甘肃定西市渭源县北寨中学等校2026-2027学年九年级第一学期期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试试题学校 班级 姓名 学号 ------------密------------封------------线------------内------------不-----------准------- --答------------题---------- ------- 九年级 数学 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 1． 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D． 3．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 4．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 5．若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（     ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线对称轴是直线，经过点，下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 10．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．当时， B．与的函数关系式是 C．当时，的取值范围是 D．当时， 二．填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分.） 11．若是关于x的一元二次方程的解，则__________． 12．设，是方程的两实数根，则____________． 13．学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：____________ 14．将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是________． 15．位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，则水面上升米后水面宽度为________．（结果保留根号） 三．解答题（本大题有10小题，共75分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 16(6分)．解方程：(1) (2) 17（7分）．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 18（5分）．某商场购进一批台灯，9月销售200个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到288个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变，求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 19（8分）．已知二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式及对称轴； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． 20（7分）．如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为，路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行，桥面最高处到路面的距离为．以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)按计划在该彩虹桥下方对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 21（7分）．某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，根据市场调查，当销售单价为元时，每周的销售量为本，售价每提高元，每周的销售量就减少本．设每本纪念册的售价为（元），每周的销售量为（本），每本纪念册的售价不低于元且不高于元． (1)请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)将该纪念册的销售单价定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 22（10分）．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 23（7分）．如图，将绕点逆时针旋转得到，点在边上，． (1)求的大小； (2)若，与交于点，求证：． 24（8分）．在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动． (1)如果、同时出发，几秒钟后，可使的面积为8平方厘米？ (2)点、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的面积．若不存在，说明理由． 25（10分）．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，点的坐标为． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)连接，求直线对应的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，并求出的最小值及点的坐标． 第5页共6页 第6页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期期中考试试题 九年级数学 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟.所有试题均在答题卡上作答，否则无效 一.选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上) 1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清 如 明”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（) B 洲 2.关于x的一元二次方程(m-3)x2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是() A.m<4且m≠3 B.m≤4且m≠3 C.m≤4 D.m>4 长 3.对于反比例函数y=12 下列说法正确的是() A.图象经过点(3,4) B.图象位于第二、四象限 拟 C.当x<0时，y随x的增大而减小D.当x>0时，y随x的增大而增大 4.一次函数y=-+1与反比例函数y=(k≠0)在同一坐标系中的图象可能是（） : 紧 5.若点A(-7,y),B(-5,y2),C(-2,y3)是抛物线y=x2+8x+c上的三点，则y,y2,y的大小关系是() A.月>y2>y3 B,<y2<3 C·y>y3>2 D.<<y2 6.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A在函数y=k≠0，x<0的图象上，点B 阳 是OA上一点，过点A作AC⊥x轴于点C,连结BC.若OB=2AB,△OBC的面积为2，则k的 值为() 幕 A.-3 B.3 C.-6 D.6 7.如图，将三角板ABC(其中∠CBA=60°，∠C=90°)绕点B顺时针旋转得到△EBD,点A、B、D 在同一条直线上，那么旋转角等于() A.60° B.90° C.120° D.150° 第5页共6页 8.如图，在地面上的A处竖直安装一个水管AB,水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A 的水平距离为1m处达到最高点C,点C距离地面的高度为3m,水柱落地点D到A处的距离为4m,则水管的顶 端B距地面的高度AB为() C. 7 A.2m 4m 9.如图，抛物线y=ax2+bx+c对称轴是直线x=1,经过点（-l,0),下列结论正确的是() ①c<0；②2a+b=0;③b2-4ac>0;④4a-2b+c>0. 4(-1,0) A.①③ B.①② C.②③ D.③④ 0.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现·如图所示的是该 台灯的电流I(A)与电阻R(2)的关系图象，该图象经过点P(880,0.25).根据图象可知，下列说法不正确的是() A.当R>8802时，I>0.25A ®·I与R的函数关系式是/0R>0) 0.25 C.当8802<R<10002时，I的取值范围是0.22A<I<0.25A 880 RIO D.当I=0.22A时，R=10002 二.填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分.) 11.若x=1是关于x的一元二次方程x2-am+1=0的解，则a=」 12.设m,n是方程x2-x-3=0的两实数根，则m+n+mn+2026= 13.学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球 队参加比赛？列方程为 14.将抛物线y=-2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是 15.位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，横跨在沁水河上，它是晋城通往沁水、阳城地区交通干道上的一 座重要桥梁，如图，古桥横断面是抛物线形，当水面在1时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面4m,水面宽8m, 则水面上升2米后水面宽度为 m·(结果保留根号) 8m 三.解答题（本大题有10小题，共75分.解答时应写出文字说明或演算步骤.) 16(6分).解方程：(1)x2+2x-8=0(2)4x2-6x-3=0 第6页共6页 17(7分).已知关于x的一元二次方程x2-2x+k2-1=0. (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若x,x2是该方程的两个根，且满足xx2+x+x2=k2-k+8,求k的值 18(5分)·某商场购进一批台灯，9月销售200个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到 288个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变，求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率 19(8分).已知二次函数y=x2+(m-1)x-m的图象过点A(2,-1). (1)求该二次函数的解析式及对称轴： (2)若k≤x≤k+2,该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k的值. 20(7分).如图，某经济开发区计划在道路AB上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路AB的宽为20m,路内 侧两边各有2m宽的绿化带，其余路面正常通行，桥面最高处到路面的距离为8m.以AB所在直线为x轴，AB的 垂直平分线OM为y轴，建立平面直角坐标系· yk M 桥拱 (1)求抛物线的表达式： 8m 20m B (2)按计划在该彩虹桥下方对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路AB的正常通行， 求支撑柱的最大高度， 21(7分).某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量 为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本.设每本纪念册的售价为x(元)，每周的销售量为y(本) 每本纪念册的售价不低于22元且不高于28元· (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围 (2)将该纪念册的销售单价定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 第5页共6页 22(10分).如图.一次函数y=:+b与反比例函数y=m（x>0)的图象交于A(1,6),B(3,n)两点. (①)求反比例函数和一次函数的关系式： (2)求△AOB的面积： (3)根据图象，直接写出不等式：+b>”的解集 23(7分).如图，将AABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点D在边BC上，∠B=75°· (1)求∠CDE的大小： (2)若∠C=45°，AC与DE交于点F,求证：EF=CD· 24(8分).在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以lcm/s的速度移 动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cms的速度移动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动. (1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？ (2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积最大？若存在，求出运动的时间和最大的 面积.若不存在，说明理由 25(10分).如图，抛物线y=-x2+x+2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,OB=OC,点A的坐标为(1,0). 备用图 (1)求抛物线对应的函数表达式： (2)连接BC,求直线BC对应的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴I上找一点P,使PA+PC的值最小，并求出PA+PC的最小值及点P的坐标. 第6页共6页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B C C C D C A 11．2 12． 13． 14． 15． 16．【详解】（1）解： 或 ， （2）解： ，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 17．(1)证明：在方程中， ，，， ∴， ∵， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：在方程中， ，，， ∴， 代入得， ， 解得． 18．【详解】解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x，由题意得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为． 19．【详解】（1）解：将代入，得：， 解得：， ∴二次函数解析式为：， 即对称轴为：； （2）解：， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 分类讨论： 第一类：当时，， 此时当时，y有最大值，；当时，y有最小值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：，与矛盾，舍去； 第二类：当时，， 此时当时，y有最小值，；当时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：，不满足，舍去； 第三类：当时，， 此时当时，y有最小值，； 若时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（负数不满足，舍去）； 若时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（不满足，舍去）； 综上所述：的值为或． 20．（1）解：由题意得，，， ∴顶点，点， 设抛物线的表达式为， 把点代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵要确保道路的正常通行， ∴两个支撑柱之间的距离最少为， ∵支撑柱对称安置且要确保道路正常通行， ∴支撑柱到的距离至少为， 令，则， ∴支撑柱的最大高度为． 21．（1）解：根据售价每提高元，每周的销售量就减少本， 可得：，； （2）设利润为w，每一本的利润为：元， 根据题意有：， 化为顶点式有：，即抛物线开口朝下， ∴时，w随着x的增大而增大， ∵， ∴当时w取最大值，最大值为， 即销售单价定为28元时，每周所获利润最大，最大利润为192元． 22．（1）解：将代入得：，即， ， 将代入得， ， 将代入得， 解得， ； （2）解：当时，解得， 即， ， ； （3）解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方时，， ∴不等式的解集为． 23．（1）解：∵绕点逆时针旋转得到，点在边上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，点在边上， ∴， ∴， ∴． 24．（1）解：设x秒钟后，可使的面积为8平方厘米，由题意得： ， 或， 当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米； （2）解：理由：设x秒时，的面积为，由题意得： 故存在，运动3秒时面积最大，为9平方厘米． 25．（1）解：在抛物线上， ， 解得， 抛物线解析式为． （2）解：在中，令，得， ， ， ， ， 由图像知在轴负半轴， ， 设直线解析式为， ， 把代入， ， ， 直线解析式为． （3）解：如图，连接、、， ， 对称轴直线：， 点关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，最小，最小值为， ， ， 把代入， ， ， 最小值为，点． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C 8 01 11.2 12.2024 13.2x(x-)=15 14.y=-2(x-1)2+3 15.42 16.【详解】(1)解：x2+2x-8=0 （x+4)(x-2)=0 x+4=0或x-2=0 x1=-4,x2=2 （2)解：4x2-6x-3=0 a=4,b=-6,c=-3 △=(-6)}-4×4×(-3)=84>0， 方程有两个不相等的实数根， x=-(6)±84_6±22i3t2 2×4 2×4 4 3+√21 x= 3-V21 4 ，x2= 4 17.(1)证明：在方程x2-2+k2-1=0中， a=1,b=-2k,c=k2-1, ∴.△=b2-4ac=(-2k)2-4×1×(k2-1=4, 4>0, .无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根： (2)解：在方程x2-2+k2-1=0中， a=1,b=-2k,c=k2-1, .x+x2=- b=2k,x5=C=2-1, a 代入xx2+x+x2=K2-k+8得， k2-1+2k=k2-k+8, 解得k=3. 答案第1页（共6页） 9 18.【详解】解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x,由题意得 200(1+x)2=288, 解得x=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去). 答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为20%. 19.【详解】(1)解：将A(2,)代入y=x2+(m-1)x-m,得：2+(m-1)×2-m=-1, 解得：m=-3, .二次函数解析式为：y=x2-4x+3, 即对格销为：=子2： (2)解：y=x2-4x+3=（x-2)2-1, 当x≤2时，y随x的增大而减小：当x>2时，y随x的增大而增大： 分类讨论： 第一类：当k≤x≤k+2≤2时，k≤0， 此时当x=k时，y有最大值，y=(k-2)-1;当x=k+2时，y有最小值，y=k2-1, ,最大值与最小值的差为3， ∴.(-2)2-1-(k2-1=3, 解得：k=日与k≤0矛盾，合去： 第二类：当2≤k≤x≤k+2时，k≥2， 此时当x=k时，y有最小值，y=(k-2)-1;当x=k+2时，y有最大值，y=k2-1, ,最大值与最小值的差为3， (2--[k-22-]=3。 解得：k,不满足k之2，舍去 第三类：当k<2<k+2时，0<k<2, 此时当x=2时，y有最小值，y=(2-2)2-1=-1; 若x=k+2时，y有最大值，y=k2-1, ,最大值与最小值的差为3， (k2-1-(-1)=3, 解得：k=√5（负数不满足0<k<2,舍去）： 答案第2页（共6页） 若x=k时，y有最大值，y=(k-2)2-1, ,最大值与最小值的差为3， (k-2)2-1-（-1)=3, 解得：k=2-V5（k=2+V5不满足0<k<2,舍去)： 综上所述：k的值为2-√5或√5. 20.(1)解：由题意得，OM=8m,0A=0B=AB=10m, ∴.顶点M(0,8),点B(10,0), 设抛物线的表达式为y=ax2+8, 把点B(10,0)代入得0=100a+8, 解得a=-2 5 抛物线的表达式为y= +8 (2)解：要确保道路的正常通行， ∴.两个支撑柱之间的距离最少为20-2×2=16m, ,支撑柱对称安置且要确保道路正常通行， ∴.支撑柱到OM的距离至少为16÷2=8m, 令x=8,则y=-×82+8=2.88, ∴.支撑柱的最大高度为2.88m. 21.（1)解：根据售价每提高1元，每周的销售量就减少2本， 可得：y=-2(x-22)+36=-2x+80,22≤x≤28： (2)设利润为w,每一本的利润为：（x-20)元， 根据题意有：w=（x-20)y=(-2x+80)(x-20)=-2x2+120x-1600, 化为顶点式有：w=-2(x-30)+200,即抛物线开口朝下， .x≤30时，p随着x的增大而增大， ,22≤x≤28， ∴.当x=28时w取最大值，最大值为w=-2(28-30)2+200=192, 即销售单价定为28元时，每周所获利润最大，最大利润为192元. 答案第3页（共6页） 22.(1)解：将4L,0代入y=m得：6=”，即m=6, 11 6 ..y= 6 将B(3,m)代入y=6得n=6=2, 3 .B(3,2), 6=k+b 将AL,6),B(3,2)代入y=ac+b得 2=3k+b1 「k=-2 解得6=8’ .y=-2x+8; (2)解：当y=-2x+8=0时，解得x=4, 即C(4,0), ..0C=4, B CT龙 ∴.S4OB=S4Oc-SBOC =2x0Cxy2×0Cxa 4x64x2 =12-4 =8: (3)解：从图象可知，一次函数在反比例函数上方时，1<x<3, 不等式：+b>m的解集为1<x<3. 23.(1)解：，'△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点D在边BC上， ∴.AB=AD,∠ABD=∠ADE, .∠ABD=∠ADB, ∠B=75°， ∴.∠ABD=∠ADB=∠ADE=75°， .∠CDE=180°-75°-75°=30°： 答案第4页（共6页） (2)证明：由(1)得：∠ABD=∠ADB=∠ADE=75°， ∠C=45°， ∴.∠CAD=∠ADB-∠C=30°， ,∠B=75°， .∴.∠DAE=∠BAC=180°-75°-45°=60°， .∴.∠CAE=∠DAC=60°-30°=30°， ,'△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点D在边BC上， .AE=AC,∠E=∠C, .∴.△AFE2△ADC(ASA), .EF=CD 24.(1)解：设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米， 26-2x=8 x=2或x=4, 当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米： (2)解：理由：设x秒时，△PCQ的面积为S,由题意得： 5=2（6-刘2x=-(x-3+9 故存在，运动3秒时面积最大，为9平方厘米。 25.(1)解：A1,0)在抛物线y=-x2+mx+2上， .-12+m×1+2=0, 解得m=-1, .抛物线解析式为y=-x2-x+2. （2)解：在y=-x2-x+2中，令x=0,得y=2, ∴.C(0,2), .0C=2, .OB=OC, ∴.OB=2, 由图像知B在x轴负半轴， .B(-2,0), 设直线BC解析式为y=c+b, 答案第5页（共6页） 由题意得： -2k+b=0 b=2· 把b=2代入-2k+b=0, -2k+2=0, k=1, .直线BC解析式为y=x+2. (3)解：如图，连接PA、PB、PC, y=-x2-x+2, 心对称轴直线：x=- -11 2a2×(-1）2' “点4B关于对称轴x=一2对称， .PA=PB, .PA+PC=PB+PC, 当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，最小值为BC, B(-2,0),C(0,2), .BC=V(-2-0)2+(0-2)2=2√2， 把x=代入y=x+2. y=2 1 3 +2= 2 PA+PC最小值为22，点P2 答案第6页（共6页）