精品解析：宁夏银川中关村中学2026-2027学年九年级上学期第一次学业评估数学试题

银川市中关村中学教育集团2026-2027学年度第一学期九年级 第一次学业质量评估数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形 4. 观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 8. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 方程（x-1）（2x+1）=2化成一般形式是______ ． 10. 菱形的一条对角线长，面积是，则另一条对角线长__________． 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则______． 12. 如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为_______． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 14. 毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一张照片，一共送出张照片，设晚会上有人，根据题意，可列方程为__________． 15. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值_____． 16. 如图，在边长为8的正方形中，点在边上，且，为边的中点，为对角线上一点，连接，，则的最小值为__________． 三、解答题：本题共10小题，共72分． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 20. 如图，矩形为一茶园，其面积为，茶园的一边靠墙（墙长）．另三边用篱笆围成．其中边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．若篱笆的长为，求茶园的长和宽． 21. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C，D，点P在何处时，矩形的面积为1？ 22. 已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 23. 如图，已知矩形ABCD中，点P为AD边上的一个动点，O为对角线BD的中点，PO的延长线交BC于点E． 求证：； 若厘米，厘米，点P从点A出发，以的速度向D运动不与D重合设点P的运动时间为tmin，当t为何值时，四边形PBED是菱形． 24. 骑车出行须戴头盔．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求销售量的月增长率； （2）若进价为每个元，当售价为每个元时，月销售量为个，售价每上涨元，月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则每个头盔的实际售价应定为多少元？ 25. 【阅读材料】对于多项式，虽然不能写成完全平方形式，但是可以写成；又如，．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这就是一个配方的过程．这种配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．根据以上内容回答下列问题： （1）代数式经配方可化为______． （2）求的最小值和此时a、b的值． （3）已知，，试比较P与Q的大小． 26. 综合与实践 【活动主题】 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作判断】 小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案． （1）如图1，请你判断的形状； （2）如图2，连接，，若，则和的数量关系为__________． 【深入探究】 （3）如图3，小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市中关村中学教育集团2026-2027学年度第一学期九年级 第一次学业质量评估数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】试题解析：选项A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该该选项错误； 选项B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误； 选项C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确； 选项D是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误. 故选C. 【详解】请在此输入详解！ 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，所以本选项不符合题意； B、是一元二次方程，所以本选项符合题意； C、是二元二次方程，不是一元二次方程，所以本选项不符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，所以本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础概念题型，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟知一元二次方程的概念是解题关键． 3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　） A. 若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则▱ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则▱ABCD是正方形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意； B、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、若AC=BD，则▱ABCD是矩形，故本选项符合题意； D、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C 4. 观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程根的定义，找到代数式值正负交替的区间，比较区间端点对应值的绝对值，绝对值越小对应越接近方程的根． 【详解】解：∵方程的根使的值为， ∴代数式的值由负变正的区间内存在方程的根， 由表格得，当时，；当时，， ∵， ∴是方程最精确的近似根． 5. 如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】解：设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴ =4 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质(平行四边形的两组对边分别相等).要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系． 6. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 7. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 8. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 方程（x-1）（2x+1）=2化成一般形式是______ ． 【答案】2x2-x-3=0 【解析】 【详解】【分析】一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】方程（x-1）（2x+1）=2化成2x2+x-2x-1-2=0, 即2x2-x-3=0. 故答案为2x2-x-3=0 【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的一般形式． 解题关键点：方程的变形. 10. 菱形的一条对角线长，面积是，则另一条对角线长__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知菱形的一条对角线长度与总面积，可通过菱形的对角线面积公式建立等式，求解另一条对角线的长度． 【详解】解：设菱形的另一条对角线长为， ∵ 菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半， ∴ ， 解得． 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 12. 如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理及坐标与图形，掌握其性质定理是解决此题的关键．连接，由矩形的性质得到，再由坐标系中点到原点的距离计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解；连接，如图所示， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的定义和根的情况，掌握一元二次方程的定义和根的个数与判别式的关系是解决此题的关键，根据一元二次方程的条件和根的情况列不等式即可． 【详解】解：根据题意：且， 解得：且， 故答案为：且． 14. 毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一张照片，一共送出张照片，设晚会上有人，根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据总送出照片数的等量关系列方程，总人数与每人送出照片数的乘积即为送出的总照片数． 【详解】解：设晚会上有人，根据题意得， ． 15. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值_____． 【答案】1或-9 【解析】 【分析】通过解方程x2-2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；②若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m-1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解． 【详解】解：解方程x2-2x=0，得：x1=0，x2=2． ①若x=0是两个方程相同的实数根． 将x=0代入方程x2+3x+m-1=0，得：m-1=0， ∴m=1，此时原方程为x2+3x=0， 解得：x1=0，x2=-3，符合题意， ∴m=1； ②若x=2是两个方程相同的实数根． 将x=2代入方程x2+3x+m-1=0，得：4+6+m-1=0， ∴m=-9，此时原方程为x2+3x-10=0， 解得：x1=2，x2=-5，符合题意， ∴m=-9． 综上所述：m的值为1或-9． 故答案为：1或-9． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键． 16. 如图，在边长为8的正方形中，点在边上，且，为边的中点，为对角线上一点，连接，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，在上取点，使，连接，证明，得到，当点M，P，E三点共线时，有最小值，即的长度，如图，过点M作于点N，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为8， ∴，， ∵为边的中点， ∴， 在上取点，使，连接，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点M，P，E三点共线时，有最小值，即的长度，如图，过点M作于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴的最小值为． 三、解答题：本题共10小题，共72分． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 18. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形 【答案】（1） 如图： （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 20. 如图，矩形为一茶园，其面积为，茶园的一边靠墙（墙长）．另三边用篱笆围成．其中边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．若篱笆的长为，求茶园的长和宽． 【答案】茶园的长为，宽为． 【解析】 【分析】门的宽度要加到篱笆总长中（这一段不用篱笆），先由篱笆总长表示出靠墙的边长，再根据面积列方程．解出根后必须检验：靠墙的边长不能超过墙长，这是本题的隐藏限制条件． 【详解】解：设垂直于墙的两边各长． 边上有宽的门，门处不用篱笆，篱笆总长， 墙长，靠墙的边不能超过墙长： 由矩形面积列方程： 解得，． 当时，，超过墙长，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：这个矩形茶园的长为，宽为． 21. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C，D，点P在何处时，矩形的面积为1？ 【答案】点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、一元二次方程的应用，正确设出点P的坐标，进而表示出的长，进一步根据矩形的面积公式建立一元二次方程是解题关键． 先根据一次函数的解析式求出点A和点B的坐标，再设点P的坐标为，从而可得，然后根据矩形的面积公式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， ∴， ∵点P在线段上（不与点A、B重合） ∴可设点P的坐标为， ∵， ∴， ∵矩形的面积为1， ∴， ∴， 解得或，均符合题意， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，点P的坐标为或， 22. 已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为的中点， ∴， ∴； （2） 当时，四边形是正方形． 理由如下： ∵点E，O，F分别为的中点， ∴，， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，利用证明即可； （2）菱形的性质和中位线定理，得到，得到四边形是菱形，再根据，得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握菱形的性质． 23. 如图，已知矩形ABCD中，点P为AD边上的一个动点，O为对角线BD的中点，PO的延长线交BC于点E． 求证：； 若厘米，厘米，点P从点A出发，以的速度向D运动不与D重合设点P的运动时间为tmin，当t为何值时，四边形PBED是菱形． 【答案】 四边形ABCD是矩形， ， ， 为BD的中点， ， 在和中， ， ≌， ； 当时，四边形PBED是菱形． 【解析】 【分析】由矩形ABCD中，O为BD的中点，易证得≌，继而证得； ，，即可用t表示PD的长，由四边形PBED是菱形，可得，即可得，继而可得方程，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）略 由题意知：，， ， 由题意：， ， 即， ， 解得 ， 当时，四边形PBED是菱形． 【点睛】此题考查了菱形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及矩形的性质注意利用，得方程是解此题的关键． 24. 骑车出行须戴头盔．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求销售量的月增长率； （2）若进价为每个元，当售价为每个元时，月销售量为个，售价每上涨元，月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则每个头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1）销售量的月增长率为 （2）每个头盔的实际售价应定为元 【解析】 【分析】（1）根据月、月的销量及相同月增长率，列一元二次方程求解即可； （2）根据总利润单个利润×销售量的关系，列出方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求选取较低售价的解，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设销售量的月增长率为， ∵该品牌头盔月份销售个，月份销售个， ∴， 解得，（舍去）， 答：销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设售价上涨元， ∵售价为每个元时，月销售量为个，售价每上涨元，月销售量将减少个， ∴单个利润为元，月销售量为个， ∵月销售利润达到元， ∴， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴（元）， ∴每个头盔的实际售价应定为元． 25. 【阅读材料】对于多项式，虽然不能写成完全平方形式，但是可以写成；又如，．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这就是一个配方的过程．这种配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．根据以上内容回答下列问题： （1）代数式经配方可化为______． （2）求的最小值和此时a、b的值． （3）已知，，试比较P与Q的大小． 【答案】（1） （2）最小值为4，此时， （3），理由： ∵ ， ∴  ∴  ∴  【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，灵活运用完全平方公式，会利用平方式的非负性求解是解题的关键． （1）直接根据完全平方公式对二次三项式配方； （2）将表达式配方后利用非负性求最小值； （3）通过计算并配方，利用非负性比较大小． 【小问1详解】 【小问2详解】 ， ∴ 最小值为4，当且时取得，即， 【小问3详解】 略 26. 综合与实践 【活动主题】 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作判断】 小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案． （1）如图1，请你判断的形状； （2）如图2，连接，，若，则和的数量关系为__________． 【深入探究】 （3）如图3，小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点．若，，求的面积． 【答案】（1）为等腰直角三角形 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出相等的角和边，然后根据等腰直角三角形的判定得出结论； （2）延长交于点，得出四边形为正方形，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理求出线段的长度，最后求出比值即可； （3）根据三线合一得出相等的边，然后根据矩形得出相等的边和角，证明，得出相等的边，令，表示出相关的线段，然后利用勾股定理列出方程求解，即可得出三角形的面积． 【小问1详解】 解：为等腰直角三角形，理由如下， ∵矩形和矩形完全相同， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于点， ∵矩形和矩形完全相同， ∴，，， ∴四边形为正方形， ∴， 令，则，，， 由勾股定理得，， ∴， 即； 【小问3详解】 解：由（1）可得，，且， ∴， ∵矩形和矩形完全相同， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 令，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $