专题08 勾股定理及其逆定理的常考题型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

专题08 勾股定理及其逆定理的常考题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、勾股定理与网格问题 题型二、勾股定理与折叠问题 题型三、以弦图为背景的计算题 题型四、最短路径问题 题型五、勾股定理的逆定理的拓展问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 勾股定理及其逆定理常考题型是初中几何核心重难点，所有题型均围绕直角三角形三边数量关系、图形变换中的等量转化、空间与平面的化归、由边判角四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是使用勾股定理必须确认三角形为直角三角形且找准斜边，二是使用逆定理及其拓展必须先确定最长边再比较两直角边平方和与最长边平方的大小关系，所有计算结果最终均需结合图形实际意义检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、勾股定理与网格问题 典例1 如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点（即小正方形的顶点）上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的值为（     ） A． B．5 C．4 D． 题型模版 一、题型特征 题干在正方形网格（小正方形边长通常为1）中给出格点三角形、格点多边形或格点线段，要求求线段长度、三角形周长/面积、判断三角形形状（直角/等腰/等边）、求角度或最短路径等。核心特征是“格点坐标化+勾股定理算边长”，解题关键是利用网格建立直角坐标系或直接数格子，将线段转化为直角三角形的斜边，用勾股定理求出长度。 二、解题方法 数格子定直角边：对于任意格点线段，将其看作某个直角三角形的斜边，水平方向和竖直方向的格数即为两条直角边的长度。例如线段两端点横向相差3格、纵向相差4格，则线段长为 。 三边求长判形状： 判断直角三角形：求出三边长后，验证是否满足 （ 为最长边），满足则为直角三角形。 判断等腰三角形：看是否有两边长相等。 判断等边三角形：三边长均相等（网格中等边三角形较少见，需特殊构造）。 求面积的技巧： 直角三角形：两直角边乘积的一半。 非直角三角形：用“割补法”——将三角形放入一个矩形中，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积；或用“皮克定理”（格点多边形面积=内部格点数+边界格点数÷2-1）。 求角度：若三角形三边满足勾股数（如3-4-5、5-12-13），则对应角为90°；若为等腰直角三角形（两边相等且满足 ），则底角为45°。 最短路径问题：网格中两点间最短路径即线段长度，直接用勾股定理；若需经过某条线（如河岸、墙壁），用“对称法”作对称点后连线求长。 三、易错提醒 数格子数错：横向/纵向格数数错，尤其是端点不在格点中心时，仔细数“间隔数”而非“点数”。 平方算错：如 而非 ，根号内先平方再相加，不可直接加。 判直角时选错边：验证 时， 必须是最长边，不能随便选一条边当斜边。 割补法漏减：用矩形减周围三角形时，漏掉某个小三角形或算错其面积，画图标注清楚。 根号未化简：如 应化简为 ， 化简为 ，结果保留最简二次根式。 四、解题底线 网格中任意两点间距离必可用勾股定理求出，关键是找准水平和竖直方向的直角边长度。 判断三角形形状时，必须先求出三边长，再根据边长关系下结论，不可凭视觉猜测。 变式1-1如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式1-2如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 变式1-3新定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)如图1，已知：中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连接，求证：四边形是等对四边形． (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点，，均在格点上，若点在格点上，且四边形是等对四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 类型二、勾股定理与折叠问题 典例2 在长方形中，，，，分别是边，上的点，将四边形沿翻折，，两点的对应点分别为，． (1)如图1，当点落在上，求证：； (2)如图2，若，点与点重合，求线段的长； (3)如图3，若，点恰好落在的中点，求线段的长． 题型模版 一、题型特征 题干以矩形、正方形、三角形等图形的折叠为背景，给出折痕位置或折叠后某点落在特定位置，要求求线段长度、图形面积、折痕长度或角度等。核心特征是"折叠前后对应部分全等+直角三角形中用勾股定理列方程"，解题关键是利用折叠的对称性找到相等的边和角，在合适的直角三角形中设未知数列方程求解。 二、解题方法 1.标记折叠等量关系：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等。在图中标出折叠后重合的线段和角，这是解题的突破口。常见结论：折痕是对应点连线的垂直平分线；折叠后落在边上的点，其到折痕两端距离等于原对应点到折痕两端的距离。 2.设未知数表边长：设所求线段（或与之相关的线段）为 x，利用折叠等量关系和图形原有边长，将直角三角形的三条边都用含 x的代数式表示。 3.找直角三角形列方程：在图中找到一个包含未知数 x的直角三角形（通常是折叠后形成的新直角三角形，或原图形中未被折叠破坏的直角三角形），用勾股定理 a2+b2=c2列出关于 x的方程。 4.解方程作答：解出 x的值，注意舍去不符合实际的解（如长度为负、超过图形边长等），结果保留最简形式。 三、常见折叠场景 矩形沿对角线折叠：折叠后顶点落在对边上，形成两个全等直角三角形和一个等腰三角形，利用"折叠边=原边"在剩余直角三角形中列方程。 矩形沿过顶点的直线折叠：折叠后一边落在对角线或邻边上，折痕为角平分线，利用折叠后对应边相等求线段长。 正方形折叠使顶点重合：折痕为两点连线的垂直平分线，常需设折痕与边的交点，用勾股定理求折痕长度。 直角三角形折叠：折叠后直角顶点落在斜边上，利用折叠前后直角边相等，在剩余小直角三角形中列方程。 四、易错提醒 折叠等量关系找错：把不对应的边当成相等，折叠后哪条边与哪条边重合必须看清，最好在图上标注。 直角三角形选错：列勾股定理时三条边不属于同一个直角三角形，确保 a、 b、 c来自同一个三角形。 方程列错：用含 x表示三边时算错，尤其是"原边长减去已知段"这类表达式，仔细核对。 多解未舍：解方程得到两个根，其中一个可能超出图形边长范围，需根据实际意义舍去。 漏用原有条件：矩形对边相等、正方形四边相等、直角三角形原有边长等条件要与折叠等量关系结合使用。 五、解题底线 折叠问题的核心是"全等"，必须先找出所有折叠前后的相等边和相等角，再动手列方程。 勾股定理只能在直角三角形中使用，列方程前务必确认所选三角形的确有一个直角。 变式2-1如图，中，，，，，，，P是直线AC上一点，把沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上，求线段CP的长度________． 变式2-2在中，是的中点，将沿直线折叠得到，连接，则线段的长为____________． 变式2-3如图，正方形的面积为144，H是边上的一个动点，将正方形沿过点H的直线折叠（点G在边上）． （1）若，则__________． （2）若点D的对应点E恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是__________． 题型三、以弦图为背景的计算题 典例3 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 题型模版 一、题型特征 题干以赵爽弦图（四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间形成一个小正方形）为背景，给出直角三角形的边长、大正方形或小正方形的面积/边长等信息，要求求未知边长、面积、勾股关系或代数式的值。核心特征是"弦图即勾股定理的几何模型"，解题关键是识别弦图中各部分的数量关系：大正方形边长为斜边 ，小正方形边长为两直角边之差 ，四个直角三角形面积之和加上小正方形面积等于大正方形面积。 二、解题方法 记弦图基本关系：设直角三角形两直角边为 、 （ ），斜边为 ，则： 大正方形边长 = ，面积 = 小正方形边长 = ，面积 = 四个直角三角形面积之和 = 面积关系： （即勾股定理） 根据已知列方程： 已知大正方形面积和小正方形面积，求直角三角形边长：由 和 联立 求出 ，再结合 解方程组。 已知直角三角形两边，求正方形面积：直接用勾股定理求 得大正方形面积，用 得小正方形面积。 已知面积关系求代数式：如已知 和 ，求 。 灵活变形：弦图常与完全平方公式结合考查，熟记以下恒等变形： 三、易错提醒 小正方形边长搞错：小正方形边长是 （两直角边之差），而非 或 等。 面积关系列错：大正方形面积 = 小正方形面积 + 四个直角三角形面积，不要漏掉某一部分。 勾股定理用反：把直角边当斜边，弦图中大正方形的边长一定是斜边 。 代数变形出错：完全平方公式展开时符号或系数算错，如 不要漏掉 。 单位遗漏：求面积时忘记写平方单位，求边长时忘记写长度单位。 四、解题底线 弦图的本质是勾股定理的面积证法，所有计算都围绕 和面积分解展开。 遇到弦图先标出 、 、 和大、小正方形的边长，理清数量关系再动手计算。 变式3-1在北京召开的第届国际数学家大会会标（图）以“赵爽弦图”为原型设计，图是该会标的几何抽象示意图，其中四个直角三角形全等，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，是的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式3-2公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”． 两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3-3如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，现有以下结论：①正方形的面积为；②；③是的中点；④．其中正确的是________． 题型四、最短路径问题 典例4 如图，一个圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处爬行的最短路线长（杯壁厚度不计）为________． 题型模版 一、题型特征 题干给出立体图形（圆柱、长方体、台阶等）或平面折线场景，要求求两点之间的最短路径长度。核心特征是"化曲为直、化折为直"，解题关键是通过展开、对称等变换将路径转化为平面上两点间的线段，再用勾股定理求长度。 二、解题方法 立体图形展开法（圆柱、长方体、台阶）： 圆柱侧面：沿母线剪开展成矩形，矩形长为底面周长 （或半周长 ，取决于起点终点位置），宽为圆柱高 。两点间最短路径即展开图中两点连线的长度，用勾股定理求。 长方体表面：将相邻两个面展开到同一平面，使起点和终点落在展开后的矩形对角线上。注意长方体有三种展开方式（前+上、前+右、上+右等），需分别计算取最小值。 台阶问题：将所有台阶的水平面和竖直面依次展开成一个大矩形，长为所有水平段之和，宽为所有竖直段之和，对角线即为最短路径。 平面"将军饮马"对称法： 两点在直线同侧，求直线上一点使到两点距离之和最小：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求，最短距离用勾股定理求。 两点在直线异侧：直接连线即为最短路径。 多段路径问题：若需经过两条或更多直线（如河岸+草地），依次作对称点，将折线拉直为线段后求长。 三、易错提醒 展开方式选错：长方体表面展开有多种方式，只算一种可能漏掉更短的路径，务必比较所有可能的展开方案。 圆柱展开长度算错：若蚂蚁绕圆柱半圈，展开矩形的长是 而非 ；绕一整圈才是 ，看清题干描述。 对称点作错：将军饮马问题中，对称点应关于"路径必须经过的那条直线"作对称，不要对称错直线。 直角边找错：展开或对称后，构造直角三角形时两条直角边对应的是水平距离和竖直距离，不要混淆。 单位不统一：如圆柱底面半径用cm、高用m，计算前需统一单位。 四、解题底线 两点之间线段最短是所有最短路径问题的根本依据，展开和对称都是为了把路径"拉直"成线段。 求出路径长度后，检查是否符合实际场景（如是否真的在图形表面上、是否经过指定直线）。 变式4-1如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁处沿着最短路径到达内壁处． (1)如图是杯子的侧面展开图，请在杯沿上确定一点，使蚂蚁沿路线爬行，距离最短． (2)结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长． 变式4-2“数形结合”和“建模思想”是很重要的数学思想方法，阅读并解决以下问题． 【提出问题】求的最小值． 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边为和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，，，问题就转为“在上求点B，使最小”问题． 如图2，连接交于点B，此时的最小值即为的长度．将延长至点H，使得，连接．则，，…… (1)【解决问题】的最小值为________； (2)【知识应用1】代数式的最小值为________； (3)【知识应用2】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为________． (4)【思维拓展】已知正数x满足，求x的值． 变式4-3问题提出 (1)如图①，点分别在直线的两侧，于点于点，若，是直线上一动点，则的最小值为______； 问题探究 (2)如图②，点在直线的同一侧，于点于点，若，是直线上一动点，求的最小值； 问题解决 (3)某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点，如图③，是两条互相垂直的旅游大道，是位于河中的两座休闲小岛，且岛与的距离分别为，岛与的距离分别为，现计划在旅游大道上选一点，修建桥梁，通往两岛，并修建桥梁，将两岛连起来，为了控制成本，要求修建桥梁的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求修建桥梁总长度的最小值．（结果保留根号） 题型五、勾股定理的逆定理的拓展问题 典例5 在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 题型模版 一、题型特征 题干给出三角形三边长（或含参数的表达式），要求判断三角形形状；或给出三边满足的代数关系（如 、 等），判断三角形是直角、锐角还是钝角三角形；也可能结合网格、折叠、动点等场景，要求判断某三角形是否为直角三角形。核心特征是"由边长关系反推角的性质"，解题关键是先确定最长边，再验证三边是否满足勾股关系或其推广形式。 二、解题方法 记逆定理及拓展结论： 若三角形三边 、 、 （设 为最长边）满足 ，则三角形为直角三角形，且 所对的角为直角。 若 ，则三角形为锐角三角形（最大角为锐角）。 若 ，则三角形为钝角三角形（最大角为钝角）。 确定最长边：无论题干给出具体数值还是含参表达式，先比较三边大小，找出最长边（或最长边的表达式），将其作为 。 计算验证：分别计算 和 ，比较两者大小关系，根据上述结论判断三角形形状。 含参问题分类讨论：若三边含参数，可能需要根据参数取值范围讨论哪条边最长，再分别验证。例如三边为 、 、 ，需分 为最长边（ ）和 为最长边（ ）两种情况讨论。 结合其他条件综合判断：若题干还给出角度、面积、周长等条件，需与逆定理结论结合，进一步确定参数值或三角形具体形状（如等腰直角三角形）。 三、易错提醒 最长边找错：未比较三边大小就直接套用公式，如三边为 、 、 ，最长边是 而非 或 。 不等号方向反：把 当成钝角三角形，正确应为锐角三角形，可记"大于锐、小于钝"。 漏讨论参数范围：含参问题中未讨论哪条边最长，直接默认某条边为最长边，导致漏解或错解。 忽略三角形存在条件：求出参数后未验证三边是否满足"任意两边之和大于第三边"，导致三角形不存在。 计算平方出错：尤其是含根号或小数的边长，平方时算错，如 而非 。 四、解题底线 使用逆定理及其拓展时，必须先确定最长边 ，再比较 与 的关系，顺序不可颠倒。 含参问题务必分类讨论最长边，并验证三角形存在的条件（三边关系）。 变式5-1阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 变式5-2定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 变式5-3先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．以，，为边能构成一个直角三角形，则点的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 2．如图，在中，，点在边上，将边沿折叠，点恰好落在边上的点处，再将折叠，使其落在直线上，点落在点处，折痕为，若，，则（   ）． A． B．6 C． D．5 3．如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，有一棱长为厘米的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需线绳的长至少为（     ）厘米． A． B． C． D． 5．如图，长方体的长为15 cm，宽为，高为，点B离点C的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 6．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 7．如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为________． 8．如图，在中，，，，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点B落在上的点D处，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 _____． 9．如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 10．如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 11．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 12．如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．那么正方形的边长为_______． 13．定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“和谐点”．例如：平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如图1，当最大时，若，则点就是的“和谐点”． (1)如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接，证明点是的“和谐点”． (2)如图3，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点是的“和谐点”，请直接写出的长． 14．如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． (1)当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； (2)当与的边垂直时，求线段的长． 15．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 16．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 17．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 18． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理及其逆定理的常考题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、勾股定理与网格问题 题型二、勾股定理与折叠问题 题型三、以弦图为背景的计算题 题型四、最短路径问题 题型五、勾股定理的逆定理的拓展问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 勾股定理及其逆定理常考题型是初中几何核心重难点，所有题型均围绕直角三角形三边数量关系、图形变换中的等量转化、空间与平面的化归、由边判角四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是使用勾股定理必须确认三角形为直角三角形且找准斜边，二是使用逆定理及其拓展必须先确定最长边再比较两直角边平方和与最长边平方的大小关系，所有计算结果最终均需结合图形实际意义检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、勾股定理与网格问题 典例1 如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点（即小正方形的顶点）上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的值为（     ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，，再由勾股定理计算得出，从而可得，代入，结合二次根式的乘法法则计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∴， ∴． 题型模版 一、题型特征 题干在正方形网格（小正方形边长通常为1）中给出格点三角形、格点多边形或格点线段，要求求线段长度、三角形周长/面积、判断三角形形状（直角/等腰/等边）、求角度或最短路径等。核心特征是“格点坐标化+勾股定理算边长”，解题关键是利用网格建立直角坐标系或直接数格子，将线段转化为直角三角形的斜边，用勾股定理求出长度。 二、解题方法 数格子定直角边：对于任意格点线段，将其看作某个直角三角形的斜边，水平方向和竖直方向的格数即为两条直角边的长度。例如线段两端点横向相差3格、纵向相差4格，则线段长为 。 三边求长判形状： 判断直角三角形：求出三边长后，验证是否满足 （ 为最长边），满足则为直角三角形。 判断等腰三角形：看是否有两边长相等。 判断等边三角形：三边长均相等（网格中等边三角形较少见，需特殊构造）。 求面积的技巧： 直角三角形：两直角边乘积的一半。 非直角三角形：用“割补法”——将三角形放入一个矩形中，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积；或用“皮克定理”（格点多边形面积=内部格点数+边界格点数÷2-1）。 求角度：若三角形三边满足勾股数（如3-4-5、5-12-13），则对应角为90°；若为等腰直角三角形（两边相等且满足 ），则底角为45°。 最短路径问题：网格中两点间最短路径即线段长度，直接用勾股定理；若需经过某条线（如河岸、墙壁），用“对称法”作对称点后连线求长。 三、易错提醒 数格子数错：横向/纵向格数数错，尤其是端点不在格点中心时，仔细数“间隔数”而非“点数”。 平方算错：如 而非 ，根号内先平方再相加，不可直接加。 判直角时选错边：验证 时， 必须是最长边，不能随便选一条边当斜边。 割补法漏减：用矩形减周围三角形时，漏掉某个小三角形或算错其面积，画图标注清楚。 根号未化简：如 应化简为 ， 化简为 ，结果保留最简二次根式。 四、解题底线 网格中任意两点间距离必可用勾股定理求出，关键是找准水平和竖直方向的直角边长度。 判断三角形形状时，必须先求出三边长，再根据边长关系下结论，不可凭视觉猜测。 变式1-1如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由网格可知，，使用勾股定理计算出，再求出即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，， 在中，， ∴． 变式1-2如图所示的网格是正方形网格，则_______°（点，，是网格线交点）． 【答案】45 【分析】本题考查正方形网格中的角度计算，解题核心是通过构造辅助线，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，求出相关角的度数，再计算差值． 【详解】解：如图所示，连接各格点， ，，， ， ，， ，， ， 变式1-3新定义：对角线相等的四边形是等对四边形． (1)如图1，已知：中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连接，求证：四边形是等对四边形． (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点，，均在格点上，若点在格点上，且四边形是等对四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）连接，证明得出，结合新定义，即可得证． （2）根据等对四边形的定义得出，结合网格特点和勾股定理找到点，再根据勾股定理求得线段的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴四边形是等对四边形． （2）解：如图所示， ∵点在格点上，且四边形是等对四边形， ∴， ∴，，． 类型二、勾股定理与折叠问题 典例2 在长方形中，，，，分别是边，上的点，将四边形沿翻折，，两点的对应点分别为，． (1)如图1，当点落在上，求证：； (2)如图2，若，点与点重合，求线段的长； (3)如图3，若，点恰好落在的中点，求线段的长． 【答案】(1)证明：由题意得，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）由长方形的性质及折叠的性质证出，再根据等角对等边即可得出结论． （2）由折叠的性质可得，即，设，则，利用勾股定理可得，解方程求出的长，由（1）的结论求出的长即可得到答案； （3）延长交的延长线于点，证明，得出，，设，，则可证明，同理可证明，则可得到，根据，推出，由勾股定理得出，进而求出，则可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，，，， 由折叠的性质可得，即， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 由（1）得，即， ∴； （3）解：如图所示，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴设，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 题型模版 一、题型特征 题干以矩形、正方形、三角形等图形的折叠为背景，给出折痕位置或折叠后某点落在特定位置，要求求线段长度、图形面积、折痕长度或角度等。核心特征是"折叠前后对应部分全等+直角三角形中用勾股定理列方程"，解题关键是利用折叠的对称性找到相等的边和角，在合适的直角三角形中设未知数列方程求解。 二、解题方法 1.标记折叠等量关系：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等。在图中标出折叠后重合的线段和角，这是解题的突破口。常见结论：折痕是对应点连线的垂直平分线；折叠后落在边上的点，其到折痕两端距离等于原对应点到折痕两端的距离。 2.设未知数表边长：设所求线段（或与之相关的线段）为 x，利用折叠等量关系和图形原有边长，将直角三角形的三条边都用含 x的代数式表示。 3.找直角三角形列方程：在图中找到一个包含未知数 x的直角三角形（通常是折叠后形成的新直角三角形，或原图形中未被折叠破坏的直角三角形），用勾股定理 a2+b2=c2列出关于 x的方程。 4.解方程作答：解出 x的值，注意舍去不符合实际的解（如长度为负、超过图形边长等），结果保留最简形式。 三、常见折叠场景 矩形沿对角线折叠：折叠后顶点落在对边上，形成两个全等直角三角形和一个等腰三角形，利用"折叠边=原边"在剩余直角三角形中列方程。 矩形沿过顶点的直线折叠：折叠后一边落在对角线或邻边上，折痕为角平分线，利用折叠后对应边相等求线段长。 正方形折叠使顶点重合：折痕为两点连线的垂直平分线，常需设折痕与边的交点，用勾股定理求折痕长度。 直角三角形折叠：折叠后直角顶点落在斜边上，利用折叠前后直角边相等，在剩余小直角三角形中列方程。 四、易错提醒 折叠等量关系找错：把不对应的边当成相等，折叠后哪条边与哪条边重合必须看清，最好在图上标注。 直角三角形选错：列勾股定理时三条边不属于同一个直角三角形，确保 a、 b、 c来自同一个三角形。 方程列错：用含 x表示三边时算错，尤其是"原边长减去已知段"这类表达式，仔细核对。 多解未舍：解方程得到两个根，其中一个可能超出图形边长范围，需根据实际意义舍去。 漏用原有条件：矩形对边相等、正方形四边相等、直角三角形原有边长等条件要与折叠等量关系结合使用。 五、解题底线 折叠问题的核心是"全等"，必须先找出所有折叠前后的相等边和相等角，再动手列方程。 勾股定理只能在直角三角形中使用，列方程前务必确认所选三角形的确有一个直角。 变式2-1如图，中，，，，，，，P是直线AC上一点，把沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上，求线段CP的长度________． 【答案】或10 【分析】分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：当P点在E点左边时，如图1， 由折叠性质得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 设，则，， ∵， ∴ ， 解得，， 即； 当P点在E点右边时，如图2， 由折叠知，， ∴， 设，则，， ∵ ， ∴， 解得，， 即； 综上，或10． 变式2-2在中，是的中点，将沿直线折叠得到，连接，则线段的长为____________． 【答案】 【分析】如图，连接交于点，作，垂足为．首先证明垂直平分线段是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点，作，垂足为． ∵在中，， ， ∵为的中点， ， ， ， 解得：， 由翻折的性质可知， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中：． 变式2-3如图，正方形的面积为144，H是边上的一个动点，将正方形沿过点H的直线折叠（点G在边上）． （1）若，则__________． （2）若点D的对应点E恰好落在边上的三等分点处，则线段的长是__________． 【答案】 或 【分析】（1）根据题意可得，再由四边形是正方形，可得，即可得； （2）由正方形的面积为144，可得，由E为的三等分点，可得或，再由折叠可知，设，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可得，， ∵， ∴， ∵H是边上的一个动点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． （2）∵正方形的面积为144， ∴正方形的边长为12，即， ∵E为的三等分点， ∴或， 由折叠可知， 设，则， 当时， 在中，， ∴， 解得； 当时， 在中，， ∴， 解得； 综上所述，的长为或． 题型三、以弦图为背景的计算题 典例3 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【答案】C 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断A、B；结合三角形全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出，直接计算即可判断D． 【详解】解：A、设，则， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ， 则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ， ， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 题型模版 一、题型特征 题干以赵爽弦图（四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间形成一个小正方形）为背景，给出直角三角形的边长、大正方形或小正方形的面积/边长等信息，要求求未知边长、面积、勾股关系或代数式的值。核心特征是"弦图即勾股定理的几何模型"，解题关键是识别弦图中各部分的数量关系：大正方形边长为斜边 ，小正方形边长为两直角边之差 ，四个直角三角形面积之和加上小正方形面积等于大正方形面积。 二、解题方法 记弦图基本关系：设直角三角形两直角边为 、 （ ），斜边为 ，则： 大正方形边长 = ，面积 = 小正方形边长 = ，面积 = 四个直角三角形面积之和 = 面积关系： （即勾股定理） 根据已知列方程： 已知大正方形面积和小正方形面积，求直角三角形边长：由 和 联立 求出 ，再结合 解方程组。 已知直角三角形两边，求正方形面积：直接用勾股定理求 得大正方形面积，用 得小正方形面积。 已知面积关系求代数式：如已知 和 ，求 。 灵活变形：弦图常与完全平方公式结合考查，熟记以下恒等变形： 三、易错提醒 小正方形边长搞错：小正方形边长是 （两直角边之差），而非 或 等。 面积关系列错：大正方形面积 = 小正方形面积 + 四个直角三角形面积，不要漏掉某一部分。 勾股定理用反：把直角边当斜边，弦图中大正方形的边长一定是斜边 。 代数变形出错：完全平方公式展开时符号或系数算错，如 不要漏掉 。 单位遗漏：求面积时忘记写平方单位，求边长时忘记写长度单位。 四、解题底线 弦图的本质是勾股定理的面积证法，所有计算都围绕 和面积分解展开。 遇到弦图先标出 、 、 和大、小正方形的边长，理清数量关系再动手计算。 变式3-1在北京召开的第届国际数学家大会会标（图）以“赵爽弦图”为原型设计，图是该会标的几何抽象示意图，其中四个直角三角形全等，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，是的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，可得， ，，求解，，如图，连接，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 如图，连接，过作于， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式3-2公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”． 两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个判断：①；②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边长为c，由此可得，，根据勾股定理以及正方形的面积公式可判断①；小正方形的边长为，则，由此可求出，，可判断②；由得到，，即，根据正方形的面积公式可判断③；当点是的中点时，，即，推出，根据正方形面积公式可判断④，即可得出结论． 【详解】解：设“赵爽弦图”中直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，斜边长为，则小正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴，， ∴，故②正确； 当时，则有， ∴，即， ∴，故③正确； 当点是的中点时，，即， ∴，即， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确结论的个数是3个． 变式3-3如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，现有以下结论：①正方形的面积为；②；③是的中点；④．其中正确的是________． 【答案】①②③ 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断①和②；结合三角形全等的判定与性质即可判断③；结合前面的推导得出，直接计算即可判断④． 【详解】解：①设，则，， 四个相同的直角三角形（，，，）， ，，， ∴， ∴四边形是正方形， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， ∴正方形的面积为，故①正确； ②在中，，故②正确； ③在正方形中，，则， ， ， ∵，， ∴， ，即是的中点，故③正确； ④由前面的求解过程可知，， ∴，故④错误． 综上可知，正确的是①②③． 题型四、最短路径问题 典例4 如图，一个圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处爬行的最短路线长（杯壁厚度不计）为________． 【答案】 【分析】圆柱侧面展开，因为蚂蚁要从外壁爬到内壁，需要作A关于杯口边缘的对称点；A、B位置相对，水平距离是底面半周长；算出竖直方向距离为，最后用勾股定理求出最短路径长． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面（局部）展开，并标示字母，，作点关于直线的对称点，连接，则的长即为最短距离， 过点作，交的延长线于点， 则，， 在中，由勾股定理得， 所以， 即蚂蚁从外壁处到内壁处爬行的最短路线长为． 题型模版 一、题型特征 题干给出立体图形（圆柱、长方体、台阶等）或平面折线场景，要求求两点之间的最短路径长度。核心特征是"化曲为直、化折为直"，解题关键是通过展开、对称等变换将路径转化为平面上两点间的线段，再用勾股定理求长度。 二、解题方法 立体图形展开法（圆柱、长方体、台阶）： 圆柱侧面：沿母线剪开展成矩形，矩形长为底面周长 （或半周长 ，取决于起点终点位置），宽为圆柱高 。两点间最短路径即展开图中两点连线的长度，用勾股定理求。 长方体表面：将相邻两个面展开到同一平面，使起点和终点落在展开后的矩形对角线上。注意长方体有三种展开方式（前+上、前+右、上+右等），需分别计算取最小值。 台阶问题：将所有台阶的水平面和竖直面依次展开成一个大矩形，长为所有水平段之和，宽为所有竖直段之和，对角线即为最短路径。 平面"将军饮马"对称法： 两点在直线同侧，求直线上一点使到两点距离之和最小：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求，最短距离用勾股定理求。 两点在直线异侧：直接连线即为最短路径。 多段路径问题：若需经过两条或更多直线（如河岸+草地），依次作对称点，将折线拉直为线段后求长。 三、易错提醒 展开方式选错：长方体表面展开有多种方式，只算一种可能漏掉更短的路径，务必比较所有可能的展开方案。 圆柱展开长度算错：若蚂蚁绕圆柱半圈，展开矩形的长是 而非 ；绕一整圈才是 ，看清题干描述。 对称点作错：将军饮马问题中，对称点应关于"路径必须经过的那条直线"作对称，不要对称错直线。 直角边找错：展开或对称后，构造直角三角形时两条直角边对应的是水平距离和竖直距离，不要混淆。 单位不统一：如圆柱底面半径用cm、高用m，计算前需统一单位。 四、解题底线 两点之间线段最短是所有最短路径问题的根本依据，展开和对称都是为了把路径"拉直"成线段。 求出路径长度后，检查是否符合实际场景（如是否真的在图形表面上、是否经过指定直线）。 变式4-1如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁处沿着最短路径到达内壁处． (1)如图是杯子的侧面展开图，请在杯沿上确定一点，使蚂蚁沿路线爬行，距离最短． (2)结合图，求出蚂蚁爬行的最短路径长． 【答案】(1) 如图，作点关于的对称点，连接交于点， 点即为所求． (2) 【分析】（1）根据将军饮马模型先作点关于的对称点，利用轴对称的性质，两点之间，线段最短的性质解答即可； （2）过点作于点，根据已知条件，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）详解见答案． （2）解：过点作于点，如图所示， 根据题意和小问（1）可得四边形是矩形，点为的中点，，的长就是蚂蚁爬行的最短路径长， 点关于的对称点是， ， 点距离杯底， ， 四边形是矩形， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， 蚂蚁爬行的最短路径长为． 变式4-2“数形结合”和“建模思想”是很重要的数学思想方法，阅读并解决以下问题． 【提出问题】求的最小值． 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边为和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，，，问题就转为“在上求点B，使最小”问题． 如图2，连接交于点B，此时的最小值即为的长度．将延长至点H，使得，连接．则，，…… (1)【解决问题】的最小值为________； (2)【知识应用1】代数式的最小值为________； (3)【知识应用2】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为________． (4)【思维拓展】已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1)． (2)． (3) km． (4)． 【分析】（1）按题干模型， 的最小值等于 的长，在直角边为 、 的直角三角形中用勾股定理求 ； （2）把 、 看作两条共线直角边 、 上的斜边，最小值等于直角边为 与 的直角三角形的斜边长； （3）桥长固定为河宽 ，把点 沿垂直于河岸的方向平移一个河宽，用“两点之间线段最短”求 的最小值，再加上桥长； （4）是模型的逆向运用：把 、 看作斜边为 、、公共直角边为 的两个直角三角形的另一条直角边，由 用勾股定理的逆定理与等积法求 ． 【详解】（1）解：如图，由题干的模型，，，， 的最小值即为 的长． ∵ ，，， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． （2）解：如图，在直线 上取 ，作 于点 ，；作 于点 ，，点 、 在 的两侧． 在 上取点 ，使 ，则 ， ∴ ，， ∵ ，当点 在线段 上时取等号， ∴ 代数式的最小值即为 的长． 过点 作 ，交 的延长线于点 ， 则四边形 是长方形，，，， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． （3）解：∵ 桥 垂直于河岸，河宽 ， ∴ ，从 到 的路程为 ． 如图，将点 沿垂直于河岸的方向向对岸平移 ，得点 ，连接 、． ∵ ，且 km， ∴ 四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ，当 、、 三点共线时取等号． 过点 作 于点 ，其中 是过点 的河岸垂线， ∵ 平移的距离等于河宽， ∴ 点 到北岸的距离等于点 到南岸的距离，即 ， ∵ 点 到北岸的距离为 km，且点 、 在北岸的两侧， ∴ ()， ，， ∴ ()， ∴ 最短路程为 ()． （4）解：如图，把 看作斜边为 、一条直角边为 的直角三角形的另一条直角边，把 看作斜边为 、一条直角边为 的直角三角形的另一条直角边． 构造两个直角三角形，使它们有公共直角边 ，直角顶点重合于点 ，且点 、 在直线 的两侧，连接 、，则 ，，，，，且点 、、 在同一条直线上． ∵ ， ∴ ，即 ． ∵ ， ∴ （勾股定理的逆定理）， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ． 经检验，当 时，，符合题意， ∴ ． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、“两点之间线段最短”，以及构造直角三角形求最值的方法；解题关键是读懂题干的模型：两条被开方数对应共线直角边上的两条斜边，其和的最小值等于以“水平总长”与“竖直线段之和”为直角边的直角三角形的斜边长；第（4）问是模型的逆向运用，由 得直角三角形，再用等积法求出公共直角边 的长． 变式4-3问题提出 (1)如图①，点分别在直线的两侧，于点于点，若，是直线上一动点，则的最小值为______； 问题探究 (2)如图②，点在直线的同一侧，于点于点，若，是直线上一动点，求的最小值； 问题解决 (3)某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点，如图③，是两条互相垂直的旅游大道，是位于河中的两座休闲小岛，且岛与的距离分别为，岛与的距离分别为，现计划在旅游大道上选一点，修建桥梁，通往两岛，并修建桥梁，将两岛连起来，为了控制成本，要求修建桥梁的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求修建桥梁总长度的最小值．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线, 交的延长线于点，连接，根据两点之间线段最短，得到三点共线时，的值最小为的长，根据勾股定理进行求解即可； （2）作点关于直线的对称点，过点作，交的延长线于点，连接，得到，进而得到当三点共线时，最小为的长，再利用勾股定理求解即可； （3）作点关于的对称点连接交于点G，连接，过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点，根据为定值，得到的最小值在最小时取得，得到的最小值为，根据勾股定理分别求出的长，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线, 交的延长线于点，连接， 由图可知, ， 共线时，最小， ，，， ，， ， ， ， 最小值是； （2）解：如解图①，作点关于直线的对称点，过点作，交的延长线于点，连接， 由对称性可得， ， 当三点共线时，取最小值，即为线段的长， ，，， ，， ， ， 在中，由勾股定理可得， 的最小值是； （3）解：如解图②，作点关于的对称点连接交于点G，连接，过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由题意可得， ， ， 在中，由勾股定理可得， 由对称性可得， 的最小值为， ， 在中，由勾股定理可得， 修建桥梁总长度的最小值为． 题型五、勾股定理的逆定理的拓展问题 典例5 在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 题型模版 一、题型特征 题干给出三角形三边长（或含参数的表达式），要求判断三角形形状；或给出三边满足的代数关系（如 、 等），判断三角形是直角、锐角还是钝角三角形；也可能结合网格、折叠、动点等场景，要求判断某三角形是否为直角三角形。核心特征是"由边长关系反推角的性质"，解题关键是先确定最长边，再验证三边是否满足勾股关系或其推广形式。 二、解题方法 记逆定理及拓展结论： 若三角形三边 、 、 （设 为最长边）满足 ，则三角形为直角三角形，且 所对的角为直角。 若 ，则三角形为锐角三角形（最大角为锐角）。 若 ，则三角形为钝角三角形（最大角为钝角）。 确定最长边：无论题干给出具体数值还是含参表达式，先比较三边大小，找出最长边（或最长边的表达式），将其作为 。 计算验证：分别计算 和 ，比较两者大小关系，根据上述结论判断三角形形状。 含参问题分类讨论：若三边含参数，可能需要根据参数取值范围讨论哪条边最长，再分别验证。例如三边为 、 、 ，需分 为最长边（ ）和 为最长边（ ）两种情况讨论。 结合其他条件综合判断：若题干还给出角度、面积、周长等条件，需与逆定理结论结合，进一步确定参数值或三角形具体形状（如等腰直角三角形）。 三、易错提醒 最长边找错：未比较三边大小就直接套用公式，如三边为 、 、 ，最长边是 而非 或 。 不等号方向反：把 当成钝角三角形，正确应为锐角三角形，可记"大于锐、小于钝"。 漏讨论参数范围：含参问题中未讨论哪条边最长，直接默认某条边为最长边，导致漏解或错解。 忽略三角形存在条件：求出参数后未验证三边是否满足"任意两边之和大于第三边"，导致三角形不存在。 计算平方出错：尤其是含根号或小数的边长，平方时算错，如 而非 。 四、解题底线 使用逆定理及其拓展时，必须先确定最长边 ，再比较 与 的关系，顺序不可颠倒。 含参问题务必分类讨论最长边，并验证三角形存在的条件（三边关系）。 变式5-1阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 变式5-2定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1) 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 变式5-3先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，； （2）直角三角形，证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）略 （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．以，，为边能构成一个直角三角形，则点的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】先利用勾股定理计算出、的长度平方，再分三种情况讨论以、、为边构成直角三角形时可能的长度，最后在网格中找出满足条件的点的位置数量． 【详解】解：计算各边长度的平方：，． 分三种情况讨论： 情况：为斜边，、为直角边： 即．在网格中，从出发，水平或垂直移动个单位，有处． 情况：为斜边： 边长平方不能为负，此情况不成立． 情况：为斜边，、为直角边： ． 即．在网格中，满足的格点，有处． ∴点的位置如图所示． ∴满足条件的点共有处． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和网格中的点坐标计算，解题关键是分情况讨论直角三角形的斜边，通过计算边长平方确定的可能长度，再在网格中找到对应点． 2．如图，在中，，点在边上，将边沿折叠，点恰好落在边上的点处，再将折叠，使其落在直线上，点落在点处，折痕为，若，，则（   ）． A． B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】利用折叠性质推导角度，得出，同时得到垂直关系与线段相等，先求出，最后在中借助勾股定理求出． 【详解】解：由折叠性质：， ， 即， ∴， 沿折叠，落在处， ， 即，． 在中：，， 是等腰直角三角形，． 由第二次折叠得：， ， 在中，，，， ∴． 3．如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将木块的表面展开，利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知， ，， 由勾股定理可得， （）． 4．如图，有一棱长为厘米的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需线绳的长至少为（     ）厘米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把经过的四个面按箭头方向依次展开到同一平面，用两点之间线段最短求最短绳长． 【详解】解：将正方体经过的四个面 、、、 按箭头方向依次展开到同一平面内， 展开后点 与点 之间的水平距离为 （厘米），竖直距离为 （厘米）， ∴最短绳长为 （厘米）， ∴所需线绳的长至少为 厘米， 故选：C． 5．如图，长方体的长为15 cm，宽为，高为，点B离点C的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照三种不同的展开方式，结合勾股定理分别求出每种方式的爬行距离，再比较即可得出最短距离． 【详解】解：分情况讨论： 第一种：将上图的前面和上面两个面展开在一个平面内，如图， 此时蚂蚁从点A沿直线爬到点B距离最短，最短距离为的长度， 利用勾股定理有：； 第二种：将上图的前面和右面两个面展开在一个平面内，如图， 同理有：； 第三种：将上图的底面和右面两个面展开在一个平面内，如图， 同理有：； ∵，，， ∴， 综上：需要爬行的最短距离是． 6．在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 7．如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，整式的运算，正确数形结合分析是解题关键． 根据图形，由勾股定理得出的长度，再得出、的值，即可求出的值． 【详解】解：观察图像可得， ∴， 故，， ∵， ∵， ， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，，，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点B落在上的点D处，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 _____． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当时，此时点C、点F重合，可得；②当时，此时点D、点C重合，可得，即可求出答案． 【详解】解：当是以为腰的三角形时，分两种情况： ①当时，如图1， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且是由沿直线翻折得到， 根据翻折性质可得：， ∴点C、点F重合， ∵，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， ∵点C、点F重合， ∴， ∴； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵，且是由沿直线翻折得到， 根据翻折性质可得：， ∴点D、点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴； 故答案为：或． 9．如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 【答案】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，根据折叠的性质可知；根据折叠的性质可知，，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠可知，， ； 在中，，，， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； 10．如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 【答案】 【分析】根据折叠计算可得，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：， ， 由折叠得，，，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 11．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______． 【答案】 【分析】根据，得出，证明，得出，,勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形、、均为正方形， ∴，，， ∴， ∴，, 在中， ∴． 12．如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．那么正方形的边长为_______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质及正方形的性质可得出，；由勾股定理得出，设，解方程，得出，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴正方形的边长是． 13．定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“和谐点”．例如：平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，如图1，当最大时，若，则点就是的“和谐点”． (1)如图2，为等边三角形，过点作的垂线，点在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接，证明点是的“和谐点”． (2)如图3，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点是的“和谐点”，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：连接， 和都是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 在中，， ， ∴点是的和谐点 (2)或或2 【分析】（1）根据和都是等边三角形，可得，同时，，可证明，得到，根据，所以在中，，用替换，得到，即可证明点是的“和谐点”． （2）如图3所示：①当最长时：可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时；②当最长时，可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时；③当最长时，可以找到一个点P，满足，可得到格点是的“和谐点”，此时． 【详解】（1）略． （2）解：如图3所示：①当最长时： 可以找到一个点P，此时， ， 所以，故； ②当最长时， 可以找到一个点P，此时， ， ， 所以，故； ③当最长时， 可以找到一个点P，此时， ， ， 所以，故， 所以的长为或或2． 14．如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． (1)当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； (2)当与的边垂直时，求线段的长． 【答案】(1)长为6 (2)或或或 【分析】（1）证明是等边三角形，根据折叠的性质可得是等边三角形，即可得出结论； （2）分四种情况讨论，结合图形解答即可， 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为边的中点， ∴， 由翻折的性质得：， 如图： ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：分四种情况讨论： 情形一：，如图，延长交于点，如图： 则， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由翻折得，， 在中，，， 则，，， ∵，即， 解得：， 即； 情形二：，此时，如图， 由折叠得， 过点作于点， 在等边三角形中，，，则， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得：，即． 情形三：，如图， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 情形四：当点在的延长线上时，，如图， 则， 由折叠得：，，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或或或． 15．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 16．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 【答案】 【分析】先画出圆柱的侧面展开图，作点A关于的对称点，可得即为最短距离，在利用勾股定理，求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作点A关于的对称点，连接，则即为最短距离， 过点作，交的延长线于点D， 根据题意，得，，， 故由勾股定理，得． 17．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 18． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $