专题06 圆（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材冀教版

专题06 圆 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 圆的概念与基本元素 考点二 垂径定理 考点三 弧、弦、圆心角之间的关系 考点四 圆周角定理及其推论 考点五 点和圆的位置关系 考点六 弧长与扇形面积 05 重难题型突破 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 确定圆心(尺规作图) 题型三 判断三角形外接圆的圆心位置 题型四 求三角形外心坐标 题型五 利用圆周角定理求度数 题型六 利用垂径定理求值 题型七 求弧长 题型八 求扇形面积 题型九 求其他不规则图形的面积 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 核心考点：圆的基本概念、垂径定理、圆心角圆周角定理、同弧圆周角相等、直径所对圆周角是直角 题型特点：选择填空为主，进度快的卷子里作为中档几何题，很少期中压轴 难易度：★★★~★★★★ 命题特点：垂径定理必考构造弦心距直角三角形；圆周角转换是核心思路 识记 1. 记住圆、弦、直径、弧（优弧、劣弧、半圆）、等圆、等弧、圆心角、圆周角、圆内接四边形、外接圆、外心等概念；2. 记住圆是轴对称图形、中心对称图形；3. 记住垂径定理、圆心角 - 弧 - 弦关系定理、圆周角定理及其推论、圆内接四边形对角互补；4. 记住点与圆的三种位置关系判定依据（d 与 r 大小关系）；5. 熟记弧长公式、扇形面积公式；6. 记住 “不在同一直线上三点确定一个圆”，记住三角形外心定义。 理解 1. 理解圆的两种定义，能区分弦与直径、弧与等弧；2. 理解垂径定理的推导逻辑，理解 “平分弦（不是直径）的直径垂直于弦” 的限制条件；3. 理解同圆、等圆这个前提对圆心角、弧、弦定理的意义；4. 理解圆周角定理的分类证明思路，理解直径所对圆周角为直角的几何意义；5. 理解圆内接四边形性质，理解外心是三边垂直平分线交点，理解外心位置和三角形形状的关系；6. 理解弧长、扇形面积公式的由来。 应用 1. 能从复杂图形中识别圆的基本元素，利用垂径定理构造直角三角形，进行弦长、半径、弦心距计算；2. 能利用圆心角、弧、弦的关系进行线段、弧的等量证明；3. 能灵活使用圆周角定理、圆内接四边形性质进行角度计算、角度转化与简单证明；4. 能根据 d、r 判断点和圆位置关系；会尺规作三角形外接圆；5. 能代入公式计算弧长、扇形面积，解决简单阴影面积问题；6. 能结合三角形、勾股定理、全等、相似，完成圆的中档综合证明与计算。 考点一 圆的概念与基本元素 1.圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 2.圆的表示：以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”． 3.圆的有关概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径（直径是圆中最长的弦）；圆上任意两点间的部分叫做弧． 4.圆既是轴对称图形（对称轴是任意一条过圆心的直线），又是中心对称图形（对称中心是圆心）． ⚠️概念辨析 圆指的是圆周（曲线），不是圆面 ⚠️避坑指南 ❌ 等弧≠长度相等的弧！等弧必须同时满足：①同圆或等圆中；②能够完全重合。 半径相等 ⇔ 两圆是等圆。 ⚠️易混易错 直径属于弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，优弧、劣弧都不是半圆 ⚠️记忆口诀 定点定长画个圆，圆心半径记心间； 直径本是最长弦，优弧劣弧分两边； 等弧前提同圆等圆，只看长度不算数。 考点二 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ⚠️概念辨析 定理中的条件：直径（过圆心的直线）+ 垂直弦，推出平分弦、平分弧； 五个条件知二推三：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分优弧 ⑤平分劣弧。 ⚠️避坑指南 ❌ 推论里面的关键限制：被平分的弦不能是直径！两条直径互相平分，但不一定垂直。 一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），题目没指明时要分类讨论。 ⚠️易混易错 使用推论时漏掉 “弦不是直径” 这个条件；计算时直接用整条弦长代入勾股，忘记取半弦； 没有分类：弦在圆心上方、下方，或者只求一条弧。 ⚠️记忆口诀 直径垂直一条弦，平分弦弧两相全； 平分弦时要留意，弦不能是直径； 半径半弦弦心距，直角三角来解题。 考点三 弧、弦、圆心角之间的关系 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角、弧也都相等． ⚠️概念辨析 定理大前提：同圆或者等圆！脱离这个前提不成立。 ⚠️避坑指南 ❌ 弧有度数，圆心角的度数等于它所对弧的度数；弧的度数相等≠弧是等弧（圆半径不同）。 ⚠️易混易错 忽略 “同圆、等圆” 前提，直接认为圆心角相等则弦相等；混淆弧相等和弧的度数相等。 ⚠️记忆口诀 同圆等圆是前提，圆心角弧弦相依； 一组相等其余等，跨圆比较不成立。 考点四 圆周角定理及其推论 1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． 4.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． ⚠️概念辨析 圆周角两个特征：顶点在圆上，两边都和圆相交；二者缺一不可。 ⚠️避坑指南 ❌ 一条弧对应无数个圆周角，但只有一个圆心角； ❌ 圆内接四边形外角等于内对角， ⚠️易混易错 分不清圆周角和圆心角，倍数关系写反；看到直径直接默认直角，忽略角的顶点必须在圆上； 圆内接四边形对角关系记成相等。 ⚠️记忆口诀 圆周角对同一段弧，度数圆心角一半； 同弧圆周角相等，直径对着直角现； 圆内接四边形，对角相加一百八。 考点五 点和圆的位置关系 1.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：点P在圆内⟺ d＜r；点P在圆上⟺ d＝r；点P在圆外⟺ d＞r． 2.不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． ⚠️避坑指南 ❌ “三点确定一个圆” 必须加上前提：不在同一直线上；共线三点不能画外接圆。 ⚠️易混易错 漏掉 “不在同一直线”，直接说三点确定一个圆；混淆外心和内心（内心是角平分线交点，到三边距离相等）。 ⚠️记忆口诀 点和圆，比 d r，大在外，等在上，小在内； 三点不共线定一圆，垂直平分线找外心； 锐内直上钝在外，外心距顶点一样远。 考点六 弧长与扇形面积 1.弧长公式：半径为R、圆心角为n°的弧长l＝ ． 2.扇形面积公式：圆心角为n°的扇形面积S＝ ＝·lR． 3.圆锥的侧面积：S侧＝π r l（r为底面半径，l为母线长）． ⚠️概念辨析 弧长是曲线长度，扇形是面；两个公式都和圆心角n、半径R有关；第二个扇形公式S=1/2lR和三角形面积形式类似。 ⚠️易混易错 弧长、扇形面积公式混淆，分母记错；代入直径代替半径R；计算阴影面积，重复或者漏掉重叠部分。 ⚠️记忆口诀 弧长三百六分之 n 乘 2πR； 扇形面积两个式，三百六分之 nπR 方； 还有一式二分之一，弧长乘半径。 题型一 圆的基本概念辨析 典例1 （25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（   ） A．0.01 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【详解】解：∵的半径为5，∴直径长为10． ∵弦的长度满足，∴的长度不可能为11．故选：D． 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】A 【详解】解：弧是圆上任意两点间的部分，半圆是圆的一半，是弧的一种，故甲正确； 等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，仅长度相等不一定能重合，故乙错误， 说法正确的是甲．故选：A． 2．（2025九年级上·江苏·专题练习）下列语句中： ①直径是弦，弦是直径；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】①直径是弦，但弦不一定是直径，说法错误；②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，说法错误； ③同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，说法正确；⑤弧长由圆心角和半径决定，相等的圆心角所对的弧长不一定相等，说法错误．故选：A． 题型二 确定圆心(尺规作图) 典例1 （24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点，点的坐标为， ，点， ， 则原点到上一点的最短距离为：，故选：A． 迁移应用 1．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是．故选：A． 2．（2022·河北邯郸·一模）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：作线段的垂直平分线；作线段的垂直平分线，交于点；以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 【答案】D 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点，点是的外心，故结论Ⅰ正确； 点，的位置不确定，和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确．故选：． 题型三 判断三角形外接圆的圆心位置 典例1 （25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，三角形的外心到三个顶点的距离相等． 由图可知，设网格中每个小正方形的边长为，则点到三个顶点的距离均为， 即点到三个顶点的距离相等， 的外心是点．故选：C． 迁移应用 1.（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【详解】解：作线段和线段的垂直平分线，如图， 由图可知点F是线段和线段的垂直平分线交点，∴点F是 的外心．故选C． 2．（2023·河北保定·一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，由勾股定理得：，    ∴P到B、C、E的距离相等，∴P是的外心，故选：D． 题型四 求三角形外心坐标 典例1 （23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， 由图可知，点的坐标是：，故选：B． 迁移应用 1．（2022·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4） 【答案】B 【详解】解：∵M为Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，∴点M为AC中点， ∵点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1）， 设点C横坐标为（x,y）,∴，解得x=-5，y=-2，∴点C（-5，-2）， ∵AB⊥x轴，∴点A，B的横坐标相同都是3，∵∠ABC＝90°，∴BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标相同都是-2，∴点B（3，-2）．故选：B． 2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为______． 【答案】 【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心，的外心的坐标为， 题型五 利用圆周角定理求度数 典例1 （24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，点，，在圆上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，故选：． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， ， ， ，故选B． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，A，B，D，F在上且点A，O，B共线，点在外，下列对角的叙述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、正确，故此选项不符合题意； B、由是直径，则，正确，故此选项不符合题意； C、∵，∴，正确，故此选项不符合题意； D、无法证明，故此选项符合题意； 故选：D． 题型六 利用垂径定理求值 典例1 （22-23九年级上·河北保定·期中）把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设球心为O，过O作交于M，交于N，连接， 由题意可知是矩形，．，，，，，， ，故选：A． 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 【答案】B 【详解】解：连接交于点， ∵都垂直于．，∴，∴四边形是矩形， ∴，，∵，∴于点M， ∴，. ∴， 设灯罩截面所在圆的圆心为，连接，设灯罩截面所在圆的半径为,则 由勾股定理可得，，即.解得 即灯罩截面所在圆的半径为故选：B 2．（24-25九年级上·河北衡水·期中）题目：“如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将位于右边的部分沿翻折，交直线于点F，当的长为正整数时，求的长．”对于其答案，甲答：2，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答得对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】D 【详解】解：是的弦，是的直径，， ，，的半径为1，的长为正整数，或. ①当且在圆心的右侧，如图，连接， ，. 在中，，， 由翻折的性质得，； ②当且在圆心的左侧，如图，连接， 同理①可得，，，由翻折的性质得，； ③当时，为直径，如图，此时点与圆心重合，点与点重合， 则； 综上所述，的长为或或2； 由题意得，三人答案合在一起才完整．故选：D． 题型七 求弧长 典例1 （24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，∵，∴，∵，∴． 故选：B． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，，∴， ∴，∴，∴， 设圆锥底面半径为，则，解得，故选： D． 2．（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在弧上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设圆心为点O，连接，根据题意，得， ∵，∴，∴的长为：，故选：B． 题型八 求扇形面积 典例1 （25-26九年级上·河北保定·期中）如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，半径，弧长，∴弧长×半径，故选：A． 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，是边长为2的等边三角形（面积记为），将边不改变长度，变为，得到以为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是边长为2的等边三角形，∴，， ∴，∴的面积， 由题意可知，扇形的面积，∵，∴，故选：A． 2．（24-25九年级上·河北张家口·期末）琪琪制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题知，，， 所以山水画所在纸面的面积为：．故选：C． 题型九 求其他不规则图形的面积 典例1（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在半径为2的扇形中，，P是线段上一动点，Q为线段的中点，延长交于点C，当线段最短时，由，和所围成的封闭图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， 当时，最小，则，∴，∴， 点是的中点，∴，，∴在，，∴，则，， ∴由，和所围成的封闭图形的面积为，故选：C． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，是的直径，点D、E是半圆的三等分点，的延长线交于点C．若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 点D、E是半圆的三等分点，， ，都是等边三角形， ，，则， ，，是等边三角形，， 的高为，图中阴影部分的面积，故选：A． 2．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为（   ） A．π B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图所示： 点是的中点，， ，∴，， ，， ，， 阴影的面积， 故选：D． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦；B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 2．（2025九年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．过一点有无数个圆 B．过两点有无数个圆 C．过三点只能确定一个圆 D．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 【答案】C 【详解】A、∵ 过一点可作无数个圆（圆心任意，半径随圆心变化），∴该选项正确，不符合题意； B、∵ 过两点可作无数个圆（圆心在两点连线的垂直平分线上），∴该选项正确，不符合题意； C、∵ 过三点时，若三点不共线，则确定一个圆；若三点共线，则无法确定圆，∴该选项错误，符合题意； D、∵ 过直线上两点和直线外一点，三点不共线，∴能确定一个圆，∴该选项正确，符合题意． 故选：C． 3．（2025·陕西榆林·二模）如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， ∵，∴，∴，∴， 故选：A． 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（    ） A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米 【答案】D 【详解】解：如图，设圆心为点O，过点O作于点C，延长交圆O于点D和，连接， 由圆的性质可知，米，米，水面距管道底部的最大深度为的长， 设圆的半径为，由垂径定理得：，， 在中，，即，解得， 即水面距管道底部的最大深度为米，故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【详解】解：如图， ∵斜边为直径，∴圆心O是斜边的中点，∴，∴点C在圆上． 6．（2025·浙江绍兴·二模）如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点，，，其中，两点分别与钟面两个时刻的刻度点重合，连结，，则______． 【答案】 【详解】解：∵所对的圆心角为，∴， 7．（2026·湖南怀化·一模）图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为___．（结果保留） 【答案】 【详解】解：∵匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达点， ∴，∴的长度为． 8．（25-26九年级上·浙江温州·期末）内接于，，请用直尺和圆规在上找一点（不与点，重合），使．如下是小温、小州两位同学的作图过程． 请你选择其中一种做法，判断对错，并说明理由． 解：我选择__________（填“小温”或“小州”）的作法，该作法是__________的（填“正确”或“错误”），理由如下： 【答案】若选择小温的作法（图1），则该作法是正确的 理由如下：连结， ， ， ． 若选择小州的作法（图2），则该作法是错误的， 理由如下：连结， ， ∴， ， ． 9．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 【答案】27cm 【详解】∵，，分别垂直于点B，D，∴，. ∵，∴．在中，根据勾股定理得， ∴． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·陕西·期中）已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故A选项不符合题意； B、到圆心的距离为，，点在圆内，故B选项不符合题意； C、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故C选项不符合题意； D、到圆心的距离为，，点在圆外，故D选项符合题意． 2．（2023·河北秦皇岛·一模）在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（   ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 【答案】B 【详解】解：如图，，，点在射线上，作于点， ，，不存在的，故甲不符合题意； ，，，而，存在的，使得的长唯一成立，如上图中的点即是，故乙符合题意；，， 当的外接圆半径为4时，如图， ，，，， 存在两个使的外接圆半径为4，两个外接圆的圆心分别在的上、下两侧，故丙不符合题意； 综上所述，只有乙符合题意．故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在2025镇江市足球联赛（简称“镇超”）第1轮句容对经开区队的比赛中，客场作战的句容队以的比分战胜经开区队，某校数学兴趣小组对进球进行了数学探究：足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门的张角大小，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点M，N，E，F，G均在格点上，球员带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点F B．点G C．线段（异于端点）上一点 D．线段（异于端点）上一点 【答案】D 【详解】解：连接取格点，则， ∴M，N，E，F四点共圆，设交于，取线段上任一点，交于，，， ∵同弧所对的圆周角相等，∴， 由三角形外角可得，∴， ∵射点到球门的张角大小，张角越大，射门越好，∴最好的射点在线段（异于端点）上一点 故选：D． 4．（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，作，于点F，∵四边形是平行四边形，∴． ∵点E是的中点，∴．∵，∴，∴是等边三角形， ∴．由，可得，∴． 5．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，某公园圆形喷泉的直径是景观轴线，长为6米．A，B，C，D为喷泉边缘上的四个喷头位置，其中A，D为直径两端．已知，且，则喷头C，D之间的距离为______米． 【答案】3 【详解】设圆形喷泉的圆心为点，连接，∵直径米，∴圆的半径米． ∵，且，∴，∴． ∵是直径，，∴． ∴是等边三角形，∴ 6．（24-25九年级下·广东佛山·阶段检测）如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上点有一障碍壶，米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为________． 【答案】米/ 【详解】解：依题意，三点共圆，如图， 设圆弧的半径为，过点作交于点， ∵，，∴， 在中，∴解得： 7．（2025·四川遂宁·中考真题）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为______． 【答案】 【详解】解：依题意，， 则是等边三角形；则，同理得、、是等边三角形， 则 ∴ ∴， ∴， ∴； 依题意，，∴是等边三角形； 则，同理得、、是等边三角形， 则， 则， 则 8．（2026·河北石家庄·模拟预测）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉淇周末到赵州桥游览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即）的高度（即的中点到弦的距离），在，两处观察桥洞的同一点的仰角分别为和（即，），已知主桥拱的跨度（即弦的长）为． (1)尺规作图：在图中，作出弦的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的垂直平分线分别与，弦交于，两点，求的度数及点到的距离．（参考数据：取0.38） 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)点D到的距离是 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，∵，∴， ∴． ∵是的垂直平分线，，∴，，∴． 在中，，即，解得，所以点D到的距离是． 9．（2026·甘肃兰州·中考真题）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 【答案】(1)①作的任意直径，如图： ②过点作的垂线，与相交于，两点，四等分圆周如图所示： 依据：，得到的圆心角，在中，相等的圆心角所对的弧相等，所以得到四段相等的圆弧，故点，，，将四等分． (2)圆周八等分如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 圆的概念与基本元素 考点二 垂径定理 考点三 弧、弦、圆心角之间的关系 考点四 圆周角定理及其推论 考点五 点和圆的位置关系 考点六 弧长与扇形面积 05 重难题型突破 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 确定圆心(尺规作图) 题型三 判断三角形外接圆的圆心位置 题型四 求三角形外心坐标 题型五 利用圆周角定理求度数 题型六 利用垂径定理求值 题型七 求弧长 题型八 求扇形面积 题型九 求其他不规则图形的面积 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 核心考点：圆的基本概念、垂径定理、圆心角圆周角定理、同弧圆周角相等、直径所对圆周角是直角 题型特点：选择填空为主，进度快的卷子里作为中档几何题，很少期中压轴 难易度：★★★~★★★★ 命题特点：垂径定理必考构造弦心距直角三角形；圆周角转换是核心思路 识记 1. 记住圆、弦、直径、弧（优弧、劣弧、半圆）、等圆、等弧、圆心角、圆周角、圆内接四边形、外接圆、外心等概念；2. 记住圆是轴对称图形、中心对称图形；3. 记住垂径定理、圆心角 - 弧 - 弦关系定理、圆周角定理及其推论、圆内接四边形对角互补；4. 记住点与圆的三种位置关系判定依据（d 与 r 大小关系）；5. 熟记弧长公式、扇形面积公式；6. 记住 “不在同一直线上三点确定一个圆”，记住三角形外心定义。 理解 1. 理解圆的两种定义，能区分弦与直径、弧与等弧；2. 理解垂径定理的推导逻辑，理解 “平分弦（不是直径）的直径垂直于弦” 的限制条件；3. 理解同圆、等圆这个前提对圆心角、弧、弦定理的意义；4. 理解圆周角定理的分类证明思路，理解直径所对圆周角为直角的几何意义；5. 理解圆内接四边形性质，理解外心是三边垂直平分线交点，理解外心位置和三角形形状的关系；6. 理解弧长、扇形面积公式的由来。 应用 1. 能从复杂图形中识别圆的基本元素，利用垂径定理构造直角三角形，进行弦长、半径、弦心距计算；2. 能利用圆心角、弧、弦的关系进行线段、弧的等量证明；3. 能灵活使用圆周角定理、圆内接四边形性质进行角度计算、角度转化与简单证明；4. 能根据 d、r 判断点和圆位置关系；会尺规作三角形外接圆；5. 能代入公式计算弧长、扇形面积，解决简单阴影面积问题；6. 能结合三角形、勾股定理、全等、相似，完成圆的中档综合证明与计算。 考点一 圆的概念与基本元素 1.圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 2.圆的表示：以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”． 3.圆的有关概念：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径（直径是圆中最长的弦）；圆上任意两点间的部分叫做弧． 4.圆既是轴对称图形（对称轴是任意一条过圆心的直线），又是中心对称图形（对称中心是圆心）． ⚠️概念辨析 圆指的是圆周（曲线），不是圆面 ⚠️避坑指南 ❌ 等弧≠长度相等的弧！等弧必须同时满足：①同圆或等圆中；②能够完全重合。 半径相等 ⇔ 两圆是等圆。 ⚠️易混易错 直径属于弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，优弧、劣弧都不是半圆 ⚠️记忆口诀 定点定长画个圆，圆心半径记心间； 直径本是最长弦，优弧劣弧分两边； 等弧前提同圆等圆，只看长度不算数。 考点二 垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 2.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ⚠️概念辨析 定理中的条件：直径（过圆心的直线）+ 垂直弦，推出平分弦、平分弧； 五个条件知二推三：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分优弧 ⑤平分劣弧。 ⚠️避坑指南 ❌ 推论里面的关键限制：被平分的弦不能是直径！两条直径互相平分，但不一定垂直。 一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），题目没指明时要分类讨论。 ⚠️易混易错 使用推论时漏掉 “弦不是直径” 这个条件；计算时直接用整条弦长代入勾股，忘记取半弦； 没有分类：弦在圆心上方、下方，或者只求一条弧。 ⚠️记忆口诀 直径垂直一条弦，平分弦弧两相全； 平分弦时要留意，弦不能是直径； 半径半弦弦心距，直角三角来解题。 考点三 弧、弦、圆心角之间的关系 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角、弧也都相等． ⚠️概念辨析 定理大前提：同圆或者等圆！脱离这个前提不成立。 ⚠️避坑指南 ❌ 弧有度数，圆心角的度数等于它所对弧的度数；弧的度数相等≠弧是等弧（圆半径不同）。 ⚠️易混易错 忽略 “同圆、等圆” 前提，直接认为圆心角相等则弦相等；混淆弧相等和弧的度数相等。 ⚠️记忆口诀 同圆等圆是前提，圆心角弧弦相依； 一组相等其余等，跨圆比较不成立。 考点四 圆周角定理及其推论 1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 3.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． 4.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． ⚠️概念辨析 圆周角两个特征：顶点在圆上，两边都和圆相交；二者缺一不可。 ⚠️避坑指南 ❌ 一条弧对应无数个圆周角，但只有一个圆心角； ❌ 圆内接四边形外角等于内对角， ⚠️易混易错 分不清圆周角和圆心角，倍数关系写反；看到直径直接默认直角，忽略角的顶点必须在圆上； 圆内接四边形对角关系记成相等。 ⚠️记忆口诀 圆周角对同一段弧，度数圆心角一半； 同弧圆周角相等，直径对着直角现； 圆内接四边形，对角相加一百八。 考点五 点和圆的位置关系 1.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：点P在圆内⟺ d＜r；点P在圆上⟺ d＝r；点P在圆外⟺ d＞r． 2.不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． ⚠️避坑指南 ❌ “三点确定一个圆” 必须加上前提：不在同一直线上；共线三点不能画外接圆。 ⚠️易混易错 漏掉 “不在同一直线”，直接说三点确定一个圆；混淆外心和内心（内心是角平分线交点，到三边距离相等）。 ⚠️记忆口诀 点和圆，比 d r，大在外，等在上，小在内； 三点不共线定一圆，垂直平分线找外心； 锐内直上钝在外，外心距顶点一样远。 考点六 弧长与扇形面积 1.弧长公式：半径为R、圆心角为n°的弧长l＝ ． 2.扇形面积公式：圆心角为n°的扇形面积S＝ ＝·lR． 3.圆锥的侧面积：S侧＝π r l（r为底面半径，l为母线长）． ⚠️概念辨析 弧长是曲线长度，扇形是面；两个公式都和圆心角n、半径R有关；第二个扇形公式S=1/2lR和三角形面积形式类似。 ⚠️易混易错 弧长、扇形面积公式混淆，分母记错；代入直径代替半径R；计算阴影面积，重复或者漏掉重叠部分。 ⚠️记忆口诀 弧长三百六分之 n 乘 2πR； 扇形面积两个式，三百六分之 nπR 方； 还有一式二分之一，弧长乘半径。 题型一 圆的基本概念辨析 典例1 （25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（   ） A．0.01 B．5 C．10 D．11 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 2．（2025九年级上·江苏·专题练习）下列语句中： ①直径是弦，弦是直径；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 确定圆心(尺规作图) 典例1 （24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在上，则原点O到上一点的最短距离为(   ) A． B． C．2 D． 迁移应用 1．（23-24九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·河北邯郸·一模）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：作线段的垂直平分线；作线段的垂直平分线，交于点；以为圆心，长为半径作． 结论：点是的外心；结论： 则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ） A．和Ⅱ都对 B．和Ⅱ都不对 C．不对，对 D．对，Ⅱ不对 题型三 判断三角形外接圆的圆心位置 典例1 （25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 迁移应用 1.（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形网格的顶点上，则的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 2．（2023·河北保定·一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　）    A． B． C． D． 题型四 求三角形外心坐标 典例1 （23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（2022·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4） 2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为______． 题型五 利用圆周角定理求度数 典例1 （24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，点，，在圆上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，A，B，D，F在上且点A，O，B共线，点在外，下列对角的叙述错误的是（    ） A． B． C． D． 题型六 利用垂径定理求值 典例1 （22-23九年级上·河北保定·期中）把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 2．（24-25九年级上·河北衡水·期中）题目：“如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将位于右边的部分沿翻折，交直线于点F，当的长为正整数时，求的长．”对于其答案，甲答：2，乙答：，丙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答得对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 题型七 求弧长 典例1 （24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·河北石家庄·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在弧上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型八 求扇形面积 典例1 （25-26九年级上·河北保定·期中）如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（   ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，是边长为2的等边三角形（面积记为），将边不改变长度，变为，得到以为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25九年级上·河北张家口·期末）琪琪制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）． A． B． C． D． 题型九 求其他不规则图形的面积 典例1（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在半径为2的扇形中，，P是线段上一动点，Q为线段的中点，延长交于点C，当线段最短时，由，和所围成的封闭图形的面积为（   ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，是的直径，点D、E是半圆的三等分点，的延长线交于点C．若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得扇形，若，，则阴影部分的面积为（   ） A．π B． C． D． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 2．（2025九年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．过一点有无数个圆 B．过两点有无数个圆 C．过三点只能确定一个圆 D．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 3．（2025·陕西榆林·二模）如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（    ） A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 6．（2025·浙江绍兴·二模）如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点，，，其中，两点分别与钟面两个时刻的刻度点重合，连结，，则______． 7．（2026·湖南怀化·一模）图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为___．（结果保留） 8．（25-26九年级上·浙江温州·期末）内接于，，请用直尺和圆规在上找一点（不与点，重合），使．如下是小温、小州两位同学的作图过程． 请你选择其中一种做法，判断对错，并说明理由． 解：我选择__________（填“小温”或“小州”）的作法，该作法是__________的（填“正确”或“错误”），理由如下： 9．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·陕西·期中）已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（     ） A． B． C． D． 2．（2023·河北秦皇岛·一模）在中，，．甲、乙、丙分别给出了一个条件，想使的长唯一，其中正确的是（   ） 甲：； 乙：； 丙：的外接圆半径为4 A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在2025镇江市足球联赛（简称“镇超”）第1轮句容对经开区队的比赛中，客场作战的句容队以的比分战胜经开区队，某校数学兴趣小组对进球进行了数学探究：足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门的张角大小，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点M，N，E，F，G均在格点上，球员带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点F B．点G C．线段（异于端点）上一点 D．线段（异于端点）上一点 4．（2026·山西忻州·二模）如图，为的直径，点在圆上，中边与交于点，已知，点恰好为的中点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，某公园圆形喷泉的直径是景观轴线，长为6米．A，B，C，D为喷泉边缘上的四个喷头位置，其中A，D为直径两端．已知，且，则喷头C，D之间的距离为______米． 6．（24-25九年级下·广东佛山·阶段检测）如图，北京冬奥冰壶比赛中，凌智在中轴线上点投出一个冰壶，范苏圆通过擦冰让冰壶的运行轨迹为圆弧，对方在中轴上点有一障碍壶，米，且冰壶偏离中轴线的最大距离为4米，如果要把对方冰壶撞开，则圆弧的半径为________． 7．（2025·四川遂宁·中考真题）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为______． 8．（2026·河北石家庄·模拟预测）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉淇周末到赵州桥游览，如图11，她想估算圆弧形主桥拱（即）的高度（即的中点到弦的距离），在，两处观察桥洞的同一点的仰角分别为和（即，），已知主桥拱的跨度（即弦的长）为． (1)尺规作图：在图中，作出弦的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的垂直平分线分别与，弦交于，两点，求的度数及点到的距离．（参考数据：取0.38） 9．（2026·甘肃兰州·中考真题）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $