精品解析：甘肃平凉市第八中学2026-2027学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中质量检测试卷 九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意． 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数进行判断即可． 【详解】解：A、最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、原函数化简为：是一次函数，不是二次函数，不符合题意； 故选C． 3. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴，解得． 4. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 2，，1 B. 2，3，1 C. 1，3，2 D. 1，，2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 5. 把二次函数通过配方化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将进行配方，然后与对比即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 6. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征逐一验证即可． 【详解】解：反比例函数图象上的点满足， ， 点在函数图象上，故选项A符合题意； ，，，均不等于， 其余选项的点均不在函数图象上． 7. 若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得． 8. 如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ） A. 6 B. 2.5 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 9. 某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确初始会实验的人数及每轮新增人数的计算方式，结合总人数列方程． 【详解】解：∵初始有1人会做实验，且1人每次教会名同学， ∴第一节课新增名会做实验的同学，此时会做实验的总人数为名， ∴第二节课新增名会做实验的同学， ∵两节课后共有49人会做实验， ∴列方程为． 10. 如图1，在中，，动点从点出发以1个单位/秒速度向点做匀速运动，设，点运动时间为（秒）（），且关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 当时，则点运动时间为2秒或8秒 C. 点在函数图象上 D. 当时，函数有最小值7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的高知识，过C作于E，根据三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，，则可求，根据二次函数的性质得出当时，y由最大值为，由点和在函数图象上，且可求出该抛物线的对称轴为直线，则，进而求出， ，即可判断选项A、C，把代入，求出对应的x，即可判断选项B，根据二次函数的增减性即可判断选项D． 【详解】解：由题意，得 如图，过C作于E， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴当时，y由最大值为， ∵点和在函数图象上，且， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ，故选项A错误； ∴顶点为，故选项C错误； 当时，， 解得或， ∴当时，则点运动时间为2秒或6秒，故选项B错误； 当时，y随x的增大而增大， 当时，； 当时，y随x的增大而减小， 当时，； 故当时，函数有最小值7， 故选项D正确； 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若函数是关于x的二次函数，则常数m的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义，得到的最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴的最高次数满足，且二次项系数， 整理方程得， 因式分解得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 12. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而减小，可得比例系数，据此列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随增大而减小， ∴图象分布在一三象限， ∴ 解得． 13. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，即可求出平移后的新抛物线解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到的抛物线解析式为， 再向上平移个单位长度，得到新抛物线解析式为． 14. 若是方程的一个根，则此方程的另一个根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系得到关于的方程，求解即可得到结果. 【详解】解：设该方程的另一个根为，对于方程，二次项系数为，一次项系数为， 根据根与系数的关系可得， 解得，即该方程的另一个根为. 15. 某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司、两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】已知5月产值和两个月增长后7月的产值，根据增长率的计算方法表示出7月产值，即可列出方程． 【详解】解：∵5月产值为万元，月均增长率为， ∴6月产值为万元， ∴7月产值为万元， ∵预计7月产值为万元， ∴可列出方程． 16. 关于的方程两实根之和为，且满足，关于的不等式组有实数解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及根的判别式得，，再解利用不等式即可得解． 【详解】解：方程有两实根， ， 解得； 关于的不等式组有实数解， 又， ， 解得． 的取值范围是得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及判别式、解不等式式组，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及判别式是解题的关键． 三、解答题（本题共11小题，共96分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 18. 在学习一元二次方程的解法时，刘老师在黑板上列出了一道方程：．小琪同学的解法如下： 小琪的解法 原方程可化为：，……第①步 两边都除以，……第②步 ．……第③步 （1）小琪的解答过程中，从第______步开始出现错误； （2）写出该方程正确的解答过程． 【答案】（1）② （2） 原方程可化为：， 移项，得， 因式分解，得， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）小琪第二步忽略了的值可以为0； （2）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：小琪从第二步开始错误，理由是的值可以为0，方程两边不能直接同时除以； ∴从第②步开始出现错误； 故答案为：②． 【小问2详解】 略 19. 已知． （1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数； （2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数． 【答案】（1）；（2）4或或或0或1 【解析】 【分析】（1）根据形如y=kx+b  （k≠0）是一次函数，可得答案； （2）根据形如y=ax2+bx+c   （a≠0）是二次函数，可得答案． 【详解】（1）由是关于x的一次函数， 得解得． 所以当时，它是y关于x的一次函数． （2）由是关于x的二次函数，得 ①，解得； ②，解得； ③解得； ④，解得或． 综上所述，当m的值为4或或或0或1时，它是y关于x的二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式中，二次项系数，解此类题易出现只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误． 20. 定义新运算：对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：， （1）______； （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）比较二次根式的大小即可作答； （2）根据定义得到关于x的一元二次方程，再利用配方法解方程即可作答． 【小问1详解】 解：，， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 整理得：， ， ， 即（负值舍去）． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求原方程的解． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题； （2）将代入方程，并对所得方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得且； 【小问2详解】 解：当时，原方程为， 即， ， 或， ，． 22. 二次函数图象与轴交于点，． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 23. 研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） （1）根据表格数据，求与的函数关系式； （2）小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 【答案】（1） （2）小红的近视眼镜度数降低了度 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式； （2）把代入，求得（度），再作差即可求解 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为 【小问2详解】 解：由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集； （3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】（1）， （2）或 （3）当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像下方时自变量的取值范围即可； （3）如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，易得． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图像经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：由函数图像可知，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． 【小问3详解】 解；如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 综上，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 25. 如图，某隧道口的截面是抛物线形，隧道宽米，最高点C到地面的距离是4米．以所在直线为x轴、的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）一辆宽4米、高米的货车能否通过这条隧道？请说明理由； （3）若在隧道内壁距地面2米高处悬挂一排灯带，灯带的最大长度是多少米？ 【答案】（1） （2）货车能通过这条隧道，理由如下： ， 将代入，则， 该位置隧道高度大于货车高度， ∴货车能通过这条隧道； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意把代入求出函数值，再与比较即可； （3）把代入求出，即可求解灯带的最大长度． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 根据题意可设函数解析式为， 代入点可得，， 解得， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，把代入， 则 解得， ∴灯带的最大长度为． 26. 为了落实国务院的指示精神，安庆地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元．市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． （1）求与之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当定价为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据销售利润的计算公式列出函数关系式． （2）通过二次函数的性质求出利润的最大值． 【小问1详解】 解：由题意可知，则，解得， ∵成本价为每千克元， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， ∵，且， ∴当时，有最大值为， 即该产品销售价定为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 27. 如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标及直线的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．求线段长的最大值； （3）求面积的最大值． 【答案】（1），、，直线 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别令、求解抛物线与坐标轴的交点；再由待定系数法求解直线的表达式； （2）设，则，故，再由二次函数的性质求解即可； （3）利用割补法将面积转化为，即可求解． 【小问1详解】 解：对于，当时，， ∴； 当时，则，解得或 ∵点A在点B的左侧， ∴，； 设直线， 则代入点、可得， 解得， ∴直线； 【小问2详解】 解：由题意设， ∵轴， ∴ ∴ ∵， ∴当时，取得最大值为； 【小问3详解】 解：如图， ∴当取得最大值时，面积取得最大值， 由（2）知的最大值为， ∴面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中质量检测试卷 九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 2，，1 B. 2，3，1 C. 1，3，2 D. 1，，2 5. 把二次函数通过配方化成的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（ ） A. 6 B. 2.5 C. 3 D. 2 9. 某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，动点从点出发以1个单位/秒速度向点做匀速运动，设，点运动时间为（秒）（），且关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 当时，则点运动时间为2秒或8秒 C. 点在函数图象上 D. 当时，函数有最小值7 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若函数是关于x的二次函数，则常数m的值是_________． 12. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 13. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线是___________． 14. 若是方程的一个根，则此方程的另一个根是_________． 15. 某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司、两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为_______________ 16. 关于的方程两实根之和为，且满足，关于的不等式组有实数解，则的取值范围是________． 三、解答题（本题共11小题，共96分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 在学习一元二次方程的解法时，刘老师在黑板上列出了一道方程：．小琪同学的解法如下： 小琪的解法 原方程可化为：，……第①步 两边都除以，……第②步 ．……第③步 （1）小琪的解答过程中，从第______步开始出现错误； （2）写出该方程正确的解答过程． 19. 已知． （1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数； （2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数． 20. 定义新运算：对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：， （1）______； （2）若，求x的值． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求原方程的解． 22. 二次函数图象与轴交于点，． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 23. 研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） （1）根据表格数据，求与的函数关系式； （2）小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集； （3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 25. 如图，某隧道口的截面是抛物线形，隧道宽米，最高点C到地面的距离是4米．以所在直线为x轴、的中点为原点建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）一辆宽4米、高米的货车能否通过这条隧道？请说明理由； （3）若在隧道内壁距地面2米高处悬挂一排灯带，灯带的最大长度是多少米？ 26. 为了落实国务院的指示精神，安庆地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元．市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． （1）求与之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 27. 如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标及直线的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q．求线段长的最大值； （3）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $