第18讲 三角与向量 三角函数的实际运用讲义-2027届高三数学一轮复习

01  题眼

本讲只练一个动作 先画图，再把“能转动的那个角”设成 。 待求量写成一个三角函数，最值就从图象上读。

实际应用题把条件分成两半：一半是边，一半是角。多算的那条路，习惯把角也换成边——设 、开根号、求导、解方程；少算的那条路恰好反过来：留住角，把边写成 、，待求量立刻变成一个三角函数。

本讲只练一个动作： 画图—设角—写成单一三角函数—先看范围再看振幅 。圆心角、坡角、仰角、俯角，都是可以拿来当变量的东西；把它们留在式子里，比换成边更省力。

审题时先问一句： 图里有没有一段“能转动”的边，或者一个“能测”的角？

02  识别

不是每道应用题都值得设角。题面里出现下面三个信号之一，才轮到这一招。

信号一 · 图形里有圆、半圆或扇形。 半径是定长，天然就是斜边；设圆心角为 ，两条直角边不必再开根号，直接是 与 。根号一消失，后面的求导、平方、配凑就全省了。

信号二 · 待求量随一个角变化，图形里又有直角。 面积、周长、长度、费用都可能随一个“能转动”的量改变。把这个角设成 ，待求量往往写成 、 的组合；能合并成一个正弦，最值就直接读振幅。

信号三 · 题面给的是仰角、俯角、坡角、方位角。 这些角本身就是已知条件。先画图把它们标到位，再用 或正弦定理一次串联，不必逐个解三角形。

图 1: 设角的四个动作

动笔前的 30 秒 第 1 步 画图：把已知的边、角全部标上；仰角、俯角先画一条水平基准线。 第 2 步 找角：最值题找“能转动”的角，测量题找“能测”的角，设成 。 第 3 步 写式：待求量里只留 ，边一律写成 、 或 。 第 4 步 写范围：角能走到哪，由图形决定，不由公式决定。

四步里最容易被跳过的是第 4 步：范围一漏，振幅就会给出一个取不到的最大值。

03  双解对照

下面这道题把两条路的分岔口摆在第一步：设边，还是设角。先看设边要付出多少运算，再看设角以后式子有多短。

例题 · 半圆里划矩形 一块半径为 的半圆形空地，直径 在直路 上。要在空地内划出一块矩形花坛 ，使 落在 上，、 落在半圆弧上。求花坛面积的最大值。

先把题干里的“免费信息”读出来。 半径 是定长，圆心 是 的中点，矩形关于过 的垂线对称。取 ，则 是斜边，、 各是一条直角边；矩形的高是 ，宽是 。一个角，把三条边全说完了。

常规解 · 算：设半宽，开根号求导 设 （），则 ，，于是 求导： 令 ，得 。在 上 ，在 上 ，所以 这条路要先开根号，再对含根号的式子求导、通分、判断符号。也可以先平方再用均值不等式，但同样要平方、配凑、回验取等。

 停一下。下一页，我们不走这条路。