ，由于十位上的“1”代表 10，所以这个两位数应表示为 （注意：不是 ）。 若把十位数字与个位数字调换，新两位数为 ，调换前后两数之差为 ，是 9 的倍数；两数之和为 ，是 11 的倍数。 图象演绎：位值原理——数字调换前后，两位数的表示随之改变 （3）数轴上的动点问题（距离与整式化简） 数轴上两点间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值：若点 表示数 ，点 表示数 ，则 。 【核心工具】动点问题中，点从数 出发以每秒 个单位向右运动 秒，位置表示为 ；向右运动则用减法。两点距离先用差的绝对值表示，再由题目的位置条件去掉绝对值，化为整式加减化简——这就是“数轴＋整式”的基本套路。 图象演绎：数轴上动点 P 从 A 出发向右运动——位置与距离用含 t 的整式表示 （4）看错符号、抄错数字的还原问题 【题型特征】小明做一道整式加减题时，把某一项的符号看错（或把数字抄错），得到了一个错误的化简结果；已知正确答案与错误答案，求原多项式。 【还原方法】设原多项式中被看错的那一项为 ，按“正确结果 + 错误处理的那一项 − 正确处理的那一项”把错项“换回来”，即可还原出原式，再重新化简求值。 【核心思想】还原的本质是逆运算：错误的化简过程相当于对原式做了一次变动，把这次变动用整式加减“抵消”回去。 （5）方案选择问题（费用最优） 【题型特征】购物优惠、话费套餐、租车进货等情境给出两种（或多种）收费方式，总费用都是同一个量的代数式。要求比较不同方案，确定各自的最优适用范围。 【解题步骤】① 设出未知量（如通话时长 分钟、购买数量 件）；② 用代数式分别表示每种方案的费用并化简； ③ 作差比较：用“方案一的费用 − 方案二的费用”，由差式的符号（大于 0 / 等于 0 / 小于 0）确定各方案省钱的范围；④ 明确写出结论。 图象演绎：两方案费用随 x 的变化——交点左侧方案一省，右侧方案二省 例题1 1．一个长方形的一边长为 ，另一边比它长 ，则这个长方形的周长为 ＿＿＿＿＿＿＿＿。 2．某果园种植了苹果、梨、桃三种果树，苹果种植面积是 ，梨种植面积是苹果种植面积的 2 倍还多 ，桃种植面积比苹果种植面积的 少 。 （1）该果园三种果树种植面积一共是多少 ？ （2）梨种植面积比桃种植面积多多少 ？ 3．如图，一个长方形窗户的长为 、宽为 ，顶部装饰物由两个半径均为 的四分之一圆组成（阴影部分）。 图象演绎：窗户与顶部装饰物——装饰物为两个四分之一圆，半径均为 b/4 （1）请用代数式表示装饰物的面积：＿＿＿，用代数式表示窗户能射进阳光的面积是＿＿＿（结果保留 ）； （2）当 ， 时，求窗户能射进阳光的面积（取 ）； 练习1 1．长方形的一边长等于 ，另一边比它小 ，那么这个长方形的周长是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 2．如图，大长方形的长为 、宽为 ，在其中挖去两个并排的长方形 、（每个小长方形的长均为 ，宽均为 ，阴影部分为挖去区域）。 图象演绎：大长方形 3x×2x，挖去两个 x×x 的小长方形 S₁、S₂ （1）用含 的代数式表示剩余部分（空白部分）的面积； （2）当 时，求剩余部分的面积。 3．做甲、乙两种长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）： 长 宽 高 甲纸盒 a b c 乙纸盒 1.5a 2b 2c （1）做这两种纸盒各一个，共用料多少平方厘米？ （2）做乙纸盒比做甲纸盒多用料多少平方厘米？ 例题2 1．已知一个两位数，十位数字为 ，个位数字为 。 （1）用含 、 的代数式表示这个两位数； （2）把十位数字与个位数字调换，得到新两位数，求新两位数与原两位数的差（化简）； （3）说明：这个差一定能被 9 整除。 练习2 1．一个两位数的十位数字为 ，个位数字比十位数字大 ，则这个两位数可表示为 ＿＿＿＿＿＿＿＿（用含 的代数式表示）。 2．一个三位数，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 。 （1）用代数式表示这个三位数； （2）把百位数字与个位数字调换，得到新三位数，求新三位数与原三位数的差（化简）； （3）说明：这个差一定能被 99 整除。 例题3 1．如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 4。动点 从点 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动，运动时间为 秒（）。 图象演绎：动点 P 越过 B 后，AP=2t+2，PB=2t−6 （1）用含 的代数式表示点 表示的数； （2）当 时，用含 的代数式表示线段 的长（化简）； 练习3 1．数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 2。动点 从点 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向右运动，运动时间为 秒（）。 （1）用含 的代数式表示点 表示的数； （2）当 时，用含 的代数式表示线段 的长（化简）。 例题4 2．小明做一道整式加减题：“求多项式 与多项式 的差”。他误把 中的 抄成了 ，算得的结果是 。求多项式 ，并计算出正确的差。 练习4 4．小华在计算一个多项式 减去 的差时，误将“减去”看成了“加上”，得到的结果是 。求多项式 ，并求出 的正确结果。 例题5 3．某电信公司推出两种话费套餐：甲套餐每月基础费 20 元，通话每分钟 0.15 元；乙套餐不收基础费，通话每分钟 0.35 元。设每月通话时长为 分钟。 （1）用含 的代数式分别表示两种套餐的月费用并化简； （2）当每月通话 150 分钟时，选哪种套餐更省钱？ （3）通话时长在什么范围内时，甲套餐更省钱？ 练习5 3．笔记本单价 元，圆珠笔单价 元。小红买 5 本笔记本、3 支圆珠笔；小明买 3 本笔记本、5 支圆珠笔。谁花的钱多？多多少元？（用代数式表示并化简） 三、出门测 1．李老师用长为 的铁丝做了一个长方形教具，其中一边长为 ，则另一边的长为（　　）。 A． B． C． D． A．　　B．　　C．　　D． 2．如图所示的方框内有 9 个数字，数字的总和为 ，则图 2 中阴影（十字形）方框内 5 个数字的总和为（　　）。（用含 的代数式表示） 图象演绎：3×3 数字方阵与十字框——上下左右与中心各差一个公差 A． B． C． D． A．　　B．　　C．　　D． 3．已知 ，，求 （化简），并求：当 时， 的值（用含 的代数式表示）。 4．某校组织学生去科技馆，联系了两家租车公司。A 公司：固定收费 800 元，每人再收 30 元；B 公司：不收固定费，每人收 50 元。设参加活动的学生共 人。 （1）用含 的代数式分别表示两家公司的收费； （2）当学生人数为 30 人时，选哪家公司更合算？ （3）当学生人数为何值时，两家公司收费相同？ 学科网（北京）股份有限公司 $