第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元测试·强化卷）高一数学苏教版必修第一册

第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C C D D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 CD ACD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．（答案不唯一，形如均符合要求） 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 16．（15分） 【详解】解：（1）由函数是R上的奇函数知， 即，解得. （2）由（1）知. 任取，则 因为，所以，所以， 又因为，故， 所以，即 所以在上为减函数. （3）不等式可化为 因为是奇函数，故 所以不等式可化为 由（2）知在上为减函数，故即 即对于任意，不等式恒成立. 设易知 因此 所以实数的取值范围是. 17．（15分） 【详解】（1）当时，， 令，则可转化为， 即， 的值域为． （2）由是函数的局部对称点， 得，， 代入整理得．① 令，则，当且仅当时取等号， 则， 代入①式得，即． 在上单调递增， ，， ∴实数m的取值范围为． 18．（17分） 【详解】（1）因为的定义域为，所以的定义域为， 令，解得， 所以． （2）由（1）得， 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减， 若在上单调递增，则无解； 若在上单调递减，则或或 解得或或，即， 故的取值范围为 （3）假设存在，使得在上的值域为， 因为，，所以， 在上单调递减，所以 即则两式相除，得， 即，化简得， 所以， 所以， 所以存在符合题意的，且的值为． 19．（17分） 【详解】(1)不是，理由如下： 假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 则对任意的，总存在唯一的，使成立， 令，函数在上单调递增， 而函数在上单调递增， 因此函数在单调递增， ，，由，得， 则，即不成立， 所以不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）函数是区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 则，即，而函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应， 而，于是， 所以，解得，即， 所以的值是1. （3）函数分别为定义域内单调递增和单调递减函数， 则函数分别为定义域内单调递减和单调递减函数， 于是函数在上单调递增，且， 函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 即， 于是在区间上的值域是区间的子集， 而函数的图象开口向上，对称轴为， 显然， ，， 当时，在上单调递增， 则，即，无解； 当时，在上单调递减， 则，即，无解； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，即，解得； 所以的取值范围是. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以； 由，所以. 所以. 2．下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】逐一判断各选项的值域和在上的单调性： 对于A：，值域为，不是，所以A错误； 对于B：，值域为，但在上单调递减，所以B错误； 对于C：，值域为，不是，所以C错误； 对于D：，值域为，且在上 单调递增，所以D正确. 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用指数函数与幂函数的图象与性质，求得的关系式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，因为指数函数在上为单调递增函数，所以， 若，因为幂函数的定义域为，满足， 所以为偶函数，且在上递减，在上递增，可得， 当时，不一定成立；反之，当时，也不一定成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 4．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 5．已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用函数的奇偶性及单调性比较大小即可. 【详解】因为的定义域为，且， 所以是偶函数，且在上是增函数， ， ，又，则，所以， ， 所以 6．设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数值域，分段函数特征，及对数函数单调性列式计算即可求出的范围． 【详解】当时，，此时在上单调递减， 则，所以的取值范围为； 当时，，对底数分两种情况讨论， ①，此时在上单调递减，则， 所以的取值范围为， 此时无法满足的值域为，舍去； ②，此时在上单调递增，则， 所以的取值范围为， 因此要使的值域为，应当有，解得． 7．已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（    ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】通过函数的奇偶性与单调性得出，进而代入目标式并利用基本不等式求得最小值. 【详解】由题意得，其中， 且，即，所以是定义在R上的函数， ， 则 ， 即，故是定义在R上的奇函数， 设，则， 由上知，则且，所以，单调递减， 因为在定义域内单调递增，所以在R上单调递减， 由得， 因为在R上单调递减，所以有， ， 当且仅当，即，结合，且解得时等号成立， 综上， 的最小值为. 8．已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题是一道函数新定义题，核心在于理解集合 的含义，逐一验证给定的三个函数是否满足“若 ，则 ”即可. 【详解】对于①，在上单调递减， ，若，则， 由于与无关， 故，成立， 因此函数是“势函数”； 对于②，，令，得或， 令，得 ； 故函数在上单调递增，在上单调递减， 取，可得 ，， 又， ， 此时，故函数不是“势函数”； 对于③，易知函数在上单调递增， 当时，要使， 那么，若 ，则需 ，且 ； 若 ，则 ，而 ，不等式不可能成立, 故此时； 当 时，要使 ，那么，若 时，； 若 时，，均不成立，故此时； 当 时，要使 ， 那么，若 ，则左边 ，右边为负数，不等式恒成立，此时 ； 若 ，则需 ， 故此时， 若时，存在三种情况，分别为，，； 当时，，，由于， 故； 当时，,，故； 当时,，, 由于，故. 综上所述，函数①③为“势函数”. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列结论中正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．若幂函数，则在区间上单调递减 C．幂函数始终经过点和 D．若幂函数，则对任意，都有 【答案】CD 【分析】根据幂函数的定义及性质判断A、B、C，利用分析法证明D. 【详解】对于A：设，则，即，所以，解得， 所以，故A错误； 对于B：幂函数，则在区间上单调递增，故B错误； 对于C：幂函数始终经过点和，故C正确； 对于D：对任意，要证明不等式， 只需证明，即， 故只需证明，此不等式显然成立，故D正确. 故选：CD. 10．已知函数，则下列结论正确的有（     ）． A．的定义域为 B．是偶函数 C．在定义域上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据对数函数的定义域，即可判断A选项；利用偶函数的定义，即可判断B选项；根据复合函数“同增异减”的原则，即可判断C选项；利用对数与分式不等式运算，即可判断D选项； 【详解】根据对数函数的定义域可得：，，，A选项正确； ，，为奇函数，B选项错误； 设，在定义域上单调增，根据复合函数的“同增异减”原则，在定义域上单调递增，C选项正确； ，，，，，，D选项正确； 11．已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用指数对数转换，再结合指数函数及对数函数的图象数形结合求解. 【详解】设，则， 比较即可，画出函数图象，设，， 当时，，所以，A选项正确； 当时，，所以，B选项正确； 当时，，所以，C选项正确； 当时，，所以，D选项不正确； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则 ，整理得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，则， 外层函数的底数满足，因此在上为单调递减函数. 是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递增，在上单调递减. 根据复合函数“同增异减”的法则得的单调递减区间为. 13．写出一个同时具有性质①②的函数__________． ①；②是奇函数． 【答案】（答案不唯一，形如均符合要求） 【分析】首先确定满足乘积运算性质的初等函数为幂函数，再结合奇函数的条件选取指数为奇数的幂函数即可. 【详解】选取，验证如下： 验证性质①：对任意，有，，， 所以，因此，所以函数满足性质①. 验证性质②：的定义域为，关于原点对称，且对任意，， 因此是奇函数，满足性质②. 因此同时具有性质①②的一个函数为. 14．已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】先判断的图象关于成中心对称，再判断函数的单调性，从而可得，结合基本不等式可求最大值. 【详解】因为， 故， 故而知的图象关于成中心对称， 而， 因为为上的增函数，故也为上的增函数， 而为上的增函数，故为上的增函数， 而，故， 故即， 又 当且仅当时上式取等，故的最大值为． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可； （2）将问题化为的值域为函数的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可. 【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 16．（15分）已知函数是R上的奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）由（1）知. 任取，则 因为，所以，所以， 又因为，故， 所以，即 所以在上为减函数. （3）. 【分析】（1）由奇函数的性质可得，从而可求出的值； （2）直接利用函数单调性的定义证明即可； （3）将不等式转化为，再由在上为减函数，可得，即，构造函数，利用二次函数的性质求出其最小值即可 【详解】解：（1）由函数是R上的奇函数知， 即，解得. （2）略 （3）不等式可化为 因为是奇函数，故 所以不等式可化为 由（2）知在上为减函数，故即 即对于任意，不等式恒成立. 设易知 因此 所以实数的取值范围是. 17．（15分）已知定义在R上的函数． (1)当时，求的值域； (2)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是函数的局部对称点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则可转化为，通过换元法把求的值域转化为求二次函数的值域； （2）由是函数的局部对称点，得，，代入整理得，令，则，那么，把问题转化为求解关于的函数的值域. 【详解】（1）当时，， 令，则可转化为， 即， 的值域为． （2）由是函数的局部对称点， 得，， 代入整理得．① 令，则，当且仅当时取等号， 则， 代入①式得，即． 在上单调递增， ，， ∴实数m的取值范围为． 18．（17分）已知函数，且函数的定义域为． (1)求的值． (2)若函数在上单调，求的取值范围． (3)试问是否存在，使得在上的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为 【分析】（1）根据抽象函数定义域解不等式即可求得； （2）由复合函数单调性并根据对数式有意义分类讨论单调性，解不等式即可求得的取值范围． （3）根据函数单调性以及值域表达式可得，再由可求得结果. 【详解】（1）因为的定义域为，所以的定义域为， 令，解得， 所以． （2）由（1）得， 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减， 若在上单调递增，则无解； 若在上单调递减，则或或 解得或或，即， 故的取值范围为 （3）假设存在，使得在上的值域为， 因为，，所以， 在上单调递减，所以 即则两式相除，得， 即，化简得， 所以， 所以， 所以存在符合题意的，且的值为． 19．（17分）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”； 对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”. (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若函数是区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是，理由如下： 假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 则对任意的，总存在唯一的，使成立， 令，函数在上单调递增， 而函数在上单调递增， 因此函数在单调递增， ，，由，得， 则，即不成立， 所以不是区间上的“2阶自伴函数”. (2)； (3). 【分析】（1）探讨函数在上单调性，并确定函数值范围，再利用“2阶自伴函数”定义判断即可. （2）利用“1阶自伴函数”定义，将表示在上的函数，再确定单调性并求出值域，借助集合的包含关系求解即可. （3）由单调性求出在区间上的值域，进而将问题转化为在区间上的值域是的子集，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解. 【详解】（1）不是，理由略； （2）函数是区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 则，即，而函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应， 而，于是， 所以，解得，即， 所以的值是1. （3）函数分别为定义域内单调递增和单调递减函数， 则函数分别为定义域内单调递减和单调递减函数， 于是函数在上单调递增，且， 函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 即， 于是在区间上的值域是区间的子集， 而函数的图象开口向上，对称轴为， 显然， ，， 当时，在上单调递增， 则，即，无解； 当时，在上单调递减， 则，即，无解； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，即，解得； 所以的取值范围是. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 4．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 5．已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．设且，函数的定义域为．若的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（    ） A．2 B．5 C．8 D．9 8．已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．下列结论中正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则 B．若幂函数，则在区间上单调递减 C．幂函数始终经过点和 D．若幂函数，则对任意，都有 10．已知函数，则下列结论正确的有（     ）． A．的定义域为 B．是偶函数 C．在定义域上单调递增 D．不等式的解集为 11．已知实数a，b，c，满足，则下列关系式中能成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．函数的单调递减区间为__________． 13．写出一个同时具有性质①②的函数__________． ①；②是奇函数． 14．已知函数，若实数满足，则的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 16．（15分）已知函数是R上的奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围 17．（15分）已知定义在R上的函数． (1)当时，求的值域； (2)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是函数的局部对称点，求实数m的取值范围 18．（17分）已知函数，且函数的定义域为． (1)求的值． (2)若函数在上单调，求的取值范围． (3)试问是否存在，使得在上的值域为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 19．（17分）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”； 对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”. (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若函数是区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $