精品解析：黑龙江哈尔滨市第十七中学2026-2027学年度上学期九年级期中数学试卷

2026-2027学年度九年级（上）期中测试 数学学科 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各数中为负数的是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 2. 下列图形中，轴对称图形有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 2021年12月9日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进行太空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过14600000人次．把“14600000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）． A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（　　） A. x=1 B. x=-1 C. x=2 D. x=-2 6. 观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是（ ） A. 31 B. 46 C. 51 D. 66 7. 如图，是的直径，C，D为圆上两点，，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H． 下列叙述正确的是( ) A. BH垂直平分线段AD B. AC平分∠BAD C. S△ABC=BC⋅AH D. AB=AD 10. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止．设点P的运动路程为(cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积(cm2)关于(cm)的函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中自变量x的取值范围是______． 12. 将多项式因式分解的结果是_______． 13. 已知：如图，在中，点在边上，，则_______度． 14. 不等式组的解集是___________． 15. 方程的两根之和为___________． 16. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为_______． 17. 定义：，则方程的解为_____． 18. 平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与轴交于点，与轴交于点，连接，则的长为___________． 19. 在中，的平分线把分成长度是的两部分， 则的周长是______． 20. 如图，中，，，点为上一点，连接并以为边作正方形，连接交于点，过点作的延长线于点，有如下结论：①；②四边形为矩形；③；④若，，则正方形的面积为17；上述全部正确的结论序号为___________． 三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25题、26题、27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：÷（﹣2），其中x＝2cos30°+tan45°． 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段和的端点、、、均在小正方形的顶点上． （1）画出，使得，且点在小正方形的顶点上； （2）画出以为腰的等腰，使得的面积为10，且点在小正方形的顶点上； （3）请直接写出四边形的面积为___________． 23. 为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 选择意向 文学鉴赏 国际象棋 音乐舞蹈 书法 其他 所占百分比 根据统计图表的信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的学生总人数； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1300名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数． 24. 已知，中，，、分别是、的中点，连接并延长至点，连接，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接交于点，若四边形是菱形，直接写出所有长为的倍的线段． 25. 某超市销售、两种型号的吉祥物，若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，共需要670元；若购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，共需要410元． （1）求、两种型号的吉祥物售价各为多少元？ （2）若种型号吉祥物的利润为5元/个，种型号吉祥物的利润为8元/个，超市预计销售出这两种吉祥物共90个，且售出种吉祥物的数量不少于种吉祥物的数量的一半，则销售出多少个种吉祥物时，总利润最大？并求出利润的最大值． 26. 已知，四边形内接于，连接，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 27. 已知，平面直角坐标系中，直线交轴正半轴于点，交轴于点，且． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，取轴负半轴上一点，连接，点为第二象限内一点，连接、，若，设的正切值为，求与的函数解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交射线于点，当，时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度九年级（上）期中测试 数学学科 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各数中为负数的是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再根据负数定义分别对A、B、C、各选项进行判断即可得答案． 【详解】解：A、因为，故为正数，所以A选项错误； B、因为2为正数，故B选项错误； C、 0既不是正数也不是负数，故C选项错误； D、为负数，故D选项正确． 2. 下列图形中，轴对称图形有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断各图形即可． 【详解】解：第一个图形沿竖直中线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； 第二个图形沿横中线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； 第三个图形是中心对称图形，沿任何直线折叠后无法重合，不是轴对称图形； 第四个图形沿竖直中线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； ∴轴对称图形有3个． 3. 2021年12月9日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进行太空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过14600000人次．把“14600000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的具体要求． 4. 如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据视图的性质分析，即可得到答案． 【详解】由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图如下： 故选：A 【点睛】本题考查了视图的知识；解题的关键是熟练掌握左视图的性质，从而完成求解． 5. 分式方程的解是（　　） A. x=1 B. x=-1 C. x=2 D. x=-2 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式方程的求解方法解题，注意检验根的情况； 【详解】解：， 两侧同时乘以，可得 ， 解得； 经检验是原方程的根； 故选B． 【点睛】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的方法是解题的关键． 6. 观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是（ ） A. 31 B. 46 C. 51 D. 66 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点． 解：第1个图中共有1+1×3=4个点， 第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点， 第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点， … 第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点． 所以第5个图中共有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46． 故选B． 考点：规律型：图形的变化类． 7. 如图，是的直径，C，D为圆上两点，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．先求出即可求出结论． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，在中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个选项判断即可． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． A、∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴． ∵不一定等于， ∴不一定成立， 故选项A不一定正确； B、∵， ∴． ∵， ∴ ∵不一定等于， ∴不一定成立， 故选项B不一定正确； C、∵， ∴． ∴， 故选项C错误； D、∵， ∴． ∴， 故选项D正确． 9. 如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H． 下列叙述正确的是( ) A. BH垂直平分线段AD B. AC平分∠BAD C. S△ABC=BC⋅AH D. AB=AD 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【详解】解：A．如图连接CD、BD， ∵CA=CD，BA=BD， ∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上， ∴直线BC是线段AD的垂直平分线， 故A正确，符合题意； B．CA不一定平分∠BDA， 故B错误，不符合题意； C．应该是S△ABC=•BC•AH，故C错误，不符合题意； D．根据条件AB不一定等于AD， 故D错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止．设点P的运动路程为(cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积(cm2)关于(cm)的函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象． 【详解】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x， 当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2， 符合题意的函数关系的图象是A； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】x≠3 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】由题意得，x−3≠0， 解得x≠3． 故答案为：x≠3． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 将多项式因式分解的结果是_______． 【答案】m（m+n）（m﹣n） 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： = =m（m+n）（m﹣n）． 故答案为m（m+n）（m﹣n）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 13. 已知：如图，在中，点在边上，，则_______度． 【答案】40 【解析】 【分析】根据等边对等角得到，再根据三角形外角的性质得到，故，由三角形的内角和即可求解的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和，熟练掌握几何知识并灵活运用是解题的关键． 14. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式的解集，取二者的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； ∴原不等式组的解集为． 15. 方程的两根之和为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】结合根与系数的关系计算两根之和即可． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之和为． 16. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为_______． 【答案】48 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：48． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键． 17. 定义：，则方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义列分式方程可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， 故答案为． 【点睛】本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键． 18. 平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与轴交于点，与轴交于点，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出一次函数图象与轴、轴的交点坐标，结合轴与轴垂直的性质，利用勾股定理计算线段的长度． 【详解】解：对于一次函数， 当图象与轴相交时，交点的纵坐标为0，令，代入函数得，解得， 点的坐标为， 当图象与轴相交时，交点的横坐标为0，令，代入函数得， ∴点的坐标为， 点为坐标原点， 点到原点的距离，点到原点的距离，且， 是直角三角形， 根据勾股定理，． 19. 在中，的平分线把分成长度是的两部分， 则的周长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线等知识．分情况求解是解题的关键． 如图，是的平分线交于，由，是的平分线，可得，则，由的平分线把分成长度是的两部分，分①，；②，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，是的平分线交于， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线把分成长度是的两部分， ∴分①，；②，两种情况求解； 当，时，， ∴的周长为； 当，时，， ∴的周长为； 综上所述，的周长是或， 故答案为：或． 20. 如图，中，，，点为上一点，连接并以为边作正方形，连接交于点，过点作的延长线于点，有如下结论：①；②四边形为矩形；③；④若，，则正方形的面积为17；上述全部正确的结论序号为___________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】利用同角的余角相等证明，从而得出线段关系；根据矩形的判定定理证明四边形为矩形；通过线段的和差代换验证等式；设，利用相似三角形性质表示出的长度，建立方程求解，进而计算正方形面积． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，故结论①正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，故结论②正确； 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，故结论③正确； ， ， 设，则， 四边形是矩形， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得（负值舍去）， 正方形的面积为， 故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①②③④． 三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25题、26题、27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：÷（﹣2），其中x＝2cos30°+tan45°． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算化简分式，再根据特殊角的三角函数值求出x的值，最后把x的值代入化简后的分式求出即可. 【详解】解：原式＝＝， 当x＝2×+1＝+1时，原式＝． 【点睛】本题考查了分式的混合运算和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，熟练进行分式的混合运算是解题的关键. 22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段和的端点、、、均在小正方形的顶点上． （1）画出，使得，且点在小正方形的顶点上； （2）画出以为腰的等腰，使得的面积为10，且点在小正方形的顶点上； （3）请直接写出四边形的面积为___________． 【答案】（1）解：根据题意，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下： 则即为所求． （3）2 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质，画图解答即可； （2）根据勾股定理，得；在正方形水平线上截取，且上的高为4，继而满足了的面积为，解答即可． （3）根据分割法求面积解答即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：如图所示， 四边形的面积为：． 23. 为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 选择意向 文学鉴赏 国际象棋 音乐舞蹈 书法 其他 所占百分比 根据统计图表的信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的学生总人数； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1300名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数． 【答案】（1）200人 （2） （3）455人 【解析】 【分析】（1）用“书法”的人数除以其所占的百分比即可求出抽样调查的学生总人数； （2）用总人数减去其余社团人数，进而求出“国际象棋”的人数，再把条形统计图补充即可； （3）用该校总人数乘以全校选择“音乐舞蹈”社团的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的学生总人数是：人； 【小问2详解】 解：选择“国际象棋”社团的学生人数为人， 统计图略； 【小问3详解】 解：全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数为人． 24. 已知，中，，、分别是、的中点，连接并延长至点，连接，且． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接交于点，若四边形是菱形，直接写出所有长为的倍的线段． 【答案】（1）证明：∵中，，、分别是、的中点， ∴是的中位线，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，即可得出结论； （2）先证明是等边三角形，再证明，证明，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 25. 某超市销售、两种型号的吉祥物，若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，共需要670元；若购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，共需要410元． （1）求、两种型号的吉祥物售价各为多少元？ （2）若种型号吉祥物的利润为5元/个，种型号吉祥物的利润为8元/个，超市预计销售出这两种吉祥物共90个，且售出种吉祥物的数量不少于种吉祥物的数量的一半，则销售出多少个种吉祥物时，总利润最大？并求出利润的最大值． 【答案】（1） 种型号吉祥物售价为40元，种型号吉祥物售价为50元 （2） 销售出30个种吉祥物时总利润最大，最大利润为630元 【解析】 【分析】（1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）设销售出个种吉祥物，总利润为元，根据“售出种型号吉祥物的数量不少于种型号吉祥物数量的一半”建立不等式，求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性，即可求解； 【小问1详解】 解：设种型号的吉祥物售价为元，种型号的吉祥物售价为元， 依题意得：，解得． 答：种型号吉祥物售价为40元，种型号吉祥物售价为50元． 【小问2详解】 解：设销售出个种吉祥物，则销售出个种吉祥物，总利润为元， 依题意得：，解得， ∴， 依题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时． 答：销售出30个种吉祥物时总利润最大，最大利润为630元． 26. 已知，四边形内接于，连接，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：取弧的中点，则， ∴ ， ∴ ∴ ． （2）证明：过点作于点，连接, 四边形内接于， , ， ，解得, 所对的圆心角, ， 为等腰三角形，, 由等腰三角形三线合一得：, 在中，，， , 由勾股定理： （3） 【解析】 【分析】（1）取弧的中点，则，再由圆周角定理证明即可． （2）已知，结合圆内接四边形对角互补：，先解出，再由圆周角定理：弧AC所对圆心角是圆周角的2倍，得到圆心角，是的等腰三角形，顶角，过圆心作弦的垂线，利用等腰三角形三线合一，分成两个含的直角三角形，借助勾股定理建立和半径之间的数量关系，完成证明； （3）承接前两小问结论：，，所以只要求出，就可以算出，由第(1)问结论，设，则，构造辅助点：在弧上取点，使，则弦；利用等弧对等圆周角倒角，证，得到，继续倒角推导：，推出，于是；继续倒角算出，作，得到含的，用设元，则，，，在中，用勾股定理列出关于的方程，解出方程即可解出此题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，，， 设，则，， 在弧上取一点，连接，，使，则， ， 在与中 ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 作于点， ∴， ， ， ， 在中， ， ， 解得 ， ， 由(2)得： 【点睛】本题是圆综合压轴，层层递进：第（1）问铺垫弧与圆周角的倍数关系；第（2）问铺垫角度、与半径的关系式；第(3)问依托前两问结论，采用构造等弧、全等转移线段、特殊角，勾股方程的思路，是初中圆综合典型的“倒角构造方程”解题模型． 27. 已知，平面直角坐标系中，直线交轴正半轴于点，交轴于点，且． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，取轴负半轴上一点，连接，点为第二象限内一点，连接、，若，设的正切值为，求与的函数解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交射线于点，当，时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用直角三角形边角关系求出长，得到点坐标；再用待定系数法求一次函数解析式； （2）把要求的角转化到直角三角形中的，利用正切定义建立，关系； （3）在轴正半轴取点，构造，结合得到等边；再利用对角互补证明，，，四点共圆，借助圆周角性质实现角的转化，结合上一问结论推导出；由、对顶角相等，证得，得到，接着作构造含的直角三角形，设未知数，利用勾股定理列方程求出，再根据舍去不合理解；最后在中，由算出正切值． 【小问1详解】 解：， ， ，， ， 由勾股定理： ， 设直线解析式为 ，代入得 。 把代入 ， 得： 解得： 直线的解析式：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 在轴负半轴，是直角三角形，， ∴， 又 ，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在轴正半轴取点，使，连接、， ，， 是等边三角形， ，， ，， 四点共圆， ，， 由（2）得， ， 即， ，， ， ， 如图，过点作于，， ， ∴， 设，则，，， 在中：， ∴， 解得，， 或， ， ，舍去， 此时，，， ∴， ． 【点睛】本题综合考查等边三角形判定、四点共圆、全等三角形、解直角三角形等初中几何核心知识。解题的关键是通过构造等边三角形搭建等角、等线段的转化桥梁，利用四点共圆转移角度，结合全等实现线段等量代换，最后借助勾股定理建立方程求解，体现了构造辅助线、转化思想与方程思想在几何综合题中的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $