2.2 直线的方程 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版 · 选择性必修第一册　第二章 直线和圆的方程

2.2　直线的方程

高中数学同步讲义

一、学习目标

• 掌握直线方程的五种形式及其适用条件，能根据已知条件选择合适的形式求直线方程。
• 能在点斜式、斜截式、两点式、截距式与一般式之间互化，理解一般式中系数的几何意义。
• 能处理截距相等、含参直线过定点、与坐标轴围成三角形面积最值等综合问题。

二、知识梳理

直线方程的五种形式及其适用范围如下表所示。

表 1: 直线方程的五种形式

关于五种形式，需注意以下几点。

（1）特殊直线。　斜率不存在时，直线方程写成 ；斜率为 0 时，直线方程写成 。点斜式、斜截式都以斜率存在为前提，两点式还要求两点的横、纵坐标均不相等。

（2）截距的含义。　截距是直线与坐标轴交点的坐标，不是距离，可正、可负、可为零。若直线过原点，则两个截距都等于 0，此时不能用截距式，但“截距为 0”本身是合法的。

（3）一般式的系数。　在 中，若 ，则斜率 ，在 轴上的截距为 ；若 ，则在 轴上的截距为 。当 时，直线垂直于 轴，没有斜率。

（4）平行与垂直。　设 ，。 当且仅当 且两直线不重合； 当且仅当 。用系数判断可以避开斜率是否存在的讨论。

（5）含参直线过定点。　把含参数的方程按参数整理成 ，令 且 ，解得的公共点就是直线恒过的定点。

（6）截距关系的常用结论。　过定点 （）的直线，若两截距相等，则斜率为 −1 或直线过原点；若两截距互为相反数，则斜率为 1 或直线过原点；若两截距的绝对值相等，则斜率为 或直线过原点，一般共有三条。

选择方程形式时，可按已知条件判断：已知一点和斜率，用点斜式；已知斜率和 轴上的截距，用斜截式；已知两点，用两点式或先求斜率；已知两轴上的截距，用截距式；条件含参数或需要统一讨论，用一般式。

三、典型例题

本节安排五道例题，分别对应方程形式的选择、截距式、含参直线过定点、与坐标轴围成三角形的面积最值以及一般式下的平行与垂直。各例后的变式题均留出解答栏，答案与提示统一放在第六节。

（一）由两点求方程与形式互化

解：　（1）由斜率公式，

取点 ，由点斜式得

去分母、移项，得

所以 的一般式方程为 。

（2）令 ，得 ；令 ，得 。所以 在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 。

变式 1．已知直线 经过点 (0,3)，且与直线 垂直，求 的一般式方程。

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（二）截距式与截距关系

解：　分两种情况。

（1）直线过原点。此时两个截距都为 0，满足互为相反数。设 ，代入 得 ，所以

即 。

（2）直线不过原点。设两截距分别为 、（），则方程为

即 。代入 得 ，所以 。此时方程为

综上， 的方程为 或 。

变式 2．求经过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线 的方程。

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（三）含参直线过定点

解：　将方程按 整理，得

若上式对任意实数 都成立，则

解得 ，。因此直线恒过定点 (−2,3)。

检验：当 时，直线为 ；当 时，直线为 。两直线的交点正是 (−2,3)，与上述结论一致。