第三章 指数运算与指数函数（高效培优单元自测·提升卷）数学北师大版高一必修第一册

第三章指数运算与指数函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.己知幂函数'=的图象过 点93，则血=（) 1 √2 A.2 B.4 C.2 D.2 2.“x>2”是“e>1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数 ()=1+2 -1+2,以下说法错误的是（) A.(x 是奇函数 .f(x 在定义域上递增 c.f的值域为（-1小0(，+o) D.八没有零点 (3a-1,x<0 4.已知西数{-2+到”lx≥0：满近对任燕5与都有(G-[/)f小<0收 立，则实数a的取值范围是() A别 c 。引 5.f(x)=2-(分，则不等式fg+f0x->0的解集为() A.(包，+∞) C.（-0,UL,+o) D.(-0,-10U(L,+0) 6.函数少=2-1.1 的图象可能是() 试卷第1页（共4页） 7.已知函数f(因=3-x+1+3+x-1川，则f四的最小值是（) A.6 B.8 C.9 D.18 8.已知m∈R且a=2"+5,b=3m+3,c=5m+2,则a,b,c的大小关系不可能是() A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.b<a<c 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9.设正实数m,n满足m+n=1,则下列说法正确的是() √2 A.2m<2 B.Vm+Vn的最小值为2 1+1 C.mn的最大值为4 D.m十n的最小值为4 10.己知定义在R上的奇函数满足儿+)为偶函数，且当0<x≤1时，)车- ,则下列说法 正确的是() A.函数（四的图象关于 2,0)中心对称 。.侣 C.函数儿冈的单调递碳区间为伙+，秋+3)，keZ D.已知数列a}满足4=l,且-fa）,则4om=3 试卷第2页（共4页） L巴疾安发药：，0.目-四5政 令函数F)f)2,则下列结论正确的是() A.f(2)=2 日.函数（④为奇厨数 C.函数F(四的图象关于直线x=1对称 D.f(0+f2)+f4)+f(8)++f2w）=4054 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。) 2.化简（结果表示为分数指数幂的形式）：a>呢 13.己知a,P是方程9-2m3”+m2-1=0的两个根，若+B=1,则9=一 14.已知函数 ()3*+4 xa(a>0且a≠1)是奇函数，则a= 四、解答题（本题共5小题） 15.(1)用分数指数幂表示派、匠， (2)己知a2+a2=3,求： ①a+a: ②d2+a2: oo+a 试卷第3页（共4页） 16.已知偶函数 满足：当≥0时，国)=e+2 求冈的解折式： 2求不等式(<3 解集。 3*+b 17.已知函数 (-+日是定义在R上的奇函数. (1)求实数a、b的值： 2若对任意的x∈(2，切），不等式>恒成立，求实数人的取值范围. 18,定义在R上的奇数)和偶函数8()满足)+8（四=© 试卷第4页（共4页） 但求f儿冈和8（因的解析式： 2)若函 F()=2m()-g(2x在0，+o)上的最大值为3，求实数m的值. f(x)=a.2*-2* 19.已知奇函数 的定义域为R,8()=4-a-2+a 1 求8)在区间22上的值碳： 2诺对在意的xe0l,不等式2m+2)+g+2+2_-43训<0恒成立，求实数m的取植范园. 2 试卷第5页（共4页） 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 616 第三章 指数运算与指数函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，将点代入得， 所以，解得， 所以. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】不等式，解得， 因为“”可以推出“”,“”不可以推出“”, 所以“”是“”的充分不必要条件 3．已知函数，以下说法错误的是（　　） A．是奇函数 B．在定义域上递增 C．的值域为 D．没有零点 【答案】B 【详解】由，解得，即函数的定义域为. 对于A，由，得为奇函数，故A正确； 对于B，，由在上单调递增，得在上单调递增，则在和上单调递减，即在和上单调递减，故B错误； 对于C，，当时，，则，，；当时，，则，，；综上所述，的值域为 ，故C正确； 对于D，令，得，方程无解，得没有零点，故D正确. 4．已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由不等式判断函数在R上单调递减，再分别对指数段、二次段列递减条件，补充分界点处的衔接约束，解不等式取交集得到a的范围． 【详解】对任意都有成立，等价于是上的单调递减函数， 时，单调递减，则，解得； 时，，开口向下，对称轴， 要在递减，对称轴需在区间左侧，，解得； 时，指数极限值，时，右段的数值为， 是在上的单调递减函数，则，解得， 综上可得实数的取值范围是． 5．，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判定函数为奇函数且在上单调递增，利用性质脱去对应法则，转化为一次不等式即可求解. 【详解】因为，则函数定义域为， 又因为，所以为奇函数；又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 由，得，则， 解得：，所以不等式的解集为. 6．函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊值代入排除A、D，再分析函数在 时函数值的变化趋势，即可确定函数图象. 【详解】令 ， 则，根据选项图象可排除 A、D； 当 时，因， ，但指数函数 的增长速度远快于幂函数 ， 则 ，由图知显然 B项不满足，C项符合. 7．已知函数，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．18 【答案】D 【分析】易得函数为增函数，且时，，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】因为函数均为增函数， 所以函数为增函数，而时，， 则时，， 此时函数为减函数，则； 时，， 此时函数为增函数，则. 综上所述，的最小值是18. 8．已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出三个函数的图象，数形结合即可判断各项. 【详解】记，，，显然有， 在同一个坐标系内作出三个函数的图象，如图： 不妨设， 由图可知，当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 当时，即； 综上，a，b，c的大小关系不可能是. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为4 【答案】ACD 【分析】结合正实数满足的条件，利用指数函数单调性判断A，二次函数求最值的方法判断B即可,基本不等式判断C、D. 【详解】对于A选项，因为，，则， 所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，， 所以 ， 因为，所以，所以， 因为，所以，即无最小值，故B错误； 对于C选项，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故的最大值为，C正确； 对于D，由题意得， 而，当且仅当时取等， 可得，得到的最小值为4，故D正确. 10．已知定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（     ） A．函数的图象关于点中心对称 B． C．函数的单调递减区间为， D．已知数列满足，且，则 【答案】ACD 【分析】根据奇函数及偶函数的性质，利用替换思想可判断A，再由周期性判断B，利用对称的性质及周期性判断C，根据函数性质计算数列各项判断D. 【详解】由为偶函数可得， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以， 所以两式相加可得， 故函数的图象关于点中心对称，故A正确； 由，可得，故函数周期为， 所以， ，即，故B错误； 因为当时，单调递增，又为上奇函数， 所以当时，单调递增， 又由知函数图象关于轴对称， 所以函数在时单调递减，又函数周期为， 所以函数的单调递减区间为，故C正确； 由可知，， ，，，可知，故D正确. 11．已知函数的定义域为，且对，和均恒成立，令函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．函数为奇函数 C．函数的图象关于直线对称 D． 【答案】ABD 【分析】通过变量替换转化题干给出的两个恒成立关系式，结合赋值法、函数奇偶性与对称性判定规则、周期推导及数列求和方法逐一判断选项. 【详解】对于A，在和中，令得，， 联立解得，A正确； 对于B，由得，所以函数的图象关于点对称， 故函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，B正确； 对于C，由得，故， 则函数的图象关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，C错误； 对于D，因为，所以， 即， 所以，， 故，D正确. 【点睛】方法点睛：解决抽象函数性质问题的核心是通过合理的变量替换，将题干给出的恒等式转化为目标函数对应的性质关系，结合赋值法推导特殊点函数值，利用对称性、奇偶性、周期性的判定规则逐一验证结论. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 【答案】 【详解】. 13．已知是方程的两个根，若，则______． 【答案】0 【详解】由题意知是方程的两个根， 令，则方程有两个正根， 则，解之得， 又是方程的两个根， 则，又，则， 解之得或（舍）， 则，又， 则，即，解得或，则或， 则，或，则. 14．已知函数（且）是奇函数，则________． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 又函数是奇函数，所以对任意均成立， 即对任意均成立， 所以对任意均成立， 所以，所以，所以，解得. 四、解答题（本题共5小题） 15．（1）用分数指数幂表示； （2）已知，求： ①； ②； ③ 【答案】（1）；（2）①7；②47；③18. 【详解】（1）； （2）①两边平方得，， 故； ②两边平方得， 故； ③. 16．已知偶函数满足：当时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质求解析式即可； （2）利用偶函数的对称性及区间单调性得，即可求解集. 【详解】（1）当时，，则，而为偶函数， 所以，则， 所以； （2）由题可知，偶函数在上单调递增，且， 所以， 故不等式的解集为. 17．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求实数、的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数可得，进而计算可求得，再结合求得； （2）由指数函数的性质可得在上单调递增，可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，解得，所以， 又因为，所以，所以， 所以， 所以，即 因为，所以，解得， 所以，. （2）由（1）可得， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以， 因为对任意的，不等式恒成立，所以. 所以实数的取值范围． 18．定义在上的奇函数和偶函数满足． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇偶函数性质，将替换为构造方程组，加减消元求得和的解析式； （2）换元转化为二次函数，结合二次函数单调性、对称轴分类讨论，由区间上最大值列方程求解参数. 【详解】（1）因为是上的奇函数，故； 因为是上的偶函数，故. 由 ①，将替换为得：， 代入奇偶性性质化简得：② 联立①②两个方程： ①②得：，即​； ①②得：，即. （2）由题意，得. 令，当时，，且，此时可转化为关于的二次函数， ，，该二次函数开口向下，对称轴为. 当时，在上单调递减，最大值为，与题目最大值为矛盾，舍去； 当时，在上的最大值在对称轴处取得： ， 解得，又，故 19．已知奇函数的定义域为，． (1)求在区间上的值域； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据奇偶性得出，再令，结合一元二次函数求值域； （2）令，将问题转化为在上恒成立，结合一元二次函数讨论即可. 【详解】（1）依题意得，解得，所以，， 又，满足是奇函数. 令，因为，所以． 又，故， 又，，，所以， 故在区间上的值域为； （2） ， 令，，故， 设，故在上恒成立， 当，即时，， 解得，所以； 当，即时，，解得，所以． 综上，实数的取值范围为． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 指数运算与指数函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B A B C D C 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9 10 11 ACD ACD ABD 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共20分．） 12． 13．0 14． 四、解答题（本题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（1）；（2）①7；②47；③18. 【详解】（1）； （2）①两边平方得，， 故； ②两边平方得， 故； ③. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质求解析式即可； （2）利用偶函数的对称性及区间单调性得，即可求解集. 【详解】（1）当时，，则，而为偶函数， 所以，则， 所以； （2）由题可知，偶函数在上单调递增，且， 所以， 故不等式的解集为. 17．(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数可得，进而计算可求得，再结合求得； （2）由指数函数的性质可得在上单调递增，可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，解得，所以， 又因为，所以，所以， 所以， 所以，即 因为，所以，解得， 所以，. （2）由（1）可得， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以， 因为对任意的，不等式恒成立，所以. 所以实数的取值范围． 18．(1)， (2) 【分析】（1）利用奇偶函数性质，将替换为构造方程组，加减消元求得和的解析式； （2）换元转化为二次函数，结合二次函数单调性、对称轴分类讨论，由区间上最大值列方程求解参数. 【详解】（1）因为是上的奇函数，故； 因为是上的偶函数，故. 由 ①，将替换为得：， 代入奇偶性性质化简得：② 联立①②两个方程： ①②得：，即​； ①②得：，即. （2）由题意，得. 令，当时，，且，此时可转化为关于的二次函数， ，，该二次函数开口向下，对称轴为. 当时，在上单调递减，最大值为，与题目最大值为矛盾，舍去； 当时，在上的最大值在对称轴处取得： ， 解得，又，故 19．(1) (2) 【分析】（1）先根据奇偶性得出，再令，结合一元二次函数求值域； （2）令，将问题转化为在上恒成立，结合一元二次函数讨论即可. 【详解】（1）依题意得，解得，所以，， 又，满足是奇函数. 令，因为，所以． 又，故， 又，，，所以， 故在区间上的值域为； （2） ， 令，，故， 设，故在上恒成立， 当，即时，， 解得，所以； 当，即时，，解得，所以． 综上，实数的取值范围为． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $