宁夏回族自治区银川市第九中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

银川九中培华校区2026-2027学年度第一学期九年级数学月考试卷 （本试卷满分120分 时长120分钟） 闭卷 命题人 审卷人：九年级组 一、选择题（选出各题唯一正确的答案。每小题3分，共24分。不选、多选、错选均得0分） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是 A. B. C. D. 2．方程2x(x-1)=3x化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. 2，1，0 B. 2，，0 C. 2，， D. 2，5，0 3. 已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形ABCD为菱形的是( ) A. B. C. D. 4. 若，则的值为( ) A. 6 B. C. D. 5．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，是用杠杆撬石头，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，其示意图如图乙所示，点O为支点，若0A120cm，0B40cm，AC54cm，则BD的长度是( ) A. 54cm B. 30cm C. 27cm D. 18cm 6．已知P为线段AB的黄金分割点，且，则( ) A. B. C. D. 7．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是( ) A. 必有实根 B. 有两个不相等的实根 C. 无实根 D. 不能确定根的情况 8．如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定ADE与ACB相似的是( ) A. B. C. D. 第5题 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．若两个相似三角形的面积之比为1：9，则它们的对应边之比是 。 10． 已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为 。 11．如图，为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地.如图，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程 。 12．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝ 。 13．如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段DE的长为 。 14．如图是小丽与DeepSeek的对话截屏， DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案 是 。 15．如图，在矩形中，，的垂直平分线交的延长线于点E，连接交于点H，若H是的中点，则的长为 。 16．如图，在钝角三角形ABC中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D运动的速度为秒，点E运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 。 第11题 第13题 第15题 第16题 三、解答题（本大题共12小题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）选择合适的方法解下列方程： (1)2(x+1)218； (2)3x2-14x； ． 18．（4分）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程的过程如下： 解：，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ （1）上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现了错误．填序号 （2）请写出用配方法解方程的正确过程。 19．（6分）顶角为36°的等腰三角形叫做黄金三角形，它满足底边长与腰长之比为，这个比值称为黄金比。 如图，在中，∠ A36°，ABAC。 （1）求∠ABC的度数； （2）作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D。求证：BCD是黄金三角形。 20．（6分）如图，点D在的AB边上，，，求证：∽ 21．（6分）如图，D，E分别是AC，AB上的点，，，，，，求AB的长和的度数。 22．（6分）通常，在计算代数式的比值时，常采用设参数代入消元的方法。 例：已知，求的值。 解：设， 则，，第一步. 所以第二步. 解题过程中第一步应用了 的基本性质，第二步应用了 的方法； 应用上述解题过程中的思路和方法解决问题： ①已知，求的值。 ②已知a，b，c为的三条边长，且，，求的面积。 23．（6分）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根。 （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，且，求的值。 24．（8分）如图，，点A和点D，点B和点E是对应顶点。 （1）求证：AFDC； （2）连接BF，CE。求证：四边形BCEF是平行四边形。 25．（8分）某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元．经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品。 当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？ 若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由。 26．（10分）【回顾】整式乘法运算： (x+3)(x+8) =x²+3x+8x+3×8 =x²+(3+8)x+3×8 =x²+11x+24. 【观察】发现与整式乘法方向相反的变形：x²+11x+24=(x+3)(x+8). 【猜想】具有某种特征的二次三项式. x²+px+q能化成两个一次因式乘积的形式，即 x²+px+q=(x+a)(x+b). 【探究】依据整式乘法与因式分解的互逆关系，完成下列探究。 （1） 根据：x²+px+q=(x+a)(x+b)的特征，补全下表： p 7 1 -11 -5 q 6 -12 30 6 a 1 -5 b 6 4 （2）当x²+px+q=(x+a)(x+b)恒成立时，写出 p，q 与 a，b 满足的数量关系，并说明理由。 （3）【应用】若分式 能约分，请利用探究得到的结论，求m的值。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考试卷 数学·参考答案 一、选择题（选出各题唯一正确的答案。每小题3分，共24分。不选、多选、错选均得0分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D D C A D 二、填空题 9.1:3 10.2.5 11.x6x)=8 12.2019 13.4.5 14.-2. 15.7 16.3或4.8秒 三、解答题 17. (1)2(x+1)2-18 解：(x+1)2=9 x+1=±3 x1=2,x2=-4 (2)3x2-1-4x 解：3x2-4z-1-0 △=16+12=28 x=4±2v7_2±V 6 3 3,2=2-V分 西1=2+V 3 (3)3z(x-1)-2(x-1) 解：3x(x-1)-2(x-1)-0 (x-1)(3x-2)=0 =1,数=君 18.(1)② (2)2x2-8x=-3, X-4以=多 X2-4x+4=- 2+4, k-2y= x-2=t 2 六名=2+ 2,七2=2-0 2 1/5 19.(1) 已知AB=AC,∠A=36 .∴.△ABC是等腰三角形，∠ABC-∠C。 三角形内角和为180°： ∠ABC-18024-10236-72 2 B ∠ABC=72 (2) ·.·BD平分∠ABC,∠ABC=72 1 ∠DBC-2∠ABC=36 由(1)得∠C=72°，在△BCD中： ∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72° ∴.∠BDC=∠C=72°， ∴.BD=BC,即△BCD是等腰三角形，顶角∠DBC=36°。 根据题干定义：顶角为36的等腰三角形叫做黄金三角形， ∴，△BCD是黄金三角形。 20.证明：42=2-34c-233 4c=2x5=3,AB=2+4=3 AD AC ACAB 又：LA=LA, .∴△ACD∽△ABC.19 21.△ADE△ABC .AD DE AB-BC LADE=LB=70°. 68 “AB24 .AB=18. 22.(1)等式 设参数代入消元■ (2)①设=￥=管=a(a≠0)，则x=3a,y=4a,z=5a, .x-y+z 3a-4a+5a4a x+2y-3z3a+2×4a-3×5a=4h-1 2/5 ②设a=3k,b=4h,c=5k, a+b+c=24, ∴.3k+4k+5k=24,解得k=2. .0=6,b=8,c=10满足a2+b2=c2 ·△ABC是直角三角形 S△ABc号×6×8=24 23.(1) 一元二次方程，首先二次项系数不为0：α卡0 有两个不等实数根，判别试△>0 △-【-2(a+1)]2-4a(a-1) =4(a2+2a+1)-4a(a-1) =4a2+8a+4-4a2+4a =12a+4 △>0→12a+4>0,解得：a>-3 1 绿：a> 3且a≠0 (2) 由韦达定理： 21+2- 2(a+1) a 9212-a-1 a 完全平方变形： x子+z号=(x1+x2)2-2x1x2=8 代入： 「2e2-2.g-8-24-8 a 两边同乘a2: 4(a2+2a+1)-2a(a-1)=8a24a2+8a+4-2a2+2a=8a22a2+10a+4=8a26a2-10a-4=0 化简：3a2-5a-2=0 因式分解：(3a+1)(a-2)=0 解得：a1-2,a2--3 1 结合(0中范国a>-3且a≠0，a=-3舍去 1 1 ∴.a=2 3/5 24.(1) 证明： ·,·△ABC≥△DEF ∴，AC=DF(全等三角形对应边相等) AC-AF+FC,DF-DC+FC ∴.AF+FC=DC+FC 两边减去公共线段FC,得：AF=DC (2) 证明： .'△ABC兰△DEF ∴.BC=EF,∠ACB=∠DFE .BC‖EF(内错角相等，两直线平行) ·.BC-EF且BCI‖EF .“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴.四边形BCEF是平行四边形。 25. (1)解：当每件的售价降价x元时，每件的销售利润为10-x元，每天可售出(3000+1000x件.根据题 意，得10-x13000+1000x)=40000,整理得x2-7x+10=0,解得x1=2,x2=5.答：当x为2或5元时， 该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元. (2)该批发商场每天卖出该款商品的利润不能达50000元.理由如下：当每件的售价降价x元时，每件的销 售利润为(10-x)元，每天可售出(3000+1000x)件，根据题意，得(10-x3000+1000x)=50000,整理得x2- 7x+20=0.~△=(-7P-4×1×20=-31<0,该方程没有实数根，即该批发商场每天卖出该款商品的利 润不能达50000元. 4/5 26.(1) p 1 -11 6 0 ⑤ -12 30 a -3 -5 2 b 6 4 -6 (2) p=a+b,q=ab 理由： (x+a)(x+6)=x2+bz+az+ab =z2+(a+b)z+ab 因为x2+pz+q-(r+a)(x+b)恒成立，对应项系数相等， .∴.p=a+b,q=ab。 (3) x-2 分试2十m-12能约分，说明分母2+mx-12含有因武（位-2. 设：x2+mx-12-(x-2)(x+n 由上面结论： m=-2+n,-12=(-2)·n 先算：-2n=-12→n=6 则m=-2+6=4 答案：m=4 5/5