专题2.2 直线的方程讲义【知识清单+10大题型+强化训练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.2 直线的方程-重难点题型（讲） 知识点01：直线的点斜式方程 1、定义：如图，直线过定点，斜率为， 把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 2、两种特殊的直线： （1）垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°， 斜率不存在，没有点斜式，其方程为或. （2）平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点， 倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 3、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。 【即学即练】 1．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（   ） A． B． C． D． 知识点02：直线的斜截式方程 1、定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为， 则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 【注意】（1）直线的斜截式是直线点斜式的特例。 （2）一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距， 特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程。 2、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 【即学即练】 2．（25-26高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 知识点03：直线的两点式方程 1、定义：如图，直线经过点，（其中，）， 则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 【注意】（1）与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。 （2）将两点式方程变形为：，可以表示任何直线。 2、两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。 【即学即练】 3．（25-26高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线的两点式方程. （1），；     （2），． 知识点04：直线的截距式方程 1、定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线。 因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线。 2、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； （2）纵截距：直线与轴交点的纵坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 3、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用。 【即学即练】 4．（25-26高二上·云南楚雄·阶段检测）（多选）已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 知识点05：直线的一般式方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 4、直线的一般式方程与其他形式方程的互化 【即学即练】 5．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）若直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 知识点06：一般式直线方程的平行与垂直 1、一般式直线方程的平行与垂直求参 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 2、一般式方程下平行和垂直的直线的设法 平行：与直线平行的直线方程可设为 垂直：与直线垂直的直线方程可设为 【即学即练】 6．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求过点且与直线垂直的直线的方程. 题型01 直线的点斜式方程 1．（2026高一·全国·专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为___________． 2．（25-26高二上·河北廊坊·阶段检测）过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建莆田·开学考试）过原点的直线倾斜角为，且过点，则__________. 4．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型02 直线的斜截式方程 5．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 6．（25-26高二·全国·课后作业）斜率与直线的斜率相等，且过点的直线的点斜式方程是______；直线的斜截式方程是______. 7．（25-26高一·全国·课后作业）已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的斜截式方程为______. 8．（2026高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为______． 题型03 直线的图象辨析 9．（25-26高二上·河北唐山·期中）（多选）直线，则（    ） A．点在上 B．的倾斜角为 C．的图象不过第一象限 D．的方向向量为 10．（2026高二·全国·专题练习）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 11．（25-26高二上·山西运城·期中）已知则直线不过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（25-26高一上·湖南株洲·期末）直线的方程为： ，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型04 直线的两点式方程 13．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 14．（25-26高二上·江苏·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线的斜率为，则其倾斜角为 C．斜率相等的两直线的倾斜角一定相等 D．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示. 15．（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·湖北恩施·阶段检测）已知三角形的三个顶点为，，，求： (1)BC所在直线的方程； (2)BC边上的中垂线的方程. 题型05 直线的截距式方程 17．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是______. 18．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 19．（25-26高三上·河南·阶段检测）（多选）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型06 直线的一般式方程 21．（2027高三·全国·专题练习）求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程． 22．（26-27高二上·广东·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 23．（26-27高二上·安徽·期中）直线在轴上的截距为（ ） A．2 B． C． D． 24．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 题型07 直线过定点问题 25．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）若直线恒过点，则点的坐标为___________ 26．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则k的取值范围是______． 27．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）直线恒过定点________，若该直线不经过第四象限，则实数的取值范围为________. 28．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知直线在轴正半轴和轴正半轴上的截距分别为，，当最小时，（   ） A． B． C． D． 题型08 由一般式方程判断直线平行与垂直 29．（26-27高二上·山东·期中）（多选）若直线：与直线：平行，则实数可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．（25-26高二·全国·课后作业）讨论直线：和：的位置关系． 31．（25-26高二上·江苏·课前预习）已知直线，直线，且，求m的值． 32．（2026高二·全国·专题练习）已知直线，直线.当a_____时，l1与l2相交；当a__时，l1⊥l2；当a___时，l1与l2重合；当a____时，l1∥l2． 题型09 由直线平行与垂直求方程 33．（2026高三·全国·专题练习）已知点，直线．求： (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)过点且与直线垂直的直线方程． 34．（25-26高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）过点，且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 36．（25-26高二上·福建福州·期中）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点，且与直线垂直； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等． 题型10 直线与坐标围成图形的面积 37．（25-26高二上·安徽六安·开学考试）已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程. 38．（25-26高一下·江西九江·期末）（1）设直线的方程为.若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）过直线：上的点作直线，若直线，与轴围成的三角形的面积为2，则直线的方程. 39．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 40．（2026高二·全国·专题练习）如图直线l与x轴、y轴分别交于、点P为线段AB上一动点,且交OA于点Q． (1)求直线AB的方程; (2)若的面积与四边形OQPB的面积满足:时,请你确定P点的坐标． (3)在y轴上是否存在点M,使为等腰直角三角形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由． 1．（26-27高二上·广东·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知直线：，：．且，则实数（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·安徽·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 8．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．-3 B．0 C．3 D．-3或0 9．（2027高三·全国·专题练习）（多选）直线和无公共点，则a的值可以为（   ） A． B．0 C．1 D．3 10．（25-26高二上·浙江宁波·期中）（多选）已知直线，直线，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．过定点 D．当不经过第二象限时，则 11．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 12．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知直线，直线，若，则__________． 13．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）过点且与直线垂直的直线方程为______. 14．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 15．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知的顶点分别为． (1)设的中点为，求中线所在直线的方程； (2)若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 16．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 直线的方程-重难点题型（讲） 知识点01：直线的点斜式方程 1、定义：如图，直线过定点，斜率为， 把直线叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。 2、两种特殊的直线： （1）垂直于轴的直线：如图，过定点，倾斜角为90°， 斜率不存在，没有点斜式，其方程为或. （2）平行于轴（或与轴重合）的直线：如图，过定点， 倾斜角为0°，斜率为0，其点斜式方程为. 3、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外。 【即学即练】 1．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点斜式方程即可求解. 【详解】由题意直线方程为：， 故选：B 知识点02：直线的斜截式方程 1、定义：如图，直线的斜率为，且与轴的交点为， 则直线叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。 【注意】（1）直线的斜截式是直线点斜式的特例。 （2）一条直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距， 特别的，倾斜角为直角的直线没有斜截式方程。 2、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 【即学即练】 2．（25-26高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【答案】 【分析】首先求出边上的中点的坐标，再求出，即可求出直线的方程. 【详解】因为、，所以边上的中点， 而，所以，所以所在直线的斜截式方程为． 知识点03：直线的两点式方程 1、定义：如图，直线经过点，（其中，）， 则方程叫做直线的两点式方程，简称两点式。 【注意】（1）与坐标轴垂直的直线没有两点式方程。 （2）将两点式方程变形为：，可以表示任何直线。 2、两点式方程的应用 用两点式返程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或者纵坐标相等时，不能用两点式。 已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程。 【即学即练】 3．（25-26高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线的两点式方程. （1），；     （2），． 【答案】（1）；（2）； 【分析】根据直线的两点式方程求解即可. 【详解】因为直线的两点式方程为：， 因为，， 所以直线的两点式方程：； 因为，， 所以直线的两点式方程：； 知识点04：直线的截距式方程 1、定义：如图，直线与两坐标轴的交点分别是，（其中，），则方程，叫做直线的截距式方程，简称截距式。 【注意】截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线。 因此截距式不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线。 2、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； （2）纵截距：直线与轴交点的纵坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 3、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用。 【即学即练】 4．（25-26高二上·云南楚雄·阶段检测）（多选）已知直线过点，，则（   ） A．直线的斜率为 B．直线的两点式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的截距式方程为 【答案】BC 【分析】将点坐标代入斜率公式，可判断A的正误；根据两点式方程，可判断B的正误；根据斜率及方向向量的定义，可判断C的正误；将直线方程化成截距式，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为直线过点，， 所以直线的斜率为，故A错误； 选项B：直线的两点式方程为，故B正确； 选项C ：因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 选项D：因为l：，整理得，即，故D错误. 故选：BC. 知识点05：直线的一般式方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 4、直线的一般式方程与其他形式方程的互化 【即学即练】 5．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）若直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角求得斜率，再结合直线点斜式求直线方程. 【详解】假设直线斜率为， ∵直线的倾斜角为， ∴直线斜率； 又∵直线过点， ∴由直线的点斜式可得直线的方程为，整理得， 故选：C. 知识点06：一般式直线方程的平行与垂直 1、一般式直线方程的平行与垂直求参 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 2、一般式方程下平行和垂直的直线的设法 平行：与直线平行的直线方程可设为 垂直：与直线垂直的直线方程可设为 【即学即练】 6．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由直线方程的两点式得 ，即. （2）设过点且与直线平行 的直线的斜率为，由（1）知直线的斜率为1， 则有，由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线平行的直线的方程为. （3）设过点且与直线垂直的直线的斜率为， 由（1）知直线的斜率为1，则有， 由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线垂直的直线的方程为. 题型01 直线的点斜式方程 1．（2026高一·全国·专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为___________． 【答案】 【详解】由于过的直线倾斜角为，即该直线垂直于轴， 所以其方程为． 2．（25-26高二上·河北廊坊·阶段检测）过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又因为直线过点，所以所求直线方程为，即. 故选：A. 3．（25-26高二上·福建莆田·开学考试）过原点的直线倾斜角为，且过点，则__________. 【答案】 【分析】利用倾斜角可计算出斜率，即可得直线方程，即可得解. 【详解】，则，则有. 故答案为： 4．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得． 故选：A． 题型02 直线的斜截式方程 5．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1)y＝2x＋5 (2)y＝－x－2 (3)y＝x＋3或y＝x－3 【分析】（1）由直线的斜截式可得直线方程； （2）由已知求得直线的斜率，再由直线的斜截式可得直线方程． （3）由已知求得直线的斜率和直线在y轴上的截距，再由直线的斜截式求得直线的方程. 【详解】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5. （2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－， 故所求直线的斜截式方程为y＝－x－2. （3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝． 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 6．（25-26高二·全国·课后作业）斜率与直线的斜率相等，且过点的直线的点斜式方程是______；直线的斜截式方程是______. 【答案】 【分析】直接根据点斜式的定义求解即可，进而可整理得斜截式. 【详解】直线的斜率为， 又所求直线过点，故由点斜式得． 斜截式方程是. 故答案为：； 7．（25-26高一·全国·课后作业）已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的斜截式方程为______. 【答案】 【分析】本题首先可以通过以及、求出，然后通过直线的点斜式方程以及即可得出直线方程，并化简为斜截式方程． 【详解】设边上的高为， 因为,所以，，解得， 所以边上的高所在直线的点斜式方程是， 整理可得斜截式方程.故答案为． 【点睛】本题考查了直线的相关性质，主要考查直线垂直的相关性质，考查直线的点斜式方程以及斜截式方程，若两直线垂直且都不与轴平行，则有，是中档题． 8．（2026高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为______． 【答案】 【分析】由倾斜角为可得斜率为1，用点斜式写出直线方程再化成斜截式方程即可. 【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 题型03 直线的图象辨析 9．（25-26高二上·河北唐山·期中）（多选）直线，则（    ） A．点在上 B．的倾斜角为 C．的图象不过第一象限 D．的方向向量为 【答案】BC 【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线的斜率，可得出直线的倾斜角，可判断B选项；作出直线的图象可判断C选项；求出直线的方向向量，可判断D选项. 【详解】对于A选项，，所以，点不在上，A错； 对于B选项，直线的斜率为，故的倾斜角为，B对； 对于C选项，直线交轴于点，交轴于点，如下图所示： 由图可知，直线不过第一象限，C对； 对于D选项，直线的一个方向向量为，而向量与这里不共线，D错. 故选：BC. 10．（2026高二·全国·专题练习）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）由点斜式即可求解直线方程，进而可作出图形， （2）（3）由与坐标轴平行的直线的性质即可求解. 【详解】（1）由点斜式方程得，即 （2）与x轴平行时，， ∴，即 （3）与x轴垂直，斜率不存在，方程为 11．（25-26高二上·山西运城·期中）已知则直线不过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】将直线方程整理为斜截式，结合其斜截式方程确定直线经过的象限即可. 【详解】直线方程即：， 其斜率，直线在轴的截距， 据此可知直线不经过第二象限. 本题选择B选项. 【点睛】本题主要考查直线方程及其应用，属于基础题. 12．（25-26高一上·湖南株洲·期末）直线的方程为： ，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第二象限时所满足的条件，解得结果. 【详解】若直线斜率不存在，即不经过第二象限， 若直线斜率存在，即，所以， 综上实数的取值范围为，选C. 【点睛】本题考查直线方程，考查空基本分析与求解能力，属于中档题． 题型04 直线的两点式方程 13．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 14．（25-26高二上·江苏·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线的斜率为，则其倾斜角为 C．斜率相等的两直线的倾斜角一定相等 D．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示. 【答案】CD 【分析】利用反例说明A、B，根据倾斜角与斜率的共线判断C，根据两点式方程判断D； 【详解】对于A：如倾斜角为的直线的斜率为，而倾斜角的直线的斜率为，故A错误； 对于B：如直线的斜率为，但是其倾斜角为，故B错误； 对于C：斜率相等的两直线的倾斜角一定相等，故C正确； 对于D：当时，经过的直线方程为，此时适合； 当时，经过的直线方程为，此时适合； 当，时，经过的直线方程为， 也即， 故经过任意两个不同的点的直线方程可以表示为：，D正确； 故选：CD 15．（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 16．（25-26高二上·湖北恩施·阶段检测）已知三角形的三个顶点为，，，求： (1)BC所在直线的方程； (2)BC边上的中垂线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，进而可求得BC边上的中垂线的斜率，求出线段的中点坐标，再根据点斜式即可得解. 【详解】（1）因为，，所以直线BC的方程为， 化简得； （2）， 则BC边上的中垂线的斜率， 线段的中点为， 所以BC边上的中垂线的方程为， 即. 题型05 直线的截距式方程 17．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是______. 【答案】或 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求解即可. 【详解】当直线过原点时，在坐标轴上的截距都为0， 此时直线的斜率为：； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则，即， 则直线的方程为，斜率为. 故答案为：或. 18．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据截距式方程判断即可. 【详解】直线即，所以纵截距为-2. 故选：A. 19．（25-26高三上·河南·阶段检测）（多选）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，结合条件求直线方程. 【详解】若直线过原点，直线方程为； 若直线的斜率为1，直线方程为；若直线的斜率为，直线方程为． 故直线方程为或或． 故选：ABD． 20．（25-26高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 题型06 直线的一般式方程 21．（2027高三·全国·专题练习）求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程． 【答案】 【分析】由点斜式求解后再化成一般式即可. 【详解】设所求直线的斜率为， 依题意． 又直线经过点， 因此所求直线方程为， 即． 22．（26-27高二上·广东·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合斜率和倾斜角的关系，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，且， 可得直线的斜率为，即，可得. 23．（26-27高二上·安徽·期中）直线在轴上的截距为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得，解得，则直线在轴上的截距为. 24．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由点斜式，得直线方程为， 化成一般式即． （2）直线方程为，即． （3）由斜截式，得直线方程为，化成一般式为. 题型07 直线过定点问题 25．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）若直线恒过点，则点的坐标为___________ 【答案】 【分析】根据直线恒过定点可得，解之即可求解. 【详解】由题意知，直线方程为， 即， 则，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 26．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求得直线过定点，然后利用两点斜率公式，结合图象求出斜率范围即可. 【详解】直线，即，所以直线过定点， 如图，． 因直线l与线段相交，则由图可知或， 即k的取值范围是． 故答案为： 27．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）直线恒过定点________，若该直线不经过第四象限，则实数的取值范围为________. 【答案】 ； . 【分析】对于直线恒过定点问题，可通过对直线方程进行变形，令含参数的项的系数为零，从而求出定点坐标；对于直线不经过第四象限的条件，需要将直线方程化为斜截式，根据斜率和截距的正负来确定参数的取值范围. 【详解】根据题意，直线即， 令，解得，所以直线过定点. 由可知，当时，，不符合题意. 当时，方程化为：，由直线不过第四象限知，， 解得，故实数的取值范围是. 故答案为：； 28．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知直线在轴正半轴和轴正半轴上的截距分别为，，当最小时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线过定点，由截距式方程可得，再由基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由题意得， 由，得，所以过定点， 设，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 此时，即，得，得. 故选：D 题型08 由一般式方程判断直线平行与垂直 29．（26-27高二上·山东·期中）（多选）若直线：与直线：平行，则实数可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】对于直线和直线，若两直线平行，则，且或者.我们先根据求出可能的值，再检验是否满足后面的条件. 【详解】对于直线和直线. 由可得，解得或者. 当时：直线，直线. 此时，两直线平行. 当时：直线，直线. 此时，两直线平行. 30．（25-26高二·全国·课后作业）讨论直线：和：的位置关系． 【答案】 当且时，直线、相交； 当时，直线，垂直； 当时，直线、平行； 当时，直线、重合． 【分析】根据直线位置关系与系数之间的关系分类讨论可得. 【详解】当，即且时，直线、相交； 当，即时，直线，垂直； 当，即时，直线、平行； 当，即时，直线、重合． 31．（25-26高二上·江苏·课前预习）已知直线，直线，且，求m的值． 【答案】6或-1 【分析】根据直线垂直的充要条件，列出等式，求解，即可得出结果. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以， 即，解得或. 32．（2026高二·全国·专题练习）已知直线，直线.当a_____时，l1与l2相交；当a__时，l1⊥l2；当a___时，l1与l2重合；当a____时，l1∥l2． 【答案】 且； ； ； 【分析】直接根据两条直线位置关系公式求解即可. 【详解】由，得或， 当时，l1：-x+2y+6＝0，l2：x+2y＝0，显然l1∥l2； 当时，l1：x+y+3＝0，l2：x+y+3＝0，显然l1与l2重合； 当且时，l1与l2相交； 由，可解得，此时l1⊥l2. 故答案为：且；；；. 题型09 由直线平行与垂直求方程 33．（2026高三·全国·专题练习）已知点，直线．求： (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)过点且与直线垂直的直线方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由直线平行，斜率相等得到斜率，再由直线的点斜式方程得到直线方程； （2）由直线垂直，斜率乘积为得到斜率，再由直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】（1）直线的斜率为2，由直线的点斜式方程知过点且与直线平行的直线方程为， 即. （2）直线的斜率为2，过点且与直线垂直的直线斜率为， 由直线的点斜式方程知过点且与直线垂直的直线方程为， 即. 34．（25-26高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线方程为，将代入化简即可得出答案. 【详解】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 35．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）过点，且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线垂直可设直线方程，再代入点即可求解. 【详解】因为所求直线与直线垂直， 可设所求直线方程为，把点代入方程得， 所以直线方程为. 故选：D 36．（25-26高二上·福建福州·期中）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点，且与直线垂直； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)根据垂直的条件，先设所求的含有参数的直线的方程，再将A点坐标代入即可； (2)截距相等意味着截距可能为0也可能不为0，分别考虑这两种情况设直线方程，将点B坐标代入即可. 【详解】（1）与直线垂直的直线可设为 把代入得：， 故所求直线方程为； （2）①当直线过原点时，直线方程为； ②当直线不过原点时，设直线的方程为， 把代入得：解得：， 此时直线方程为； 综上，所求直线方程为或． 题型10 直线与坐标围成图形的面积 37．（25-26高二上·安徽六安·开学考试）已知直线平行于直线，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程. 【答案】或 【解析】设，求出直线在两坐标轴上的截距，利用面积公式可解得结果. 【详解】设， 当时，； 当时，. ∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为， ∴. ∴. ∴直线的方程为或. 【点睛】本题考查了两条直线平行，考查了截距的概念，考查了三角形的面积公式，属于基础题. 38．（25-26高一下·江西九江·期末）（1）设直线的方程为.若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）过直线：上的点作直线，若直线，与轴围成的三角形的面积为2，则直线的方程. 【答案】(1) 或. (2) 或. 【分析】(1)表示出截距，然后建立等量关系得到答案. (2)计算出与x,y轴的坐标，然后建立等量关系，即可得到直线方程. 【详解】解:（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为0，∴，方程即为. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，直线方程为 ∴ ∴，方程即为.综上，直线的方程为或. （2）①若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 直线，直线和轴围成的三角形的面积为2，符合题意； ②若直线的斜率，则直线与轴没有交点，不符合题意； ③若直线的斜率，设其方程为，令，得，依题意 有，解得，所以直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 【点睛】本题主要考查直线的相关量的含义，截距不是距离，注意截距为0的情况．细心分析题目，难度不大. 39．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)面积的最小值是6，此时直线l的方程为 【分析】 （1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程. （2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围. （3）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程. 【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 40．（2026高二·全国·专题练习）如图直线l与x轴、y轴分别交于、点P为线段AB上一动点,且交OA于点Q． (1)求直线AB的方程; (2)若的面积与四边形OQPB的面积满足:时,请你确定P点的坐标． (3)在y轴上是否存在点M,使为等腰直角三角形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由截距式即可得直线方程； （2）根据面积比等于相似比的平方即可获解； （3）设出坐标，根据等腰和垂直利用向量列方程即可获解. 【详解】（1）由截距式可得直线AB的方程的方程为,即 （2）因为,所以 因为,所以 所以,即PQ为的中位线,所以点的坐标为 （3）若存在为等腰直角三角形,设，则 因为为等腰三角形,当为直角顶点时，设 因为为直角三角形 所以 即 所以或(舍) 所以，即点； 当为直角顶点时，点，符合题意； 当为直角顶点时，设，由可得：， 所以； 所以符合题意. 1．（26-27高二上·广东·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得直线斜率，结合斜率与倾斜角关系，即可得到答案. 【详解】设该直线的倾斜角为，且， 由直线，可得直线的斜率为，即，所以. 2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知直线：，：．且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线一般式方程判断两条直线平行的方法即可求解. 【详解】因为直线：，：．且， 所以，即，解得. 因此实数. 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直斜率间的关系得出实数的值. 【详解】直线可化为，即斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率存在且等于，即. 4．（26-27高三上·安徽·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 5．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线化成斜截式，结合，且异号，可得，由异号即可得答案. 【详解】由题意可知，且异号， 将直线化斜截式，为， 直线的斜率， 又因为直线不过第二象限， 所以，即， 又因为异号， 所以. 7．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】讨论直线是否经过原点，经过原点时，设为，不经过原点时设为，代入求解. 【详解】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为， 设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为， 代入点解得，此时直线的斜率为. 故选：D. 8．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．-3 B．0 C．3 D．-3或0 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以， 解得或. 当时，直线为不符，舍去； 当时，直线分别为和垂直，符合. 所以. 9．（2027高三·全国·专题练习）（多选）直线和无公共点，则a的值可以为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】AB 【分析】由题意，利用两直线平行的充要条件列方程求解验证即可. 【详解】依题意，直线和平行， 则，解得或，(舍去) 当时，直线与互相平行， 当时，直线与互相平行. 综上，的值为或. 10．（25-26高二上·浙江宁波·期中）（多选）已知直线，直线，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．过定点 D．当不经过第二象限时，则 【答案】BC 【分析】对于A：根据直线垂直运算求解即可；对于B：根据直线平行求的值，并代入检验；对于C：整理可得，进而分析定点；对于D：分和，结合直线的斜截式方程分析求解. 【详解】因为直线，直线， 对于选项A：若，则，解得或，故A错误； 对于选项B：若，则，解得或， 若，则直线，直线，可知，符合题意； 若，则直线，直线，可知两直线重合，不符合题意； 综上所述：，故B正确； 对于选项C：因为直线，即为， 令，解得， 所以过定点，故C正确； 对于选项D：因为不经过第二象限， 若，直线，不经过第二象限，符合题意； 若，则直线， 可得，解得； 综上所述：，故D错误； 故选：BC. 11．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 12．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知直线，直线，若，则__________． 【答案】 【详解】因为直线，直线，且， 则，即，解得或， 若，直线，直线，满足，符合题意； 若，直线，直线，两直线重合，不符合题意； 综上所述：. 13．（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）过点且与直线垂直的直线方程为______. 【答案】 【分析】由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】由直线化成斜截式为， 故与直线垂直的直线方程的斜率为， 因所求直线经过点，由点斜式可得：， 即：. 故答案为： 14．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【答案】 或． 4 【分析】先分两种情况讨论，当直线过原点，代入求出参数的值，当直线不过原点时，设出直线截距式，代点即可求解；利用三角形面积公式、基本不等式，求得面积的最小值． 【详解】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 故答案为：或；4. 15．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知的顶点分别为． (1)设的中点为，求中线所在直线的方程； (2)若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）先求中点坐标，再用点斜式求中线方程； （2）根据截距关系分类讨论，用截距式求方程. 【详解】（1）由点得线段的中点为，故，        所以中线所在直线的方程为，即． （2）若直线过坐标原点，则其斜率为， 此时直线的方程为，即，符合题意；                    若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得， 即直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 16．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线所过定点，数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. 因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （2）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 学科网（北京）股份有限公司 $