第18讲 三角恒等变换 讲义-2027届高三数学一轮复习

第18讲 三角恒等变换 内 容 导 航 知识点1 两角和与差的三角函数公式 知识点2 二倍角公式与升降幂公式 知识点3 辅助角公式 知识点4 三角恒等变换通用化简原则 知识点5 给角求值 知识点6 给值求值 知识点7 给值求角 知识点8 三角函数的化简与证明 知识点9 辅助角公式综合 知识点10 恒等变换与解三角形综合 题型1 求两角和与差的三角函数值 题型2 两角和与差的三角函数的逆用 题型3 求二倍角的三角函数值 题型4 二倍角的三角函数的逆用 题型5 半角的三角函数 题型6 三角函数恒等式的证明 题型7 三角函数的恒等变换及化简求值 题型8 三角函数中的恒等变换应用 知 识 点 通 关 知识点1 两角和与差的三角函数公式 一、核心公式 1、 两角和与差的正弦 2、 两角和与差的余弦 3、 两角和与差的正切 （均不等于） 知识点2 二倍角公式与升降幂公式 一、二倍角基础公式 1. 正弦二倍角： 2. 余弦二倍角（三种形式）： 3. 正切二倍角：（且） 二、升降幂公式（余弦二倍角逆向变形，化简必备） 1. 升幂公式（去根号、化整式） 2. 降幂公式（降次数、化一次） 三、补充常用变形 1. 2. 知识点3 辅助角公式 一、公式形式 对于（不同时为 0），可统一为单一三角函数： 其中辅助角满足：，即。 也可化为余弦形式： 二、核心作用 1. 求三角函数的值域、最值、最小正周期； 2. 求解三角函数的单调区间、对称轴、对称中心； 3. 解三角形、三角实际应用中的最值问题。 知识点4 三角恒等变换通用化简原则 1. 统一角：利用和差、二倍角、诱导公式，将所有角转化为同一种角； 2. 统一函数名：切割化弦，将正切、余切全部转化为正弦、余弦； 3. 统一次数：高次式用降幂公式，含根号用升幂公式，最终化为一次式； 4. 常数代换：灵活运用进行齐次化变形； 5. 结构优化：通过因式分解、通分、约分简化式子结构。 知识点5 给角求值 方法技巧 1.非特殊角拆分：将目标角拆分为等特殊角的和差，如，； 2.公式逆用：观察式子结构，匹配和差角公式的右侧形式，直接合并为单角三角函数； 3.负角、大角先通过诱导公式转化为锐角，再套用和差公式。 易错分析 1. 正弦、余弦和差公式的符号记混，导致结果符号错误； 2. 正切公式分子分母符号颠倒； 3. 特殊角的三角函数值记忆错误。 知识点6 给值求值 方法技巧 1.先定范围：根据已知角的区间，确定所求三角函数的符号，避免多解； 2.配凑优先：优先用已知角的和差表示目标角，不单独求解未知角，减少运算量； 3.齐次式变形：类式子优先平方，转化为整体运算。 易错分析 1. 忽略角的区间限制，开平方时符号判断错误； 2. 角的配凑关系错误，和差颠倒； 3. 多步运算中符号累积出错。 知识点7 给值求角 方法技巧 1.选函数：根据角的范围选择单调函数，选余弦，选正切 / 正弦； 2.缩范围：根据已知三角函数值进一步缩小角的区间，确保解的唯一性； 3.定结果：结合函数值与角的范围，确定唯一角。 易错分析 1.只计算三角函数值，不限制角的范围，导致出现多解； 2.选择的函数在区间内不单调，无法唯一确定角； 3.范围缩小不充分，遗漏取舍条件。 知识点8 三角函数的化简与证明 方法技巧 1.化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂； 2.证明方法：从繁到简、左右归一、作差为 0、变更命题； 3.常用技巧：1 的代换、因式分解、配方、通分约分。 易错分析 1.变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形； 2.二倍角公式记错，升降幂变形错误； 3.切割化弦时正切换算遗漏分母，运算失误。 知识点9 辅助角公式综合 方法技巧 1.标准步骤：先降幂、再展开、最后用辅助角公式统一为形式； 2.性质求解：统一形式后，直接套用正弦函数的周期、最值、单调区间公式； 3.区间最值：根据的范围求出的范围，结合三角函数图象求值域。 易错分析 1.辅助角的符号与象限判断错误； 2.降幂公式记错，二倍角变形出错； 3.求单调区间时遗漏，或不等号方向解错。 知识点10 恒等变换与解三角形综合 方法技巧 1.内角和转化：，故，； 2.边角互化：正弦定理、余弦定理实现边角转化后，用恒等变换化简； 3.最值问题：统一为单角三角函数，结合辅助角公式求值域，或用基本不等式求解。 易错分析 1.三角形内角和诱导公式符号记错； 2.忽略三角形内角范围，导致符号判断错误； 3.求最值时遗漏等号成立条件。 考 点 演 练 题型1 求两角和与差的三角函数值 【典例1】已知α∈（0，π），且2cos2α﹣cosα＝1，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知tanxtany＝2，，则cos（x﹣y）等于（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 题型2 两角和与差的三角函数的逆用 【典例1】已知，则cos（α+β）＝（　　） A． B． C． D．或 【变式1】已知α，β∈（0，π），且，sinβ+cosα＝0，则满足条件的一组α，β的值可以是α＝ 　 ，β＝ 　 ． 题型3 求二倍角的三角函数值 【典例1】若tan（α+π）＝3，则sin2α﹣2cos2α＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知，且，则（　　） A． B． C． D． 题型4 二倍角的三角函数的逆用 【典例1】在平面直角坐标内（O为坐标原点），已知，将B绕O沿逆时针方向旋转60°到点C，设∠AOC＝α，则的值为　 　 ． 【变式1】设，若，则cosα﹣sinα＝　 　 ． 题型5 半角的三角函数 【典例1】已知，25cos2α﹣10sinα﹣1＝0，则（　　） A．3 B． C． D． 【变式1】若，且，则等于（　　） A． B． C． D． 题型6 三角函数恒等式的证明 【典例1】（1）证明：sin3x＝3sinx﹣4sin3x； （2）若，n∈N*，利用（1）结合自己所学知识，求n． 【变式1】求证：2cos（α+β）． 题型7 三角函数的恒等变换及化简求值 【典例1】已知，若，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c 【变式1】sin15°+cos15°＝（　　） A． B． C． D． 题型8 三角函数中的恒等变换应用 【典例1】已知函数f（x）＝2cosx﹣sin2x，则下列结论不正确的是（　　） A．f（x）的周期为2π B．y＝f（x）的图象关于对称 C．f（x）的最大值为 D．f（x）在区间上单调递增 【变式1】已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx+2sin2ωx（ω＞0）在上单调递减，则ω的取值范围是（　　） A．（0，4] B． C． D． 过 关 验 收 1．已知锐角α，β满足，，则tanα+5tanβ的最小值为（　　） A．2 B．3 C．5 D． 2．如图是函数y＝sin（ωx+φ），ω＞0，0＜φ＜π的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（　　） A． B． C． D． 3．设θ是锐角，，则tanθ＝（　　） A． B． C． D． 4．cos50°cos10°﹣sin130°sin10°＝（　　） A．cos40° B．sin40° C． D． 5．若，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 6．（　　） A． B． C．2 D．1 7．已知锐角α，β满足sin（α+β）＝3sin（α﹣β），则sin（α﹣β）的最大值是（　　） A． B． C． D． 8．已知，则（　　） A． B． C． D． 9．已知，且，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 10．若α为第二象限角，且，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 12．若，则（　　） A． B． C． D． 13．已知，则（　　） A． B． C． D． 14．若，则tanθ＝（　　） A． B． C． D．2 15．已知，则sin2α＝ 　 ． 16．已知，则（　　） A． B． C． D． 17．若，且，则（　　） A． B． C． D． 18．已知且，则的值为　 ． 19．已知α是第三象限角，，则 　 ． 20．在△ABC中，A、B为锐角且B＜A，sinA，sin2B． （1）求角C的值； （2）求证：5cosAcos（A+3B）＝2sinB． 21．已知sinθ+cosθ＝a，sinθ﹣cosθ＝b，求证：a2+b2＝2． 22．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 23．若，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 24．若函数是奇函数，则（　　） A． B． C． D． 25．已知α，β∈R，则“存在k∈Z，使得α＝2kπ+β”是“cosα＝cosβ”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 26．在平面直角坐标系xOy中，已知锐角α的终边与单位圆交于A（x1，y1），角的终边与单位圆交于B（x2，y2），若，则的值为 　 ． 27．已知函数f（x）＝sinx+sin（x+θ）+sin（x+2θ），，且，则当x∈[0，π]时，f（x）的值域为（　　） A． B． C． D． 28．设f（x）＝（a+b）cos2x+（a﹣b）sin2x，若{f（x）|x∈R}＝{2}，则（　　） A．a＝1且b＝1 B．a＝2且b＝0 C．a＝0且b＝2 D．a＝1且b＝﹣1 29．函数y＝cos2（x）+sin2（x）﹣1是（　　） A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数 30．已知函数f（x）＝asinx+cos2x（a＞0），x∈[0，2π]，若f（x）的最大值为，则（　　） A．，f（x）有2个零点 B．，f（x）有3个零点 C．a＝2，f（x）有2个零点 D．a＝2，f（x）有3个零点 31．在△ABC中，AB＝1，sin2A+sin2B＝4sinAsinBcosC，则△ABC的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 三角恒等变换 内 容 导 航 知识点1 两角和与差的三角函数公式 知识点2 二倍角公式与升降幂公式 知识点3 辅助角公式 知识点4 三角恒等变换通用化简原则 知识点5 给角求值 知识点6 给值求值 知识点7 给值求角 知识点8 三角函数的化简与证明 知识点9 辅助角公式综合 知识点10 恒等变换与解三角形综合 题型1 求两角和与差的三角函数值 题型2 两角和与差的三角函数的逆用 题型3 求二倍角的三角函数值 题型4 二倍角的三角函数的逆用 题型5 半角的三角函数 题型6 三角函数恒等式的证明 题型7 三角函数的恒等变换及化简求值 题型8 三角函数中的恒等变换应用 知 识 点 通 关 知识点1 两角和与差的三角函数公式 一、核心公式 1、 两角和与差的正弦 2、 两角和与差的余弦 3、 两角和与差的正切 （均不等于） 知识点2 二倍角公式与升降幂公式 一、二倍角基础公式 1. 正弦二倍角： 2. 余弦二倍角（三种形式）： 3. 正切二倍角：（且） 二、升降幂公式（余弦二倍角逆向变形，化简必备） 1. 升幂公式（去根号、化整式） 2. 降幂公式（降次数、化一次） 三、补充常用变形 1. 2. 知识点3 辅助角公式 一、公式形式 对于（不同时为 0），可统一为单一三角函数： 其中辅助角满足：，即。 也可化为余弦形式： 二、核心作用 1. 求三角函数的值域、最值、最小正周期； 2. 求解三角函数的单调区间、对称轴、对称中心； 3. 解三角形、三角实际应用中的最值问题。 知识点4 三角恒等变换通用化简原则 1. 统一角：利用和差、二倍角、诱导公式，将所有角转化为同一种角； 2. 统一函数名：切割化弦，将正切、余切全部转化为正弦、余弦； 3. 统一次数：高次式用降幂公式，含根号用升幂公式，最终化为一次式； 4. 常数代换：灵活运用进行齐次化变形； 5. 结构优化：通过因式分解、通分、约分简化式子结构。 知识点5 给角求值 方法技巧 1.非特殊角拆分：将目标角拆分为等特殊角的和差，如，； 2.公式逆用：观察式子结构，匹配和差角公式的右侧形式，直接合并为单角三角函数； 3.负角、大角先通过诱导公式转化为锐角，再套用和差公式。 易错分析 1. 正弦、余弦和差公式的符号记混，导致结果符号错误； 2. 正切公式分子分母符号颠倒； 3. 特殊角的三角函数值记忆错误。 知识点6 给值求值 方法技巧 1.先定范围：根据已知角的区间，确定所求三角函数的符号，避免多解； 2.配凑优先：优先用已知角的和差表示目标角，不单独求解未知角，减少运算量； 3.齐次式变形：类式子优先平方，转化为整体运算。 易错分析 1. 忽略角的区间限制，开平方时符号判断错误； 2. 角的配凑关系错误，和差颠倒； 3. 多步运算中符号累积出错。 知识点7 给值求角 方法技巧 1.选函数：根据角的范围选择单调函数，选余弦，选正切 / 正弦； 2.缩范围：根据已知三角函数值进一步缩小角的区间，确保解的唯一性； 3.定结果：结合函数值与角的范围，确定唯一角。 易错分析 1.只计算三角函数值，不限制角的范围，导致出现多解； 2.选择的函数在区间内不单调，无法唯一确定角； 3.范围缩小不充分，遗漏取舍条件。 知识点8 三角函数的化简与证明 方法技巧 1.化简原则：切割化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂； 2.证明方法：从繁到简、左右归一、作差为 0、变更命题； 3.常用技巧：1 的代换、因式分解、配方、通分约分。 易错分析 1.变形过程中改变原式定义域，导致不等价变形； 2.二倍角公式记错，升降幂变形错误； 3.切割化弦时正切换算遗漏分母，运算失误。 知识点9 辅助角公式综合 方法技巧 1.标准步骤：先降幂、再展开、最后用辅助角公式统一为形式； 2.性质求解：统一形式后，直接套用正弦函数的周期、最值、单调区间公式； 3.区间最值：根据的范围求出的范围，结合三角函数图象求值域。 易错分析 1.辅助角的符号与象限判断错误； 2.降幂公式记错，二倍角变形出错； 3.求单调区间时遗漏，或不等号方向解错。 知识点10 恒等变换与解三角形综合 方法技巧 1.内角和转化：，故，； 2.边角互化：正弦定理、余弦定理实现边角转化后，用恒等变换化简； 3.最值问题：统一为单角三角函数，结合辅助角公式求值域，或用基本不等式求解。 易错分析 1.三角形内角和诱导公式符号记错； 2.忽略三角形内角范围，导致符号判断错误； 3.求最值时遗漏等号成立条件。 考 点 演 练 题型1 求两角和与差的三角函数值 【典例1】已知α∈（0，π），且2cos2α﹣cosα＝1，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由2cos2α﹣cosα＝1得4cos2α﹣cosα﹣3＝0， 解得cosα＝1，， 又α∈（0，π），所以，， 所以． 故选：D． 【变式1】已知tanxtany＝2，，则cos（x﹣y）等于（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】A 【解答】解：由tanxtany2得sinxsiny＝2cosxcosy， 由，得， 所以，， 所以cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny＝﹣1． 故选：A． 题型2 两角和与差的三角函数的逆用 【典例1】已知，则cos（α+β）＝（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【解答】解：因为，所以α+β∈（0，π），， 因为，所以， 所以sinα＞cosβ， 因为y＝sinx在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以cos（α+β）＜0， 由，得，即 由，得，即， 两式相加可得， 所以，即，解得， 因为cos（α+β）＜0， 所以． 故选：B． 【变式1】已知α，β∈（0，π），且，sinβ+cosα＝0，则满足条件的一组α，β的值可以是α＝ 　 ，β＝ 　 ． 【答案】，（答案不唯一）． 【解答】解：因为， 所以sinα﹣cosβ＝0， 两边平方得，sin2α﹣2sinαcosβ+cos2β＝0①， 将sinβ+cosα＝0两边平方得，sin2β+2sinβcosα+cos2α＝0②， ①+②得，2﹣2sinαcosβ+2sinβcosα＝0， 即2+2sin（β﹣α）＝0， 所以sin（β﹣α）＝﹣1， 又α，β∈（0，π），所以﹣α∈（﹣π，0），β﹣α∈（﹣π，π）， 所以β﹣α，即α﹣β， 若取α，则β． 故答案为：，（答案不唯一）． 题型3 求二倍角的三角函数值 【典例1】若tan（α+π）＝3，则sin2α﹣2cos2α＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意得tan（α+π）＝tanα＝3， 因为tanα＝3≠0， 所以 ． 故选：B． 【变式1】已知，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由已知等式可得， 可得， 又，可得， 所以． 故选：D． 题型4 二倍角的三角函数的逆用 【典例1】在平面直角坐标内（O为坐标原点），已知，将B绕O沿逆时针方向旋转60°到点C，设∠AOC＝α，则的值为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：根据A（1，0），，可得|OA|＝|OB|＝1， 所以点A、B在以O为原点，半径r＝1的圆上， 设∠AOB＝β，可得，，结合题意可知α＝β+60°， 而 ＝cos（α+30°）＝cos（β+90°）＝﹣sinβ． 故答案为：． 【变式1】设，若，则cosα﹣sinα＝　 　 ． 【答案】 【解答】解：因为， 所以cosα＜sinα， 又， 所以（cosα﹣sinα）2＝cos2α+sin2α﹣2cosαsinα＝1﹣sin2α＝1， 所以cosα﹣sinα． 故答案为：． 题型5 半角的三角函数 【典例1】已知，25cos2α﹣10sinα﹣1＝0，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：25cos2α﹣10sinα﹣1＝0， 则25（1﹣2sin2α）﹣10sinα﹣1＝0，25sin2α+5sinα﹣12＝0，解得， 故，解得． 故选：A． 【变式1】若，且，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为，， 所以， 又， 所以． 故选：D． 题型6 三角函数恒等式的证明 【典例1】（1）证明：sin3x＝3sinx﹣4sin3x； （2）若，n∈N*，利用（1）结合自己所学知识，求n． 【答案】（1）证明略；（2）n＝5． 【解答】解：（1）证明： sin3x＝sin（2x+x）＝sin2xcosx+cos2xsinx＝2sinxcos2x+（1﹣2sin2x）sinx ＝2sinx（1﹣sin2x）+sinx﹣2sin3x＝3sinx﹣4sin3x； （2）由（1）可知，sin30°＝3sin10°﹣4sin310°， 即sin10°是方程4x3﹣3x0的一个根， 令f（x）＝4x3﹣3x，则f'（x）＝12x2﹣3＝3（2x+1）（2x﹣1）， 显然0＜sin10°＜sin30°，当0＜x时，f'（x）＜0， 所以f（x）＝4x3﹣3x在（0，）上单调递减， 又f（）＝4×（）3＞0，f（）＝4×（）3﹣30， 所以sin10°∈（，），即n＝5． 【变式1】求证：2cos（α+β）． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα ＝sin[（α+β）+α]﹣2cos（α+β）sinα ＝sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα ＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝sin[（α+β）﹣α]＝sinβ． 两边同除以sinα得2cos（α+β）． ∴原式得证 题型7 三角函数的恒等变换及化简求值 【典例1】已知，若，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＞a＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c 【答案】C 【解答】解：， ， ， 又，则，且， 所以c＝sinθtanθ＞b＝sin2θ＞a＝sinθcosθ． 故选：C． 【变式1】sin15°+cos15°＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：sin15°+cos15°（sin15°cos15°）sin（15°+45°）sin60°， 故选：A． 题型8 三角函数中的恒等变换应用 【典例1】已知函数f（x）＝2cosx﹣sin2x，则下列结论不正确的是（　　） A．f（x）的周期为2π B．y＝f（x）的图象关于对称 C．f（x）的最大值为 D．f（x）在区间上单调递增 【答案】B 【解答】解：函数f（x）＝2cosx﹣sin2x， 对于A：函数f（x+2π）＝2cos（x+2π）﹣sin（2x+4π）＝2cosx﹣sin2x＝f（x），故A正确； 对于B：函数f（x）＝2cos（x）﹣sin（2x+π）＝﹣2sinx+sin2x，f（）＝2cos（）﹣sin（π﹣2x）＝2sinx﹣sin2x，故f（），故B错误； 对于C：由于f（x）＝2cosx﹣sin2x，所以f′（x）＝﹣2sinx﹣2cos2x＝2（2sinx+1）（sinx﹣1）， 在x∈（0，2π）内，令f′（x）＝0，解得x，，； 根据函数的性质，函数在（0，）上单调递减，在（）上单调递减，在（）上单调递增，在（）上单调递减， 故函数在x时，函数取得最大值，f（），故C正确； 对于D：由选项C得：函数在区间上单调递增，故D正确． 故选：B． 【变式1】已知函数f（x）＝2sinωx•cosωx+2sin2ωx（ω＞0）在上单调递减，则ω的取值范围是（　　） A．（0，4] B． C． D． 【答案】B 【解答】解：f（x）＝2sinωx•cosωx+2sin2ωx＝sin2ωx﹣cos2ωx+1sin（2）+1， 因为ω＞0，当时，， 因为函数f（x）在上单调递减， 即，解得， 由可得，故k＝0，则． 因此，实数ω的取值范围是． 故选：B． 过 关 验 收 1．已知锐角α，β满足，，则tanα+5tanβ的最小值为（　　） A．2 B．3 C．5 D． 【答案】A 【解答】解：根据且， 可得3cos（α+β）＝2cos（α﹣β），所以3cosαcosβ﹣3sinαsinβ＝2cosαcosβ+2sinαsinβ， 整理得5sinαsinβ＝cosαcosβ，可得tanαtanβ， 根据α、β均为锐角，可知tanα＞0，tanβ＞0， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，tanα+5tanβ的最小值为2． 故选：A． 2．如图是函数y＝sin（ωx+φ），ω＞0，0＜φ＜π的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由图像可知，∴， 将代入y＝sin（ωx+φ）中得，∴， ∵0＜φ＜π，故， ∴． 故选：C． 3．设θ是锐角，，则tanθ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为θ为锐角， 原等式可化为， 整理得，tan2θ+2tanθ﹣1＝0，解得． 故选：C． 4．cos50°cos10°﹣sin130°sin10°＝（　　） A．cos40° B．sin40° C． D． 【答案】C 【解答】解：因为sin130°＝sin（180°﹣50°）＝sin50°， 所以cos50°cos10°﹣sin130°sin10°＝cos50°cos10°﹣sin50°sin10° ＝cos（50°+10°）＝cos60°． 故选：C． 5．若，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵，∴， ∴． 故选：D． 6．（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：因为sin50°＝sin（60°﹣10°）＝sin60°cos10°﹣cos60°sin10°， sin70°＝sin（60°+10°）＝sin60°cos10°+cos60°sin10°， 所以sin50°+sin70°＝2sin60°cos10°， 可得2sin60°． 故选：B． 7．已知锐角α，β满足sin（α+β）＝3sin（α﹣β），则sin（α﹣β）的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为sin（α+β）＝3sin（α﹣β），所以sinαcosβ+cosαsinβ＝3sinαcosβ﹣3cosαsinβ， 化简得sinαcosβ＝2cosαsinβ，结合α、β为锐角，可得，即tanα＝2tanβ， 设tanβ＝t，t＞0，则tanα＝2t，根据同角三角函数的基本关系， 求得，，，， 所以， 令， 当且仅当时取到等号，故sin（α﹣β）的最大值为． 故选：D． 8．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为， 则sin[（2α）]＝cos（2α）＝2cos2（α）﹣1＝21． 故选：D． 9．已知，且，则sin2α＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由两边平方，可得． 即， 结合sin2α+cos2α＝1，2sinαcosα＝sin2α，可得，故． 故选：D． 10．若α为第二象限角，且，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据α为第二象限角，可知sinα≠0，tan2α，即， 去分母、整理得2cosα（2+cosα）＝2cos2α﹣1，解得， 结合α为第二象限角，可得． 故选：A． 12．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得， 所以． 故选：C． 13．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵，∴，则， ∵，可得，∴． 故选：B． 14．若，则tanθ＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【解答】解：因为cos2θ＝2cos2θ﹣1， 所以， 由于，所以sinθ，cosθ＞0， 所以，， 所以． 故选：A． 15．已知，则sin2α＝ 　 ． 【答案】． 【解答】解：因为， 所以， 整理得sinα＝2cosα， 又sin2α+cos2α＝1， 所以，解得， 所以． 故答案为：． 16．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为， 所以cosθ2cos21， 所以cos， 则2cos． 故选：A． 17．若，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：若，且， 所以， 则cosθ， 则． 故选：B． 18．已知且，则的值为　 ． 【答案】2． 【解答】解：根据，可知cosθ＜0， 所以，即， ， 所以． 故答案为：2． 19．已知α是第三象限角，，则 　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：因为， 所以， 因为α是第三象限角， 所以，则， 所以． 故答案为：﹣2． 20．在△ABC中，A、B为锐角且B＜A，sinA，sin2B． （1）求角C的值； （2）求证：5cosAcos（A+3B）＝2sinB． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵A为锐角，sinA ∴cosA（2分） ∵B＜A，sinA， ∴B＜45°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∵sin2B， ∴cos2B ∴cosB，sinB（4分） cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB ∴C＝135°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）证明：左边＝5cosAcos（π﹣C+2B）＝﹣5cosAcos（C﹣2B）＝﹣5cosA[cosCcos2B+sinCsin2B]＝﹣5（）22sinB＝右边 从而得证． 21．已知sinθ+cosθ＝a，sinθ﹣cosθ＝b，求证：a2+b2＝2． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵sinθ+cosθ＝a，sinθ﹣cosθ＝b， ∴a2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2sinθcosθ， b2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2sinθcosθ， ∴a2+b2＝1+2sinθcosθ+1﹣2sinθcosθ＝2； 故原式得证． 22．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵已知，， ∴为锐角，cos（θ）， ∴sin（2θ）＝sin[2（θ）]＝2sin（θ）cos（θ）＝2， ∴cos2θ， ∴2θ∈（0，），sin2θ． 则sin2θcoscos2θsin， 故选：D． 23．若，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：因为，则sinα＞0，cosα＜0， 所以 1+1＝0． 故选：A． 24．若函数是奇函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由f（x）为定义在R上的奇函数，得f（0）＝2sinφ+cos0＝2sinφ+1＝0，． 结合，得． 所以． ，满足奇函数定义． 因此，． 故选：B． 25．已知α，β∈R，则“存在k∈Z，使得α＝2kπ+β”是“cosα＝cosβ”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：当α＝2kπ+β，k∈Z时，cosα＝cosβ成立， 当cosα＝cosβ成立时，则α＝2kπ+β或α＝2kπ﹣β（k∈Z）． 故”存在k∈Z，使得α＝2kπ+β”是“cosα＝cosβ”成立的充分不必要条件． 故选：A． 26．在平面直角坐标系xOy中，已知锐角α的终边与单位圆交于A（x1，y1），角的终边与单位圆交于B（x2，y2），若，则的值为 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意知，， 所以 ， 整理得2tan2α﹣5tanα﹣3＝0，解得tanα＝3或， 因为α为锐角， 所以tanα＝3， 所以． 故答案为：． 27．已知函数f（x）＝sinx+sin（x+θ）+sin（x+2θ），，且，则当x∈[0，π]时，f（x）的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得f（x）＝sin[（x+θ）﹣θ]+sin（x+θ）+sin[（x+θ）+θ] ＝2sin（x+θ）cosθ+sin（x+θ）＝sin（x+θ）（2cosθ+1）， 根据f（）＝0，可得sin（θ）（2cosθ+1）＝0，结合θ∈（0，），可得sin（θ）＝0． 因为θ∈（，），所以θ＝π，解得θ， 可得f（x）＝sin（x）（2cos1）＝（）sin（x）， 当x∈[0，π]时，x∈[，]，可得sin（x）∈[，1]， 所以f（x）＝（）sin（x）∈[，]． 故选：C． 28．设f（x）＝（a+b）cos2x+（a﹣b）sin2x，若{f（x）|x∈R}＝{2}，则（　　） A．a＝1且b＝1 B．a＝2且b＝0 C．a＝0且b＝2 D．a＝1且b＝﹣1 【答案】B 【解答】解：f（x）＝（a+b）cos2x+（a﹣b）sin2x ＝a（cos2x+sin2x）+b（cos2x﹣sin2x）＝a+bcos2x， 若{f（x）|x∈R}＝{2}， 则f（x）＝2恒成立， 根据余弦函数性质可得，a＝2且b＝0． 故选：B． 29．函数y＝cos2（x）+sin2（x）﹣1是（　　） A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数 【答案】C 【解答】解： 2xcos， ∴y＝f（x）是最小正周期为π的奇函数． 故选：C． 30．已知函数f（x）＝asinx+cos2x（a＞0），x∈[0，2π]，若f（x）的最大值为，则（　　） A．，f（x）有2个零点 B．，f（x）有3个零点 C．a＝2，f（x）有2个零点 D．a＝2，f（x）有3个零点 【答案】C 【解答】解：由题意得f（x）＝asinx+cos2x＝﹣2sin2x+asinx+1，x∈[0，2π]， 令t＝sinx∈[﹣1，1]，可得g（t）＝﹣2t2+at+1， 相应的二次函数图象是开口向下的抛物线，对称轴为， ①当，即a≥4时，则g（t）的最大值为，解得（舍去）； ②当，即0＜a＜4时，则g（t）的最大值为，解得a＝2． 综上所述，a＝2，且f（x）＝﹣2sin2x+2sinx+1， 若f（x）＝0，则﹣2sin2x+2sinx+1＝0，解得或（舍去）， 结合在x∈[0，2π]有2个解，可知f（x）有2个零点． 故选：C． 31．在△ABC中，AB＝1，sin2A+sin2B＝4sinAsinBcosC，则△ABC的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：△ABC 中，设AB＝c＝1，BC＝a，AC＝b，由正弦定理，把sin2A+sin2B＝4sinAsinBcosC化为a2+b2＝4abcosC． 由余弦定理得a2+b2﹣c2＝2abcosC，所以a2+b2＝c2+2abcosC＝12+2abcosC＝4abcosC，解得2abcosC＝1，所以a2+b2＝2． 所以cosC，△ABC的面积为SabsinCab•ab•． 由基本不等式a2+b2≥2ab，得2≥2ab，即ab≤1（当且仅当a＝b＝1时取等号）， 此时4a2b2﹣1取得最大值4×12﹣1＝3，所以． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $