2026-2027学年高三上学期数学期中模拟考试卷（重庆适用，中等难度卷一）

2026-2027学年度高三上期数学期中模拟考试卷（中等难度卷一） 内容包含集合与简易逻辑、不等式、函数与导数、 三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）（贵州黔东南州、安顺市部分学校2026-2027学年高三上学期10月学科素养训练数学试题）已知复数（i为虚数单位），则（     ） A．2 B． C．4 D． 3．（本题5分）（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（本题5分）（2026·江苏南通·一模）已知，，其中．若，则（     ）． A． B． C． D． 6．（本题5分）（2026·浙江·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则当取到最大值时，（     ） A． B． C． D． 7．（本题5分）（2026·江苏苏州·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 8．（本题5分）（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边上一点的坐标为，则（   ） A． B． C．1 D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．若等比数列是递增数列，则的公比1 C．若数列的前项和为，则数列是等差数列 D．若数列为等比数列，其前项和，则 10．（本题6分）（26-27高三上·海南海口·开学考试）下列结论正确的是（     ） A．函数的定义域为 B．函数是增函数 C．函数是偶函数 D．函数的最小值为 11．（本题6分）（26-27高三上·河南·阶段检测）如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．若区间内包含了的零点与极值点，则 D．若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）（2026·四川南充·模拟预测）已知平面向量，均为单位向量，若，则__________． 13．（本题5分）（24-25高三上·北京·阶段检测）设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，则_________；_________． 14．（本题5分）（26-27高一上·福建福州·阶段检测）已知，且，，则的最小值为________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．（本题15分）（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，内角，，的对边分别是，，，已知. (1)求； (2)若，，求. 17．（本题15分）（2026高二·全国·专题练习）已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值． 18．（本题17分）（2026·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和满足． (1)证明：是等比数列； (2)设数列，的前项和，证明：． 19．（本题17分）（26-27高一上·北京通州·阶段检测）李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） (1)求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三上期数学期中模拟考试卷含解析（中等难度卷一） 内容包含集合与简易逻辑、不等式、函数与导数、 三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 未命名 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【分析】首先将转化为，然后进行交集运算即可. 【详解】，即，即，因此， 又集合，故. 2．（本题5分）（贵州黔东南州、安顺市部分学校2026-2027学年高三上学期10月学科素养训练数学试题）已知复数（i为虚数单位），则（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【详解】. 3．（本题5分）（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）函数（，且）的图象恒过定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【详解】对于函数，令，可得，则， 所以函数（且）的图象恒过定点坐标为. 4．（本题5分）（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、分类讨论解绝对值不等式 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 5．（本题5分）（2026·江苏南通·一模）已知，，其中．若，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知三角函数值求角、平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【详解】，，则有， 由，有，即，故， 得，又，所以. 6．（本题5分）（2026·浙江·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则当取到最大值时，（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】由已知求和，然后代入等差数列的前项和公式，转化为二次函数问题求解即可． 【详解】设数列的公差为， 因为， 所以， 所以，又， 所以，故 所以， 所以当时，取得最大值. 7．（本题5分）（2026·江苏苏州·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【详解】函数是增函数，所以； 函数是减函数，所以； 函数是增函数，所以. 所以. 8．（本题5分）（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边上一点的坐标为，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据任意角的三角函数定义可得到，再利用二倍角公式，代入数值计算即可. 【详解】因为角的终边上一点的坐标为，所以. . 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．若等比数列是递增数列，则的公比1 C．若数列的前项和为，则数列是等差数列 D．若数列为等比数列，其前项和，则 【答案】ACD 【知识点】判断等差数列、等比数列的单调性、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】对A直接由等差数列及等比数列定义判断可得；对B根据等比数列的性质判断可得；对C由数列的前项和可得数列的通项公式，再由等差数列的定义判断可得；对D由等比数列的前项和公式特征判断可得. 【详解】选项A：由等差数列、等比数列的定义，非零常数列既是等差数列，又是等比数列，A正确； 选项B：由等比数列的性质知，等比数列递增有两种情况： ①首项且公比；②首项且公比， 因此由等比数列是递增数列，不一定能得到，B错误； 选项C：因为数列的前项和为， 当时，； 当时，， 显然时，也符合上式，因此. 所以，（）， 因此数列是以为公差的等差数列，C正确； 选项D：因为数列为等比数列，所以（其中）， 又因为，对比系数得，D正确. 10．（本题6分）（26-27高三上·海南海口·开学考试）下列结论正确的是（     ） A．函数的定义域为 B．函数是增函数 C．函数是偶函数 D．函数的最小值为 【答案】BC 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对于A，求出实函数定义域即可判断；对于B，由幂函数的性质判断即可；对于C，先确定定义域，再利用定义法判断奇偶性即可；对于D，易知时，即可判断． 【详解】对于A，函数，则，解得， 故函数的定义域为，A错误； 对于B，函数的定义域为，单调递增， 故函数是增函数，B正确； 对于C，函数定义域为，且， 故函数是偶函数，C正确； 对于D，当时，， 当时，，故函数没有最小值，D错误． 11．（本题6分）（26-27高三上·河南·阶段检测）如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．若区间内包含了的零点与极值点，则 D．若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 【答案】AD 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】由直线与正弦型函数图象的相邻交点间距求出，再结合零点及图象走势确定；随后利用正弦型函数的零点、极值点和对称轴逐项判断． 【详解】对于A，令． 方程的相邻两个解相差，因此 解得．又在图象上，所以即． 结合，得或．由图象知，故，从而 于是． 由上面的计算，，故A正确． 对于B，由上面的计算，，故B错误． 对于C，函数的零点满足 函数的极值点满足 相邻的一个零点和极值点之间的距离为 取充分小的，区间同时包含这两个点，且长度小于，故C错误． 对于D，的图象的对称轴为极值点所在的直线，即 其中离轴最近的对称轴为． 将图象沿轴平移个单位，使该对称轴与轴重合，所得函数为偶函数； 小于该距离的平移不能使任何对称轴与轴重合，故的最小值为，故D正确． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）（2026·四川南充·模拟预测）已知平面向量，均为单位向量，若，则__________． 【答案】1 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】由得，可得，再利用求解. 【详解】因为，所以，即， 又因为，均为单位向量，所以，则， 所以. 13．（本题5分）（24-25高三上·北京·阶段检测）设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，则_________；_________． 【答案】 63 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】利用等比数列中的项可求得公比，可求得通项公式，代入等比数列前项和公式可得. 【详解】设等比数列的公比为， 根据题意由可得，解得或（舍）； 所以可得， 由等比数列前项和公式可得. 故答案为：；63. 14．（本题5分）（26-27高一上·福建福州·阶段检测）已知，且，，则的最小值为________． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】已知条件含，目标式含有，故先对条件变形，构造出和为定值，再利用“1的代换”结合基本不等式求解最小值，最后验证等号能够成立即可． 【详解】因为（），则， 两边同除以得 ， 则，其中，， 根据基本不等式可知 ， 当且仅当，即时取等号， 联立，解得，，满足，的条件， 因此，即最小值为． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【详解】（1）数列是等比数列，，，得数列的公比满足，解得. 则的通项公式为. （2）将数列的前项和分成等比数列和等差数列分别求和. 则. 16．（本题15分）（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，内角，，的对边分别是，，，已知. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【详解】（1）因为，由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理可得， 即，，可得， 又因为，可得，即， 所以. 17．（本题15分）（2026高二·全国·专题练习）已知函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)求函数的最值． 【答案】(1) (2)当时，函数无最值；当时，函数的最大值为，无最小值 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（含参） 【详解】（1）因为，所以，其中． 因为函数在处取得极值，所以，解得． 经检验，符合题意，故． （2）由（1）知，． 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，，所以函数在上单调递增，无最值； 当时，令，得；令，得； 故在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值为， 无最小值． 综上，当时，函数无最值； 当时，函数的最大值为，无最小值． 18．（本题17分）（2026·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和满足． (1)证明：是等比数列； (2)设数列，的前项和，证明：． 【答案】(1)证明：当时，，即，所以. 当时，. 作差得，即， 整理得，即. 所以是以为首项，为公比的等比数列. (2)证明：由（1）得，，则. 满足上式，故. 所以. ，， 所以. 所以. 因为，所以，故. 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据与的关系及等比数列的定义证明即可. （2）根据等比数列的定义求出，进而求出，，再根据错位相减法及等比数列的前项和公式求出，结合不等式性质证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 19．（本题17分）（26-27高一上·北京通州·阶段检测）李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） (1)求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 【答案】(1) (2)年产量为100件时获利最大 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据“利润总收入成本”求得关于的函数关系式. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量. 【详解】（1）依题意， . （2）当时，当时， 取得最大值为元. 当时，元， 当且仅当件时等号成立. 综上所述，当年产量为件时，获利最大. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $