第6章 幂函数、指数函数和对数函数（复习讲义）数学苏教版必修第一册

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 复习要点 1、掌握幂函数、指数函数与对数函数的概念、图象及核心性质， 2、熟练完成指数、对数运算与函数值大小比较，能运用函数性质解决基础综合问题； 3、提升数形结合、运算求解与逻辑推理能力，落实数学抽象、直观想象等核心素养。 复习重难点 重点：三类函数的图象特征与单调性等基本性质，指数、对数运算法则，函数性质的常规应用。 难点：底数变化对指对函数性质的影响，幂函数指数对应的图象规律，以及多函数融合问题的转化思路。 知识点 幂函数 1.幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 2.常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递减 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 要点速测 知识点 指数函数 1.指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2.指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3.图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为 要点速测 知识点 对数函数 1.对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 3.当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 4.反函数 指数函数（且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的图象关于直线对称． 题型一 幂函数的概念 【典例1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高一·全国·课堂例题）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在区间上单调递减，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型二 幂函数的图象与性质 【典例2】（26-27高一上·全国·课后作业）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 题型三 指数函数的概念、定义域与值域 【典例3】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【变式3-2】（25-26高一上·全国·期中）函数的定义域为，则其值域为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 题型四 指数函数的图像与性质 【典例4】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式4-1】（25-26高一上·河北承德·期中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·广西桂林·期中）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   题型五 对数函数的概念、定义域与值域 【典例5】（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数，若图象过点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【变式5-2】（26-27高三上·山西·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 题型六 对数函数的图像与性质 【典例6】（26-27高三·全国·一轮复习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一下·广西贵港·开学考试）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A． B． C． D． 题型七 指数函数与对数函数的过定点问题 【典例7】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【变式7-1】（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一下·浙江·开学考试）函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 题型八 比大小 【典例8】（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知，，，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）三个数，的大小顺序是 （   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知，，，那么a，b，c的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）设，则的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 题型九 幂指对函数的图像判断问题 【典例9】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·广东广州·期末）若实数满足，则的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·山西阳泉·期末）已知函数，且，则a+b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   题型十 利用指对幂函数的单调性解不等式 【典例10】（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________． 【变式10-1】（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数，则的解集为______． 【变式10-2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，则不等式的解集为___________． 【变式10-3】（25-26高一上·江西上饶·期末）设函数，若满足，则的解集为__________；若满足，则的解集为__________. 题型十一 实际应用 【典例11】（23-24高一上·河南·期中）研究发现某国道路上的车辆平均速度与行驶地区的人口密度（人/）有如下关系：，其中k是一个常数．若已知该国人口密度为a人/的地区的车辆平均速度为，则该国人口密度为人/的地区的车辆平均速度是______． 【变式11-1】（21-22高一上·陕西渭南·期末）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤__________小时． 【变式11-2】（2019高一·全国·学业考试）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量与时间之间近似满足如图所示的图象，则y关于t的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h． 【变式11-3】（2026·北京·高考真题）我国在机器人技术领域取得了一系列重要成就．在处理机器人语音信号时，常用公式（其中常数）将声音频率（单位：）转换为．若的取值范围是，则的取值范围是________． 题型十二 指数函数、对数函数与奇偶性结合 【典例12】（25-26高一上·广西百色·期末）已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【变式12-1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【变式12-2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 【变式12-3】（25-26高一上·江苏扬州·期末）已知是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若，求的取值范围． 题型十三 指数函数与对数函数性质的综合应用 【典例13】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知幂函数在区间上单调递增． (1)判断的奇偶性； (2)设函数，判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 【变式13-1】（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）定义在上的奇函数和偶函数满足． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值． 【变式13-2】（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 【变式13-3】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数． (1)求证：函数图像为中心对称图形； (2)若，求关于的不等式的解集． 难点一 恒成立与有解问题 指对幂函数恒成立与有解问题核心是转化为函数最值问题，常用四类方法： 一是分离参数法，将参数与变量分离，恒成立对应参数≥函数最大值（或≤最小值），有解对应参数≥函数最小值（或≤最大值），适用于易分离的题型。 二是构造函数法，构造单调指对幂函数，结合单调性与定义域求值域，推导参数范围。 三是数形结合法，绘制函数图象，通过图象位置、交点个数直观判断，适用于选填快速求解。 四是分类讨论法，针对底数 a>1 与 0<a<1 分类分析单调性，结合端点验证。 难点精练 1．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）已知函数． (1)证明：． (2)若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 3．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知幂函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)若，求的值； (3)已知，若对于任意的，都存在，使得 成立，求实数的取值范围. 4．（26-27高一上·河南·期中）已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． (1)求，的解析式； (2)判断的单调性并用单调性的定义证明； (3)设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 难点二 新定义函数问题 指对幂函数新定义问题核心是 “读懂定义、回归本质”，常用四类解题方法： 一是定义转化法，精准拆解新运算、新函数的规则，将其转化为熟悉的指、对、幂函数表达式，明确定义域与运算约束条件。 二是性质迁移法，依托指对幂函数的单调性、值域与图象特征，推导新定义函数的奇偶性、单调性及取值范围。 三是分类讨论法，针对底数 a＞1 与 0＜a＜1、幂指数正负等情况分类分析，结合定义边界条件逐一验证。 难点精练 1．（25-26高一上·江西南昌·期中）对于定义在区间上的函数，定义：，． (1)已知，，，，试写出、、的表达式； (2)若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知，函数是上的“阶收缩函数”，求的取值范围． 2．（25-26高一上·河南郑州·期末）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？1691年，莱布尼茨等学者研究得出这就是著名的“悬链线问题”，现如今，作为神经网络激活函数之一，广泛应用在“deepseek”、“豆包”等AI大模型中.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，类似的，我们可以定义双曲正弦函数，设函数， (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在R上的单调性（写出推理过程，无需严格证明）； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 3．（26-27高一上·重庆·期中）已知函数的定义域均为，定义：①若存在个互不相同的实数，，使得，则称与关于 维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于 任意交换”． (1)判断函数 与 是否关于 1维交换”，并说明理由； (2)设 ，若存在函数，使得与关于 任意交换”，求的值； (3)设，若与关于 3维交换”，求实数的值． 4．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)已知，试判断是否为“类函数”? (2)若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； (3)若为“类函数”，求实数m的取值范围. 基础达标 1．（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）已知幂函数在区间上是减函数，则实数的值为（　　） A． B． C． D．或 2．（2026·高一·湖南永州·期中）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·安徽宣城·阶段检测）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则（　　） A． B． C． D． 5．（2026·高一·广东茂名·期中）已知，则（　　） A． B． C． D． 6．（2026·高一·吉林·期中）下列函数中，在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 7．若，则（ ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·河南安阳·阶段检测）若函数的定义域为，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·四川成都·阶段检测）给出下列函数，其中是奇函数的为（     ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·贵州铜仁·期末）已知，，则下列不等式能使成立的有（     ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·浙江衢州·阶段检测）已知函数，，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．最小值为2 D． 12．（2026·高一·全国·期中）已知幂函数在定义域上单调递减，若，则实数的取值范围为____． 13．（2026·高一·四川·期中）放射性同位素的剩余活性（单位：毫居里）随时间（单位：小时）的衰减规律遵循函数模型：，其中为初始活性，为常数.已知某次核医学检查使用的示踪剂锝，其初始活性为毫居里，该同位素的半衰期（即活性衰减至一半所需的时间）为小时.则经过一天（小时）后，其剩余活性为______毫居里. 14．（2026·高二·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 15．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数 (1)求，，的值； (2)请在给定的坐标系中画出的图象； (3)根据图象写出的值域（无需写出理由）． 16．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 17．（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 18．（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数， (1)若是奇函数，求的值； (2)求的值. 能力进阶 1．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·河南·期中）已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 3．已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·吉林长春·开学考试）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 8．（2026·高三·河南信阳·阶段检测）函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·河南·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．设，则“且”是“”的充分不必要条件 B．若集合中只有一个元素，则 C．若幂函数的图象经过点，则的图象关于轴对称 D．若命题“”为假命题，则 10．（多选题）（2026·高一·广东茂名·期中）已知幂函数的图象经过点，则（　　） A．为奇函数 B．在定义域上为减函数 C．的值域为R D．当时， 11．（多选题）（2026·高一·全国·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 12．（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 13．（2026·高一·河南·阶段检测）已知幂函数的图象过点，函数．若，则的取值范围是_________． 14．（2026·四川南充·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 15．（2026·高一·广西河池·阶段检测）已知幂函数的图象经过点． (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求实数的取值范围 16．（2026·高一·河南·阶段检测）已知为幂函数． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 17．（2026·高一·广东茂名·期中）已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)证明在上单调递增； (3)解不等式. 18．已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 复习要点 1、掌握幂函数、指数函数与对数函数的概念、图象及核心性质， 2、熟练完成指数、对数运算与函数值大小比较，能运用函数性质解决基础综合问题； 3、提升数形结合、运算求解与逻辑推理能力，落实数学抽象、直观想象等核心素养。 复习重难点 重点：三类函数的图象特征与单调性等基本性质，指数、对数运算法则，函数性质的常规应用。 难点：底数变化对指对函数性质的影响，幂函数指数对应的图象规律，以及多函数融合问题的转化思路。 知识点 幂函数 1.幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 2.常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递减 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 要点速测 知识点 指数函数 1.指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2.指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 温馨提示：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象． 3.图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为 要点速测 知识点 对数函数 1.对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 2.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 3.当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 4.反函数 指数函数（且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的图象关于直线对称． 题型一 幂函数的概念 【典例1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【变式1-1】（22-23高一·全国·课堂例题）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】函数为幂函数； 函数中的系数不是1，所以它不是幂函数； 函数不是（是常数）的形式，所以它不是幂函数； 函数与不相等，所以不是幂函数． 所以这4个函数中，幂函数只有1个 故选：B 【变式1-2】（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，可设， 由，所以. 所以. 【变式1-3】（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在区间上单调递减，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为函数在区间上单调递减， 所以， 所以可取0,1,2， 当时，为奇函数，舍去； 当时，，符合题意； 当时，为奇函数，舍去； 综上. 题型二 幂函数的图象与性质 【典例2】（26-27高一上·全国·课后作业）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【解析】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【解析】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 【变式2-3】（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 题型三 指数函数的概念、定义域与值域 【典例3】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足. 【变式3-1】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【解析】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高一上·全国·期中）函数的定义域为，则其值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，所以， 因为函数为增函数，所以， 故． 故选：C． 【变式3-3】（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 题型四 指数函数的图像与性质 【典例4】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】先做出函数的图象，保留轴右边的图象不变，并将轴右边的图象对称到轴左边，可得的图象，再将的图象向左平移1个单位，可得的图象，如下图：   . 故选：B 【变式4-1】（25-26高一上·河北承德·期中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，所以在定义域上单调递减． ，，故B符合题意． 故选：B． 【变式4-2】（25-26高一上·广西桂林·期中）当时，函数与函数在同一坐标系内的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，函数是增函数，排除AB选项 因为，所以，当时，，排除 D选项. 故选：C 【变式4-3】（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 故选：A 题型五 对数函数的概念、定义域与值域 【典例5】（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题设. 【变式5-1】（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数，若图象过点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】由题可得，所以，即，所以. 所以，所以. 故选：B. 【变式5-2】（26-27高三上·山西·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，解得，所以的定义域为. 【变式5-3】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得， 则， 则为增函数，所以． 题型六 对数函数的图像与性质 【典例6】（26-27高三·全国·一轮复习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知定义域为， 令，则，即为偶函数， 又当时，，此时函数单调递减，且过点， 综合上述，符合题意的函数图象只有D. 【变式6-1】（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 【变式6-2】（25-26高一下·广西贵港·开学考试）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以，故的对称轴在轴左侧，排除A与C； 由选项BD可知，，所以， 所以在对称轴右侧单调递减，在对称轴左侧单调递增，故B满足，D不满足. 【变式6-3】（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知，，函数图象关于直线对称，B、C错误. 因为外层函数是减函数，内层函数在上单调递减，在上单调递增. 根据“同增异减”原则，函数在上单调递增，在上单调递减，A错误，D正确. 故选：D 题型七 指数函数与对数函数的过定点问题 【典例7】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】C 【解析】由题，令，可得，则， 所以函数图象恒过定点， 代入方程，可得，则， 因为， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为， 【变式7-1】（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 【变式7-2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 【变式7-3】（25-26高一下·浙江·开学考试）函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】对于对数函数 ， 令，解得 ， 此时，因此函数过定点， 得 ，由条件 可得： ，即 ， 由 ，代入得： 利用1的代换结合基本不等式： 当且仅当成立时，等号成立， 结合 ，得 ，满足正数条件， 所以 . 所以当时，取最小值，最小值为. 题型八 比大小 【典例8】（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知，，，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在上单调递减，，故； 函数在上单调递增，，故； 函数在上单调递减，，故， 综上，. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）三个数，的大小顺序是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，而，故， 而，故，即， 故， 故选：B. 【变式8-2】（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知，，，那么a，b，c的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由指数函数的性质，可得，且，， 又由对数函数的性质，可得，所以. 故选：C. 【变式8-3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）设，则的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由指数函数与对数函数的性质，可得，所以. 故选：A. 题型九 幂指对函数的图像判断问题 【典例9】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一上·广东广州·期末）若实数满足，则的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 当时，；当时，；当时，，选项ABC可能，D不可能. 故选：D 【变式9-2】（24-25高一上·山西阳泉·期末）已知函数，且，则a+b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，且， 由，则，则， 从而，，即， 设，注意到， 易知在上单调递减， 于是. 【变式9-3】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 题型十 利用指对幂函数的单调性解不等式 【典例10】（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________． 【答案】 【解析】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 【变式10-1】（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数，则的解集为______． 【答案】 【解析】由函数，可得， 解得：，所以函数的定义域为， 而， 则，，得，故解集为． 【变式10-2】（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】因为，， 所以 令，则， 即，解得或， 则或，解得或， 则不等式的解集为. 故答案为：. 【变式10-3】（25-26高一上·江西上饶·期末）设函数，若满足，则的解集为__________；若满足，则的解集为__________. 【答案】 【解析】当时，，易知函数在上单调递减，则； 当时，，易知函数在上单调递增，则. 由不等式在上有解，则不等式化简可得，解得，即所求解集为. 令，不等式等价于， 当时，不等式化简可得，解得； 当时，不等式化简可得，解得. 综上可得，即， 当时，不等式化简可得，解得； 当时，不等式化简可得，解得. 综上可得不等式的解集为. 故答案为：；. 题型十一 实际应用 【典例11】（23-24高一上·河南·期中）研究发现某国道路上的车辆平均速度与行驶地区的人口密度（人/）有如下关系：，其中k是一个常数．若已知该国人口密度为a人/的地区的车辆平均速度为，则该国人口密度为人/的地区的车辆平均速度是______． 【答案】52 【解析】由，得， 当人口密度为人/时，车辆平均速度． 故答案为：52. 【变式11-1】（21-22高一上·陕西渭南·期末）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤__________小时． 【答案】4 【解析】根据题意有，，可得，即 设污染物消除至最初的还需要过滤x小时， 则，即 则，即， 则，解之得 故答案为：4 【变式11-2】（2019高一·全国·学业考试）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量与时间之间近似满足如图所示的图象，则y关于t的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h． 【答案】 【解析】由题意知，当时，函数图象是一条线段，易得解析式为； 当时，函数的解析式为，将(1,4)代入函数解析式，得，解得a＝3， 故解析式为． 所以． 令，则当时，，解得； 当时，，解得，所以． 故服药一次治疗疾病有效的时间为． 故答案为:;. 【变式11-3】（2026·北京·高考真题）我国在机器人技术领域取得了一系列重要成就．在处理机器人语音信号时，常用公式（其中常数）将声音频率（单位：）转换为．若的取值范围是，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意，则，解得， 所以f的取值范围为. 题型十二 指数函数、对数函数与奇偶性结合 【典例12】（25-26高一上·广西百色·期末）已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【解析】（1）由， 解得. 故函数的定义域为. （2）由（1）可得：的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 即，因此是奇函数. （3）已知一元二次不等式的解集为， 由韦达定理可得：，解得，， 此时不等式即 则可得，又因为，即， 则得，解得， 因此所求不等式的解集为. 【变式12-1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【解析】（1）因为是幂函数，且在上单调递增， 则且，由解得， 又，所以或3. 又是偶函数，则是偶数， 将或3分别代入，可得或6， 故或； （2）由（1），偶函数在上单调递增， 则由可得，故有， 两边取平方，整理得，解得或， 所以原不等式的解集是. 【变式12-2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. （2）由（1）得，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. （3）由（1）知，则不等式， 因此，即，解得或， 即或，所以原不等式的解集为. 【变式12-3】（25-26高一上·江苏扬州·期末）已知是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性并证明； (3)若，求的取值范围． 【解析】（1）方法一，因为是上的偶函数， 所以，所以，解得：， 检验：时，，所以， 所以，所以是偶函数， 综上. 方法二，因为是上的偶函数， 所以在上恒成立， 所以， 整理得：，所以. （2）在上单调递增，证明： 任取， 因为，所以，所以， 所以，即，因此在上单调递增． （3）因为是上的偶函数，所以， 因为在上单调递增，， 又， 所以，解得：. 题型十三 指数函数与对数函数性质的综合应用 【典例13】（26-27高一上·河南·阶段检测）已知幂函数在区间上单调递增． (1)判断的奇偶性； (2)设函数，判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 【解析】（1）依题意，可得，解得， 所以，，定义域为R． 因为，所以为奇函数． （2）在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，所以． 任取，，且， 则 ． 当时，，，， 所以．所以在区间上单调递增． 当时，，，， 所以．所以在区间上单调递减． 综上，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【变式13-1】（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）定义在上的奇函数和偶函数满足． (1)求和的解析式； (2)若函数在上的最大值为，求实数的值． 【解析】（1）因为是上的奇函数，故； 因为是上的偶函数，故. 由 ①，将替换为得：， 代入奇偶性性质化简得：② 联立①②两个方程： ①②得：，即​； ①②得：，即. （2）由题意，得. 令，当时，，且，此时可转化为关于的二次函数， ，，该二次函数开口向下，对称轴为. 当时，在上单调递减，最大值为，与题目最大值为矛盾，舍去； 当时，在上的最大值在对称轴处取得： ， 解得，又，故 【变式13-2】（25-26高一上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)当时，有解，求实数的范围. 【解析】（1）当时，，则满足， 令，则，可得，即，解得， 所以，解得，即函数的定义域为. （2）由，可得， 即，所以， 令，则， 方程即为，整理得，其中， 要使得方程在上有解， 即方程在上有解，即在上有解， 又由， 当且仅当，即时，即时，等号成立，所以恒成立， 所以使得方程在上有解，实数的取值范围为. 【变式13-3】（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数． (1)求证：函数图像为中心对称图形； (2)若，求关于的不等式的解集． 【解析】（1）已知，由，得，解得，所以函数的定义域为， 因为，所以， 故图像关于点中心对称， 所以函数图像为中心对称图形. （2），， 对于函数，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减， 函数在上单调递增，所以在上单调递减， 因为，所以函数在上单调递减， 因此在定义域上单调递减， 不等式变形为， 则，解得，所以， 故若，关于的不等式的解集是 难点一 恒成立与有解问题 指对幂函数恒成立与有解问题核心是转化为函数最值问题，常用四类方法： 一是分离参数法，将参数与变量分离，恒成立对应参数≥函数最大值（或≤最小值），有解对应参数≥函数最小值（或≤最大值），适用于易分离的题型。 二是构造函数法，构造单调指对幂函数，结合单调性与定义域求值域，推导参数范围。 三是数形结合法，绘制函数图象，通过图象位置、交点个数直观判断，适用于选填快速求解。 四是分类讨论法，针对底数 a>1 与 0<a<1 分类分析单调性，结合端点验证。 难点精练 1．（26-27高三上·河南南阳·阶段检测）已知函数． (1)证明：． (2)若且，不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）证明：． 因为，所以． 又，所以，所以， 即，所以，即． 故． （2）． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 依题意可得． 当时，，则满足题意． 当时，， 则，又，所以． 综上，的取值范围为． 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 3．（26-27高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知幂函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)若，求的值； (3)已知，若对于任意的，都存在，使得 成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为是幂函数,所以其系数为,即,解得或. 当时,指数,此时,在上单调递减,与题设不符,舍去. 当时,指数,此时,在上单调递增,符合题意. 所以. （2）由（1）知,所以题设等式为,其中. 又,所以或. 这两个值都能取到:由得,即或,二者均为正数,取时,取时. 所以的值为或. （3）在上单调递增,所以的最大值为,最小值为. 对固定的,存在使,等价于. 于是问题化为对任意都成立,即在上恒成立. 的图象开口向上,它在上的最大值必在端点处取得,故只需且. 由恒成立;由,解得. 所以实数的取值范围是. 4．（26-27高一上·河南·期中）已知函数，的定义域均为，是奇函数，是偶函数，且． (1)求，的解析式； (2)判断的单调性并用单调性的定义证明； (3)设函数，，若，，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1），则， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 所以，可得， 所以. （2）在上单调递增； 证明：，且， ， 因为函数为增函数，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）， 因为，因为函数为增函数，所以，， 所以，所以，所以， 即， 由题可得时，， ， 令，， 由（2）知为增函数，所以， 令，，对称轴， 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，与矛盾，舍去； 当，即时， ，解得， 综上：的取值范围是. 难点二 新定义函数问题 指对幂函数新定义问题核心是 “读懂定义、回归本质”，常用四类解题方法： 一是定义转化法，精准拆解新运算、新函数的规则，将其转化为熟悉的指、对、幂函数表达式，明确定义域与运算约束条件。 二是性质迁移法，依托指对幂函数的单调性、值域与图象特征，推导新定义函数的奇偶性、单调性及取值范围。 三是分类讨论法，针对底数 a＞1 与 0＜a＜1、幂指数正负等情况分类分析，结合定义边界条件逐一验证。 难点精练 1．（25-26高一上·江西南昌·期中）对于定义在区间上的函数，定义：，． (1)已知，，，，试写出、、的表达式； (2)若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知，函数是上的“阶收缩函数”，求的取值范围． 【解析】（1）根据定义：，， ①，在区间上单调递减， 其最大值为，故，， ②，是单调递增函数， 因此在区间上的最大值为，故，， ③，是开口向上的二次函数， 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增． 当时，在上单调递减，最小值为； 当时，在上的最小值为； 故． （2）当时，函数在上单调递减， 则 ，， 由题意，对于任意的 恒成立， 即对于任意的恒成立，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 由题意，当 时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，不恒成立，不符合题意； 当 时，，即，不恒成立，不符合题意； 综上所述，的取值范围为. 2．（25-26高一上·河南郑州·期末）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？1691年，莱布尼茨等学者研究得出这就是著名的“悬链线问题”，现如今，作为神经网络激活函数之一，广泛应用在“deepseek”、“豆包”等AI大模型中.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，类似的，我们可以定义双曲正弦函数，设函数， (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在R上的单调性（写出推理过程，无需严格证明）； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 【解析】（1） 为奇函数，证明如下： 由题意可知，的定义域为R， 因为，所以为奇函数； （2）在R上单调递增，理由如下： 因为， 而在R上为增函数，且恒成立， 所以在R上单调递减， 所以由复合函数的单调性可知在R上单调递增； （3）在R上为奇函数， ，所以， 由于在R上单调递增，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 3．（26-27高一上·重庆·期中）已知函数的定义域均为，定义：①若存在个互不相同的实数，，使得，则称与关于 维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于 任意交换”． (1)判断函数 与 是否关于 1维交换”，并说明理由； (2)设 ，若存在函数，使得与关于 任意交换”，求的值； (3)设，若与关于 3维交换”，求实数的值． 【解析】（1）由定义得，，问题等价于判断方程的实数解个数. 当时，方程化为，即，无解. 当时，方程化为，解得，符合. 当时，方程化为，即，无解. 所以方程有且只有一个实数解，即存在且只存在一个实数使得. 故与关于是“1维交换”. （2）“任意交换”即对任意恒成立. 因为为偶函数，有，所以. 又，，故对任意成立. 即，由得. 由，，得. 由对任意实数恒成立，且，得. 当时，取，则. 所以存在这样的，即. （3）由知即，等价于方程恰有3个互不相同的实数解. 因为，，所以恒为方程的解，只需方程在时恰有2个解. 若，则 时，无解； 时方程化为，判别式，两根之积，恰有一个负根，此时方程共2个解，不合题意， 故，且时，方程化为，两根之积为. 时两根之和，两根均为正，无负根； 时解得，无负根. 时两根异号，恰有一个负根； 此时上方程的判别式，无解，上方程的两根之积为正、之和为负，两根均为负，也无解，方程共2个解，不合题意， 故，且时方程化为，在上即为. 时该方程的解为，不符合. 时该方程两根之积为，只有一个正根，设为. 由得，故上恰有1个解. 在上方程为，判别式为. 两根存在时，两根之和为，两根之积为，故两根均为正数且都小于2. 所以时该方程有两个不同的解，都在内； 时判别式为0，有唯一解. 时判别式为负，该方程无解. 于是时上方程有3个解，时有2个解，时有1个解，时无解. 结合恒为方程的解，要使方程恰有3个互不相同的实数解，只需上恰有2个解，即. 故实数的值为. 4．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)已知，试判断是否为“类函数”? (2)若是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； (3)若为“类函数”，求实数m的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为， 若在定义域内存在实数，满足， 可得，即，所以方程无解，所以不是“类函数”. （2）因为是定义在上的“类函数”， 所以存在实数，满足， 即方程在上有解， 令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，；当时，， 所以，解得， 所以实数的最小值为. （3）由函数， 可得对恒成立，即对恒成立，所以， 若函数为其定义域上的“类函数”，则存在实数，满足， ①当时，，所以，所以， 因为函数在上是增函数， 当时，可得，所以； ②当时，，所以，矛盾； ③当时，，所以，所以， 因为函数在上是减函数， 当时，可得，所以； 综上所述，实数的取值范围是. 基础达标 1．（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）已知幂函数在区间上是减函数，则实数的值为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】由题意可得，解得. 所以实数的值为 2．（2026·高一·湖南永州·期中）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数为奇函数， 则对于定义域内的任意一个，都有， 即， 化简得恒成立， 所以. 3．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，当时，，所以， 函数在上单调递减，不满足要求，A错误； 对于选项B，当时，， 函数在上单调递减，不满足要求，B错误； 对于选项C，设， 函数为幂函数，定义域为，定义域关于原点对称， ，故函数为奇函数， 因为幂指数，所以函数在上单调递增， 结合为奇函数可得，函数在上单调递增，C正确； 对于选项D，设， 函数为幂函数，定义域为，定义域关于原点对称， ，故函数为奇函数， 因为幂指数，所以函数在上单调递减， 结合为奇函数可得，函数在上单调递减，D错误. 4．（2026·高一·安徽宣城·阶段检测）已知幂函数（）的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由是幂函数，则，解得； 因为图象关于轴对称，所以函数为偶函数，则指数为偶数； 又图象与轴、轴均无交点，所以，即， 又且，只需检验，易得只有时，为偶数， 故，所以，符合题意，因此． 5．（2026·高一·广东茂名·期中）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，， ， 故. 6．（2026·高一·吉林·期中）下列函数中，在上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：是反比例函数，该函数在上单调递减，符合要求； 选项B：是幂函数，幂指数，在定义域上单调递增，因此在上也单调递增，不符合要求； 选项C：是二次函数，图象开口向上，对称轴为，在上单调递增，因此在上也单调递增，不符合要求； 选项D：当时，在上单调递增，因此在上也单调递增，不符合要求. 7．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知， 因为在上单调递增，又，所以， 又因为在上单调递增，又，所以， 所以，故A正确. 8．（2026·高二·河南安阳·阶段检测）若函数的定义域为，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 所以，解得， 所以整数的最小值为. 故选：B. 9．（多选题）（2026·高一·四川成都·阶段检测）给出下列函数，其中是奇函数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，的定义域为，由于，所以在上为偶函数；故A不正确； 对于B，的定义域为，由于，所以在上为奇函数，故B正确； 对于C，的定义域为，由于，所以在上为奇函数，故C正确； 对于D，的定义域为，由于，所以在上为偶函数，故D不正确； 10．（多选题）（2026·高一·贵州铜仁·期末）已知，，则下列不等式能使成立的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为为增函数，且，所以，故A正确； 因为为上的减函数， 所以由，得，故B正确； 因为为上的增函数，由，可得，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 11．（多选题）（2026·高一·浙江衢州·阶段检测）已知函数，，且，下列说法正确的是（    ） A． B． C．最小值为2 D． 【答案】ABD 【解析】由，或， 当时，则有，这与相矛盾， 当时，有，显然选项B正确； 由 又因为，所以，所以， 所以选项A正确； 因为，所以，所以没有最小值， 因此选项C不正确；选项D正确. 12．（2026·高一·全国·期中）已知幂函数在定义域上单调递减，若，则实数的取值范围为____． 【答案】 【解析】幂函数在定义域上单调递减， 若， 则且且， 得且且， 可得． 13．（2026·高一·四川·期中）放射性同位素的剩余活性（单位：毫居里）随时间（单位：小时）的衰减规律遵循函数模型：，其中为初始活性，为常数.已知某次核医学检查使用的示踪剂锝，其初始活性为毫居里，该同位素的半衰期（即活性衰减至一半所需的时间）为小时.则经过一天（小时）后，其剩余活性为______毫居里. 【答案】 【解析】由题意可知，，即， 代入得：，故. 14．（2026·高二·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 【答案】 7 【解析】令，得. 所以函数（且）过定点， 所以， 故. 15．（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知函数 (1)求，，的值； (2)请在给定的坐标系中画出的图象； (3)根据图象写出的值域（无需写出理由）． 【解析】（1）函数， （2） （3）由图象可知， 值域为 16．（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 【解析】（1）因为是指数函数，所以系数为1，且底数且， 由，得，即，解得， 所以； （2）由，得不等式为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 17．（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 【解析】（1）令，等价于，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数为奇函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 且，即， 所以函数为奇函数. （3）由题意可得：， 因为在定义域内单调递增，且在区间内单调递减， 则函数在定义域内单调递减， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. 18．（2026·高一·安徽淮北·期末）已知函数， (1)若是奇函数，求的值； (2)求的值. 【解析】（1）因函数的定义域为， 则是上的奇函数， 故，解得. 则， 由，可知是奇函数， 故. （2）由（1）得，， 即， 所以. 能力进阶 1．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数，设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为. 因为,所以为偶函数,故. 当时,幂函数单调递减,即在上单调递减. 又,. 因为,所以,即,所以. 2．（2026·高一·河南·期中）已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】由可得， 因为均为递增函数，所以也为递增函数， 所以，即， 因为，所以， 等号成立时， 故的最小值为 3．已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，可知的定义域为，定义域关于原点对称， 且 ， 则是定义在上的偶函数， ， 在单调递减，函数为增函数， 在单调递减， 由函数为偶函数可得，等价于， ，解得. 4．设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. 5．（2026·高一·吉林长春·开学考试）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增，且，所以，即. 因为函数在R上单调递减，且，所以，即， 所以. 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 在单调递减， ， ， 在单调递增， ， ， 在单调递增，， ， 综上：. 7．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．1或3 【答案】B 【解析】由于为幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，不符合题意； 当时，，定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，图象关于轴对称， 且在上是减函数，符合题意． 8．（2026·高三·河南信阳·阶段检测）函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，因为函数的值域为，则内层函数的值域包含， 当时，内层函数的值域为，符合题意； 当时，因为内层函数的值域包含， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 9．（多选题）（2026·高一·河南·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．设，则“且”是“”的充分不必要条件 B．若集合中只有一个元素，则 C．若幂函数的图象经过点，则的图象关于轴对称 D．若命题“”为假命题，则 【答案】ABD 【解析】选项A：充分性：若且，两式相加得，充分性成立； 必要性：取，满足，但不满足，必要性不成立，故为充分不必要条件，A正确； 选项B：若，不等式无解，即，不符合题意； 当时，解不等式得，显然是不等式的一个整数解， 要想集合只有一个整数解，则是唯一的整数解， 此时应满足且，解得，结合可得. 综上所述：的取值范围是，B正确； 选项C ：幂函数过点，代入得，解得，即， 这是奇函数，图象关于原点对称，不关于轴对称，C错误； 选项D：原特称命题为假命题，则它的否定“”为真命题， 即对所有恒成立， 令， 在上的最大值为，因此，D正确. 10．（多选题）（2026·高一·广东茂名·期中）已知幂函数的图象经过点，则（　　） A．为奇函数 B．在定义域上为减函数 C．的值域为R D．当时， 【答案】AD 【解析】设，将代入得：，解得，故， AC选项，的定义域为，值域为， 且，奇函数，A正确，C错误； B选项，在上单调递减，但不能在整个定义域上单调递减，B错； D选项，， 故， 因为，所以， 故，D正确 11．（多选题）（2026·高一·全国·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】BCD 【解析】由题意可得：函数的定义域为， 对于选项A：因为，， 即，函数不是偶函数，故A错误； 对于选项B：因为， 所以函数是奇函数，故B正确； 对于选项C：函数在上单调递增， 则函数在上是增函数，故C正确； 对于选项D：因为，则，可得， 即，所以的值域为，故D正确. 12．（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【解析】由，解得， 所以定义域为， 易知在定义域单调减，由复合函数的单调性：同增异减，求出的减区间即为函数的单调递增区间，再结合二次函数的性质可知，的单调递增区间为. 13．（2026·高一·河南·阶段检测）已知幂函数的图象过点，函数．若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】设幂函数，代入，解得，故， 当时，， 不等式为，可得，即， 又在上单调递增，故， 当时，，， 不等式为，即，可得，即， 又在上单调递增，故，解得， 当时，，成立， 综上所述，. 14．（2026·四川南充·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由是幂函数，且在上单调递减， 则，即，解得， 则，即，又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 15．（2026·高一·广西河池·阶段检测）已知幂函数的图象经过点． (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求实数的取值范围 【解析】（1）由题意：，解得； （2）是偶函数，理由如下： ,定义域为，关于原点对称, 又因, 故是偶函数； （3）因为是偶函数，且在上单调递减， 因，则，即． 且， 两边取平方得， 整理得， 解得， 又因，则得， 故实数的取值范围为. 16．（2026·高一·河南·阶段检测）已知为幂函数． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 【解析】（1）因为为幂函数， 则，解得， 所以. （2）由（1）可知：， 则关于的不等式即为， 又因为，可知函数为定义在上的奇函数，且为增函数， 由可得， 则，可得， 令，解得或， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 17．（2026·高一·广东茂名·期中）已知函数. (1)判断的奇偶性并证明； (2)证明在上单调递增； (3)解不等式. 【解析】（1）是奇函数， 证明如下：定义域为，关于原点对称, ，故为奇函数. （2）， 任取，且，所以， 所以，，， 所以， 所以在上单调递增. （3）因为， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 解得. 18．已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. 【解析】（1） ； （2）； （3）设 则， 所以， 由（2）知， 所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $