重庆市2026-2027学年高三上学期数学期中模拟考试卷三

2026-2027学年度高三上期数学期中考试模拟卷（三） 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知向量，，，满足，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（本题5分）等差数列的前项和为，且，，则（     ） A．14 B．24 C．28 D．56 6．（本题5分）已知，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D．2 7．（本题5分）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（   ） A．2 B．6 C．8 D．9 8．（本题5分）已知函数，若且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．为递减数列 C． D．当时，最小 10．（本题6分）设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B．的周期为4 C． D．是偶函数 11．（本题6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数是奇函数 D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）化简： （1）________． （2）________． 13．（本题5分）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则______． 14．（本题5分）对于集合的子集，将中的元素按从小到大排列为．若对所有的，的奇偶性与相同，则称为的交替子集．约定空集为交替子集．例如、、均为交替子集．记为的交替子集的个数，则_______． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知数列{an}的前n项和为，. (1)证明:数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 16．（本题15分）已知函数 ． (1)求 的最小正周期及其单调递增区间； (2)当 时，求的值域． 17．（本题15分）如图，在中，，为延长线上的一点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 18．（本题17分）已知数列的前n项和为且． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求； (3)对于第（2）题中，若对任意的恒成立，求的取值范围． 19．（本题17分）已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三上期数学期中考试模拟卷（含解析）（三） 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【详解】， 所以的虚部为． 2．（本题5分）（2026·青海黄南·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式二、三、四、交集的概念及运算、特殊角的三角函数值 【详解】， 因为，， 所以， 所以. 3．（本题5分）（吉林省吉林市普通中学2027届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算、已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正切公式 【详解】由，得； ，解得； . 4．（本题5分）（2026·重庆渝中·模拟预测）已知向量，，，满足，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】先计算的坐标，再利用平面向量共线的坐标关系求解． 【详解】因为，又，，所以，解得． 5．（本题5分）（2026·四川南充·一模）等差数列的前项和为，且，，则（     ） A．14 B．24 C．28 D．56 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、等差中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】等差数列中，，解得， 则. 6．（本题5分）（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）已知，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】原等式变形为，再由基本不等式求解即可． 【详解】由得，得， 则， 等号成立时，，即， 故的最小值为． 7．（本题5分）（2026·河南·一模）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为（   ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求函数零点或方程根的个数、由奇偶性求函数解析式 【分析】先由奇函数性质及已知条件推导出函数的周期为，并求出区间端点处的函数值；再解出内的零点，利用奇偶性和周期性求出其余区间内的零点，最后统计个数即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，所以，且. 由，得， 故，即函数是周期为的周期函数. 在中，令，得，解得. 由函数的周期性及奇偶性可知： ；；；；. 所以均为函数的零点. 当时，令， 整理得，解得. 因为，所以取. 根据奇函数的性质，当时，由，可得对应的零点为. 又因为函数的周期为， 所以在区间上的零点为； 在区间上的零点为. 综上所述，函数在上的零点为，共计个. 8．（本题5分）（2026·河南·一模）已知函数，若且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分段函数的性质及应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用导数与单调性的关系分析函数在不同区间的单调性；进而判断取最大值的情况，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】当时，，. 令，即，因为，所以，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，在处取得最小值，为. 当时，，此时单调递增. 设， 若取最大值，则，， 则，， 则. 令，，. 令，则，. 当时，左边，所以是的根. 令，，则，则在上单调递增， 所以是的唯一解，也即的唯一根. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以当时，在处取得最大值，此时. 故的最大值为. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B．为递减数列 C． D．当时，最小 【答案】ACD 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、等差数列的单调性、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. 【详解】因为数列为等差数列，为其前项和.已知，， 设该数列的首项为，公差为，则， 化简得，解得. 所以，所以A正确； 由于，所以数列为递增数列，B错误； ，C正确； 由于， 所以当时，最小，为，D正确. 10．（本题6分）（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B．的周期为4 C． D．是偶函数 【答案】AD 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据奇函数的性质可判断A，根据赋值法结合周期性的定义可判断B，举反例可判断C；根据赋值法结合偶函数的定义可判断D. 【详解】选项A： 因为是定义在上的奇函数，根据奇函数性质：对任意定义域内的都有， 令，可得，即，因此，A正确； 选项B： 由题设条件，将替换为可得：， 因此的周期是8，不是4，B错误； 选项C： 在条件中令，得；结合奇函数性质， 代入后仅能得到恒等式，无法推出， 例如符合题设的函数，满足上是奇函数、， 但，因此不一定为0，C错误； 选项D： 令，则；由变形得， 结合奇函数性质，可得，即， 所以是偶函数，即是偶函数，D正确. 11．（本题6分）（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数是奇函数 D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象 【答案】BC 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、函数奇偶性的定义与判断、求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由函数图象求出，得到函数解析式，再根据三角函数的性质及图象变换规则逐一判断各选项. 【详解】由图可知，，，所以，则，故A错误； 由，得， 又，所以，故. 选项B：当时，，此时函数取得最小值，图象关于直线对称，故B正确； 选项C：，该函数为奇函数，故C正确； 选项D：将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，即变为，得到函数的图象，故D错误. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）（2027高三·全国·专题练习）化简： （1）________． （2）________． 【答案】 【知识点】向量加法的运算律、向量减法的法则、向量加法法则的几何应用 【详解】（1）根据向量加法的交换律与三角形法则（首尾相接）：，，，故 . （2）；由向量减法的三角形法则，；所以 . 13．（本题5分）（2026·青海黄南·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则______． 【答案】 【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】由求导得. 由题意可知，曲线在点处的切线斜率为， 即，解得. 又因为切点在切线上， 所以. 14．（本题5分）（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）对于集合的子集，将中的元素按从小到大排列为．若对所有的，的奇偶性与相同，则称为的交替子集．约定空集为交替子集．例如、、均为交替子集．记为的交替子集的个数，则_______． 【答案】144 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、代数中的计数问题 【分析】先明确交替子集的定义，将问题转化为满足“第i个元素与i奇偶性相同”的递增序列计数问题，空集单独计入总数然后找递推关系：考虑第个元素是否在交替子集中，如果为奇数，那么它只能作为序列的奇数位置元素，以此建立和、的关联，最后确定初始条件：计算、的数值，再根据递推式逐步计算到. 【详解】设为集合的交替子集总数， 所有的交替子集，本身也属于的交替子集，这部分共个. 若要把元素追加到某个的交替子集末尾， 若是奇数，追加后它是新子集的最后一位，要求它的奇偶性和它的位置序号相同， 即追加前的子集最后一位是偶数位（空集也满足，空集追加奇数后得到单元素奇子集，符合要求）， 这类子集的总数恰好是. 得到递推公式：，这是斐波那契型递推， 初值：，， 依次递推： . 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）（2026·广东广州·模拟预测）已知数列{an}的前n项和为，. (1)证明:数列是等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)， 当时，，解得： 当时，， ， 所以，即：，，， 所以是首项为，公比为的等比数列. (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）利用递推公式即可证明； （2）利用裂项相消的方法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，则， 所以， 则. 16．（本题15分）（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）已知函数 ． (1)求 的最小正周期及其单调递增区间； (2)当 时，求的值域． 【答案】(1)最小正周期 ，单调递增区间为 ； (2)值域为 ． 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果； （2）根据可得，结合正弦函数性质，即可求得结果. 【详解】（1） ， 所以最小正周期 ． 由 解得 ， 即单调递增区间为 ． （2）当 时，． 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最大值为， 当，即时，函数有最小值为， 所以 的值域为 ． 17．（本题15分）（2026·青海西宁·二模）如图，在中，，为延长线上的一点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、用和、差角的余弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理求出，结合三角形内角和及外角性质求出，最后在中利用正弦定理求出的长； （2）利用余弦定理求出的长，进而求出，确定的形状，然后根据面积公式求解. 【详解】（1）在中，根据正弦定理可得， 即， 由为钝角，得为锐角，所以， 所以， 所以 ． （2）因为， 在中，由余弦定理得，， 解得，则， 则，在中，， 所以的面积为 18．（本题17分）（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前n项和为且． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，求； (3)对于第（2）题中，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数列不等式恒成立问题、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）由数列的通项与前项和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求； （2）由数列的乘公比错位相减法求和，可得； （3）由参数分离和不等式恒成立思想，结合数列的单调性，可得所求取值范围． 【详解】（1）当时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得，当时也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 所以数列的通项公式为 （2）， 则， ， 两式相减可得： ， 整理可得 （3）由（2）可知若对任意的恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，即，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增， 即当时，， 当时，，所以， 故的取值范围为． 19．（本题17分）（山西省实验中学2017届高三下学期模拟热身数学（文）试题）已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)递增区间是，没有递减区间； (2). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）当时，，利用导函数的性质可得的递增区间是，没有递减区间. （2）导函数，分类讨论和两种情况可得实数的取值范围是. 【详解】（1）当时，，， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 所以， 所以的递增区间是，没有递减区间. （2），令，则， 当时，，则单调递增，， 当时，，在上单调递增，恒成立； 当时，存在，使，则在上单调递减， 在上单调递增，则当时，，不合题意. 综上，实数的取值范围是. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $