2.3.3 直线与圆的位置关系（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3.3 直线与圆的位置关系 A组 巩固过关 题型01 直线与圆位置关系的判定 1. 【答案】C 3 【答案】B 3. 【答案】B 颗型02 圆的切线问题 4. 【答案】C 5. 【答案】D 6. 题型03 直线被圆截得的弦长问题 7 【答案】B 8. 【答案】D 9. 【答案】C 1/3 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 题号 1 2 3 7 8 答案 A C C D C c D C C组 思维拔高 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 D D A B C 17.(1)证明： 设P(x,y),则PA=V+严，PE=Vx-4+y2, 由PA=PB,则V+y=V(x-4}+y, 即2+y2=2(x-4)2+y2,又元>0，元≠1， 整理得x2+y2- 0，配-( x+ 22-1 2-1 422 4元 则圆心C 0半径为-： ②y=t3 1 (3)k=± 22-1 18.(1)x-2)2+(y-1)2=5 (2)x=1或3x+4y-15=0 19.(1) 由直线1：+y+2a=0,整理成(x+2)a+y=0, 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+2=0 x=-2 由y=0,解得y=0,则直线恒过定点(-2,0) 四a=子 (3)x-y+2=0或7x-y+14=0 20.(1)x2+y2-x-2y=0 (2)x-2W2y+9=0 313 分层作业 2.3.3　直线与圆的位置关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线与圆位置关系的判定 题型02 圆的切线问题 题型03 直线被圆截得的弦长问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高   直线与圆位置关系的判定题型01 1．（25-26高一下·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 圆的切线问题题型02 4．（25-26高二上·贵州毕节·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东青岛·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知点，圆，则下列选项正确的是（   ） A．为圆的一条弦，且，则的面积最大值为 B．过且与圆相切的直线有且仅有2条 C．为平面上的点且，为圆上的点，则的最小值为2 D．为圆上的点且，则点的轨迹长度为 直线被圆截得的弦长问题题型03 7．（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南·二模）过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 9．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 6．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 7．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 8．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 1．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 2．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 5．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁·三模）已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线与圆，则圆上一点到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 10．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 11．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 12．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）圆O是以直线恒过的定点为圆心，半径为3的圆. (1)求经过点的圆的弦的中点P的轨迹方程； (2)求经过点的圆的切线方程 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3.3　直线与圆的位置关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线与圆位置关系的判定 题型02 圆的切线问题 题型03 直线被圆截得的弦长问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高   直线与圆位置关系的判定题型01 1．（25-26高一下·上海青浦·期末）已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】比较直线到圆心距离与圆半径大小关系，据此可判断选项正误. 【详解】显然圆圆心为，半径为，直线到圆心距离为：， 因在圆内部，则，从而，则直线与圆相离. 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合半径关系判断即可. 【详解】由题知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上到直线的距离等于1的点的个数为2. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】依题意可得，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 圆的切线问题题型02 4．（25-26高二上·贵州毕节·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分直线斜率是否存在，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】圆的圆心是，半径为. 直线过原点，且斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离是，此时直线和圆不相切，故直线斜率不存在时无法成立； 当斜率存在时，设直线方程为：，即， 圆心到直线的距离为，解得， 即，即. 故选：C 5．（2026·山东青岛·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，结合二倍角公式可得的值． 【详解】圆可化为，则圆心，半径为； 设，切线为、，则， 中，， 所以． 所以， 故选：D 6．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知点，圆，则下列选项正确的是（   ） A．为圆的一条弦，且，则的面积最大值为 B．过且与圆相切的直线有且仅有2条 C．为平面上的点且，为圆上的点，则的最小值为2 D．为圆上的点且，则点的轨迹长度为 【答案】D 【分析】根据圆的性质结合直线与圆的位置关系，逐一分析判断选项，利用弦长公式求出圆心到弦的距离，进而利用点到圆的位置关系计算最大距离判断选项A；利用圆外一点与圆相切的关系求出切线方程，判断选项B；利用圆与圆的位置关系计算判断选项C；利用圆与圆的位置关系求出交点弦的方程，求出点到直线的距离，再求出圆心角，进而利用弧长公式求解，判断选项D． 【详解】已知圆的圆心为，半径， 选项A：弦长，解得， 点到圆心距离为， 点到直线的最大距离为， ，故A错误； 选项B：过点与圆相切的直线有两条，其中一条为， 当斜率存在时，设直线，即， 则，解得， 过点与圆相切的直线有两条，其中一条为， 不符合形式，故B错误； 选项C：已知为平面上的点且，则的轨迹为以为圆心，半径是1的圆， 则的最小值为两圆圆心距减去两圆的半径，即， 故C错误； 选项D：为圆上的点且，表示在圆内部，且在圆上， 联立两圆方程得交点弦所在直线为， 圆心到直线的距离为， ，，， ，即交点弦对应圆心角为，轨迹弧长为，故D正确． 故选：D． 直线被圆截得的弦长问题题型03 7．（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 8．（2026·湖南·二模）过点且倾斜角为的直线l交圆于、两点，则弦的长为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】过点且倾斜角为的直线，即． ∵圆，即， ∴圆心坐标为，圆心到直线l的距离， ∴直线被圆截得的弦长. 9．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将直线方程整理为， 该式对任意实数恒成立，故需满足 解得，即直线恒过定点.圆心，半径. 圆心到定点的距离. 当直线时，弦长最小. 由弦长公式得最小值为. 故的最小值为. 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 2．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 3．（25-26高二下·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以在直线上， 所以，解得. 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线对任意都过定点. 要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点. 若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内，因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 5．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 6．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意是圆的切线，应用向量数量积的运算律及勾股定理，将问题化为，只需求的最小值，利用点线距离公式求出的最小值，即可得. 【详解】圆的圆心为，半径，即， 由，可知是圆的切线，为直角三角形 由，则， 由，求的最小值，即求的最小值， 而在直线上，的最小值为圆心到直线的距离， 的最小值为，即的最小值为. 7．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 8．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 1．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，再由垂径定理计算弦长，最终代入三角形面积公式求解． 【详解】圆 的圆心为 ，半径 ， 直线 可化为 ， 圆心 到直线的距离为，设直线与圆交于两点， 则弦长 因此 的面积为． 2．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式表示出的面积，建立方程求解参数. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 3．（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，利用直线与圆有交点列不等式求解即可 【详解】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 5．（2026·浙江·二模）已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 6．（2026·辽宁·三模）已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的直线方程求出定点坐标，再确定定点与圆的位置关系，求出过定点的圆的直径斜率即可得解. 【详解】直线，由，得， 显然无论取什么实数，直线都过点， 将化为标准形式， 因为，所以点在圆内， 而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值， 又直线的斜率，所以. 7．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意转化为函数的图象和的图象有两个交点，而函数的图象为半圆，利用直线与圆相交的位置关系求解. 【详解】已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上， 关于直线的对称直线为， 故题意等价于函数的图象和的图象有两个交点， 令，即， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以的取值范围是． 8．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线与圆，则圆上一点到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线可化为， 所以直线经过直线与的交点， 点到直线距离的最大值为， 所以圆上的一点到直线的最大距离等于， 当且仅当三点共线且时取得． 9．（25-26高一下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 【答案】(1)证明：设，则，， 由，则， 即，又， 整理得，配方得， 故点P的曲线C为圆， 则圆心，半径为； (2) (3) 【分析】（1）设 ，将 两边平方，展开后对配方，即可化为圆的标准方程，即可直接读出圆心坐标和半径； （2）利用（1）中所得可得圆C方程，及其圆心坐标与半径，再利用切线性质计算即可得； （3）由题意可得为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形性质与点到直线距离公式计算即可得. 【详解】（1）略 （2）若，则圆C为，圆心，半径为， 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符； 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得， 故过点A且与曲线C相切的直线方程为； （3）由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形， 则点到直线的距离为， 即有，整理得，解得. 10．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知圆经过原点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）设出圆心坐标，根据已知条件列方程求参数，写出圆的标准方程；（2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，讨论斜率是否存在，求出直线方程. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 （2） 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 11．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【答案】(1) 由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 (2) (3)或 【详解】（1）略 （2）根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． （3）设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 12．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）圆O是以直线恒过的定点为圆心，半径为3的圆. (1)求经过点的圆的弦的中点P的轨迹方程； (2)求经过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线所过定点及圆的方程，再利用圆的性质确定点P的轨迹，进而求出方程. （2）确定点与圆的位置关系，再利用圆的切线性质求出切线方程. 【详解】（1）直线恒过定点，则圆的方程为， 而，则点在圆内，当点与点都不重合时，， 点在以线段为直径的圆上，当点与点之一重合时，点也在此圆上， 所以点P的轨迹方程为，即. （2）由，得点在圆上，直线的斜率为， 所以经过点的圆的切线方程为，即 11 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $