专题7.1 角与弧度（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

本讲义聚焦“角与弧度”核心知识点，从任意角的概念（正角、负角、零角）入手，系统梳理象限角、终边相同角的集合表示，进而引入弧度制（定义、换算、与实数集的一一对应），最终落实到弧长与扇形面积公式的应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 以数学抽象、直观想象、数学运算素养为导向，设置即学即练与分层题型（如终边相同角表示、象限判断、扇形最值问题），课中助力教师高效授课，课后学生可通过变式练习与综合题强化理解，有效查漏补缺。

专题7.1 角与弧度 教学目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合，利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题. 3.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；了解角的集合与实数集R之间可以建立一一对应的关系，体会引进弧度制的必要性；掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题 4.在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，提升学生的数学抽象、直观想象素养，借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养. 2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升学生的数学运算素养. 教学重难点 1.重点 理解任意角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示；正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。 2.难点 用集合符号表示终边相同的角；终边相同角的表示，区间角的集合书写；能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题. 知识点01 任意角的概念 1.角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点_________所成的图形. 2.角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. 3.角的分类 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 负角 零角 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 【即学即练】 1．经过5分钟，分针的转动角为（      ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02 象限角、轴线角与终边相同的角 1.终边相同的角 若角α,β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 2.象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念： 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是_________；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为_________. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 ③轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 3.区间角、区域角 区间角、区域角的定义： 介于两个角之间的角的集合叫做_________，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做_________，显然区域角包含无数个区间角. 4.角的终边的对称问题与垂直问题 角α,β终边的位置关系 α,β的关系 α与β的终边关于x轴对称 α与β的终边关于y轴对称 α与β的终边关于原点对称 α与β的终边在一条直线上 α与β的终边垂直 α与β的终边关于直线y=x对称 α与β的终边关于直线y=-x对称 【即学即练】 1．已知角和角，则下列说法正确的是（      ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 2．下面与终边相同的角是（      ） A． B． C． D． 知识点03 弧度制 1．角度制、弧度制的概念 (1)角度制的概念： 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做_________. (2)弧度制的相关概念： ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以_________作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数的概念： 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为_________，顺时针旋转为_________.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的关系： (2)特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 (3)用弧度表示终边相同的角： 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 3．弧度制下角的终边的对称与垂直： 角α,β终边的位置关系 α,β的关系 α与β的终边关于x轴对称 α与β的终边关于y轴对称 α与β的终边关于原点对称 α与β的终边关于y=x对称 x与β的终边关于y=-x对称 α与β的终边在一条直线上 α与β的终边垂直 【即学即练】 1．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（      ） A． B． C． D． 2．把化成度的结果为（      ） A． B． C． D． 知识点04 弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α. 弧长公式： 由公式，可得. 扇形面积公式： . 弧长公式及扇形面积公式的两种表示： 角度制 弧度制 弧长公式 扇形面积公式 注意事项 【即学即练】 1．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（      ） A． B． C． D． 2．若扇形的周长是8，面积4，则扇形的圆心角为 ． 题型01 任意角的概念 【典例1】下列命题中正确的是（      ） A．终边和始边都相同的角一定相等 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．小于的角一定是锐角 D．大于或等于且小于的角一定是锐角 判断角的概念问题的策略： (1)正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别． (2)弄清角的始边与终边及旋转方向与大小，“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． (3)判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 【变式1】下列说法正确的是（      ） A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角 C．第四象限角一定是负角 D．小于的角都是锐角 【变式2】（多选）下列说法中正确的是（      ） A．锐角是第一象限角 B．第二象限角为钝角 C．小于的角一定为锐角 D．角与的终边关于轴对称 【变式2】手表时针走过小时，时针转过的角度为（      ） A． B． C． D． 题型02 终边相同的角 【典例1】与角终边相同的角的集合是（      ） A． B． C． D． 终边相同的角的表示： (1)与角α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． (3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (4)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍． 【变式1】下列各角中，与角终边相同的角是（      ） A． B． C． D． 【变式2】把表示成，的形式，使最小的值是（      ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知角与角的终边相同，则角可以是（      ） A． B． C． D． 【变式4】如果角与的终边相同，角与的终边相同，则与的关系是（      ） A． B． C． D． 题型03 利用图形写出角（范围） 【典例1】如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（      ） A． B． C． D． 表示区域角的三个步骤： (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的－360°～360°范围内的角α，β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整倍数，即得区域角的集合． 【变式1】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（      ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（      ） A． B． C． D． 【变式3】写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 题型04 判断角所在的象限 【典例1】若与角终边相同，则是第（      ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 象限角的判定方法： (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在0°≤α<360°范围内的角α的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系，故可将角转化到0°≤α<360°范围内进行判断． (2)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (3)所在象限的判断方法 (4)已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论； ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 【变式1】设是第一象限的角，则所在的象限为（      ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【变式2】（多选）设为第二象限角，则可能是（      ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式3】已知角第二象限角，且，则角是（      ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型05 利用弧度制表示角的集合 【典例1】与60°角终边相同的角可以表示为（      ） A． B． C． D． 【变式1】用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合． 【变式2】用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 题型06 角度制与弧度制的相互转化 【典例1】（1）化为角度是（      ） A． B． C． D． （2）将化为弧度是（      ） A． B． C． D． 【变式1】化成弧度是（      ） A． B． C． D． 【变式2】已知，若与的终边相同，且，则 【变式3】把下列角度与弧度进行互化． (1)72°； (2)－300°； (3)2； (4). 题型07 弧长公式与扇形面积公式的应用 【典例1】已知扇形的圆心角为，面积为25，则该扇形的弧长为（      ） A．5 B． C．10 D． 扇形的弧长和面积的求解策略： (1)记公式：面积公式：S＝lR＝αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解． 【变式1】圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（      ） A． B． C． D． 【变式2】如图，曲线段是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（      ） A．R B．R C．R D．2R 【变式3】中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，，则扇环的面积为（      ） A．128 B． C． D．192 【变式4】如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则__________ 题型08 扇形中的最值问题 【典例1】体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（      ）    A． B． C． D． 【变式1】已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（      ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式2】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【变式3】已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【变式4】某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 1．下列命题中正确的个数是（      ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是. A．1 B．2 C．3 D．5 2．已知α为第三象限角，则所在的象限是（      ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 3．与1°角终边相同的角的集合是（      ） A． B． C． D． 4．若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．下列命题中，正确的是（      ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 C．若是第一象限的角，则是第四象限的角 D．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 6．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（      ） A． B． C． D． 7．（多选）角的终边在第三象限，则的终边可能在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 8．（多选）某日，分针长为的时钟从走到，分针转动的弧度为，分针的针尖走过的弧长为，则（      ） A． B． C． D． 9． （多选）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作圆弧BE；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧EG，……，如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE，EG，GI的长度分别为，对于以下四个命题其中正确的是（    ） A.； B.； C.； D.. 10．2弧度的角所在的象限是第 象限． 11．半径为2的扇形中，圆心角为，该扇形的弧长为 ，面积为 ． 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    13．用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 14．如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 角与弧度 教学目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合，利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题. 3.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；了解角的集合与实数集R之间可以建立一一对应的关系，体会引进弧度制的必要性；掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题 4.在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，提升学生的数学抽象、直观想象素养，借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养. 2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升学生的数学运算素养. 教学重难点 1.重点 理解任意角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示；正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。 2.难点 用集合符号表示终边相同的角；终边相同角的表示，区间角的集合书写；能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题. 知识点01 任意角的概念 1.角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. 2.角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. 3.角的分类 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 【即学即练】 1．经过5分钟，分针的转动角为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念计算可得； 【解析】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 2．在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合任意角的概念分析即可. 【解析】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立； 因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立； 若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立； 例如，，但，故④不成立. 故选：B. 知识点02 象限角、轴线角与终边相同的角 1.终边相同的角 若角α,β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 2.象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念： 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 ③轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 3.区间角、区域角 区间角、区域角的定义： 介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. 4.角的终边的对称问题与垂直问题 角α,β终边的位置关系 α,β的关系 α与β的终边关于x轴对称 α与β的终边关于y轴对称 α与β的终边关于原点对称 α与β的终边在一条直线上 α与β的终边垂直 α与β的终边关于直线y=x对称 α与β的终边关于直线y=-x对称 【即学即练】 1．已知角和角，则下列说法正确的是（      ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 【答案】C 【分析】根据任意角的概念逐项判断. 【解析】A，角，是第一象限角，但不是锐角，A错误； B，角，角，则角和的终边相同，但，B错误； C，的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的两个角互为相反角，C正确； D，角的终边在第二象限，则角不是钝角，D错误. 故选：C. 2．下面与终边相同的角是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由终边相同的角求出最小正角和最大负角即可求解. 【解析】与终边相同的角可以表示为， 当时，为与终边相同的最小正角； 当时，为与终边相同的最大负角， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 知识点03 弧度制 1．角度制、弧度制的概念 (1)角度制的概念： 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制的相关概念： ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数的概念： 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的关系： (2)特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角： 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 3．弧度制下角的终边的对称与垂直： 角α,β终边的位置关系 α,β的关系 α与β的终边关于x轴对称 α与β的终边关于y轴对称 α与β的终边关于原点对称 α与β的终边关于y=x对称 x与β的终边关于y=-x对称 α与β的终边在一条直线上 α与β的终边垂直 【即学即练】 1．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用弧度制表达出，进而表达出与角的终边相同的角的集合. 【解析】因为，且角度和弧度不能在一个集合中同时使用， 故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D. 2．把化成度的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度和角度的转化关系可得正确的选项. 【解析】. 故选：C. 知识点04 弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α. 弧长公式： 由公式，可得. 扇形面积公式： . 弧长公式及扇形面积公式的两种表示： 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 【即学即练】 1．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由扇形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【解析】圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为． 故选：C. 2．若扇形的周长是8，面积4，则扇形的圆心角为 ． 【答案】2 【分析】设扇形的圆心角为，半径为R，则由已知可得，解方程组可得答案 【解析】解：设扇形的圆心角为，半径为R，则． 故答案为：2． 题型01 任意角的概念 【典例1】下列命题中正确的是（      ） A．终边和始边都相同的角一定相等 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．小于的角一定是锐角 D．大于或等于且小于的角一定是锐角 【答案】B 【解析】根据任意角的定义判断． 【解析】终边和始边都相同的角不一定相等，可以是终边相同角，故A错误；始边相同而终边不同的角一定不相等，B正确；小于的角包括锐角、零角和负角，故C错误；零角不是锐角，故D错误；只有B正确． 故选：B． 判断角的概念问题的策略： (1)正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别． (2)弄清角的始边与终边及旋转方向与大小，“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． (3)判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 【变式1】下列说法正确的是（      ） A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角 C．第四象限角一定是负角 D．小于的角都是锐角 【答案】B 【分析】利用角的概念及其推广对每一个选项逐一分析判断得解. 【解析】终边相同的角不一定相等，所以该选项错误； 钝角一定是第二象限角，所以该选项正确； 第四象限角不一定是负角，如是第四象限的角，但是不是负角，所以该选项错误； 小于的角不都是锐角，如.所以该选项错误. 故选B 【变式2】（多选）下列说法中正确的是（      ） A．锐角是第一象限角 B．第二象限角为钝角 C．小于的角一定为锐角 D．角与的终边关于轴对称 【答案】AD 【分析】根据象限角、锐角的定义判断ABC，根据任意角的定义判断D. 【解析】对于A：因为锐角的范围为，终边落在第一象限，故锐角为第一象限角，正确； 对于B：终边落在第二象限的角不一定是钝角，如的角的终边位于第二象限，但不是钝角，错误； 对于C：小于的角不一定是锐角，如的角小于，但不是锐角，错误； 对于D：由角的定义可知，角与的终边关于轴对称，正确； 故选：AD 【变式2】手表时针走过小时，时针转过的角度为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的定义以及正负角的定义，即可求得结果. 【解析】∵时针顺时针旋转， ∴针转过的角度为负数，， 故选：B. 题型02 终边相同的角 【典例1】与角终边相同的角的集合是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角定义判断即可. 【解析】一般来说，角度、弧度不能混用，故A，D错误， 与角终边相同的角的集合是，B错误，C正确， 故选：C. 终边相同的角的表示： (1)与角α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． (3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (4)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍． 【变式1】下列各角中，与角终边相同的角是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据终边相同的角的定义计算. 【解析】与角终边相同的角为：,结合选项可得，，才符合题意. 故选：D 【变式2】把表示成，的形式，使最小的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先将化为，再利用终边相同的角的表示方法，可得和终边相同的角的表示为，，然后求出符合题意的值即可. 【解析】，和终边相同的角的表示为：，k∈Z,即，或；要使最小，所以. 故选：D. 【变式3】（多选）已知角与角的终边相同，则角可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据终边相同的角的知识确定正确选项. 【解析】依题意， 当时，， 当时，， 所以BD选项符合，AC选项不符合. 故选：BD 【变式4】如果角与的终边相同，角与的终边相同，则与的关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将角和角表示出来，因为，所以易得 ． 【解析】由题意，， ∴． 故选D 题型03 利用图形写出角（范围） 【典例1】如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先写出在间阴影部分区域表示的角的范围，再写出终边落在阴影部分的区域内的任意角的集合. 【解析】在间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为和， 所以阴影部分的区域在间的范围是， 所以终边在阴影部分区域的角的集合为. 故选：C. 表示区域角的三个步骤： (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； (2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的－360°～360°范围内的角α，β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整倍数，即得区域角的集合． 【变式1】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【解析】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 【变式2】已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，由此判断出正确选项. 【解析】令，则，故B选项符合. 故选：B 【变式3】写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 【答案】（1）； （2）. 【分析】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可求解. 【解析】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角， 则得（1）； （2）. 题型04 判断角所在的象限 【典例1】若与角终边相同，则是第（      ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】根据终边相同的角，表示出，得到，即可判断出结果. 【解析】因为与角终边相同，所以，则， 所以是第三象限角； 故选：C. 象限角的判定方法： (1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在0°≤α<360°范围内的角α的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系，故可将角转化到0°≤α<360°范围内进行判断． (2)nα所在象限的判断方法 确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (3)所在象限的判断方法 (4)已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论； ②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1，2，3，4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出． 【变式1】设是第一象限的角，则所在的象限为（      ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【解析】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C. 【变式2】（多选）设为第二象限角，则可能是（      ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【分析】为第二象限角，得到，得到答案. 【解析】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 故选：CD 【变式3】已知角第二象限角，且，则角是（      ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】写出象限角的取值范围，可求出是第一象限角或第三象限角，再由可得出选项. 【解析】因为角第二象限角，所以， 所以，所以角是第一象限角或第三象限角． 又因为，即，所以角是第一象限角， 故选：A． 题型05 利用弧度制表示角的集合 【典例1】与60°角终边相同的角可以表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用终边相同角的概念，结合弧度制可判断. 【解析】A,B弧度角度混用，错误. 与角终边相同的角可以表示，则C错误． 弧度制下表示为，则D正确. 故选：D. 【变式1】用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合． 【答案】 【分析】根据象限角的定义结合弧度制分析求解. 【解析】终边落在射线OA上的角为，，即，， 终边落在射线OB上的角为，，即，， 故终边落在阴影部分内（含边界）的角θ的集合为． 【变式2】用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)；(2). 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【解析】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 题型06 角度制与弧度制的相互转化 【典例1】（1）化为角度是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接将换成即可. 【解析】化为角度是. 故选：D. （2）将化为弧度是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用度与弧度的互化公式计算得解. 【解析】. 故选：A. 【变式1】化成弧度是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式求解 【解析】因为，所以. 故选：A 【变式2】已知，若与的终边相同，且，则 【答案】 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解. 【解析】因为与的终边相同， 且，即， 所以， 故答案为：或 【变式3】把下列角度与弧度进行互化． (1)72°； (2)－300°； (3)2； (4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)－40°. 【分析】（1）（2）（3）（4）利用弧度与角度的互化公式求解即可. 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型07 弧长公式与扇形面积公式的应用 【典例1】已知扇形的圆心角为，面积为25，则该扇形的弧长为（      ） A．5 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】先根据扇形面积公式求出半径，再根据弧长公式求出弧长. 【解析】已知扇形圆心角，面积. 由扇形面积公式，可得，即，解得或（半径不能为负舍去），所以. 由弧长公式，已知，，可得弧长. 故选：C. 扇形的弧长和面积的求解策略： (1)记公式：面积公式：S＝lR＝αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解． 【变式1】圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式计算即可得解. 【解析】由扇形面积公式（其中为扇形弧长，为扇形圆心角，为扇形半径）可得，扇环面积. 故选：A 【变式2】如图，曲线段是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（      ） A．R B．R C．R D．2R 【答案】C 【分析】先由弧长公式求出圆心角，再由三角形中计算得出； 【解析】设所对的圆心角为. 则由题意，得.所以， 所以， 故选:C. 【变式3】中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，，则扇环的面积为（      ） A．128 B． C． D．192 【答案】D 【分析】由题意可求，设扇环所在圆的圆心为，，的弧度数为，利用扇形的弧长公式可得，解得，利用扇形的面积公式即可求解. 【解析】因为的长为，的长为，，， 则， 如图，设扇环所在圆的圆心为，，的弧度数为， 则，解得， 则扇环的面积. 故选：D. 【变式4】如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则__________ 【答案】8 【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果. 【解析】设，由，得，即， 所以 故答案为：8. 题型08 扇形中的最值问题 【典例1】体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【解析】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 【变式1】已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（      ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数性质求解作答. 【解析】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长，， 于是扇形的面积，即当时，，此时， 所以所求圆心角的弧度为. 故选：B 【变式2】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由扇形弧长公式计算； （2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可. 【解析】（1）设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． （2）由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 【变式3】已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【答案】(1)；(2)，， 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【解析】（1）， . （2）由已知得，， 所以 ，， 所以当时，面积取得最大值， 此时 ，所以. 【变式4】某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【答案】(1)；(2)当时，y的值最大，最大值为． 【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式； (2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值． 【解析】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米， ， ． （2）依据题意，可知， 化简得：，， 当，． ∴当时，y的值最大，且最大值为． 1．下列命题中正确的个数是（      ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据角的定义判断各个结论． 【解析】终边相同的角可以相差的整数倍，不一定相等，①错； 钝角是大于且小于的角，一定是第二象限角，②正确； 第一象限角可以是正角也可以是负角，③正确； 小于90°的角可以是负角，不是锐角，④错； ，，因此与终边相同，但与终边相同的角是还有其他无数的角，⑤错． 正确个数是2， 故选：B． 2．已知α为第三象限角，则所在的象限是（      ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 【答案】D 【分析】用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限． 【解析】由已知为第三象限角，则 则 当时 ，此时在第二象限. 当时, ，此时在第四象限. 故选： D 3．与1°角终边相同的角的集合是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】角的表示方法不一致，排除A， D；选项B表示错误；根据终边相同的角的公式得选C． 【解析】解：角的表示方法要保持一致，排除A， D； 选项B表示错误； 而180°角与角对应，于是1°角与角对应，根据终边相同的角的公式得选C． 故选：C 4．若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】由象限角的定义即可求解. 【解析】由题意是第二象限角， 所以不妨设， 所以， 由象限角的定义可知是第四象限角. 故选：D. 5．下列命题中，正确的是（      ） A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 C．若是第一象限的角，则是第四象限的角 D．若是第一象限的角，则也是第一象限的角 【答案】D 【分析】根据弧度制、角度制的定义和象限角即可判断每个选项的对错，从而得出答案. 【解析】对于选项A，由弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，故A错误； 对于选项B，用角度制和弧度制度量角，由定义可知都与圆的半径无关，故B错误； 对于选项C，因为是第一象限角，所以，， 所以，，当时，，为第二象限角，故C错误； 对于选项D，因为是第一象限角，所以，， 所以，，是第一象限的角，故D正确. 故选：D. 6．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，计算，则阴影部分的面积为. 【解析】由题意，扇形的圆心角为，且 所以, 所以， 且, 所以阴影部分的面积为. 故选：C. 7．（多选）角的终边在第三象限，则的终边可能在（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．y轴非负半轴 D．第三或四象限 【答案】ABC 【分析】由角的终边在第三象限可得，，进而可求，则的终边所在象限可定. 【解析】角的终边在第三象限， ，， ，． 的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴． 故选：ABC. 8．（多选）某日，分针长为的时钟从走到，分针转动的弧度为，分针的针尖走过的弧长为，则（      ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据任意角定义可得弧度的大小，再由弧长公式计算可得弧长. 【解析】因为分针是按照顺时针旋转的，所以转动的弧度为负数，可得， 由分针长为可得，弧长 故选：AC 9． （多选）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作圆弧BE；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧EG，……，如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE，EG，GI的长度分别为，对于以下四个命题其中正确的是（    ） A.； B.； C.； D.. 【答案】AB 【分析】不妨设，则，根据弧长公式求出，再对①②③④逐个验证可得答案. 【解析】不妨设，则， 所以， ， 所以， ， 所以， 所以，故A正确； ，， 所以，故B正确； ，， 所以，故C不正确； ，，所以， 故D不正确；所以AB正确， 故选：AB 10．2弧度的角所在的象限是第 象限． 【答案】二 【分析】根据象限角的定义判断. 【解析】解：因为， 所以2弧度的角所在的象限是第二象限， 故答案为：二 11．半径为2的扇形中，圆心角为，该扇形的弧长为 ，面积为 ． 【答案】 【分析】代入扇形的弧长和面积公式，即可求解. 【解析】 由弧长公式可得，. 由扇形面积公式可得． 故答案为； ． 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.    【答案】 【分析】如图所示，过作于，的延长线交于，利用锐角三角函数求出、，即可求出，再由弧田面积公式计算可得. 【解析】如图所示，过作于，的延长线交于.    则，，所以，， 所以，， 所以矢为， 则弧田面积是. 故答案为：；. 13．用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)；(2). 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【解析】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 14．如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)面积为，弧AB的长为;(2)， 【分析】（1）根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.（2）根据扇形的弧长公式和面积公式结合基本不等式的应用进行求解. 【解析】（1）由题意知，设，所以 根据扇形弧长； 扇形面积； （2）由，即， 扇形的周长为当且仅当等号成立， 所以由知：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $