5.2 勾股定理及其逆定理 题型专练 2026--2027学年湘教版八年级数学上册

湘教版（2024）八年级上册 5.2 勾股定理及其逆定理 题型专练 【题型1】网格问题 【典例】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为△ABC的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点，都是格点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三3】如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为__________． 【举一反三4】如图，在的正方形网格中标出了和，则__________度． 【举一反三5】如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点 （1）画出； （2）连接、，那么与的数量关系是______；（“相等”或“不相等”） （3）在的左侧确定格点，使的面积和的面积相等，这样的Q点有______个（不包括C点）． 【题型2】勾股定理的证明 【典例】利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】如图中能用来证明勾股定理的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【举一反三2】如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是__________. 【举一反三3】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a，b，c，将它们拼成如图2的大正方形，请利用图2 证明“勾股定理”． 【题型3】利用勾股定理求线段长 【典例】如图，在中，，是角平分线.若，，则点D到边的距离为（ ） A．6 B．8 C．10 D．4 【举一反三1】若一个等腰三角形的腰长为20，底边长为24，则其底边上的高为__________ . 【举一反三2】矩形中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过点E作交直线于点F（旋转角为α，），当点F、E、D三点共线时，线段的长为__________ ． 【举一反三3】如图，在中，. （1）若，，求和； （2）若，，求和. 【举一反三4】如图，和相交于点O，. （1）求证. （2）分别过点B、O作的垂线，交于点E.若，求的长. 【题型4】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 【典例】如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 【举一反三1】如图，在中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为⁠． 【举一反三2】如图，在中，，，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动点E不与点A、C重合，且保持，连接DE、DF、在此运动变化的过程中，有下列结论：；四边形CEDF的面积随点E、F位置的改变而发生变化；；以上结论正确的是__________只填序号． 【举一反三3】如图，在四边形中，，平分，且，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【举一反三4】如图，为的斜边上的高，设，，. (1)若，，求h的值； (2)求证：. 【题型5】与赵爽弦图有关的问题 【典例】如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A．24 B．36 C．40 D．44 【举一反三1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，两个正方形的面积分别是，，则直角三角形的较短的直角边长是__________． 【举一反三3】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，则的值为__________． 【举一反三4】如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形. (1) 弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a.较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2) 如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3) 如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求. 【题型6】勾股定理与无理数 【典例】如图所示，数轴上与点A所对应的实数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是__________． 【举一反三2】如图，数轴上点所表示的数与的和为__________ 【举一反三3】利用直尺和圆规在如图①②所示的数轴上分别作出表示和的点： 【举一反三4】解答下列问题： (1)在数轴上作出表示的点； (2)如图，在中，，是的中点，于点.求证:. 【题型7】利用勾股定理解决图形面积问题 【典例】如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（ ） A．8 B．14 C．16 D．18 【举一反三1】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，分别以△ABC的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S1，S 2，S3之间关系成立的是（    ） A．S1+S2+S3=π B．S1+S2=S3 C．S1+S2＞S3 D．S1+S2＜S3 【举一反三2】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是a，b，则的值为__________．（用含a，b的代数式表示） 【举一反三3】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带.数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，过点C作于点J，交于点K.设正方形的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为，长方形的面积为，下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论有__________ . 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 【题型8】勾股定理与折叠问题 【典例】如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ） A．4 B．3 C．2 D．5 【举一反三1】如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，把长方形ABCD沿对角线BD向上对折，C与C’为对应点，BC’与AD交于点E，若∠DBC=30°，AE=2，则BC=__________． 【举一反三3】如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： (1)的长； (2)重叠部分的面积． 【举一反三4】如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把△ADE沿直线翻折得．    (1)当点落在边上时，  (2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长． 【题型9】勾股定理的逆定理 【典例】下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】已知的三条边分别为a，b，c下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A． B．，， C． D． 【举一反三2】如图，已知△ABC中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，在中，，，，点B是延长线上的点，连接，若，则的长为__________． 【举一反三4】如图，在中，是边上的高，，，. (1)求证：； (2)若的平分线与交于点，则的长度是__________ . 【举一反三5】已知：如图，在△ABC中，，，△ABC的周长为30． (1)证明：△ABC是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点．证明：． 【题型10】勾股数 【典例】下列各组数据为勾股数的是（    ） A．7，24，25 B．2，3，4 C．，， D．1，， 【举一反三1】对于题目“已知、和是一组勾股数，求的值”，甲的结果是，乙的结果是或，丙的结果是的值不确定，则（    ） A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．甲、乙、丙都不对 【举一反三2】“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，所有的四边形都是正方形．所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则__________． 【举一反三4】如图,以直角三角形的三边为边分别向外作三个正方形,其中的两个正方形面积为A=25平方厘米 ,C=169平方厘米,求B面积. 【题型11】求高度或距离 【典例】如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树的水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞(    )． A． B．8 C．11 D．12 【举一反三1】某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度.第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为.第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为.则旗杆的高度为 __________ m. 【举一反三2】如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F. （1）求证：是等腰三角形； （2）若D为中点，，，求的长. 【举一反三3】如图，某斜拉桥的主梁垂直于桥面于点D，主梁上有两根拉索分别为．    (1)若拉索的长度分别为10米、26米，则拉索______米，主梁______米； (2)若的长分别为13米、20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度． 【题型12】与梯子滑落相关的问题 【典例】如图，一梯子斜竖在垂直于地面的墙上，若，，则梯子的长为（   ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图所示的两个滑块，（可分别看成一个点）由一个连杆连接，分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块与点的距离为，滑块与点的距离为．当滑块向下滑到点时，滑块向右滑动了__________． 【举一反三2】光武大桥是我市中心城区的首座斜拉大桥，为纪念故乡南阳的东汉光武帝刘秀而命名，若一根斜拉钢梁竖直垂下时底端在桥下面的5米处，当点固定在桥面上的处时，距离点15米，求这根钢梁的长度． 【题型13】是否受到影响问题 【典例】如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区 A．10 B．7 C．6 D．12 【举一反三1】如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是__________． 【举一反三2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，长．已知海港C到A的距离为，到B的距离为．台风的影响范围为台风中心周围内． (1)海港C受台风影响吗？请说明理由． (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【题型14】最短路径问题 【典例】如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的外壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是__________ . 【举一反三2】如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【举一反三3】如图，棱长为的正方体的顶点A处有一只蜘蛛，顶点 B 处有一只苍蝇，为尽快将苍蝇吃掉，这只蜘蛛想沿着正方体的表面走一条最近的路线爬到苍蝇的落脚点，则蜘蛛所走的最短路程是多少？ 【题型15】利用逆定理解决面积问题 【典例】下列各组数中是勾股数的一组是（    ） A．0.3、0.4、0.5 B．2、3、4 C．5、12、13 D．11、12、13 【举一反三1】如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD=，CD=2，BC=3，AB=5，求四边形ABCD的面积为(    )． A． B． C． D． 【举一反三2】在△ABC中，，是边的中点，则 __________． 【举一反三3】如图，四边形ABCD中，AB=30，AD=48，BC=14，CD=40，∠ABD+∠BDC=90°,则ABCD的面积为__________． 【举一反三4】如图，在四边形中，时，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【题型16】勾股定理逆定理的实际应用 【典例】已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（    ） A．6cm2 B．15cm2 C．24cm2 D．10cm2 【举一反三1】李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】某日早晨甲渔船以12海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以10海里/时的速度离开港口沿某一方向航行．上午两渔船相距26海里．则乙渔船航行的方向是__________． 【举一反三3】图①是超市儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点C到的距离为__________． 【举一反三4】校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 【举一反三5】如图，在中，于，，，． (1)求，的长； (2)判断的形状，并说明理由． 湘教版（2024）八年级上册 5.2 勾股定理及其逆定理 题型专练（参考答案） 【题型1】网格问题 【典例】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为△ABC的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题可得： ， ， ， 解得：， 故选：D． 【举一反三1】如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点，都是格点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【举一反三2】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】解：如下3个图，点即为所求；   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形， 故选：B 【举一反三3】如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为__________． 【答案】 【解析】解：根据题意，利用勾股定理有， 故答案为：． 【举一反三4】如图，在的正方形网格中标出了和，则__________度． 【答案】135 【解析】解：如图，连接，， ，，， 在△BCF与中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：135． 【举一反三5】如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点 （1）画出； （2）连接、，那么与的数量关系是______；（“相等”或“不相等”） （3）在的左侧确定格点，使的面积和的面积相等，这样的Q点有______个（不包括C点）． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由平移的性质可得； 故答案为：相等； （3）解：如图所示，格点即为所求， ∴满足题意的点Q有5个． 【题型2】勾股定理的证明 【典例】利用下列图形，能验证勾股定理的图形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【举一反三1】如图中能用来证明勾股定理的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解析】解：①根据等面积法得：，得出，可以证明勾股定理； ②，得出，可以证明勾股定理； ③不能证明勾股定理； ④，得出，可以证明勾股定理； ⑤得出，可以证明勾股定理； ⑥，得出，可以证明勾股定理； ⑦，不可以证明勾股定理； 故①②④⑤⑥可以证明勾股定理； 故选：C． 【举一反三2】如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是__________. 【答案】x+y=19 【解析】解：∵正方形A的边长为， ∴SA=37， 根据勾股定理的几何意义， 得x+10+（8+y）=SA=37， ∴x+y=37-18=19，即 x+y=19． 故答案为：x+y=19． 【举一反三3】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a，b，c，将它们拼成如图2的大正方形，请利用图2 证明“勾股定理”． 【解析】解：∵4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a，b，c，将它们拼成如图2 的大正方形， 【题型3】利用勾股定理求线段长 【典例】如图，在中，，是角平分线.若，，则点D到边的距离为（ ） A．6 B．8 C．10 D．4 【答案】A 【解析】作于，如图， 在中，， ∵是的一条角平分线，， ， 则点D到边的距离为6， 故选：A. 【举一反三1】若一个等腰三角形的腰长为20，底边长为24，则其底边上的高为__________ . 【答案】16 【解析】如图，，，为底边上高， 在中，，， 则， 在中，，， ， 故答案为：16. 【举一反三2】矩形中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过点E作交直线于点F（旋转角为α，），当点F、E、D三点共线时，线段的长为__________ ． 【答案】1或9 【解析】∵四边形是矩形， ∴ 当点E在上时，连接，如图， ∵， ∴∴， ∵， ∴，∴， 设，则， 由旋转得：， ∵， ∴，∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，∴，∴， 如图， 当点E在的延长线上时， 同理上可得：，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或9． 故答案为：1或9 【举一反三3】如图，在中，. （1）若，，求和； （2）若，，求和. 【答案】解：（1）在中，，， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴，. ∴，. （2）在中，，， ∴， 设， ∵， ∴，解得， ∴. 【举一反三4】如图，和相交于点O，. （1）求证. （2）分别过点B、O作的垂线，交于点E.若，求的长. 【答案】（1）证明：∵和相交于点O， ∴. 在和中， ∴. ∴； （2）解：连接. ∵， ∴. ∵， ∴ . ∵， ∴是的垂直平分线， ∴. 【题型4】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 【典例】如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 【答案】B 【解析】解：连接BD， 根据勾股定理可得，， 即， ∴， 故选：B． 【举一反三1】如图，在中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为⁠． 【解析】∵， ∴，即是直角三角形，且， 如图，连接， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∵的周长为， ∴当三点共线即重合时，的和最小，即的周长最小， 设，则， 由勾股定理得，，即，解得，， ∴的长为10， 故答案为：10． 【举一反三2】如图，在中，，，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动点E不与点A、C重合，且保持，连接DE、DF、在此运动变化的过程中，有下列结论：；四边形CEDF的面积随点E、F位置的改变而发生变化；；以上结论正确的是__________只填序号． 【答案】 【解析】解：连接CD， ∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点， ∴，CD⊥AB， 又∵， ∴ ∠ADE=∠CDF=90°-∠EDC， 在△ADE和△CDF中， ， ∴（ASA） ∴ ED=DF，故①正确； ∴， 定值，故②错误， ∵， ∴ AE=CF， ∴，故③正确， ∵ AE=CF，AC=BC， ∴ EC=BF， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故答案为①③④． 【举一反三3】如图，在四边形中，，平分，且，过点D作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ∴， 又， ∴， ∴； (2)解：在中，，， ， 由（1）：， ，， ， 在中，． 【举一反三4】如图，为的斜边上的高，设，，. (1)若，，求h的值； (2)求证：. 【答案】(1)在中，，即， ∴. ∵， ∴，∴. (2)证明：（解法一） 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. （解法二）取中点O，连接， 则， ∵，O是中点，∴. 在中，， ∴，化简得. 【题型5】与赵爽弦图有关的问题 【典例】如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】B 【解析】解：图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，图1中大正方形的边长为，四个全等的直角三角形的面积为， 直角三角形的斜边长为， 图2中小正方形的面积为， 图2中大正方形的面积小正方形的面积四个全等的直角三角形的面积 故选：B． 【举一反三1】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则下列关于，，的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【举一反三2】如图，两个正方形的面积分别是，，则直角三角形的较短的直角边长是__________． 【答案】 【解析】解：根据勾股定理的几何意义， ， 所以，． 故答案为：． 【举一反三3】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，则的值为__________． 【答案】9 【解析】解：∵大正方形的面积为41，小正方形的面积为1， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去）． 故答案为：9． 【举一反三4】如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形. (1) 弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a.较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2) 如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3) 如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求. 【答案】(1) 根据题意得， ， 则； (2) ∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ， ， 解得：， ∴， ∴该飞镖状图案的面积是； (3) 设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴. 【题型6】勾股定理与无理数 【典例】如图所示，数轴上与点A所对应的实数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【举一反三1】如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是__________． 【解析】 【举一反三2】如图，数轴上点所表示的数与的和为__________ 【答案】0 【解析】解：如图所示： 由题意可知， ，点在点0的左侧 点表示的数为 数轴上点所表示的数与的和为： 故答案为：0． 【举一反三3】利用直尺和圆规在如图①②所示的数轴上分别作出表示和的点： 【解析】解：如图：以1为边长作等腰直角三角形得到线段OA=，以O为圆心OA为半径交x轴负半轴于B，以点B为直角顶点作△OBC，使BC=1，得到线段OC=，以O为圆心OC为半径作弧交x轴负半轴于点D，则点D表示的数即是-； 【举一反三4】解答下列问题： (1)在数轴上作出表示的点； (2)如图，在中，，是的中点，于点.求证:. 【解析】（1）解：如图，点O在表示0的位置，A在表示4的位置，即OA＝4， 【题型7】利用勾股定理解决图形面积问题 【典例】如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（ ） A．8 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【解析】在中，，根据勾股定理，得. ∵分别以三边为边长向外作正方形，面积记为， ∴，，， ∴. ∵， ∴， 解得，即. 观察图形，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为. 故选：A. 【举一反三1】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，分别以△ABC的三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S1，S 2，S3之间关系成立的是（    ） A．S1+S2+S3=π B．S1+S2=S3 C．S1+S2＞S3 D．S1+S2＜S3 【答案】B 【解析】解：∵Rt△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2， ∴AC=1，BC=， 以AC为直径的半圆的面积是：， 以BC为直径的半圆的面积是：， 以AB为直径的半圆的面积是： ∴， 又∵， ∴S1+S2=S3， 故答案为：B． 【举一反三2】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是a，b，则的值为__________．（用含a，b的代数式表示） 【答案】 【解析】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：． 【举一反三3】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带.数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，过点C作于点J，交于点K.设正方形的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为，长方形的面积为，下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论有__________ . 【答案】①②③④ 【解析】连接， 四边形是正方形， ，，， 四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； 连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 即， 由①知，， ， 故②正确； ， ， 四边形，四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 由②知，， ， ， 故③正确； 由③知，， ， 故④正确； 正确的结论有①②③④. 故答案为：①②③④. 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 【答案】解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D. 设BD＝x，则CD＝14－x. 由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2， ∴152－x2＝132－(14－x)2， 解得x＝9，即BD＝9， ∴AD＝＝12， ∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84. 【题型8】勾股定理与折叠问题 【典例】如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【解析】设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△NBD中，x2+32=（9-x）2，解得x=4.即BN=4.故选A. 【举一反三1】如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 【举一反三2】如图，把长方形ABCD沿对角线BD向上对折，C与C’为对应点，BC’与AD交于点E，若∠DBC=30°，AE=2，则BC=__________． 【答案】6 【解析】解：由题,把长方形ABCD沿对角线BD向上对折，C与C’为对应点，BC’与AD交于点E，∠DBC=30°,所以∠ABC=90°, ∠DBC’=30°,所以∠ABE=30°,在Rt△BAE中,BE="2AE=4," 由勾股定理知AB=2,因为CD=BC=2,在Rt△DCB中, ∠DBC=30°,所以BD=2CD=4,由勾股定理知BC=6. 【举一反三3】如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： (1)的长； (2)重叠部分的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】解：（1）由折叠和长方形的性质得． 设，则． 在中，由勾股定理，得 ∴， 解得， 的长为． （2）由（1），得， ． 【举一反三4】如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把△ADE沿直线翻折得．    (1)当点落在边上时，  (2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长． 【答案】(1)45； (2) 【解析】解：（1）由题意知， ， 点落在边上时，， ， 故答案为：45； （2）如图2，由题意知， 四边形是长方形， ， ， ，， 设，则， 在中，由得： ， 解得，即． 【题型9】勾股定理的逆定理 【典例】下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.∵，∴这三条线段不能构成直角三角形； B.∵，∴这三条线段不能构成直角三角形； C.∵，∴， ∴这三条线段能构成直角三角形； D.∵，∴这三条线段不能构成直角三角形； 故选：C. 【举一反三1】已知的三条边分别为a，b，c下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A． B．，， C． D． 【答案】A 【解析】A、设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴3x+4x+5x=180°，解得x=15° ∴∠C=5×15°=75°， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符号题意； B、∵52+122=132， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D、此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选A. 【举一反三2】如图，已知△ABC中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴, ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD， 在Rt△BCD中， , ∴, 解得CD=， 故选：C. 【举一反三3】如图，在中，，，，点B是延长线上的点，连接，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】解：在中，，，， ， 即， 所以三角形是直角三角形，， 在直角三角形中，， 故答案为：． 【举一反三4】如图，在中，是边上的高，，，. (1)求证：； (2)若的平分线与交于点，则的长度是__________ . 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解析】(1)证明：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，. (2)解：过点E作于点F， 则， ∵， ∴， ∵的平分线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得. 故答案为：. 【举一反三5】已知：如图，在△ABC中，，，△ABC的周长为30． (1)证明：△ABC是直角三角形； (2)过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点．证明：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【解析】（1）证明：，，△ABC的周长为30， ， ，， ， △ABC是直角三角形． （2）证明：， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ． 【题型10】勾股数 【典例】下列各组数据为勾股数的是（    ） A．7，24，25 B．2，3，4 C．，， D．1，， 【答案】A 【举一反三1】对于题目“已知、和是一组勾股数，求的值”，甲的结果是，乙的结果是或，丙的结果是的值不确定，则（    ） A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．甲、乙、丙都不对 【答案】A 【解析】解：分两种情况讨论： 当为最长边时， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）； 当为最长边时， ， 解得：（不符合题意，故舍去）； 综上所述，的值为， 故选：． 【举一反三2】“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【举一反三3】如图，所有的四边形都是正方形．所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，则__________． 【解析】31 【举一反三4】如图,以直角三角形的三边为边分别向外作三个正方形,其中的两个正方形面积为A=25平方厘米 ,C=169平方厘米,求B面积. 【答案】144平方厘米. 【解析】解：设正方形A，B，C的边长分别为a，b，c，则a2+b2=c2， ∵a2=25，c2=169， ∴b2=169-25=144， ∴B面积是144平方厘米. 【题型11】求高度或距离 【典例】如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树的水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞(    )． A． B．8 C．11 D．12 【答案】D 【解析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，理解题意，掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据题意，，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴小鸟至少要飞. 故选：． 【举一反三1】某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度.第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为.第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为.则旗杆的高度为 __________ m. 【答案】 【解析】由①得，绳子的长度比旗杆的高度多， 设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 在中，，， 由勾股定理得：，则， 整理得：，解得：， ∴旗杆的高度为， 故答案为：. 【举一反三2】如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点作交于点E，交的延长线于点F. （1）求证：是等腰三角形； （2）若D为中点，，，求的长. 【答案】（1）证明：∵ ， ∴ . ∵ ，∴ . 在中，； 在中，. ∵ ，∴ . 又∵ （对顶角相等）， ∴ ，∴ ， ∴ 是等腰三角形. （2）解：∵ ，为中点，∴ 在中，，， 由勾股定理得：. 答：的长为. 【举一反三3】如图，某斜拉桥的主梁垂直于桥面于点D，主梁上有两根拉索分别为．    (1)若拉索的长度分别为10米、26米，则拉索______米，主梁______米； (2)若的长分别为13米、20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度． 【答案】解：（1）∵的长度分别为10米、26米， ∴（米）， ∵， ∴，解得：（米）． （2）设米，则米， ∵主梁垂直于桥面于点， ∴， ∴根据勾股定理可得：，， ∴，解得：. ∵， ∴． 答：主梁的高度为12米． 【题型12】与梯子滑落相关的问题 【典例】如图，一梯子斜竖在垂直于地面的墙上，若，，则梯子的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意可得：， ∵，， ∴由勾股定理可得：， 故选：A． 【举一反三1】如图所示的两个滑块，（可分别看成一个点）由一个连杆连接，分别可以在竖直和水平的滑道上滑动，开始时，滑块与点的距离为，滑块与点的距离为．当滑块向下滑到点时，滑块向右滑动了__________． 【答案】 【解析】解：由题意得，即． 当滑块向下滑到点时，滑块距点的距离是， 故滑块滑动了． 故答案为： 【举一反三2】光武大桥是我市中心城区的首座斜拉大桥，为纪念故乡南阳的东汉光武帝刘秀而命名，若一根斜拉钢梁竖直垂下时底端在桥下面的5米处，当点固定在桥面上的处时，距离点15米，求这根钢梁的长度． 【答案】这根钢梁的长度为25米 【解析】解：设米，由题意得到：，， 一根斜拉钢梁竖直垂下， ， ， ， 解得：米 答：这根钢梁的长度为25米． 【题型13】是否受到影响问题 【典例】如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区 A．10 B．7 C．6 D．12 【答案】B 【解析】解：由题意，作图如下：    设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 【举一反三1】如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是__________． 【答案】 【举一反三2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，长．已知海港C到A的距离为，到B的距离为．台风的影响范围为台风中心周围内． (1)海港C受台风影响吗？请说明理由． (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，见解析； (2)台风影响该海港持续的时间为1.4小时 【解析】解：（1）海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形， ∴， ∴60x80=100CD ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响， （2）如图，当，时，正好影响C港口， ∵， ∴， ∵台风的速度为， ∴28÷20=1.4（小时） 即台风影响该海港持续的时间为1.4小时． 【题型14】最短路径问题 【典例】如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在圆柱的下底面的外壁处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿的点处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，将杯子侧面展开，连接，则的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，、   由题意得，，，， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为， 故选：． 【举一反三1】如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是__________ . 【答案】15 【解析】圆柱的展开图如图： 根据题意，，，， ∴， 即蚂蚁需要爬行的最短路程是， 故答案为：15. 【举一反三2】如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】如图，作N关于的对称点E，连接 在中，，，， 是的平分线， 与关于轴对称， 当时最小， 由 即； 解得 故答案为：． 【举一反三3】如图，棱长为的正方体的顶点A处有一只蜘蛛，顶点 B 处有一只苍蝇，为尽快将苍蝇吃掉，这只蜘蛛想沿着正方体的表面走一条最近的路线爬到苍蝇的落脚点，则蜘蛛所走的最短路程是多少？ 【答案】 【解析】解：如图所示：即为最短路线， 则在中， 故蜘蛛所走的最短路程是． 【题型15】利用逆定理解决面积问题 【典例】下列各组数中是勾股数的一组是（    ） A．0.3、0.4、0.5 B．2、3、4 C．5、12、13 D．11、12、13 【答案】C 【解析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． A. ∵0.32+0.42≠0.52，∴此选项不符合题意； B. ∵22+32≠42，∴此选项不符合题意； C. ∵52+122=132，∴此选项符合题意； D. ∵112+122≠132，∴此选项不符合题意． 故选C. 【举一反三1】如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD=，CD=2，BC=3，AB=5，求四边形ABCD的面积为(    )． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵连接AC，如图所示： ∵∠D=90°，AD=，CD=2， ∴AC==4． ∵BC=3，AB=5，32+42=52， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=××2+×4×3=+6． 故答案选C 【举一反三2】在△ABC中，，是边的中点，则 __________． 【答案】 【解析】解：根据题意得，，即， ∴△ABC是直角三角形，如图所示， 根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一边， ∴, 故答案是：． 【举一反三3】如图，四边形ABCD中，AB=30，AD=48，BC=14，CD=40，∠ABD+∠BDC=90°,则ABCD的面积为__________． 【答案】936 【解析】解：作∠ABD=∠A′DB，AB=A′D，连接A′C， ∵∠ABD+∠BDC=90°， ∴∠A′DB+∠BDC=90°， ∵AB=30，CD=40， ∴A′C==50， ∵AD=48，BC=14， ∴AD2+BC2=2500， ∴AD2+BC2=A′C2， ∴△BCA′是直角三角形， ∴四边形ABCD的面积为： ×30×40+×14×48=936． 故答案为936． 【举一反三4】如图，在四边形中，时，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)33 【解析】解：（1）连接，在Rt△ABC中，， 根据勾股定理，得， ， ， 为直角三角形， 即， 则； （2）解：根据题意，得． 【题型16】勾股定理逆定理的实际应用 【典例】已知△ABC的三边长分别是3cm、4cm、5cm，则△ABC的面积是（    ） A．6cm2 B．15cm2 C．24cm2 D．10cm2 【答案】A 【举一反三1】李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接，则在中，   ， ， 在中，，， ， ， （平方米）， 故答案为：C． 【举一反三2】某日早晨甲渔船以12海里/时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以10海里/时的速度离开港口沿某一方向航行．上午两渔船相距26海里．则乙渔船航行的方向是__________． 【答案】东南方向或西北方向 【解析】解：设甲渔船离开港口O向东北方向航行到A，乙渔船离开港口O航行到B， 由题意，得(海里)， (海里)，海里， ， ， ， 表示东北方向， 表示东南方向或西北方向．如图， 故答案为：东南方向或西北方向． 【举一反三3】图①是超市儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点C到的距离为__________． 【解析】 【举一反三4】校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 【答案】(1)蔬菜区边的长为； (2)花卉区的面积为 【解析】解：（1）∵，，， ∴    ； 答：蔬菜区边的长为； （2）∵， ∴， ∴花卉区的面积， 答：花卉区的面积为． 【举一反三5】如图，在中，于，，，． (1)求，的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【解析】解：（1） ， 学科网（北京）股份有限公司 $