2027届高考导数隐零点专项训练-2027届高三数学一轮复习

导数隐零点：设而不求，整体代换 一、本质原理：什么叫“隐零点” 研究含参函数的最值、单调性或零点个数时，我们总要追问同一个问题：导函数 在哪里成立？这个方程的根就是单调区间的分界点。可它有时候根本解不出来——这正是本讲义要处理的对象。 1.1 显零点与隐零点 · 显零点：方程 能用初等方法解出。例如 · 根是“看得见”的具体数字，代入即可。 · 隐零点：方程 能判断根存在，却写不出初等显式解。例如 · 这类超越方程的根无法用有限次四则、指数、对数运算表示。我们仍然给它取一个名字，记作 ，称之为隐零点。 关键提醒 “解不出”不等于“不存在”。隐零点方法的全部思想就是：承认它存在、给它一个名字、用它的定义式把自己消掉——这是“设而不求”思想在导数中的落地。 1.2 为什么导数压轴题里总有隐零点 当函数里同时出现指数函数 、对数函数 与多项式时，导函数往往是“超越式 分式”的混合体，令它为零得到的一般是超越方程。例如 化简后 等价于 ，核心方程 正是典型的隐零点方程。可见隐零点不是命题人故意设置的障碍，而是“指数、对数、多项式同时出现”的必然结果。 1.3 处理隐零点的两大支柱 两大支柱：判存在、定唯一 ＋ 整体代换 支柱一（判存在、定唯一）：先判断 的单调性（常用二阶导 的符号），再配合两个端点的走向（例如 时 ， 时 ），由零点存在定理得到唯一的隐零点 ，并顺手锁定它所在的区间。 支柱二（整体代换）：把 写成便于使用的等式（如 或 ），整体代入 ，把超越项消掉，化成只含 （或直接只剩参数）的式子。 一句话：前半程解决“x_0 存在且唯一”，后半程解决“x_0 不必算出来”。 1.4 两幅示意图 图 1 说明“唯一隐零点”是怎么来的：导函数严格单调、由负穿零到正，零点只有一个。图 2 说明我们为什么要找它：原函数在 处先减后增，取得最小值，而这个最小值恰恰要靠 来化简。 图 1: 导函数由负穿零到正，存在唯一隐零点 图 2: 原函数在隐零点处先减后增，取得最小值 二、判断识别：这道题该不该用隐零点 拿到一道导数题，先别急着动笔求导。下面这张速查表用“题型模型”帮你在一分钟之内判断方向：先认清题目长什么样，再决定用什么动作。 2.1 四类模型速查表 表 1: 四类模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 例题 一 无参型 函数里没有参数，导函数却是超越式；题目要求证不等式或求最小值的界 虚设 ，用 代换后恰好得到常数 例 1 二 临界显化型 含参恒成立，但把某个特殊值（如 ）代入 ，参数恰好单独出现 先定临界值，再对两侧分别处理：一侧直接验证，一侧虚设 例 2 三 隐零点代换型 含参恒成立， 是超越方程、临界点写不出 虚设 ，整体代换消去超越项或直接消参 例 3、例 4 四 单调性讨论型 题干只要求“讨论单调区间 / 极值”，不要具体数值 先证 的零点唯一，再以 为界写结论；必要时对导函数本身再作一次判号 例 5、例 6 2.2 三步诊断清单 隐零点适用前提 —— 逐项检查 条件 1： 真的无法显化吗？ 先动手试一试：能因式分解、能化成 或 的，直接叫出显零点，不必设隐零点。只有当方程确实超越、没有初等解时，才进入隐零点流程。 条件 2： 是否单调、零点是否唯一？ 求 判断 的增减趋势，再配合两端走向（如 与 ），由零点存在定理确认唯一隐零点 ，并顺手把它锁定在一个小区间里。这一步同时给出了后面放缩所需的“ 的范围”。 条件 3： 能否用 代换化简？ 这是胜负手。把 的核心等式（如 ）代入 ，看超越项能否被消掉、化成可判符号的式子。若代换后仍然很复杂，就改用“区间放缩”或换方法。 2.3 预警信号：隐零点法可能不顺手 慎用信号 · 可能存在两个隐零点（如 与二次函数相减），且零点位置难以锁定——此时应优先考虑“虚设两个零点、相减消元”（极值点偏移的路线）。 · 代换后 仍含 ，而且关于 既不单调、区间也锁不住——此时可改用分离参数、同构变形或切线不等式放缩。 · 题目只要求证明一个粗略的不等式，而切线不等式（如 、）一步到位——那就不必绕隐零点。 2.4 考情梳理 隐零点是导数压轴的高频考点，常以“虚设零点”“卡根思想”的面貌出现，覆盖不等式证明、恒成立求范围、零点个数讨论等题型。 表 2: 隐零点相关高考真题考情（2015、2020、2022 年） 年份 / 卷别 / 题号 考点 所用方法 2015 全国 I 卷（文）21 讨论导函数零点个数；证明含参不等式 虚设零点 ＋ 整体代换 2020 新高考 I 卷 21（2） 含参恒成立求取值范围 必要性探路 ＋ 虚设零点 2022 新高考 I 卷 22 两函数有相同最小值；三交点横坐标成等差数列 极值点偏移（隐零点思想的延伸） 三、常见情形：四类模型逐一拆解 隐零点题的差别不在“要不要设 ”，而在“题目是怎么问的”。下面按情境把常见考法分成四类模型，每类给出识别标志、标准式与标准动作；配套例题见第五节，题号已标注在每一类末尾。 3.1 模型一 · 无参型 识别标志：函数里没有参数，导函数却是超越式，题目要求证明不等式或求最小值的界。 标准式：，其零点满足 。 标准动作：虚设 （不求解出），用 的等式整体代入 。这类题最“干净”的标志是：代换之后最小值恰好化成常数，于是不等式证完，等号在 处取到。（对应例题 1） 3.2 模型二 · 临界显化型 识别标志：含参恒成立，但把某个特殊值代入 ，参数恰好单独出现，临界值一眼可见。例如 ，那么 就是分界。 标准动作：先读出临界值，再对两侧分别处理。临界值这一侧通常不需要隐零点，直接验证即可；另一侧才虚设 ，把最小值化归到“关于 的判号问题”。这样既避免了分类讨论的冗长，也保证了逻辑完整。（对应例题 2） 3.3 模型三 · 隐零点代换型 识别标志：含参恒成立， 是超越方程，临界点无法显化，必须虚设 ；并且 单调，零点唯一。 标准动作：虚设 整体代换 消去超越项。若代换后直接只剩参数（如 ），恒成立就变成关于参数的一元不等式；若仍含 ，则再用 的范围与单调性定号。（对应例题 3、例题 4） 3.4 模型四 · 单调性讨论型 识别标志：题干只要求“讨论单调区间 / 极值”，不要具体数值，答案只能以 为分界来表述。 标准动作：先证 的零点唯一，再以 为界写出“减于 、增于 ”。若导函数本身的符号也不好判断，就对导函数再作一次同样的分析——先定出 的零点 ，再定出 的零点 。（对应例题 5、例题 6） 四、应对策略体系 下面先给出一张“条件特征 选用策略”的对照表。几条策略是并列关系，按题目给出的条件特征择一使用，不是先后步骤。 表 3: 隐零点策略选择表 题目给出的条件特征 选用策略 代换后超越项恰好消掉，最小值直接化成常数 策略 A 整体代换（例 1、例 3、例 4） 代换后仍含 ，但 区间已锁定、目标式关于 单调 策略 B 区间放缩（例 2 的 分支） 参数范围先验困难，但特殊点能读出临界值 策略 C 必要性探路（例 2，临界值 ） 导函数自身的符号也定不下来 策略 D 二次判号（例 6，先定 的最低点） 各条策略的具体动作与代表例题如下。 · 策略 A · 整体代换（首选）：把 的核心等式整体代入 ，直接消去超越项。适用条件：代换后能化常数或直接消参。 代表例题：例 1、例 3、例 4。 · 策略 B · 区间放缩：代换后仍含 ，但 的区间已经锁定，且目标式关于 单调——用 “ 落在哪个区间”把含 的式子放成常数。 代表例题：例 2 的 分支、例题 6 的二次判号。 · 策略 C · 必要性探路：参数范围的先验信息太少，但某个特殊点能读出临界值——先取特殊值得到必要条件，再证明这个条件充分。 代表例题：例 2。 · 策略 D · 二次判号：导函数 本身就是“超越式＋分式”，符号不好定——把它当作一个新函数再走一遍流程（先证 单调、定出 的最低点，再定 的零点）。 代表例题：例 6。 核心心法 隐零点的灵魂只有八个字：设而不求，整体代换。不要去求 等于多少，而要让 用自己的定义式把自己消掉。 五、例题精讲 六道例题按四类模型排列：例 1 是无参型，例 2 是临界显化型，例 3、例 4 是隐零点代换型，例 5、例 6 是单调性讨论型。每道题的解答都按“认模型 定 代换 判号”四步展开。 5.1 例题 1（模型一）—— 无参不等式的证明 例题 1 · 无参不等式的证明 证明：对任意 ，都有 并指出取等条件。 图 3: 最小值恰为 ：曲线在隐零点处与 轴相切 解： 令 原不等式即证 。 第 1 步 · 认模型：函数无参数，导函数是超越式，属于模型一，核心动作是“虚设 ＋ 整体代换”。 第 2 步 · 定 ：求导， 当 时 ，故 在 上严格递增。 又 时 ，而 ，由零点存在定理，存在唯一的隐零点 ，使 ，且 所以 在 递减、在 递增，最小值在 处取得。 第 3 步 · 代换：由 得 因 ，两边约去得 ，即 把它代入最小值： 第 4 步 · 判号： 对一切 成立，即 。 取等条件：当且仅当 时等号成立，其中 是方程 的根（即 ）。 本题要点 本题的关键只有一句： 给出的等式 与取对数后的 ，恰好把 里的两个超越项同时消掉。这就是“无参型”最理想的情形——代换后直接得常数。 5.2 例题 2（模型二）—— 2020 年新高考 I 卷 第 21 题（2） 例题 2 · 2020 年新高考 I 卷 第 21 题（2） 已知函数 。若 在 上恒成立，求实数 的取值范围。 图 4: 含参导函数的零点随参数 变化 解： 第 1 步 · 认模型：含参恒成立，但 在 处取值为 ，参数单独出现，临界值 一眼可见——这是模型二，先读临界值。 注意到 ，且 故 在 上严格递增。下面按临界值分三种情况。 情形一：。此时 ，由 递增知 于 、 于 ，故 在 处取最小值 所以 成立。 情形二：。此时 ，又 时 ，故存在唯一隐零点 使 ； 在 递减、在 递增，最小值在 处取得。 第 2 步 · 定 并代换：由 得 代入最小值： 要证 ，只需证 第 3 步 · 判号（区间放缩）：对 ， 故 在 上严格递减；又 ，故当 时 ，从而 。恒成立。 情形三：。此时 ，由 递增知 时 ，即 在 上递减，于是 对 成立，而 故 略小于 时 也小于 ，不满足 。 综上所述， 的取值范围是 。 本题要点 时最小值点 是隐零点，但根本不需要算出 的值：先用 把 与 绑在一起，再把最小值化归为 ；最后靠 在 上单调递减、 完成判号。这正是“模型二”的完整套路：先读临界值分情形，再在非临界情形里用隐零点。 5.3 例题 3（模型三）—— 2015 年全国 I 卷（文）第 21 题 例题 3 · 2015 年全国 I 卷（文）第 21 题 设函数 。 （1）讨论 零点的个数； （2）证明：。 图 5: 以 为例，交点横坐标为隐零点 解： （1）求导并通分： 记 ，则 且 、，故 在 上从 严格递增到 。 因为 ，方程 有唯一解，所以 在 上恰有1 个零点。 （2）设该零点为 （即 ），由上面 的单调性知 且 于 、 于 ，故 在 处取得最小值 整体代换：对 两边取对数，得 于是 因此 两式相减： 所以 ，结论成立。 取等条件：等号当且仅当 ，即 ，代回 得 。 本题要点 本题与例题 1 是同一套路，但多了参数： 随着 变动，我们更不可能求出它。好在代换之后，“最小值与目标之差”恰好化成 ——一个明显非负的式子。这就是模型三的典型收尾：不求 ，只求差。 5.4 例题 4（模型三）—— 同构代换，直接消参 例题 4 · 含参恒成立（同构代换） 已知函数 。若 在 上恒成立，求实数 的取值范围。 图 6: 以 为例， 由负穿零 解： 第 1 步 · 认模型：含参恒成立， 无法显化，属于模型三。 求导并提取公因式： 因 时 ，故 的符号由 决定。 第 2 步 · 定 ：对 、， 故 严格递增；又 时 ， 时 ，所以存在唯一隐零点 使 于是 于 、 于 ， 在 处取得最小值。 第 3 步 · 代换（同构消参）：对 两边取对数，得 ，于是 全程没有出现 的具体数值，只用定义式 就把最小值化成了只含 的式子。 第 4 步 · 判号：要使 恒成立，须且只需最小值非负： 已知 ，故等价于 ，即 ，解得 。 结论： 的取值范围是 。 本题要点 这是“同构代换”的干净范例。函数的两项 与 本是同一结构（把 看作 ，就是 与 ），所以取对数之后 恰好把 用自己的定义式消掉，最小值直接变成只含 的 。隐零点的灵魂——设而不求、整体代换——在这里体现得最充分。 5.5 例题 5（模型四）—— 讨论单调区间与极值 例题 5 · 含参函数的单调性与极值 已知函数 。讨论 的单调区间与极值。 图 7: 以 为例，导函数由负穿零 解： 第 1 步 · 认模型：题干只要求讨论单调区间与极值，不要求具体数值，属于模型四。 求导并求二阶导： 第 2 步 · 定 ：由 知 在 上严格递增；又 所以对每一个实数 ，都存在唯一的隐零点 ，满足 注意： 的取值依赖于 ，但“存在且唯一”这一点与 无关。 第 3 步 · 定单调区间：由 递增， 即 在 上单调递减，在 上单调递增。 第 4 步 · 写极值： 在 处取得极小值（也是最小值） 其中 由 唯一确定。 本题要点 含参单调性题的标准写法就是以 为分界：不给 的具体值，只声明“存在唯一”并写出它所满足的方程。判卷时这样写是完整的——因为 的定义式已经唯一确定了它。 5.6 例题 6（模型四）—— 需要对导函数再判一次号 例题 6 · 含参函数的单调性（进阶） 已知函数 。讨论 的单调性。 图 8: 以 为例， 先减后增 解： 第 1 步 · 认模型：本题仍属模型四，但导函数是“超越式＋分式”的商，符号不能直接看出，需要二次判号。 求导并通分： 因 ， 的符号由分子 决定。 第 2 步 · 分类讨论： 当 时：此时 且 ，故 恒成立， 在 上单调递增。 当 时：先看 的导数， 故 在 上严格递增，且 时 、 时 ，所以存在唯一的 使 。于是 在 上递减、在 上递增—— 是 的最低点（这就是“二次判号”）。 再结合 与 时 ，由单调性知 在 上恰有唯一零点 ，且 ，满足 第 3 步 · 定单调区间：于是 第 4 步 · 结论：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，其中 是方程 的正根。 本题要点 本身的零点不好直接判断时，就把导函数的分子当作一个新函数再走一遍流程：先用 定出 的最低点 ，再由 与 定出 的唯一零点 。两次都用“单调＋两端走向”，这是模型四进阶题的固定动作。 六、对比总结 把六道例题放在一起，看清“含参与否、隐零点个数、代换等式、结果形态”的差异。表 4 的第一列是例题，第二列把它归回所属模型——做题时先认模型，再认这套对应关系。 表 4: 六道例题对比 例题 所属模型 代换核心等式 结果形态 例 1 一 无参型 最小值恰为常数 ，等号在 处取到 例 2 二 临界显化型 ；临界值 由 直接读出 例 3 三 隐零点代换型 最小值与目标之差 例 4 三 隐零点代换型 ；代换后消参，得 例 5 四 单调性讨论型 答案以 分界：减于 ，增于 例 6 四 单调性讨论型 先定 的最低点 ，再定 的零点 一句话收口 凡是“导函数零点超越、但原函数最值要算”的题，先问自己三句话：根存在吗？唯一吗？代换后消得掉吗？三句话都答得上来，隐零点就落地了。而这三句话的顺序，正是本讲义第二节的三步诊断清单。 七、巩固练习 练习 1（模型一） 证明：对任意 ，都有 。 练习 2（模型三） 已知函数 。若 在 上恒成立，求实数 的取值范围。 练习 3（模型四） 已知函数 。 （1）求 的单调区间； （2）证明： 在 上恒成立。 八、参考答案与提示 练习 1 · 答案：不等式成立，且等号取不到（ 是函数值的下界）。 提示：令 ，则 ，，故 严格递增；又 时 ，，故存在唯一隐零点 使 ，即 。于是 在 处取最小值 由 、（因为 而 ），得 。所以 ，即 ，等号无法取到。 练习 2 · 答案：。 提示：。令 ，则 ， 从 递增到 ，故存在唯一隐零点 使 ，即 ，两边取对数得 。最小值 由 恒成立（）得 ，即 ，故 。 练习 3 · 答案：（1） 在 上单调递减，在 上单调递增，其中 满足 ；（2）证明见下。 提示：（1）。令 ，则 ， 严格递增； 时 ，，故存在唯一 使 。于是 在 递减、在 递增。 （2）最小值 。由 得 ，且 ，故 （因 ）。所以 ，即 在 上恒成立。 18 18 学科网（北京）股份有限公司 $