第二十六章 二次函数 单元测试　2026－2027学年人教版九年级数学上册　

第二十六章《二次函数》单元测试 （卷面总分100分 考试用时90分钟） 班级:__________ 姓名：___________ 得分：___________ 1、 单选题（每题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B A C B B B D 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据二次函数定义判断即可． 解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 故选：C 2．根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：A 3． 二次函数y=（x+2）2-1的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：a=1＞0，抛物线开口向上，由解析式可知对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，-1）． 故选：D 4． 已知抛物线过点A(2，0)，B(-1，0)，与y轴正半轴交于点C，且OC=2，则这条抛物线的表达式为 A．y=x2-x-2 B．y=-x2+x+2 C．y=x2+x+2 D．y=-x2-x-2 【答案】B 【解析】∵点C在y轴正半轴上，且OC=2， ∴C(0，2)， 设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)， 将点A(2，0)，B(-1，0)，C(0，2)代入y=ax2+bx+c中， 得解得 ∴这条抛物线的表达式为y=-x2+x+2. 故选：B 5． 已知点A（1，y1），B（-，y2），C（-2，y3）在函数y=x2-的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 【答案】A 【解析】解：∵点A（1，y1），B（-2，y2），C（-3，y3）在函数y=x2-的图象上，∴点A（1，y1），B（-，y2），C（-2，y3）都满足函数解析式y=x2-，∴y1=0，y2=×2-=，y3=×4-=，∴y1＜y2＜y3． 故选：A 6．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【解析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 解：①当时，直线与轴有交点，∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得．∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 故选：C 7、 二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 综上，，，． 故选：B 8．如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m.设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB.有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100 m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为. 其中，正确结论的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】∵AB的长为x m，则BC的长为(30-2x)m， ∵墙长为18 m，AD≥AB， ∴ 解得 ∴x的取值范围为6≤x≤10， 故①错误； 根据题意得x(30-2x)=100， 解得x1=5，x2=10， ∵6≤x≤10， ∴x=10， ∴AB的长有1个值满足该矩形菜园的面积为100 m2， 故②错误； 根据题意得S=x(30-2x)=-2x2+30x=-2+， ∵-2<0，6≤x≤10， ∴当x=时，S有最大值，最大值为， 故③正确. 故选：B 9．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度． 【详解】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 故选：B 10、二次函数图象的顶点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：（1）；（2）；（3）关于x的方程无实数根；其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【详解】解：∵开口向下，∴， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方，， 由对称轴直线得， ∴，①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，，即， ∴，即，②正确； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根，③正确． 故选：D 2、 填空题（每空3分，共15分） 11．若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 【答案】 【解析】根据二次函数中自变量的最高次项次数为2且二次项系数不能为0来分析即可． 解：∵，计算得， ∴； 又∵，即， ∴． 12、某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【解析】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元， ∴今年第三季度的专项教育投入为亿元， 故答案为：． 13．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为__________元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 【答案】22 【解析】设定价为x元，根据题意得y=(x-15)[8+2(25-x)]=-2x2+88x-870， ∴y=-2x2+88x-87=-2(x-22)2+98， ∵a=-2＜0，∴抛物线开口向下，∴当x=22时，y最大值=98． 故答案为：22 14.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】二 【解析】根据二次函数的图象开口方向判断的正负，根据对称轴的“左同右异”判断的正负，根据的图象与轴的交点判断的正负，从而可以判断一次函数的图象经过哪几个象限，进而可得答案． 解：由二次函数的图象可得， ，，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二 15．如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，菱形的边长为________cm. 【答案】10 【解析】利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理建立与的数量关系，结合函数图象读取关键点坐标逐一判断． 解：A、设菱形边长为，由菱形对角线互相垂直平分可知， 即． 由图3可知，当时，， 代入得， 解得， 故答案为：10 3、 解答题（共55分） 16．（6分）某地为庆祝国庆举行焰火表演，表演时礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，求从点火升空到引爆需要的时间和最高点高度． 【解析】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，将二次函数解析式变形为顶点式是解题的关键．将二次函数的解析式变形为顶点式，结合二次函数的性质，即可得出从点火升空到引爆需要时间为． 解：将整理成顶点式得：， ， ∴当时，取得最大值，此时引爆， ∴从点火升空到引爆需要时间为4s， ∴最高点高度为（） 即从点火升空到引爆需要的时间为和最高点高度． 17．（9分）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)当在什么范围内时，随的增大而减小？ 【解析】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即抛物线解析式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得：抛物线解析式为， ∴抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度得到的； （3）解：由（1）得：抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小． 18.（8分）在如图所示的直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为4，且D(2，2). （1）求图象经过B，E，F三点的二次函数的表达式； （2）求①中二次函数图象的顶点坐标. 【解析】解　①∵原点为正方形ABCD的中心， ∴B(－2，－2)，E(0，2)，F(2，0)， 设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将B，E，F三点的坐标代入，得 解得 ∴抛物线表达式为y＝－x2＋x＋2. ②∵y＝－x2＋x＋2 ＝－ ∴二次函数图象的顶点坐标为. 19.（10分）已知抛物线． (1)求证：不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； (2)若该抛物线与轴交于点，求当时，的取值范围． 【解析】 （1）证明：当时，得：， ∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根， 即不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； （2）解：∵该抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ∴该函数的图像与轴的交点坐标为、， 又∵抛物线的二次项系数， ∴图像开口向上， ∴当时，的取值范围为或． 20.（10分）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能低于50元且不得高于65元），设每件商品的售价上涨元，（为正整数）每个月的销售量为件． (1)与的函数关系式为：______； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ (3)若在销售过程中每一件商品都有元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，求的取值范围． 【解析】本题考查了二次函数的实际应用，不等式组的应用，一次函数的应用，二次函数的图象和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）由题意得，与的函数关系式为， ∵每件售价不能低于50元且不得高于65元， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设月利润为W，由题意得 ， ∵， ∴当时，W有最大值2402.5， ∵且x为正整数， ∴当时，，； 当时，，； ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元； （3）由题意得，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵售价每件不低于58元，且x为正整数， ∴时，每月的销售利润随的增大而减小， ∴， 解得． 21．（12分）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【解析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入平移后的抛物线的解析式中可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，进而求出点D的坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）作轴交于，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题； （3）利用两点间的距离公式得到；再分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵， ∴点的坐标为， 把点A的坐标代入得，， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为，即； 在中，当时，，解得，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得，，∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为． （3）解：由（1）得， ∴； 当时，则点P的横坐标为或， ∴此时点P的坐标为或； 当时，则点D在的垂直平分线上， ∴的中点的坐标为， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为； 当时，设，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章《二次函数》单元测试 （卷面总分100分 考试用时90分钟） 班级:__________ 姓名：___________ 得分：___________ 1、 单选题（每题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 3． 二次函数y=（x+2）2-1的图象大致为（　　） A. B. C. D. 4． 已知抛物线过点A(2，0)，B(-1，0)，与y轴正半轴交于点C，且OC=2，则这条抛物线的表达式为 A．y=x2-x-2 B．y=-x2+x+2 C．y=x2+x+2 D．y=-x2-x-2 5． 已知点A（1，y1），B（-，y2），C（-2，y3）在函数y=x2-的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2 6．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 7、 二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m.设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB.有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100 m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为. 其中，正确结论的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 10、二次函数图象的顶点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：（1）；（2）；（3）关于x的方程无实数根；其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2、 填空题（每空3分，共15分） 11．若是关于x的二次函数，则m的值为___________． 12、某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 13．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为__________元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 14.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 15．如图是一张千斤顶的实物图，图2为其示意图，四边形是菱形，边长固定不变，可通过调节的长度改变千斤顶的高度．设的长度为，千斤顶的高为，与之间的函数关系如图3所示，菱形的边长为________cm. 3、 解答题（共55分） 16．（6分）某地为庆祝国庆举行焰火表演，表演时礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，求从点火升空到引爆需要的时间和最高点高度． 17．（9分）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)当在什么范围内时，随的增大而减小？ 18.（8分）在如图所示的直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为4，且D(2，2). （1）求图象经过B，E，F三点的二次函数的表达式； （2）求①中二次函数图象的顶点坐标. 19.（10分）已知抛物线． (1)求证：不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点； (2)若该抛物线与轴交于点，求当时，的取值范围． 20.（10分）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能低于50元且不得高于65元），设每件商品的售价上涨元，（为正整数）每个月的销售量为件． (1)与的函数关系式为：______； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ (3)若在销售过程中每一件商品都有元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随的增大而减小，求的取值范围． 21．（12分）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $