第09讲 导数与函数 函数图像与数值估算讲义-2027届高三数学一轮复习

01  题眼

本讲只练一个动作 方程解不出来，不等于根的个数数不出来。把等号两边各看成一条曲线，让参数去动，交点就是根。

函数小题里最容易被“解方程”三个字带偏的一类，是方程里混着指数、对数或绝对值。、、，这些方程没有求根公式，命题人也没有打算让你求出根。他要的是根的个数、参数的范围、根落在哪个区间。

本讲换一个顺序： 不解方程，先看交点 。把方程改写成 ，两边都画得出；曲线不动，让参数对应的那条线动。线穿过曲线几次，方程就有几个根。图上读出的答案，再用单调性和端点取点核对一次，就是完整过程。省下的是分类去绝对值、解两个二次方程、再逐个核对根是否落在假设区间里的整段运算。

02  识别

不是所有方程都值得画。题面同时出现下面三个信号时，才把“画”提到第一优先。

信号一 · 方程里混着两类函数。 一边是指数、对数、绝对值或三角，另一边是一次、二次或常数。求根公式在这里用不上，硬解只会把式子越写越长。

信号二 · 问的是个数、范围或位置，不是具体的根。 “恰有四个不同的实根”“有两个零点”“根在哪个区间”。只要题目不要求写出根，图就有机会代替运算。

信号三 · 参数只移动一条线。 参数单独出现在等号一侧： 是水平线的高度， 是过原点直线的斜率， 是直线 的截距。线动，曲线不动，交点个数随线扫过而变化。

反过来的情形也要记住：参数藏在曲线内部，例如 ，动的不再是一条线，而是整条曲线；这时先化简或先定曲线族，别急着画。第 05 节会看到另一种失灵：图画对了，但只画了一半。

动笔前的 30 秒 第 1 步 移项：把方程拆成 ，保证两边都是你画得出的基本曲线。 第 2 步 标骨架：零点、顶点、渐近线、定点，四样至少标三样；没有骨架的图不能用来数交点。 第 3 步 让线动：水平线看高度，过定点直线看斜率，平移直线看截距；从“没有交点”扫到“交点最多”。 第 4 步 核对边界：相切算一个交点，折点算一个根，端点取不取到要单独说。

03  双解对照

先看一道不含超越函数的题。它看起来可以硬解，但硬解的代价是把一张图拆成四种情形。

例题 · 四个根，参数只在高度上 已知关于 的方程 恰有四个不同的实根，求实数 的取值范围。

先把题面里的免费信息读出来。 ，零点是 0 和 2，顶点在 处取最小值 −1。取绝对值，就是把 轴下方的那一段翻上来：0 与 2 仍是零点，顶点变成 (1,1)。整条曲线是一个 W 形，两个臂向上无限延伸；参数 只是一条水平线的高度。

常规解 · 算：去绝对值，解两个二次方程 左边非负，故 。按 的符号分两段。 当 或 时，方程化为 时，，，都在允许区间内，贡献两个根。 当 时，方程化为 时两根都在 (0,2) 内，贡献两个根； 时两根重合为 ，只算一个根； 时两根正好落在端点 0、2 上，不属于开区间，这一段贡献零个。 合起来： 时 2+2=4 个根； 时 2+1=3 个； 与 时都是 2 个。所以 。 每一步都不难，难在四件事：先定 、两段区间的资格分别核对、 的重根合并、 的端点排除。四项里漏一项，答案就变。

 

少算解 · 想：一条水平线扫过 W 形 第一步，画曲线。 的骨架只有三个点：零点 (0,0)、(2,0)，翻折后的顶点 (1,1)。两个臂向上，图就定了。 第二步，让线动。 是一条水平线，从下往上扫： 不接触，0 个根； 只碰两个零点，2 个根； 时左臂、右臂各被穿过两次，4 个根； 时过顶点一次、再过两臂各一次，3 个根； 时只穿过两臂，2 个根。 第三步，读答案。 “恰有四个”只出现在 这一段。

分水岭在“让谁承担分类”。常规解把翻折翻译成两段区间、两个二次方程，再用判别式和区间资格把根筛回来；少算解把翻折画在图上，四种情形只是水平线停在四个高度上的快照。省掉的是“根是否落在假设区间里”的四次检查。