第6章 幂函数、指数函数和对数函数（单元分层测试·基础通关卷）数学苏教版必修第一册

2026-2027学年高一数学单元自测 第6章 幂函数、指数函数和对数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数既是奇函数，又在定义域上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，是奇函数， 但其定义域为，不连续， 所以在和上分别单调递减， 整体不是单调递减，故A错误. 对于B，，是奇函数， 因为函数的指数， 所以函数在定义域上单调递增，故B错误. 对于C，，是奇函数， ， 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在定义域上单调递减，故C正确. 对于D，， 所以是偶函数，故D错误. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由可得， 故不能得到，但可以得到，故“”是“”的必要不充分条件. 3．若幂函数在上为增函数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为幂函数， 所以，即，解得或． 当时，在上为增函数； 当时，不是增函数，所以． 4．函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 【答案】D 【解析】当时，. 当时， . 所以函数的值域为. 5．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，即； 由，即， 所以. 6．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 7．“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则． 由，得，则， 即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6． 8．已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，可知的定义域为，定义域关于原点对称， 且 ， 则是定义在上的偶函数， ， 在单调递减，函数为增函数， 在单调递减， 由函数为偶函数可得，等价于， ，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知幂函数，则（   ） A． B．若，在上单调递增 C．若，在上单调递减 D．的图像一定经过点 【答案】ABC 【解析】对于A选项，当时，. 对于BC选项，根据幂函数指数与单调性的关系， 当时，函数在单调递增，当时，函数在单调递减； 对于D选项，当时，函数在处无意义，故错误. 10．已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】BD 【解析】根据已知条件，函数， 当时，， 在上单调递减， 则，解得，满足条件； 当时，，在上单调递增， 则，解得，满足条件. 故选：BD. 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：函数定义域为R，，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为减函数， 则为增函数，则在上单调递减，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数的图象过点，则_____． 【答案】 【解析】设函数，， 因为幂函数的图象过点，则，可得， 可得，所以. 13．函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【解析】由，解得， 所以定义域为， 易知在定义域单调减，由复合函数的单调性：同增异减，求出的减区间即为函数的单调递增区间，再结合二次函数的性质可知，的单调递增区间为. 14．，用函数表示函数、中的最大者，记．若，的最小值为_________. 【答案】1 【解析】画出的函数图象，如图， 当时两个函数值相等， 当或时；当时， 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 【解析】（1）因为是指数函数，所以系数为1，且底数且， 由，得，即，解得， 所以；（6分） （2）由，得不等式为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为．（13分） 16．（15分） 已知幂函数（ 为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并进行证明； (3)设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论. 【解析】（1）由题意得，，得，则；（3分） （2）是偶函数，证明如下： 因为的定义域为，且， 所以是偶函数；（8分） （3）在区间上单调递增，证明如下： ， 任取，且，则，， 则， 即， 则在区间上单调递增.（15分） 17．（15分） 已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)证明在上单调递增； (3)解不等式. 【解析】（1）是奇函数， 证明如下：定义域为，关于原点对称, ，故为奇函数.（4分） （2）， 任取，且，所以， 所以，，， 所以， 所以在上单调递增.（9分） （3）因为， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 解得.（15分） 18．（17分） 已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【解析】（1）由， 解得. 故函数的定义域为.（4分） （2）由（1）可得：的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 即，因此是奇函数.（9分） （3）已知一元二次不等式的解集为， 由韦达定理可得：，解得，， 此时不等式即 则可得，又因为，即， 则得，解得， 因此所求不等式的解集为.（17分） 19．（17分） 已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． (1)求，的解析式； (2)判断的单调性并用单调性的定义证明； (3)设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1），则， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 所以，可得， 所以.（4分） （2）在上单调递增； 证明：，且， ， 因为函数为增函数，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增；（9分） （3）， 因为，因为函数为增函数，所以，， 所以，所以，所以， 即， 由题可得时，， ， 令，， 由（2）知为增函数，所以， 令，，对称轴， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，舍去； 当，即时， ，解得， 综上：的取值范围是.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第6章 幂函数、指数函数和对数函数·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D D B D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）因为是指数函数，所以系数为1，且底数且， 由，得，即，解得， 所以；（6分） （2）由，得不等式为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为．（13分） 16．【解析】（1）由题意得，，得，则；（3分） （2）是偶函数，证明如下： 因为的定义域为，且， 所以是偶函数；（8分） （3）在区间上单调递增，证明如下： ， 任取，且，则，， 则， 即， 则在区间上单调递增．（15分） 17．【解析】（1）是奇函数， 证明如下：定义域为，关于原点对称， ，故为奇函数．（4分） （2）， 任取，且，所以， 所以，，， 所以， 所以在上单调递增．（9分） （3）因为， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 解得．（15分） 18．【解析】（1）由， 解得． 故函数的定义域为．（4分） （2）由（1）可得：的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 即，因此是奇函数．（9分） （3）已知一元二次不等式的解集为， 由韦达定理可得：，解得，， 此时不等式即 则可得，又因为，即， 则得，解得， 因此所求不等式的解集为．（17分） 19．【解析】（1），则， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 所以，可得， 所以．（4分） （2）在上单调递增； 证明：，且， ， 因为函数为增函数，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增；（9分） （3）， 因为，因为函数为增函数，所以，， 所以，所以，所以， 即， 由题可得时，， ， 令，， 由（2）知为增函数，所以， 令，，对称轴， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，舍去； 当，即时， ，解得， 综上：的取值范围是．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第6章 幂函数、指数函数和对数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数既是奇函数，又在定义域上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若幂函数在上为增函数，则（    ）． A． B． C． D． 4．函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 5．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 7．“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知幂函数，则（   ） A． B．若，在上单调递增 C．若，在上单调递减 D．的图像一定经过点 10．已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数的图象过点，则_____． 13．函数的单调递增区间为_________． 14．，用函数表示函数、中的最大者，记．若，的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 16．（15分） 已知幂函数（ 为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并进行证明； (3)设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论. 17．（15分） 已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)证明在上单调递增； (3)解不等式. 18．（17分） 已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 19．（17分） 已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． (1)求，的解析式； (2)判断的单调性并用单调性的定义证明； (3)设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第6章 幂函数、指数函数和对数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数既是奇函数，又在定义域上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若幂函数在上为增函数，则（    ）． A． B． C． D． 4．函数的值域为（    ） A．（0，3） B．[0，3] C．（－∞，3] D．[0，＋∞） 5．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 7．“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（    ） （参考数据：取，） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知幂函数，则（   ） A． B．若，在上单调递增 C．若，在上单调递减 D．的图像一定经过点 10．已知函数（且）在上的最大值为2，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递减 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数的图象过点，则_____． 13．函数的单调递增区间为_________． 14．，用函数表示函数、中的最大者，记．若，的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 16．（15分） 已知幂函数（ 为常数）的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并进行证明； (3)设，判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明你的结论. 17．（15分） 已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)证明在上单调递增； (3)解不等式. 18．（17分） 已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 19．（17分） 已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． (1)求，的解析式； (2)判断的单调性并用单调性的定义证明； (3)设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $