7.1复数的概念教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习
7.1 复数的概念
教材结论与考点深挖
（1）教材出处
必修第二册 第七章 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 正文：虚数单位的引入、复数的代数形式、复数的分类；本节例 1。
（2）教材结论/公式/性质
结论类型：正文定理公式。
- 虚数单位：规定
，
叫做虚数单位； 可以与实数进行加、乘运算，原有的加法、乘法运算律仍然成立。 - 复数的代数形式：
（
为实数），其中 
叫实部，
叫虚部。全体复数组成的集合叫复数集。 - 分类：当
时，
是实数；当 
时，
是虚数；当 
且 时，
是纯虚数。 - 数集关系：实数集是复数集的真子集。也就是说，实数都是复数，但虚数不是实数。
- 大小关系：两个复数只有都是实数时才能比较大小；只要不全是实数，就不能比较大小。复数集内没有规定大小顺序。复数的模是实数，可以比较大小。
（3）推导证明
引入 的必要性：方程 
在实数范围内无解。因为对任意实数 
，都有 
，所以 
。规定 后，
就是方程 的解。
代数形式的封闭性：由 ，
右边仍然是“实数＋实数乘 ”的形式。所以复数对加法、乘法封闭，任意由实数与 通过加、乘得到的结果，都可以统一写成 
的形式。
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分类的由来：在 中，若 ，只剩实数 ；若 ，含有虚数单位 ，不是实数；若再满足 ，就是纯虚数 
。实数 
的虚部为 
，所以 是实数，不是纯虚数。
不能比较大小的证明：假设 与 可以比较大小。若 
，两边同乘正数 ，得 
，即 
，矛盾；若 
，则 
，两边同乘正数 
，得 
，即 ，矛盾。所以 与 不能比较大小。一般地，只要两个复数不全是实数，就不能比较大小；只有两个实数才能按实数的大小关系比较。
（4）适用条件与易错提醒
- 代数形式 的前提是 都是实数；若 不是实数，不能直接套用实部、虚部和分类。
- 虚部是 ，不是 ：
的实部是 
，虚部是 
；
的实部是 ，虚部是 
。 - 纯虚数必须同时满足“实部为 ”和“虚部不为 ”；只令实部为 ，会把 也误算进去。
- 实数 不是纯虚数；虚轴上的点除原点外才表示纯虚数。
- “虚数”与“纯虚数”不同：虚数只要求 ，纯虚数还要求 。
- 两个复数不全是实数时不能比较大小；但它们的模都是实数，可以比较模的大小。
- 不要把 当成普通实数，也不要把
写成 
； 是复数运算的起点。
（5）考点定位与命题角度
以选择题、填空题为主，考“指出实部、虚部”“判断实数、虚数、纯虚数”“由纯虚数条件求参数”“判断两个复数能否比较大小”；常与 的乘法、复数的几何意义结合。难度基础。近年真题：2025 全国一卷·1（先化简再读虚部）。
（6）方法归纳
- 第一步 化标准形：用 把所给式子整理成 （ 为实数）。
- 第二步 读实虚部： 是实部， 是虚部，虚部自带符号，不带 。
- 第三步 定类型： 为实数； 为虚数； 且 为纯虚数。
- 第四步 验条件：纯虚数要同时验实部为 、虚部不为 ；比较大小前先确认两个数都是实数。
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（7）典型例题
当实数 
取什么值时，复数 
是下列数？(1) 实数；(2) 虚数；(3) 纯虚数。
解析
(1) 若 是实数，则虚部为 ，即 
，得 
。此时 
。
(2) 若 是虚数，则虚部不为 ，即 
，得 
。
(3) 若 是纯虚数，则实部为 且虚部不为 ，即
由 
得 
，此时 
，满足条件。故 ，此时 
。
当实数 取什么值时，复数 
是下列数？(1) 实数；(2) 虚数；(3) 纯虚数。
解析
(1) 若 是实数，则虚部为 ：
即 
，得 或 
。
(2) 若 是虚数，则虚部不为 ，即 
，得 且 
。
(3) 若 是纯虚数，则实部为 且虚部不为 ：
由 
得 
，所以 或 
。又 且 ，故只能取 。此时 
。
（8）变式训练
的虚部为（ ）
A. 
B. C. D. 
已知 
，
，其中 为实数，且 
（即二者可以比较大小）。求 的值。
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