函数与导数：构造函数证明不等式、证明求和型不等式、证明双变量不等式专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：构造函数证明不等式、证明求和型不等式、证明双变量不等式专项训练 考点目录 构造函数证明不等式 证明求和型不等式 证明双变量不等式 考点一 构造函数证明不等式 例1．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，证明：． 例2．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知函数，为的导函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围. 例3．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数，. (1)求实数的值； (2)证明：时，. 变式1．（25-26高三上·黑龙江绥化·阶段检测）设函数． (1)若时，求的最小值； (2)当时，证明：． 变式2．（25-26高三上·广东茂名·期中）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求证：当时，． 变式3．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数在上的单调性； (2)若，求证：. 考点二 证明求和型不等式 例1．（2026·广东汕头·一模）已知函数在处取得极大值． (1)求的值． (2)如果且，证明：． (3)，求证：． 例2．（26-27高三上·广东佛山·阶段检测）已知. (1)若当且仅当成立，求的值； (2)求证：当时，. 例3．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：. 变式1．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)，对应关系使函数的零点与对应，记作：. （i）证明：是函数，并讨论该函数的单调性； （ii）证明：. 变式2．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）． (1)求函数在上的单调区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明：． 变式3．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，． (1)若函数图象的一条切线为，求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，证明：． 考点三 证明双变量不等式 例1．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知函数，，，且，其中是自然对数的底数，． (1)当时，恒成立，求的取值范围； (2)求证： （i）； （ii）． 例2．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数. (1)当，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)证明：若有两个零点，则. 例3．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间： (2)讨论的零点个数； (3)若有三个零点，，，且，证明：． 变式1．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数． (1)已知，证明：函数在上单调递减； (2)已知，证明：； (3)当时，令，，证明：在上恰有2个零点． 变式2．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知函数，，， (1)若不等式恒成立，求的取值范围； (2)设 （ⅰ）证明：； （ⅱ）若方程有两个不同的实数解，，证明：． 变式3．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间和最大值． (2)若方程有两个不同的实数根，求的取值范围． (3)在第（2）问的条件下，设两个根为，，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 函数与导数：构造函数证明不等式、证明求和型不等式、证明双变量不等式专项训练 考点目录 构造函数证明不等式 证明求和型不等式 证明双变量不等式 考点一 构造函数证明不等式 例1．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，证明：． 【答案】(1) (2)当，在内单调递增， 当，在内单调递减，在内单调递增； (3)当时，， 设，则， 设，， 则在内单调递增，因为，， 所以存在，使得，即， 当时，，在内单调递减， 当时，，在内单调递增， 所以，而在单调递减， 所以， 所以． 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程； （2）求出函数的导数，对的取值讨论，进而分析函数单调性； （3）利用导数研究函数单调性与极值，结合极值点取值范围证明即可. 【详解】（1）由题得当时， ，斜率 又因切点坐标为 所求切线方程为（或） （2）由题可得， 因为，则， 所以，若，则，在内单调递增， 若，当时，，所以在内单调递减， 当时，，所以在内单调递增； 综上，当，在内单调递增， 当，在内单调递减，在内单调递增； （3）略 例2．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知函数，为的导函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)在单调递减； (2) 令， 则对，， 所以在单调递减， 所以，即， 因为，所以， 即得证. (3) 【分析】（1）利用导函数符号判断单调性； （2）构造函数，证明，再证明； （3）令，结合（1）中结论，讨论满足不等式的的取值范围. 【详解】（1）由题，， 令， 则对，， 所以在单调递减，即在单调递减. （2）略. （3）令，则， 若，则. 因为，由（1）在单调递减， 可知在单调递减，所以， 若，因为，时，， 所以，. 所以当时，，单调递增， 所以，矛盾； 若，则由在单调递减，可得， 所以在单调递减，，满足条件. 综上，的取值范围是. 例3．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）已知函数，. (1)求实数的值； (2)证明：时，. 【答案】(1)1 (2) 由（1）可知，， 当时，要证，即证， 即证， 因为，则，则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 则，即， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递减， 因为，则，即， 因此，当时，. 【分析】（1）先求得，构造函数，利用导数判定其单调性及最值，即可得； （2）结合（1）知，待证不等式可化为，先证，再构造函数，利用导数研究其单调性即可. 【详解】（1）因为，则， 则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的单调减区间为，单调增区间为. 即有最小值，即， 故； （2）略 【点睛】第二问关键在于构造同型结构，将问题转化为证，再通过构造函数证明单调性及最值即可. 变式1．（25-26高三上·黑龙江绥化·阶段检测）设函数． (1)若时，求的最小值； (2)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数研究单调性，即可求最小值. （2）将问题转化为证明在上恒成立，构造应用导数研究其最小值的符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设，，则， 所以，时，递减；时，递增， 故，故的最小值为. （2）所证不等式等价于，只需证在上恒成立， 令，则，又， 在上，递减，则； 在上，令，则， 所以在上递增且，在趋向于1时趋向负无穷， 故有，即， 则上，则，上，则， 所以在上递减，上递增，则， 令且，则，即在上递减， 所以， 综上，，结论得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为在上恒成立，构造中间函数，应用分类讨论及导数研究函数最小值的符号. 变式2．（25-26高三上·广东茂名·期中）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求证：当时，． 【答案】(1)； (2)证明：令，则， 那么令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得最小值，即， 即， 所以，当时，． 【分析】（1）求导得切线斜率，由点斜式可得切线方程； （2）令，利用导数研究函数的单调性，从而可得的最小值，即可求证. 【详解】（1）因为，所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形． （2）构造新的函数． （3）利用导数研究的单调性或最值． （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 变式3．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数在上的单调性； (2)若，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，根据讨论的范围情况，确定导数的正负，从而判断函数的单调性； （2）将等价变形为，然后构造函数，将问题变为证明函数的最小值大于零的问题求解,接着求其导数，利用导数判断其单调性，表示出其最小值，然后证明最小值大于零即可. 【详解】（1）由题意得，， 令，即，则， 当，即时，，函数在上单调递减； 当，即时，，函数在上单调递增； 当，即时，当时，， 当时，， 故当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减： 当时，函数在上单调递增. （2）∵，∴，， 则等价于，即. 令，则， 令，则， ∴在上单调递增. 又，， ∴存在，使，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ∴，. ∵，∴， ∴，. 设，则， ∴在上单调递减，∴， 即，∴. 【点睛】本题考查了用导数判断函数的单调性以及用导数证明不等式的问题，讨论单调性时，要注意对参数的分类标准的把握；证明不等式时，一般要对不等式进行合理的变形，然后变为函数的最值问题求解，解答的关键是合理地进行变式，进而构造函数。利用导数解决其单调性以及最值问题. 考点二 证明求和型不等式 例1．（2026·广东汕头·一模）已知函数在处取得极大值． (1)求的值． (2)如果且，证明：． (3)，求证：． 【答案】(1) (2)法一：不妨设，要证，只要证， 因为、，函数在单调递减， 只要证，只要证． 令，， 则 所以在单调递减，即， 所以成立，即成立． 法二：由题意知，则， 不妨设，要证，只要证，只要证， 只要证， 只要证，只要证，令， 只要证，令，，， 所以在单调递增，所以， 即，所以． (3)先证明左边：由（1）知，等号成立当且仅当， 令为，可得，等号成立当且仅当． 令，则， 从而有，，…，． 根据不等式同向可加性得，左边得证． 下面证明右边：由（2）的方法二知：，，令，可得 ． 从而，，…，． 根据不等式同向可加性得，右边得证； 法二：以证明右边为例：因为数列的前项和为， 所以要证， 只要证 只要证，只要证 只要证，令，只要，，证毕． 【分析】（1）利用极值点的必要条件进行求解； （2）极值点偏移问题，利用函数的单调性构造对称函数即可求解； （3）根据对数恒等式，利用裂项相消与放缩。 【详解】（1）因为为函数的最大值点， 即为函数的极大值点， 求导得，，解得． 当时，， 所以函数在单调递增，在单调递减，所以． 即符合题意． （2）略 （3）略 例2．（26-27高三上·广东佛山·阶段检测）已知. (1)若当且仅当成立，求的值； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明：由（1）知，当时，， 所以， 由 ， 所以 ，故原不等式得证. 【分析】（1）由题意得出，可求出实数的值，然后验证不等式当且仅当成立即可； （2）由（1）得出当时，，可得出，利用放缩法证明出，再利用不等式的性质和放缩法可证得结论成立. 【详解】（1）由，当且仅当成立， 故由连续性，必有，解得， 当时，，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，；当时，. 当时，；当时，. 所以当且仅当成立，综上所述，. （2）略 例3．（26-27高三上·山东德州·阶段检测）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：. 【答案】(1)时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，的单调递增区间为，递减区间为. (2) (3)由（2）取，可得不等式：， 即对任意的恒成立. 令（为正整数），得，因此：. 对不等式左右两侧累加： ，故原不等式得证. 【分析】（1）对求导得到导函数表达式，根据的取值分类讨论导函数的正负，以此确定单调区间； （2）由分参得到，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）利用第二问的结论，选取合适的值得到，进而得到，再对放缩后的通项求和，利用等差数列求和公式完成证明. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得：. 当时，在上恒成立， 因此的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令，解得. 时，，函数上递增； 时，，函数上递减， 此时函数的递增区间为，递减区间为. 综上所述，当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无递减区间. （2）对任意的，由，可得， 令，其中， 则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 故实数的取值范围是. （3）略 变式1．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知函数. (1)讨论函数的零点个数； (2)，对应关系使函数的零点与对应，记作：. （i）证明：是函数，并讨论该函数的单调性； （ii）证明：. 【答案】(1)当时，函数没有零点；当或时，有1个零点；当时，函数有2个零点 (2)（i）由（1）可知，当时，函数有且只有一个零点，所以是函数； 判断单调性. 函数的定义域为， 设，则，所以， 所以， 因为，所以，且. 令，则，所以在上单调递增， 且，所以，所以函数在上单调递增； （ii）先证明：， 即证：， 因为，所以，因为时，， 即证：， 令，且， 即证：，即证：，即证：， 令，则， 因为，令，解得，因为， 所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，且最小值为，所以，即成立，所以成立. 令，则有， 则. 【分析】（1）求导，通过讨论，，确定单调性，即可求解； （2）（i）设，得到，再构造函数，通过求导确定单调性即可证明；（ii）通过先证明：，得到，再求和即可. 【详解】（1）， 函数的定义域为， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以函数有且只有1个零点； 当时，，所以此时函数没有零点； 当时，令，得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取最小值，且最小值为. 当，即时，函数恒成立，所以函数没有零点； 当，即时，此时函数有且只有1个零点； 当，即时，且当时，；当时，， 所以函数有2个零点. 综上，当时，函数没有零点； 当或时，有1个零点； 当时，函数有2个零点. （2）（i）略 （ii）略 变式2．（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）． (1)求函数在上的单调区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)增区间为，无减区间 (2) (3)当时，令， ， 所以单调递增，所以，即. 故. 令，则. 因为在上单调递减，且，， 所以存在，使得， 则当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，即当时，. 所以， 所以. 综上所述，成立. 【分析】（1）用定义判断函数的奇偶性，并利用导数判断在的单调性，根据奇偶性即可判断函数在上的单调性； （2）令，将问题转化为在上恒成立，令，并利用导数求得，分三种情况分析的单调性，即可得到实数的取值范围； （3）由，可得，并对进行放缩，并根据裂项相消求和法可得左侧不等式成立；令，利用导数分析其单调性，进而得到，即，对进行放缩，并根据裂项相消求和法可证得右侧不等式成立. 【详解】（1），定义域为，， 且， 所以函数是奇函数，的图象关于原点对称. . 当时，， 所以在上单调递增，由奇函数性质可知在上单调递增， 又，所以在上单调递增，无单调递减区间. （2）令， 则. 令，则. 所以在上单调递增，所以. 若，即，则恒成立， 是增函数，所以恒成立， 即对任意，都有； 若，即，则，使得当时，， 此时单调递减，所以，不合题意； 若，即，则在上恒成立， 是减函数，所以恒成立，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是 （3）略 变式3．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知函数，． (1)若函数图象的一条切线为，求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，证明：． 【答案】(1) (2) (3)原不等式两边同除以，， 等价于证明， 设，则， 则时，，时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 令，则， 所以， 则， 则. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）原不等式等价于证明，设，进而得到，令，可得，进而求证即可. 【详解】（1）由，则， 设切点为 ，切线的斜率为1 ， 即 ，即 ①， 又切点在切线 上，故 ， 即，则②， 由①②得， 若 ，则，与矛盾； 若，，此时，， 有 ， 故曲线在处的切线恰为，符合题意. （2）对任意的，恒成立，而， 若时，单调递增，则，满足题意； 若时， 0 极小值（最小值） 则， 设 ，则， 则在上单调递减，则， 对任意的，若，不等式不能恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. （3）略 考点三 证明双变量不等式 例1．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）已知函数，，，且，其中是自然对数的底数，． (1)当时，恒成立，求的取值范围； (2)求证： （i）； （ii）． 【答案】(1) (2)（i）由，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ，且，，则， 而，则两边取对数得，即， 结合以及（1）的结论可得， 故，即得. （ii）记，则， 则，则，令， ，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 且， 故存在，使得，即，即， 则时，，即，此时单调递减， 时，，即，此时单调递增， 故， 由于在时单调递增， 故， 即. 【分析】（1）求出函数的导数，讨论当和时，符合题意，说明时，不符合题意，即可得解； （2）（i）先对函数求导，确定其单调性，得到，那么可以将的关系用t表示，将待证不等式转化为关于t的不等式，可借助第(1)问的结论证明；（ii）记，则，求出，可得，构造函数，判断其单调性，结合隐零点问题即可证明不等式. 【详解】（1）由，得， 当时，，在上单调递增且， 则当时，恒成立； 当时，且，即时，， 在上单调递增且； 当时，且，且，， 则时，，则在上单调递减，则，不符题意； 综上所述，的取值范围. （2）略 例2．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）已知函数. (1)当，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)证明：若有两个零点，则. 【答案】(1) (2) (3)证明：由（2）知，在单调递减，单调递增，极小值点. 有两个零点，则两零点分居极值点两侧：不妨设. 要证，也就是证. 由，可知. 因为在单调递增，所以只要证明。 又，因此只需证. 构造函数，，显然. . 令，求导得: ，所以在单调递减. ，得，所以， 即. 代入，括号内式子小于0，而，所以. 在单调递减，于是， 也就是，. 取，得. 因为，所以. 都大于 1，在递增， 所以，即.证毕. 【分析】（1）求导，代入得斜率；求得切点；写出切线； （2）求导找单调性，得最小值在；最小值右侧式子，解关于的不等式； （3）设零点，将证转化为证，构造判断单调性完成证明. 【详解】（1），，定义域. . ，切点，斜率，切线方程：. （2）定义域， ，令. ，递减；，递增. 所以. 条件恒成立，等价于最小值满足： ， 解得. （3）略. 【点睛】极值点偏移：零点分居极值点两侧不等式变形，转移到同一单调区间构造差函数. 例3．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的单调区间： (2)讨论的零点个数； (3)若有三个零点，，，且，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为，无单调递减区间． (2)当时，有个零点；当时，有个零点． (3)由（2）知有个零点时，零点满足． 先验证函数性质： 因为，所以． 又，则，而在仅有唯一零点，故，即． 待证不等式等价于：． 由，，解出． 将代入待证不等式，即证：， 移项，构造辅助函数：，． 只需证明：时，． 求导：， 化简：， 通分整理分子，令，分母， 只需研究符号，． 为判断的符号，对求导，得， 此时仍有，符号难以直接判断． 令，有． 对求导，得，此时仍有，符号难以判断． 令，有． 对求导，得，此时仍有，符号难以判断． 令，有． 对求导，得． 逆推，当时，． 所以在单调递增，故，即； 所以在单调递增，故，即； 所以在单调递增，故，即； 所以在单调递增，故． 因此时，在单调递增． 求的值，利用导数定义： ， 该极限表示函数在处导数， 因为，将代入，得． 所以，． 因为在单调递增，故对任意，． 取，， 即，． 结合，得，得证． 【分析】（1）求出函数定义域，代入求导化简，依据导数符号判断单调区间； （2）求导，令导数分子为二次函数，用判别式对参数分类讨论；时利用韦达定理得到两根范围，结合单调性与直接判断极值正负，再结合极限分析零点个数； （3）利用得到零点关系，将待证不等式消元，把用表示，构造单变量辅助函数，多次求导分析单调性证明不等式． 【详解】（1）函数的定义域为，当时，，， 仅当时，故的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）， 令，． ①当时，，则对恒成立， 故，在上单调递增．又，故仅有个零点． ②当时，，设两根为， 由韦达定理：，，可得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 为极大值，为极小值． 因为，且在区间单调递减，， 所以，． 当时，，故在内存在个零点； 当时，，故在内存在个零点； 在上零点为． 综上：当时，有个零点；当时，有个零点． （3）略 【点睛】此题考查导数的综合应用，利用函数对称性分析零点关系，将多元不等式证明转化为单变量函数最值问题，解题的关键是多次求导研究函数单调性，并借助导数定义处理端点极限完成证明． 变式1．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数． (1)已知，证明：函数在上单调递减； (2)已知，证明：； (3)当时，令，，证明：在上恰有2个零点． 【答案】(1)证明：函数的定义域为， 且，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以，即， 因为，所以，即恒成立， 所以函数在区间上为单调递减函数. (2)证明：设，可得， 令，可得，令，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，所以，即， 令，可得，即， 所以在区间上为单调递增函数， 因为，可得，即， 所以， 令，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，可得，即， 因为，可得，所以， 所以原不等式成立. (3)证明：当时，，可得， 当时，令，可得，其中， 所以为单调递增函数，即为单调递增函数， 当时，且； 此时存在唯一的极小值点， 可得，，所以在上有唯一的零点； 当时，，可得， 因为，所以恒成立，所以在上没有零点； 当时，，可得，单调递减， 由，所以在上有唯一的零点， 综上可得，函数在上恰有两个零点. 【分析】（1）求得，令，利用导数求得的单调性和，得到，进而得到恒成立，即可得证； （2）设，利用导数求得为递增函数，结合不等式，化简得到，再由，得到，即可得证； （3）当时，得到，求得，分，和，三种情况讨论，结合零点存在性定理，即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式2．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）已知函数，，， (1)若不等式恒成立，求的取值范围； (2)设 （ⅰ）证明：； （ⅱ）若方程有两个不同的实数解，，证明：． 【答案】(1) (2)证明：（ⅰ）设，可得， 设，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递减，即单调递减； 当时，，单调递增，即单调递增， 所以， 又，且时，，所以有且仅有唯一解， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以，即，得证. （ⅱ）由，可得，其中， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 若有两个不同的实数根，则，且， 由（ⅰ），当且仅当时，等号成立， 令，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以，所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 设直线和直线的交点的横坐标分别为， 则，所以， 令，可得， 所以函数在上单调递增，所以，所以， 令，可得，所以， 所以成立， 可得，所以， 因为，所以. 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，令，利用导数求得单调性和最小值，得到，在分，和，三种情况讨论，求得，进而得到答案； （2）（ⅰ）设，求得，设，利用导数求得的单调性，进而得到单调性和最小值，即可得证； （ⅱ）由，利用导数求得的单调性，得到，根据题意，得到，设和的交点的横坐标分别为，求得，得到，结合对数不等式，求得 ，即可得证. 【详解】（1）解：由函数，，， 不等式，即， 即为，即 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以在区间上恒成立， 所以不等式成立，只需； 对于不等式， 当时，可得，不等式即为， 当时，可得，不等式即为， 设，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数在上的最小值为， 所以当时，，即； 因为函数在区间单调递减，且时，， 所以当时，，即， 综上可得，实数满足且且，所以实数的取值范围为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）略 变式3．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间和最大值． (2)若方程有两个不同的实数根，求的取值范围． (3)在第（2）问的条件下，设两个根为，，证明：． 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减，函数的最大值为0. (2) (3)对于正数，且，都有， 证明：不妨设，则等价于， 即证，令，即证对一切恒成立． 记，则， 所以在上单调递增，从而有证毕． 由（2）可知，不妨设， 所以，所以， 由上面公式可知，所以， 不妨设，则， 所以在上单调递增，从而有． 即，所以，所以， 所以. 【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的最大值. （2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数的单调性，画出的大致图象，数形结合求解即可. （3）先证，再通过构造函数证明，对作差得，从而，即可证明. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，因此， 所以函数的最大值为0. （2）方程有两个不同的实数根， 所以有两个不等实根，即（）， 函数与有两个交点. 设，则， 所以在单调递增，单调递减，， 当时，，，如图 由图可知. （3）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $