第6章 幂函数、指数函数和对数函数（举一反三讲义·基础篇）高一数学苏教版必修第一册

第6章 幂函数、指数函数和对数函数全章八大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 求幂函数的函数值、解析式 1．（24-25高一上·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B．8 C． D．16 【答案】A 【解题思路】由点求得函数解析式即可求解； 【解答过程】设， 则，解得：， 所以， 故选：A. 2．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由幂函数定义可设，由条件列方程求，可得结论. 【解答过程】因为函数为幂函数，故可设， 因为函数的图象过点， 所以， 所以， 所以，即. 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【解题思路】将点代入幂函数解析式求解即可. 【解答过程】因为是幂函数，图象经过点，设， 则，解得，故, 故答案为：. 4．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若，求实数a的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）由幂函数的定义求得或，再检验即可求得函数表达式，代入求值即可； （2）由偶函数性质可得，由此解方程即可得解. 【解答过程】（1）由题意知，解得或， 当时，为奇函数，不满足题意； 当时， ，满足题意， ∴，∴. （2）由和可得，即或， ∴或. 5．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可. （2）根据单调性求不等式. 【解答过程】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以． （2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 题型2 幂函数的定义域、值域问题 1．（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【解答过程】函数的定义域为. 故选：B. 2．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【解答过程】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 3．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 【答案】 【解题思路】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可. 【解答过程】因为函数为幂函数，则，即， 解得或， 当时，函数的定义域为，合乎题意； 当时，函数的定义域为，舍去. 综上所述，. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】利用幂指数为分数的意义即为根式，来求定义域. 【解答过程】（1）由幂函数，可知定义域为； （2）由幂函数，可知定义域为； （3）由幂函数，可知定义域为. 5．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【答案】， 【解题思路】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【解答过程】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增， 所以，， 故时，的值域是． 题型3 指数函数的判定及求参 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数定义即可判断. 【解答过程】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【解答过程】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】利用指数函数定义可求解. 【解答过程】因为函数是指数函数，所以需满足， 解得且.故实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)幂函数 (2)幂函数 (3)指数函数 (4)幂函数 (5)指数函数 (6)指数函数 【解题思路】利用指数函数与幂函数的定义逐一判断即可得解. 【解答过程】（1）因为形如（且）是指数函数， 形如（）是幂函数，故是幂函数； （2）是幂函数； （3）是指数函数； （4）是幂函数； （5）是指数函数； （6）是指数函数. 5．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明见解析 【解题思路】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证. 【解答过程】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）是偶函数， 证明如下：，， ， 是偶函数． 题型4 指数（型）函数的定义域与值域 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【解答过程】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数单调性，结合二次函数值域求出值域. 【解答过程】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 则，所以函数的值域为. 故选：B. 3．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【解题思路】函数可化为，根据题意，结合二次函数的单调性，求出函数y的最小值与最大值，即可得出函数的值域. 【解答过程】由题意可得：， 因为时，则， 根据二次函数的单调性知， 时，y取得最小值为；时，y取得最大值为； 所以函数y的值域是 故答案为： 4．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求函数的定义域和值域. 【答案】(1)1 (2)的定义域为；值域为 【解题思路】（1）由代入计算可得； （2）由（1）可得，即可求出函数的定义域，再将函数解析式变形为，结合指数函数与反比例函数的性质计算可得. 【解答过程】（1）由题意知，函数的图象过点，可得， 解得； （2）由（1）知函数， ∵，，即的定义域为， 因为， 又∵，，∴， 所以的值域为. 5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出，作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，利用换元法转化为二次函数求出值域即可. 【解答过程】（1）由函数是上的奇函数，则有，解得， 所以， ，， 即，，解得， 经验证得，时，是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 令，，则， 于是函数变为， 对称轴为，所以在单调递减，在单调递增， 因此当时，，当时，， 所以函数的值域为. 题型5 指数（型）函数的单调性问题 1．（24-25高三上·山西·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分两种情况讨论，当和分别对函数的单调性进行讨论. 【解答过程】由题意可知，该函数为指数型复合函数， 当时，令，对称轴为，则要使（，且）在区间上单调递增，则则； 当时， 要使（，且）在区间上单调递增， 则，则，综上，. 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 2．（24-25高一上·宁夏银川·期中）设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据指数函数的底数与单调性的关系直接判断即可. 【解答过程】由指数函数的性质可知，“是增函数”“”， 所以“”是“是增函数”的充要条件， 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 【答案】 【解题思路】利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间. 【解答过程】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间. 故答案为：. 4．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求的值域： (2)若单调递增，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当代入，令化简，通过一元二次函数计算值域即可； （2）通过（1）可知只需在上单调递增，分别讨论，和即可. 【解答过程】（1）当时，， 令，则，故， 所以的值域为． （2）由（1）可得，， 因为在上单调递增， 要使在上单调递增，只需在上单调递增即可， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得：. 所以m的取值范围是. 5．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值. (2)试判断的单调性并证明，并求的值域. (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析，的值域为； (3) 【解题思路】（1）根据，求出； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，并由，变形解不等式，求出值域； （3）由函数奇偶性和单调性，得到，解不等式，求出解集. 【解答过程】（1）因为是定义域为R的奇函数，故， ，即， 故，解得； （2）由（1）知，，在R上单调递增， 任取，且， ， 因为，在R上单调递增，故， 又， 所以，即， 所以在R上单调递增， ，变形得到，解得， 故的值域为； （3）因为是定义域为R的奇函数， 故， 由（2）知，在R上单调递增， 所以，令， 则，解得， 故，解得， 不等式的解集为. 题型6 求对数函数的函数值或解析式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【解答过程】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设对数函数解析式求参即可. 【解答过程】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 【答案】 【解题思路】把已知点坐标代入解析式，可求出，即可求解. 【解答过程】由题可得，即， 因为，且，所以， 故函数解析式为． 故答案为：. 4．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知对数函数，且）的图象经过点，求的值. 【答案】0；；1. 【解题思路】由图象过点，求出a，再由函数表达式求出相应的函数值. 【解答过程】由题意知，即，而且， 所以，， 所以， ， . 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点． (1)求； (2)若函数，求的定义域． 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）根据待定系数法求出解析式，再求值即可； （2）求出表达式，根据对数函数的性质得到真数为正，构造不等式组计算即可． 【解答过程】（1）由题意可得，可得，故，故； （2）， 其中，解得， 此时函数的定义域为． 题型7 对数（型）函数的定义域与值域 1．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用对数式有意义的条件即可求出四个选项中函数的定义域，即可得解. 【解答过程】对于A选项：令，解得或， 则定义域为，故A错误； 对于B选项：令，解得，定义域为，故B正确； 对于C选项：因为，所以，定义域为，故C错误； 对于D选项：令，解得，定义域为，故D错误． 故选：B. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 3．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 . 【答案】 【解题思路】先得到二次函数的值域，再结合对数函数的单调性，即可得到结果. 【解答过程】对于，对称轴为， 所以， 又在上单调递增，其中， 所以当时，取得最小值，即， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意得到在上恒成立，再分类讨论求解即可； （2）根据题意得到的值域必须包含，再分类讨论求解即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为， 则在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，有，解得． 所以实数的取值范围为． （2）函数的值域为， 则的值域必须包含， 当时，，不符合题意； 当时，有，解得. 所以实数的取值范围为． 5．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）代入，由，利用对数型复合函数单调性求值域； （2）将条件转化为在上恒成立，利用计算即可； （3）根据对数型复合函数的单调性进行判断计算. 【解答过程】（1）当时，， 令，则， 对数函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. （2）若的定义域为，则在上恒成立， 所以. 所以实数的取值范围是. （3）二次函数开口向上，对称轴为， 对数函数在上单调递增， 若在上单调递增， 则. 所以实数的取值范围是. 题型8 对数（型）函数的单调性问题 1．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【解答过程】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复合函数的单调性及对数函数的单调性和定义域求解即可. 【解答过程】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 故选：B. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【解答过程】令，因为在区间上是减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)奇函数，证明如见解析 (2)单调递增区间为和，单调递减区间不存在 【解题思路】（1）求出函数的定义域，利用奇偶性定义推理判断即可. （2）结合反比例函数与对数函数求出单调区间. 【解答过程】（1）函数中，，解得或， 则的定义域为， 函数为奇函数，证明如下：， 由奇函数的定义可知，为奇函数． （2）令，函数在和上单调递增， 又在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间不存在. 5．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出函数定义域，再利用对数函数、二次函数单调性求出递减区间. （2）按分类求出函数在指定区间上的最大值，再建立不等式求解即得. 【解答过程】（1）函数有意义，则，解得， 此时，令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而当时，函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. （2）由（1）得，当时，函数在上单调递减，， 依题意，，解得； 当时，函数在上单调递增，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数全章八大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 求幂函数的函数值、解析式 1．（24-25高一上·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B．8 C． D．16 2．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则 ． 4．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若，求实数a的值. 5．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 题型2 幂函数的定义域、值域问题 1．（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ． 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 5．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 题型3 指数函数的判定及求参 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为 . 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 5．（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 题型4 指数（型）函数的定义域与值域 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）函数的值域是 . 4．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求函数的定义域和值域. 5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域. 题型5 指数（型）函数的单调性问题 1．（24-25高三上·山西·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·宁夏银川·期中）设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 4．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求的值域： (2)若单调递增，求m的取值范围． 5．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值. (2)试判断的单调性并证明，并求的值域. (3)解关于的不等式. 题型6 求对数函数的函数值或解析式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ． 4．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知对数函数，且）的图象经过点，求的值. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点． (1)求； (2)若函数，求的定义域． 题型7 对数（型）函数的定义域与值域 1．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 . 4．（2025高一·全国·专题练习）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若的值域为，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 题型8 对数（型）函数的单调性问题 1．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)求函数的单调区间． 5．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)当在上恒成立，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $