2.3 圆及其方程 2.3.3 直线与圆的位置关系 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦直线与圆的位置关系，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到复杂问题解决的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|位置关系判断、切线方程、弦长计算|直接应用距离公式与圆的方程，如判断直线与圆位置关系（题1）、求切线方程（题2），夯实运算能力| |提升层|参数讨论、多知识点综合|结合参数与动态问题，如含参直线与圆相交求参数（题3）、多选题（题7），发展逻辑推理| |综合层|轨迹问题、实际应用|复杂情境应用，如圆的标准方程求解（题10）、存在性问题探究（题16），培养模型观念与创新意识|

2.3.3　直线与圆的位置关系 1.直线l:x-2y-2=0与圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的位置关系是 (　 ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断 2.过点P(1,1)作圆E:x2+y2-4y+2=0的切线,则切线方程为 (　 ) A.x-y+1=0 B.x+y=0 C.x+y+1=0 D.x-y=0 3.若直线x+3y+C=0与圆M:x2-2x+y2+4y-10=0交于A,B两点,且|AB|=2,则C的值为 (　 ) A.5或-15 B.-5 C.-5或15 D.15 4.[2025·山东青岛高二期中] P为直线y=kx-2上一点,过P总能作圆x2+y2=1的切线,则k的最小值为 (　 ) A.- B.-2 C.- D.- 5.已知圆O:x2+y2=4,弦AB过定点P(1,1),则|AB|不可能的取值是 (　 ) A.2 B.2 C.4 D.2 ★6.[2025·江苏镇江高二期末] 已知直线y=k(x+2)与曲线y=有公共点,则实数k的取值范围为 (　 ) A.[-,] B. C.[0,] D. 7.(多选题)[2026·河南南阳高二月考] 已知圆C:x2+y2=16上到直线x+y+m=0的距离为3的点恰好有2个时,m的可能取值为 (　 ) A.0 B.2 C.3 D.-3 8.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是　　　　　　　.  9.[2025·北京海淀区高二月考] 在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点A(1,0),B(-1,2)且圆心在直线2x-y+2=0上,若直线x=ay+1被圆C截得的弦长为2,则正实数a的值为　　　　.  10.(13分)[2026·安徽安庆高二月考] 已知圆C过点(1,2),圆心在y轴的正半轴上,且与直线y=-x+3相切. (1)求圆C的标准方程; (2)已知过点P(-1,4)的直线l交圆C于A,B两点,且的长度为π,求直线l的方程. 11.[2026·河南南阳高二月考] 已知x,y满足y=1+,则的最大值为 (　 ) A. B. C.1 D.2 ★12.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,P(3,6),圆O:x2+y2=9与x轴的正半轴交于点Q,则下列说法正确的有 (　 ) A.点P到圆O上的点的距离的最大值为3+3 B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为3 C.过点P与圆O相切的直线方程为3x-4y+15=0 D.过点P的直线与圆O交于不同的两点A,B,则直线QA,QB的斜率之和为定值-1 13.已知实数a,b,x,y满足|a2+b2-1|+|x-y+3|=0,则(x-a)2+(y-b)2的最小值为　　　　.  14.(15分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+(y-2)2=1,设直线l的方程为y=kx. (1)若过点A(1,4)的直线与圆C相切,求切线的方程. (2)已知直线l与圆C相交于D,B两点.若D是线段OB的中点,求直线l的方程. (3)当k=时,点P在直线l上,过P作圆C的切线PM,切点为M,则经过P,M,C的圆是否过定点?如果过定点,求出所有定点的坐标. 15.[2025·南京高二期中] 如图,已知圆O:x2+y2=16分别与x,y轴的正半轴交于A,B两点,P为圆O上的动点.若线段AP上有一点Q,满足=2,则点Q的轨迹方程为　　　　　　　　.  16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,直线l:x-y-4=0交x轴于点M,以O为圆心的圆与直线l相切. (1)求圆O的方程. (2)是否存在定点S,使得对于经过点S的直线L,当L与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO?若存在,求点S的坐标;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3　直线与圆的位置关系 1.C　[解析] 圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的圆心为C(1,2),半径为3,圆心C到直线l的距离为=<3,所以直线l与圆C相交.故选C. 2.D　[解析] 圆E:x2+y2-4y+2=0的圆心为E(0,2),将P(1,1)的坐标代入圆的方程,得12+12-4×1+2=0,则点P在圆上,又kPE==-1,所以过点P与圆相切的直线的斜率为1,所以过点P的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.故选D. 3.C　[解析] 由题意得圆M的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=15,则圆M的圆心为M(1,-2),半径为.由|AB|=2,得圆心M到直线x+3y+C=0的距离 d==,所以=,解得C=15或-5.故选C. 4.D　[解析] 由题意可得,直线y=kx-2与圆x2+y2=1相切或相离,则圆心到直线的距离d=≥1,解得-≤k≤,所以k的最小值为-.故选D. 5.D　[解析] 圆O:x2+y2=4的半径r=2.当弦AB过圆心时,|AB|max=2r=4;当OP⊥AB时,|AB|min=2=2=2.所以|AB|∈[2,4].故选D. 6.D　[解析] 由y=得x2+y2=1(y≥0),表示圆x2+y2=1在x轴上方的部分(含端点),直线y=k(x+2)恒过定点(-2,0),作出直线与半圆,如图,当y=k(x+2)与半圆相切时,=1,k>0,可得k=,由图知实数k的取值范围为.故选D. 7.BCD　[解析] 圆C:x2+y2=16的圆心为(0,0),半径r=4,当圆x2+y2=16上到直线x+y+m=0的距离为3的点恰好有1个时,直线在圆外,此时圆心到直线的距离为7,即=7,解得m=±7;当圆C上到直线的距离为3的点恰好有3个时,直线到圆心的距离为1,则=1,解得m=±.当直线位于到圆心距离为1和到圆心距离为7的两条平行直线之间时,圆C上到直线的距离为3的点恰好有2个,故m的取值范围是(-7,-)∪(,7).故选BCD. 8.x-y-3=0　[解析] 设圆心为C,则C(1,0),由圆的性质知PC⊥AB,易知直线PC的斜率k1==-1,所以直线AB的斜率为1,又直线AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y-(-1)=x-2, 即x-y-3=0. 9.　[解析] 设C(m,2m+2),圆C的半径为r,则有可得即圆C的方程为(x+1)2+y2=4.由直线x=ay+1被圆C截得的弦长为2,得=,即=2,解得a=±,又a为正实数,所以a=. 10.解:(1)设圆心为C(0,t),t>0,依题意得=,所以t2-2t+1=0,解得t=1, 所以圆心C(0,1),半径r==,故圆C的标准方程为x2+(y-1)2=2. (2)由的长度为π,r=,得∠ACB=,则|AB|=2, ①若l的斜率不存在,则l:x=-1,代入圆C的方程得(-1)2+(y-1)2=2,解得y=0或y=2,满足|AB|=2. ②若l的斜率存在,设斜率为k,则直线l:y-4=k(x+1),即kx-y+k+4=0, 由圆心C到直线l的距离d==1, 得=1,解得k=-,所以直线l的方程为4x+3y-8=0. 综上,直线l的方程为x=-1或4x+3y-8=0. 11.C　[解析] 由y=1+,得x2+(y-1)2=1(y≥1),所以y=1+的图象是以(0,1)为圆心,1为半径的圆在直线y=1上方的半圆.表示曲线y=1+上的点Q(x,y)与定点P(2,2)连线所在直线的斜率,如图所示,当y=1时,x=±1,取A(1,1),由图可知,当点Q与点A重合时,直线PQ的斜率最大,即取得最大值,最大值为=1.故选C. 12.ABD　[解析] 由题知,点P在圆O外,Q(3,0),圆O的半径r=3.对于A,点P与圆O上的点的距离的最大值为|OP|+r=+3=3+3,故A正确;对于B,过点P且斜率为1的直线方程为y-6=x-3,即x-y+3=0,圆心O到直线的距离d==,故所求弦长为2×=3,故B正确;对于C,当过点P的直线斜率不存在时,直线的方程为x=3,易知直线x=3与圆O相切,故C错误;对于D,易知过点P与圆O有两个交点的直线的斜率存在且不为0,设斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线方程为y-6=k(x-3),即y=kx-3k+6,由消去y得(k2+1)x2-(6k2-12k)x+(9k2-36k+27)=0,所以x1+x2=,x1x2=,又kQA=,kQB=,所以kQA+kQB=+= = ,将x1+x2=,x1x2=代入并化简得kQA+kQB=-1,故D正确.故选ABD. [技巧点拨] 当解决直线与圆相交弦或弦长问题时,可以设出直线方程及交点坐标,将直线方程与圆的方程联立,消元后得到关于x或y的一元二次方程,依据根与系数的关系求解有关的问题. 13.4　[解析] 因为|a2+b2-1|+|x-y+3|=0,所以a2+b2=1,x-y+3=0,易知a2+b2=1表示以O(0,0)为圆心,1为半径的圆,记x-y+3=0为直线l,(x-a)2+(y-b)2表示圆O上的动点P(a,b)与直线l上的动点Q(x,y)之间的距离的平方,因为圆心O(0,0)到直线l的距离d==3,所以P,Q之间距离的最小值为d-1=3-1=2,所以(x-a)2+(y-b)2的最小值为4. 14.解:(1)当切线的斜率不存在时,切线的方程为x=1,符合题意; 当切线的斜率存在时,设切线的方程为y-4=k(x-1),即kx-y-k+4=0, 因为圆心(0,2)到切线的距离d=1, 所以=1,即|k-2|=,所以k=,则切线的方程为3x-4y+13=0. 综上,切线的方程为x=1或3x-4y+13=0. (2)设D(x0,y0),则B(2x0,2y0), 由解得 或 即D或D, 则直线l的斜率k=±=±,故直线l的方程为y=±x. (3)当k=时,l的方程为y=x. 设P(2m,m),由于过P作圆C的切线PM,切点为M,因此PM⊥CM,所以过P,M,C的圆即为以CP为直径的圆,该圆的方程为x(x-2m)+(y-m)(y-2)=0, 即x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0. 由解得或 故经过P,M,C的圆过定点(0,2),. 15.x2+y2-x-=0　[解析] 根据题意得,A(4,0),B(0,4).设Q(x,y),P(x1,y1),则=(x-4,y),=(x1-x,y1-y).因为=2,所以(x-4,y)=2(x1-x,y1-y),得将其代入x2+y2=16,得x2+y2-x-=0,故点Q的轨迹方程为x2+y2-x-=0. 16.解:(1)由题意得,原点O到直线l:x-y-4=0的距离d==2, 故圆O的方程为x2+y2=4. (2)存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立. 理由如下:当直线L的斜率存在时,设直线L的方程为y=kx+m,设直线L与圆O的交点为A(x1,y1),B(x2,y2). 由消去y得(1+k2)x2+2kmx+m2-4=0, 所以在直线l的方程中,令y=0,得x=4,所以M(4,0), 由∠AMO=∠BMO,得kAM+kBM=0, 即+=0,可得2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0,则2k×+(m-4k)-8m=0,化简得m=-k,此时直线L的方程为y=kx-k, 易知直线L恒过点S(1,0). 当直线L的斜率不存在时,由圆的对称性知,直线L过点S(1,0)时也满足∠AMO=∠BMO. 故存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立. 学科网（北京）股份有限公司 $