精品解析：重庆西藏中学2025-2026学年上学期期中考试高三数学试题

重庆西藏中学校2025-2026学年度半期考试 高三数学试题卷 （考试时间120分钟，满分150分） 命题人：聂志 审题人：蒙琳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式求解，及指数函数的值域，确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由题意， ， 故选：C 2. 已知，下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念与意义可知复数不能比较大小，结合复数的共轭复数与复数的乘法运算得的结果为实数可以比较大小，从而得结论. 【详解】已知，复数不能比较大小，故A、B不正确； 又， 所以，故C不正确，D正确. 故选：D. 3. 已知等差数列不是常数列，若，且，，成等比数列，则（ ） A. 1 B. 21 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到，结合等差数列不是常数列，得到，再求即可. 【详解】因为，且，，成等比数列， 所以，解得或， 因为等差数列不是常数列，所以. 所以. 故选：C 4. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A． 5. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、二次函数单调性及分段函数单调性列式求解. 【详解】依题意，函数在上单调递减，则，解得， 又函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 故选：B 6. 已知平面向量则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量的坐标运算求解. 【详解】由向量，得，则，而， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：A 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得,结合基本不等式即可求出的最小值. 【详解】已知，且，则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故选：D 8. 不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得到是的一个根，从而得到之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可. 【详解】由题意可得，需满足是的一个根， 即，且，所以， ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：A. 二、多选题：（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象向左平移个单位长度后为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据、结合周期可判断A；根据余弦函数的单调性及对称性可判断BC；根据函数图象平移得到函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断D. 【详解】对于A，由得，由得， 由得，故， 化简得， 由图可知该函数的周期，故，解得， 所以，故A正确； 对于B，由，得不是函数的对称中心，故B错误； 对于C，由，可得， 由，得函数在上单调递增，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，此时为偶函数，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是奇函数 C. 函数在上为增函数 D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义及判定方法，可判定A正确，B错误；利用复合函数的单调性可判定C不正确，D正确. 【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称， 又由， 所以函数是偶函数，所以A正确，B错误； 由函数， 当时，，且单调递增， 所以在区间单调递减； 当时，，且单调递增，所以在区间单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域为，所以C不正确，D正确. 故选：AD. 11. 记为数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. 取最小值时 C. 是等差数列 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用条件等式可计算A，由等差数列的定义先证明为等差数列，求出后结合二次函数的性质可判定B，由的关系得出结合等差数列的定义可判定C，由裂项相消法可判定D. 【详解】对于A，由， 可得，即，故A错误； 对于B，条件变形有， 所以是以为首项为公差的等差数列，则， 所以， 由二次函数的对称性可知或时取最小值，故B错误； 对于C，由作差得， 而，符合上式，所以，即是等差数列，公差为，故C正确； 对于D，由上可知， 所以，故D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为公比不为1的等比数列的前项和，若，则公比__________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用等比数列的通项公式、前n项和公式列方程求公比. 【详解】由题设，且， 所以，则， 所以，可得（舍）. 故答案为： 13. 已知向量满足，且 ，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，结合及题中条件即可求解. 【详解】∵，∴，即，故， ∵，且由已知得， ∴， ∴，解得（负根舍去）. 故答案为：. 14. 某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过_____________小时（参考数据：） 【答案】52 【解析】 【分析】根据题意建立方程组，可求得，，即得，再结合对数的运算性质化简，代值估算即得. 【详解】经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为， ，解得，，则， 当这种药物完全分解，即时，得，得， 即，两边取对数得 . 故答案为：52. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在时取得极值. （1）求函数的单调性； （2）已知点，求过点且与曲线相切的切线条数. 【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减； （2）2 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点求出，进而求出函数的单调性. （2）设出切点坐标，求出切线方程，由经过的点确定解的个数即可. 【小问1详解】 函数，求导得，由在时取得极值， 得，解得，， 当或时，；当时，，则为的极值点， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，，设切点为， 则切线方程，而切线过点， 由，整理得，解得或， 所以过点且与曲线相切的切线有2条. 16. 已知函数 （1）求在上的单调区间和值域； （2）若且求的值. 【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；值域为. （2）. 【解析】 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，再结合正弦型函数的性质求单调区间、值域； （2）根据已知求得，再由和角余弦公式求即可得. 【小问1详解】 由 ， 由，则， 故时，单调递增，时单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为，且值域为； 【小问2详解】 由，且，则， 所以 . 17. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 由得，可知， 两式相减得， 即， ， ∵当时，， 则是首项为1，公差的等差数列， 的通项公式为； 【小问2详解】 ， ， . 18. 在中，角所对的边分别是．已知，的面积为． （1）求； （2）为边上一点， ①若是的平分线，求线段的长； ②若，求． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式，结合角的范围求出，根据三角形面积公式和余弦定理即可求得边； （2）①利用三角形面积相等即可解方程求得线段的长；②设，所以，分别在和，利用正弦定理，推得，计算即得. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，则，故由，可得. 因为，，解得， 由余弦定理得，解得. 【小问2详解】 ①因， 依题意有，解得. ②设，所以． 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理得，，即， 因，代入化简得， 即，解得，即. 19. 已知函数. （1）证明：. （2）若在上只有一个零点，求的取值范围. （3）设是的两个零点，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过求导分析的单调性，进而求得的最大值，若最大值小于0，即可证明. （2）将函数零点问题转化为方程的解的问题，将变形为，构造函数， 通过求导分析在上的单调性、极值及极限情况，结合与直线的交点个数来确定的取值范围. （3）根据题意，，将这两个等式相加进行变形，结合基本不等式构造函数，分析与之间的关系，即可证明不等式. 【小问1详解】 证明：将代入函数， 得. 设，则， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 所以， 所以，故，. 【小问2详解】 由，得. 设，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，且极大值为， 在处取得极小值，且极小值为， ， 当时，， 故的取值范围是. 【小问3详解】 证明：因为是的两个零点，所以， 则， 即， 因为，，所以， 所以. 设，， 则，当时，，当时，， 所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆西藏中学校2025-2026学年度半期考试 高三数学试题卷 （考试时间120分钟，满分150分） 命题人：聂志 审题人：蒙琳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列不是常数列，若，且，，成等比数列，则（ ） A. 1 B. 21 C. 19 D. 20 4. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 5. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题：（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象向左平移个单位长度后为奇函数 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是奇函数 C. 函数在上为增函数 D. 函数的值域为 11. 记为数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. 取最小值时 C. 是等差数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为公比不为1的等比数列的前项和，若，则公比__________. 13. 已知向量满足，且 ，则______. 14. 某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过_____________小时（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在时取得极值. （1）求函数的单调性； （2）已知点，求过点且与曲线相切的切线条数. 16. 已知函数 （1）求在上的单调区间和值域； （2）若且求的值. 17. 设正项数列的前n项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 在中，角所对的边分别是．已知，的面积为． （1）求； （2）为边上一点， ①若是的平分线，求线段的长； ②若，求． 19. 已知函数. （1）证明：. （2）若在上只有一个零点，求的取值范围. （3）设是的两个零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $