精品解析：陕西汉中东辰外国语学校2026-2027学年高二上学期第一次质量检测考试数学试题

汉中东辰外国语学校2028届高二（上）第一次质量检测考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张雪琪 审题人：张乐 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题 “，”的否定是“，”. 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简再结合复数的几何意义得出对应点即可求解. 【详解】因为，所以在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A. 3. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由不等式的解集为， 则，且方程的两根为和． 则由韦达定理有，解得 所以． 4. 已知单位向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直，可得其数量积为0，进而可求出，根据向量的夹角公式即可求出其夹角. 【详解】因为， 所以 即，又因为向量，为单位向量， 所以， 所以， 所以， 故选：A 5. 已知，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由二倍角公式，， ，代入已知等式， ， 得， 化简得， 提取公因式， ①当时，，则， ， ②当时，， 两边平方，得， 由，得， 解得， 检验：，存在符合条件的解， 综上，或. 6. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 7. 如图，某测量员在地面先于D点观测无人机，之后沿直线走到C点；测得两点相距100米，无人机在空中先后经过A点和B点，在C，D两点测得角度数据，，，所有点在同一平面内，则点A与间的距离是（ ）米 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断与的形状，即可求得的长度 【详解】中，，， 所以为等边三角形. 又，所以为线段的垂直平分线. 所以，又，所以是以为直角的等腰直角三角形. 所以米. 8. 如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（ ） A. 6π B. 9π C. D. 21π 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于不同高度的正四面体即可求解． 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心，延长AO交底面BCD于， 是等边三角形BCD的中心，过作交CD于，连接BF， 根据对称性，BF过点E， 则OE为正四面体内切球的半径， 正中，高，而，， 同理，所以， 所以， 解得，所以正四面体ABCD内切球的表面积为， 由图可知最大球内切于高的正四面体中， 最大球半径，故最大球表面积为， 进一步，可知中等球内切于高的正四面体中， 中等球半径，故中等球的表面积为， 最小球内切于高的正四面体中， 最小球半径，故最小球的表面积为， 所以九个球的表面积之和为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，下有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用奇函数的定义判断即可；对于B，根据减区间进行判断；对于C，代入验证可；对于D，利用三角函数图变换规律判断. 【详解】因为，所以 对于A，定义域为，因为，所以不是奇函数，所以A错误； 对于B，由，得，得， 所以函数在区间上是减函数，所以B正确； 对于C，因为，所以为函数的一条对称轴，所以C正确； 对于D，因为，所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，所以D错误， 故选：BC. 10. 下列四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则弦AB长度的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件逐一分析各选项中的已知信息，进行对应的推理计算，即可判断作答. 【详解】对于A，直线化为：，由得：， 所以直线恒过定点，A不正确； 对于B，圆的圆心到直线的距离为1，而圆的半径为2，则平行于且距离为1的两条直线分别过圆心以及和圆相切， 所以圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，B正确； 对于C，圆圆心，半径，圆的圆心， 半径，依题意两圆外切，则，即，解得，C正确； 对于D，圆的圆心，，点C到直线的距离， 则，由切线长定理知，直线PC垂直平分线段AB，于是得： ， 当且仅当点P是过圆心C向直线作垂直的垂足时取“=”，即弦AB长度的最小值为，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 有3个实数根 C. 若有8个实数根，则 D. 若有4个实数根，从小到大分别为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接计算，根据自变量范围进行取舍即得判断AB；设，结合图象，将问题转化为方程在上有两个相异实根的问题，利用一元二次方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围判断C；则需要作出函数的图象，利用函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由，可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或， 解得或，故有x＝－2±，共四个实数根，故B错误； 对于C，设，则方程，即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根， 且，，设， 依题意，需使， 解得，故C正确； 对于D，作出函数的图象，由时，≤5， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，， 当时，直线与函数均有两个交点，故由有4个实数根可得，， 由图知，， 则，解得＝4，又由解得， 由解得x＝1，则有，于是， 因函数在单调递减，故， 则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组样本10，12，14，16，20，24，30，35的第百分位数是________． 【答案】 【解析】 【详解】将样本数据按从小到大排序为，样本容量， ， 故第80百分位数是第个数据，对应的值为， 因此该组样本的第百分位数是. 13. 如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______．    【答案】1 【解析】 【分析】设，可得出，计算得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的表达式，结合的取值范围可求得的最小值. 【详解】设， 则， 因为，，则， 所以 . 因此，的最小值为1. 故答案为：1． 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，的重心为G，内心为I，且有，则椭圆的离心率为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】设，表达出的纵坐标为，结合椭圆的定义可用两种方法表达出的面积，从而得到方程，求出，得到离心率 【详解】由题意得，设， 因为的重心为G，所以， 因为，则，所以的纵坐标为， 又因为，， 所以， 因为为的内心，所以为的内切圆的半径， 则， 故，所以，即， 所以椭圆的离心率为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知椭圆两个焦点的坐标分别是、，椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10，求椭圆的标准方程； （2）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可； （2）分截距为和不为两种情况求解即可. 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，设其标准方程为， 由题意可得，则， 所以椭圆的标准方程为； （2）当直线在两坐标轴上的截距都为时，设其方程为， 因为过点，所以， 此时直线的方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距都不为时，设其方程为， 因为过点，所以，解得， 此时直线的方程为，即； 综上：直线的方程为或. 16. 年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了枚金牌，枚银牌，枚铜牌，共枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分； （2）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出名同学，再从抽取的这名同学中随机抽取名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1，可求出值；利用区间中点值乘以该区间的频率累加求和即为平均值； （2）利用分层抽样和列举法来求概率即可. 【小问1详解】 由题意可得：， 解得：， 因为， 所以估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为. 【小问2详解】 采用分层抽样从和抽取名同学， 因为， 则应在成绩为的学生中抽取人，记为； 在成绩为的学生中抽取人，记为； 再从抽取的这名同学中随机抽取名同学有如下结果， ，，，，，，，，，共种可能结果： 其中在，各一人的共种； 所以所求概率. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点P在边上，且． （1）求角C的值； （2）若，，求的周长； （3）若，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合三角形内角关系求出，进而求出C的值； （2）利用余弦定理及中线的性质，结合完全平方公式求出，进而求出三角形周长； （3）计算，利用正弦定理及三角形面积公式，化简关于的函数，采用配方法求分母最大值，进而求出面积最小值． 【小问1详解】 由，得 因为，所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 因为，，所以， 因为点P是AB中点，所以，，， 所以，所以， 所以，即， 所以的周长为． 【小问3详解】 因为，，所以， 在中，，得， 在中，，得， 所以面积， 因为，所以， 所以， 所以当时，面积的最小值为． 18. 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）求锐二面角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）作出直线与平面所成角，解直角三角形即可得答案. （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设线段上存在，根据向量的距离公式，求得得到的坐标，进而得的值． 【小问1详解】 作，垂足为E，连接， 因为侧面底面，侧面底面，故底面， 底面，则， 则即为直线与平面所成角， ，故，故， 则, 又，故， 故. 【小问2详解】 因为侧面底面，侧面底面，， 底面，故侧面， 以点A为坐标原点，以分别为轴，以过点A垂直于平面的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图： 则，则，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 结合题意可知平面的法向量可取作， 设锐二面角为，则， 【小问3详解】 设线段上存在，使得它到平面的距离为， 由，可得到平面的距离， 解得或(舍去)，所以，则． 19. 已知点和圆． （1）求过点H的圆O的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，．P为圆O上任意一点，（n为常数） ①求常数n的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则C，D两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线l与圆交于M、N两点，且M点恰好是线段NE的中点，又已知点，求的取值范围． 【答案】（1）和 （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）①由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果； ②由中点条件将与的关系转化为直线与单位圆相交，从而得到 ；再在此范围内分段讨论的单调性，合并各段值域即得最终取值范围. 【小问1详解】 圆的圆心为原点，半径， 将点代入圆方程得，说明在圆外，存在两条切线. 当切线斜率不存在时，直线为，到圆心距离为2，等于半径，是圆的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线距离等于半径得 ， 平方化简得，解得， 对应切线方程为. 【小问2详解】 ①设，由，得，代入坐标展开 ， 因为在圆上，将代入上式， 整理得 ， 为圆上任意一点， 所以， 又，解得. 所以常数； ②由①知，，所以圆 ，，， 由题知曼哈顿距离为 因为直线过，与圆交于，且为的中点，设，则 ， 由在圆上，得 又在圆上，两式相减得 因为直线与圆有两个交点，分别为， 故圆心到该直线的距离小于1，所以， 整理得，解得，所以 ， 令，在 上分段求值域： 当，，在上单调递减，所以此时值域为； 当，，在上单调递增，所以此时值域为； 当，， 时取最大值 ，值域为 ； 当， ，在上单调递增，值域为 ； 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中东辰外国语学校2028届高二（上）第一次质量检测考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张雪琪 审题人：张乐 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 如图，某测量员在地面先于D点观测无人机，之后沿直线走到C点；测得两点相距100米，无人机在空中先后经过A点和B点，在C，D两点测得角度数据，，，所有点在同一平面内，则点A与间的距离是（ ）米 A. B. C. D. 8. 如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（ ） A. 6π B. 9π C. D. 21π 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，下有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 10. 下列四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则弦AB长度的最小值为 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 有3个实数根 C. 若有8个实数根，则 D. 若有4个实数根，从小到大分别为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组样本10，12，14，16，20，24，30，35的第百分位数是________． 13. 如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______．    14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点P为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，的重心为G，内心为I，且有，则椭圆的离心率为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知椭圆两个焦点的坐标分别是、，椭圆上的一点到两焦点距离的和等于10，求椭圆的标准方程； （2）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． 16. 年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了枚金牌，枚银牌，枚铜牌，共枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分； （2）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出名同学，再从抽取的这名同学中随机抽取名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点P在边上，且． （1）求角C的值； （2）若，，求的周长； （3）若，求面积的最小值． 18. 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）求锐二面角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知点和圆． （1）求过点H的圆O的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，．P为圆O上任意一点，（n为常数） ①求常数n的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则C，D两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线l与圆交于M、N两点，且M点恰好是线段NE的中点，又已知点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $