专题01 数据分析与统计估计（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材冀教版

专题01 数据分析与统计估计 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 平均数与加权平均数 考点二 中位数与众数 考点三 四分位数与箱线图 考点四 方差与离差平方和 考点五 用样本推断总体 05 重难题型突破 题型一 求一组数据的平均数 题型二 求加权平均数 题型三 求中位数 题型四 求众数 题型五 求四分位数 题型六 画箱线图 题型七 求方差 题型八 求离差平方和及其应用 题型九 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 核心考点：算术平均数、加权平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体；区分集中趋势与离散程度；加权权重、方差意义（方差越大波动越大） 题型特点：以选择、填空、小型解答为主；必考 1 道统计简答（补信息、求统计量、评价数据）；极少和几何综合 难易度：★☆（基础送分专题） 命题特点：题干贴近生活（打分、成绩、产量），陷阱集中：加权平均数直接算术平均、中位数排序忘记、方差公式计算失误；属于整套试卷保底题，区分度很低. 识记 1. 记住平均数、加权平均数、中位数、众数、方差定义； 2. 记住方差的意义； 3. 记住样本、总体概念 理解 1. 理解加权平均数中 “权重” 的作用； 2. 理解中位数、众数、平均数分别刻画的集中趋势； 3. 理解方差反映数据波动大小 应用 1. 会计算各类统计量； 2. 能用样本估计总体； 3. 结合统计结果做出简单分析、评价、决策 考点一 平均数与加权平均数 1.算术平均数：一般地，我们把n个数x1，x2，…，xn的和与n的比值，叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作，读作 “x 拔”,即=（x1+x2+…+xn）． 2.加权平均数：已知n个数x1，x2，…，xn，若ω1，ω2，…，ωn为一组正数，则把叫做n个数x1，x2，…，xn的加权平均数．ω1，ω2 ，…，ωn分别叫作这n个数的权重． ⚠️概念辨析 算术平均数是加权平均数的特殊情况：当所有权重相等时，加权平均数 = 算术平均数 ⚠️避坑指南 ❌ 平均数：用到全部数据，易受极端值影响； ❌ 求加权平均数，不能直接把数据相加除以数据个数！ ⚠️易混易错 权重不一定是百分数，也可以是次数、比分、数量；权重之和不一定等于1 ⚠️记忆口诀 加权平均看权重，权重不同不能匀 考点二 中位数与众数 1.中位数：一般地,将n个数据按大小顺序排列,若n 为奇数,则把处于中间位置的数据叫作这组数据的中位数；若n为偶数,则把处于中间位置的两个数据的平均数叫作这组数据的中位数. 2.众数：一般地,把一组数据中出现次数最多的数据叫作众数.一组数据的众数可能不止一个,也可能没有众数. ⚠️概念辨析 中位数：只和位置有关，不受极端值影响； 众数：侧重出现频次，反映最常出现的数据。 ⚠️避坑指南 ❌ 求中位数第一步必须排序！ 直接拿原始顺序中间数字是最高发错误。 ⚠️易混易错 众数是数据本身，不是该数据出现的次数。 ⚠️记忆口诀 中位数，先排序；奇取中，偶取均；众数看次数，可以多个存。 考点三 四分位数与箱线图 1.四分位数：一般地,用 m50 表示一组数据的中位数,那么,中位数把这组数据分为两组,用 m25 和 m75 分别表示第一组数据和第二组数据的中位数.这样,m25,m50,m75 这三个数就把这组数据分为个数相等的四组,这三个数叫作这组数据的四分位数.其中,m25,m50,m75 分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数(或25%分位数、50%分位数、75%分位数). 2.箱线图：为了直观地表示两组数据,便于对比它们的整体分布情况,还可以借助四分位数及数据的最小值和最大值,绘制出形如由一个箱子和两条线段组成的图形,从而得到箱线图. ⚠️概念辨析 方差、标准差反映整体波动；四分位距只看中间 50% 数据的波动，抗极端值能力更强。 ⚠️避坑指南 ❌ 四分位数计算前，数据必须从小到大排序； ❌ 箱线图箱子的长度代表四分位距，箱子越长，中间一半数据越分散。 ⚠️易混易错 Q2就是中位数，但中位数≠Q1、Q3；不要把四分位距当成Q3+Q1。 ⚠️记忆口诀 四分三份切四片，箱图五点记心间；最小Q1中Q3大，箱长就是四分距。 考点四 方差与离差平方和 1.方差：设n个数据x1,…,xn 的平均数为,各数据与平均数偏差的平方分别是 .偏差平方的平均数叫作这组数据的方差,用s2表示,即 . 2.离差平方和：我们称 为这组数据的离差平方和. ⚠️概念辨析 离差平方和是总和，和数据个数有关；方差是平均后的结果，可以用来比较两组数据个数不同的数据稳定性。 ⚠️避坑指南 ❌ 比较稳定性，前提：两组数据是同一类指标；方差不带单位（原数据单位的平方）。 ⚠️易混易错 ① 是减去平均数再平方，不是先平方再减平均数； ② 波动大≠数据大，方差和数据本身大小没有必然关系； ③ 不要把方差和四分位距混为一谈。 ⚠️记忆口诀 离差平方求总和，方差均分再判断；方差大，波动乱，方差小，稳如山。 考点五 用样本推断总体 1. 核心思想：从总体中抽取合适的样本，用样本的统计量（平均数、中位数、方差等）去估计总体的统计量。 2. 抽样原则：样本具有随机性、代表性，样本容量不能太小 ⚠️概念辨析 用样本估计总体，得到的是估计值，不是总体真实值；样本容量越大，估计一般越精准，但依然存在误差。 ⚠️避坑指南 ❌ 抽样调查时，样本不能有偏向（比如只抽男生估计全校学生身高，样本不具备代表性）。 ⚠️易混易错 样本容量是样本中个体的数量，不带单位；不要说成 “样本容量 50 人”，正确：样本容量 50。 ⚠️记忆口诀 抽样本，估总体，随机代表是前提；容量大，更接近，只是估计不是定。 题型一 求一组数据的平均数 典例1 （25-26九年级上·河北唐山·期中）为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给901班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则901班平均得分是（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】D 【详解】解：由统计图可知，评9分的人数为（人）， 则901班平均得分（分）． 故选：D． 迁移应用 1．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是老师随机抽查本班10名学生读课外书册数的情况绘制成的条形统计图，则这10名学生读书册数的平均数是（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．7.8 【答案】A 【详解】解：，∴则这10名学生读书册数的平均数是7．故选：A． 2．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，则此时计算出来的平均数比实际结果多（   ） A．9 B．10 C．19 D．2 【答案】A 【详解】解：在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，相当于总数增加了900，则此时所算得的平均数比实际结果多.故选：A. 题型二 求加权平均数 典例1 （24-25九年级上·河北衡水·期中）体育学科越来越得到重视，某中学规定学生的学期体育成绩满分分，其中健康知识考试成绩占，体育技能考试成绩占，小明的这三项成绩（百分制）依次为，则小明这学期的体育成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得，小明这学期的体育成绩为分，故选：． 迁移应用 1．（24-25八年级下·河北唐山·阶段检测）某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【答案】B 【详解】解：根据加权平均数公式，分别计算三项作品的总成绩：甲的总成绩 （分），乙的总成绩 （分），丙的总成绩 （分）， ∵ ，∴ 乙的总成绩最高，应推荐乙． 2．（25-26八年级下·河北保定·期末）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（     ） A．元 B．元 C．元 D．8元 【答案】B 【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为（元） 题型三 求中位数 典例1 （24-25九年级上·河北沧州·阶段检测）某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（   ） A． B．6 C． D．5 【答案】A 【详解】解：由题意得：，解得：， ∴这组数据为：故中位数为：，故选：A 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北邢台·期中）为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成如图所示的统计图（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【详解】解：根据统计图可知，每周平均家务劳动的时间3小时人数为5人，4小时人数为11人，不确定5小时和6小时的人数，所以平均数和方差无法计算； 因为随机抽查30名学生，可知5小时和6小时的总人数为，所以无法确定众数；而中位数为第15和16的平均值，所以中位数为； 故选：B． 2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一个不完整的题目：某同学在处理一组数据“15，24，11，30，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，两位同学思考后得到如下结论． 嘉嘉：无论“■”为何值（之间的），这组数据的中位数都不变； 淇淇：无论“■”为何值（之间的），这组数据的平均数一定小于中位数． 对于两人的说法，判断正确的是（   ） A．两人的说法都正确 B．两人的说法都错误 C．嘉嘉的正确，淇淇的错误 D．嘉嘉的错误，淇淇的正确 【答案】A 【详解】解：设被污染的数据为，由题意得， 把这组数据按照从小到大的顺序排列，第3个数据为24，即中位数为24， ∴无论“■”为何值（之间的），这组数据的中位数都不变，嘉嘉说法正确； 这组数据的平均数， ∵，∴ ∴无论“■”为何值（之间的），这组数据的平均数一定小于中位数，淇淇说法正确； 综上，两人说法都正确． 题型四 求众数 典例1 （25-26八年级下·河北邯郸·期末）在第31个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班的得分分别为：，，，，，，则这组数据的众数为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：将数据从小到大排列为：，，，，，．统计各数值出现的次数：出现1次，出现3次，出现1次，出现1次．其中8出现的次数最多，因此这组数据的众数为8． 迁移应用 1．（23-24八年级下·河北张家口·期末）“国无法不治，民无法不立”，某校开展宪法知识竞赛活动（满分100分），嘉淇说：“我们班的同学的得分是100分”，嘉淇的描述所反映的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【详解】解：∵的同学的得分是100分，∴得分是100分的人数最多， ∴嘉淇的描述所反映的统计量是众数．故选：B 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）五个数据0，，5，2，m的唯一众数为，则m的值为（     ） A．5 B． C．0 D．2 【答案】B 【详解】解：∵五个数据0，，5，2，m的唯一众数为，∴出现的次数最多， ∵已知数据为0，，5，2，每个数据均出现次，∴． 题型五 求四分位数 典例1 （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）2026年河北省第十七届运动会吉祥物为凤娃和凰宝（如图），某商店连续八天销售这款吉祥物的数量（单位：套）分别为33，44，40，34，46，48，44，53，这组数据的第一四分位数为（     ） A．42 B．37 C．40 D．47 【答案】B 【详解】解：将原数据从小到大排序得，33，34，40，44，44，46，48，53， 方法一：数据总个数为8，第一四分位数为前半部分的数的中位数，这组数据的第一四分位数是； 方法二：数据总个数为8，∴，这组数据的第一四分位数是． 迁移应用 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）“幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用以内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高．现随机抽取位市民，他们的幸福感指数分别为，，，，，，，，则该组数据的第一四分位数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将数据从小到大排序为 方法一：，第一四分位数为第个与第个数据的平均数，即； 方法二：第一四分位数为这四个数据的中位数，即． 2．（26-27九年级上·河北衡水·阶段检测）如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（     ） 视力 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 人数 9 15 2 A．中位数，第三四分位数 B．中位数，第一四分位数 C．众数，第三四分位数 D．众数，第一四分位数 【答案】C 【详解】解：计算缺失数据的总人数：根据题意，全班共有40名同学，已知视力为4.7的有9人，视力为5.0的有15人，视力为5.1的有2人，视力为4.8和4.9的人数之和为：（人）． 众数：众数是一组数据中出现次数最多的那个数据，根据分析，视力4.8的人数最多只能是14人（此时4.9为0人），视力4.9的人数最多也只能是14人（此时4.8为0人），因为视力为5.0的有15人，所以视力5.0的人数（15人）始终是这组数据中出现次数最多的，可以确定这组数据的众数一定是5.0． 中位数：中位数是将一组数据从小到大排列后，处于中间位置的数，如果数据个数是偶数，则取中间两个数的平均数．全班共有40人，是偶数，所以中位数是排序后第20个数据和第21个数据的平均数．视力4.7有9人，占据了第1到第9的位置；视力4.8和4.9共有14人，占据了第10到第23的位置；因为第20个数据和第21个数据都落在第10到第23这个范围内，所以这两个数据对应的视力值只能是4.8或者4.9．由于我们不知道视力4.8和4.9具体各有多少人，所以无法确定第20个和第21个数据具体是4.8还是4.9，也就无法确定中位数的具体数值． 分析四分位数：第一四分位数（）是前一半数据的中位数，第三四分位数（）是后一半数据的中位数．第一四分位数，即第10个数据，第10个数据落在视力4.8或4.9的范围内，具体数值取决于4.8和4.9的人数分配，因此无法确定；第三四分位数，即第30个数据，视力4.7、4.8、4.9的人数总和为人，视力5.0有15人，占据了第24到第38的位置，第30个数据位于第24到第38之间，对应的视力值一定是5.0． 根据以上分析，众数可以确定为5.0，中位数无法确定，第一四分位数无法确定．观察选项： 选项A，中位数，第三四分位数（中位数不确定），不符合题意； 选项B，中位数，第一四分位数（中位数、第一四分位数都不确定），不符合题意； 选项C，众数，第三四分位数（众数确定，第三四分位数确定），符合题意； 选项D，众数，第一四分位数（第一四分位数不确定），不符合题意． 题型六 画箱线图 典例1 （25-26八年级上·河北张家口·期末）甲、乙两地11月16﹣31日每日最高气温（单位：）依次如下： 甲地 15 12 12 12 12 12 15 15 15 15 8 8 5 9 9 9 乙地 15 14 18 12 12 12 13 13 15 15 9 5 9 10 12 10 (1)求甲地日最高气温数据的四分位数； (2)如图是利用计算机软件绘制的甲、乙两地日最高气温的箱线图（有残缺），结合（1）中的结论，你能做出什么判断？ 【答案】(1) (2)解：结合箱线图的判断从箱线图和四分位数可以得出以下结论： 平均气温：乙地的中位数（约 12）与甲地的中位数（12）接近，但整体箱线位置更高，说明乙地平均气温略高于甲地； 气温稳定性：乙地的箱线更窄（四分位数范围更小），说明乙地气温波动更小，更稳定；甲地箱线较宽，气温波动更大，乙地整体气温分布更集中． 【详解】（1）解：由题意，将甲地数据从小到大排序：5，8，8，9，9，9，12，12，12，12，12，15，15，15，15，15， ∴第25百分位数，位置，对应第4项数据，得； 第75百分位数，位置，对应第12项数据，得． 答：； （2）略 迁移应用 1．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）甲，乙两家汽车零售店各9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 甲公司：13，4，2，10，2，8，11，7，14； 乙公司：8，5，3，11，9，12，8，7，9． (1)求甲公司汽车销量的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙公司的箱线图，请在该图中绘制出甲公司的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个公司汽车销量的看法． 【答案】(1)3，8，12；或4，8，11 (2)或 (3)乙公司的四分位距更小，数据更集中；甲公司四分位距更大，销量差距更大，甲公司有较高的销量上限，但是最低销量也更低，销售人员之间业绩差距悬殊． 【详解】（1）解：方法一： 先将甲公司的9个销量数据从小到大排序： 2，2，4，7，8，10，11，13，14；总数据量： 中位数为； 第一四分位数​是前半部分的中位数：； 第三四分位数​是后半部分的中位数：． ∴甲公司销量的四分位数为：第一四分位数是3，中位数是8，第三四分位数是12． 方法二： 先将甲公司的9个销量数据从小到大排序： 2，2，4，7，8，10，11，13，14；总数据量： 中位数为； ， ∵都不是整数， 第一四分位数​是排序后的第3个数据为：4； 第三四分位数是排序后的第7据为：11； ∴甲公司销量的四分位数为：第一四分位数是4，中位数是8，第三四分位数是11． （2）略． （3）解：∵ 由乙公司箱线图知：乙公司第一四分位数 6，中位数 8，第三四分位数 10． ∴对比箱线图可以看到：乙公司的四分位距更小，数据更集中；甲公司四分位距更大，销量差距更大，甲公司有较高的销量上限，但是最低销量也更低，销售人员之间业绩差距悬殊． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）某班甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数，和中位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． 【答案】(1)，， (2) 如答图所示： （1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 共10个数，， 所以； （2）略 题型七 求方差 典例1 （24-25九年级上·河北石家庄·期中）某同学进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：），此时这组成绩的平均数是，方差是若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】C 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为，，，，， 由题意可知，，. 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ∴，故选：C． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某场比赛，共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到8个有效评分，8个有效评分的方差与10个原始评分的方差相比（   ） A．不变 B．变大 C．变小 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：从10个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分后，数据的波动变小，故方差变小． 故选：C 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持不变的是（　　） A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】A 【详解】解：一组数据的每一个数都加上1，则新数据的平均数改变，中位数改变，众数改变，但是方差不变．故选：A． 题型八 求离差平方和及其应用 典例1 （26-27九年级上·河北衡水·阶段检测）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是_____． 【答案】8.5 【详解】解：第一组的平均数为，组内离差平方和为； 第二组的平均数为，组内离差平方和为； ∴总组内离差平方和为． 迁移应用 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组，，序号③的组内离差平方和最小，即盆植物的最优分组序号是③． 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高（单位：cm），数据如下： 八（1）班：154，161，149，158，162，155，160，152，156，163； 八（2）班：148，150，166，168，152，155，158，149，165，159． (1)分别计算两组数据的离差平方和； (2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大． 【答案】(1)八（1）班身高数据的离差平方和为，八（2）班身高数据的离差平方和为 (2)八（2）班的身高数据离散程度更大 【详解】（1）解：设八（1）班身高的平均数为，八（2）班身高的平均数为， 则， ， ∴八（1）班离差平方和为 ； 八（2）班离差平方和为 ； （2）解：∵ 两个班身高数据的样本容量相同，平均数相同，且离差平方和， ∴ 八（2）班的身高数据离散程度更大． 题型九 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 典例1 （25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 产量 17 21 19 18 20 19 这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（   ） A．18，2000 B．19，1900 C．，1900 D．19，1850 【答案】B 【详解】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：17，18，19，19，20，21．位于最中间的两个数是19和19，所以这组数据的中位数是；从100棵樱桃树中随机采摘6棵的平均产量为（千克），所以估计樱桃的总产量（千克），故选：B． 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值为， 这名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 ，故选：C． 2．（22-23九年级上·河北保定·期中）从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性，下面叙述正确的是（    ） A．样本容量越大，样本平均数就越大 B．样本容量越大，样本的标准差就越大 C．样本容量越小，样本平均标准差就越大 D．样本容量越大，对总体的估计就越准确 【答案】D 【详解】解：A、样本容量越大，样本平均数就越大，叙述错误； B、样本容量越大，样本的标准差就越大，叙述错误； C、样本容量越小，样本平均标准差就越大，叙述错误； D、样本容量越大，对总体的估计就越准确，叙述正确； 故选：D. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下�北京�期末）当前，人工智能新技术不断突破、新产业持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”“智谱清言”这6种人工智能软件的人数分别为：24，29，26，26，28，30，则这组数据的中位数是（     ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，．∵这组数据共有个，个数为偶数，中位数是排序后第个和第个数据的平均数，∴这组数据的中位数为． 2．（25-26八年级下�北京�期末）2026年3月14日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，燕山地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，9分，8分，则小越的作品总成绩为（     ） A．27分 B．9.3分 C．9分 D．8.7分 【答案】B 【详解】∵三项得分的权重比为，三项得分分别为分，分，分， ∴总成绩（分）． 3．（25-26八年级下�北京朝阳�期末）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示． 则这个跳水队运动员的年龄的众数是（     ） A．14 B．15 C．16 D．24 【答案】B 【详解】解：由条形统计图可得：年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，∵，∴年龄为岁的人数最多，∴这个跳水队运动员的年龄的众数是 ． 4．（25-26八年级下�北京�阶段检测）如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是（     ）同学． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】解：根据题意得：丙，丁的平均数高于甲，乙，且丙的方差低于丁的方差，所以丙为最佳人选． 5．（25-26八年级下�浙江杭州�期中）若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】14 【详解】解：设这组数据的平均数为，由题意得，，，， ∴这组数据的离差平方和是． 6．（25-26八年级下�北京昌平�期末）为了解某校初二年级200名女生的跳绳情况，从中随机抽取40名女生进行调查，体育委员统计了60秒跳绳的次数，列出如下频数分布表： 次数 频数 3 4 8 20 5 根据以上数据，估计全年级女生跳绳次数在范围的女生的人数共_________． 【答案】名 【详解】解：由频数分布表可得，样本中跳绳次数在范围的频数为， 根据用样本估计总体的方法，估计全年级该范围的女生人数为：（名）． 7．（26-27九年级上�江苏苏州�阶段检测）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：，，，，．这组数据的方差是_______． 【答案】 【详解】解：平均数， 各数与平均数的差的平方和为，方差． 8．（26-27九年级上�江苏苏州�阶段检测）中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： (1)写出扇形图中______________，并补全条形图； (2)在这次抽测中，测试成绩的众数是______________中位数是______________，第一四分位数是______________． (3)该区体育中考选报引体向上的男生共有人，如果体育中考引体向上达个以上（含个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 【答案】(1) (2)，， (3)估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有人 【详解】（1）解：扇形统计图中， 由扇形统计图可知测试成绩为个的占总数的，由条形统计图可知测试成绩为个的有人， 抽测的总人数为人， 测试成绩为的人数为人， 补全条形统计图如下图所示： （2）解：测试成绩中出现次数最多的是个，占总数的， 这次抽测中，测试成绩的众数是； 由条形统计图可知测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为， 把测试成绩按照从小到大的顺序排列第个和个的成绩均为， 测试成绩的中位数是； 方法一、把测试成绩按照从小到大的顺序排列前名的成绩中，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为，测试成绩为个的人数为， 其中第名的成绩为，第名的成绩为， 前名的成绩的中位数是， 这组数据的第一四分位数是； 方法二、把抽测的名学生的成绩按照从小到大的顺序排列前的学生即第名学生的成绩是，第名学生的成绩为， 这组数据的第一四分位数是； （3）解：抽测的名学生中测试成绩达到个以上（含个）的占， 估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有人． 9．（25-26八年级上�辽宁沈阳�期末）【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)分别求，两名选手平均成绩？ (2)如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 (3)对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 【答案】(1)，两名选手平均成绩分别为，9 (2)；9；9.5 (3)选择B选手参加青少年射击比赛 【详解】（1）解：选手A的平均成绩为： ， 选手B的平均成绩为： ； （2）解：选手A的成绩从小到大排列为：6，7，8，9，9，9，10，10， 下四分位数为，则，即； 中位数为，则，即； 上四分位数为，则，即； 故答案为：；9；9.5； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： ，两名选手的中位数相等，B选手平均成绩更高，方差更小， 则成绩更稳定，能力更强， 因此，选择B选手参加青少年射击比赛． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（2025�江苏南京�二模）若第一组数据各不相等）的平均数为，则第二组数据，b，c，d，e，m与第一组数据相比（   ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变大，方差不变 D．平均数不变，方差变小 【答案】D 【详解】解：由题意可知，第二组数据，，，，，与第一组数据相比，平均数不变， 设第一组数据的方差为，第二组数据的方差为，则，， ， ，若第一组数据，，，，的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比平均数不变，方差变小．故选：D． 2．（2022�福建莆田�一模）近期，某社区的“党建＋”邻里中心组织居民进行核酸检测，每天安排的志愿者人数如图所示，统计数据后，工作人员发现星期三实际上有21位志愿者，那么下列关于平均数和中位数的变化情况的叙述中，正确的是（    ） A．平均数增加了1，中位数不变 B．平均数增加了1，中位数增加了1 C．平均数增加了5，中位数增加了1 D．平均数增加了1，中位数增加了5 【答案】B 【详解】解：平均数增加了：，原数据从小到大排列为：16，16，20，22，26，中位数为20， 新数据从小到大排列为：16，20，21，22，26，中位数为21，则中位数增加了1， 故选：B． 3．（25-26八年级上�河南驻马店�期末）在“大家跳起来”的学校跳操比赛中，八年级参赛的10名学生成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（   ） A．众数是90分 B．中位数是85分 C．平均数是89分 D．分位数是90分 【答案】B 【详解】解：∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90分，故A正确； ∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是分，故B错误； ∵平均数是分，故C正确； ∵从小到大排序，后5个数，90，90，90，95，95，∴分位数是90分，故D正确． 综上所述，B选项符合题意，故选：B． 4．（26-27九年级上�浙江温州�开学考试）统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：公顷）数据：0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案：规定两组组内离差平方和之和越小，分组越合理． 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（     ） A．组序1 B．组序2 C．组序3 D．组序4 【答案】C 【详解】解：分别计算各组序的两组组内离差平方和之和： 组序1：， 组序2：， 组序3：， 组序4：， ∵， ∴组序3的分组最合理． 5．（2022�江苏泰州�三模）某花店有单位为10元、18元、25元三种价格的花卉，如图是该花店某月三种花卉销售量情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该花店销售花卉的平均单价为_______元． 【答案】17 【详解】解：该花店销售花卉的平均单价为：（元）． 6．（26-27九年级上�河北石家庄�阶段检测）将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差、第三四分位数这五个统计量中，值保持不变的是________． 【答案】方差 【详解】解：设原数据的众数为，中位数为，平均数为，方差为，第三四分位数为，数据个数为， ∵将一组数据中的每一个数都加上， ∴新数据的众数为，发生改变；新数据的中位数为，发生改变； 新数据的平均数为，发生改变； 新数据的第三四分位数为，发生改变； 新数据的方差为，∴值保持不变的统计量是方差. 7．（河南平顶山市鲁山县第五教研区2026年中考学科适应性第三次调研 数 学）甲、乙、丙三名射击队员参加一次选拔赛，每人射击10枪，按射击总环数大小确定名次并进入下一轮比赛、若总环数相同，则稳定性更好的队员晋级，射击成绩如图所示，你认为应选择______晋级． 【答案】乙 【详解】解：甲成绩的平均数为， 方差为； 乙成绩的平均数为， 方差为； 丙成绩的平均数为， 方差为； ∵，∴乙的发挥更稳定．故答案为乙． 8．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A，B，C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． ．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分） 不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ① ② ③ 八年级 ．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中，①处应填________，③处应填________． (2)求②． (3)基于上述材料分析，可以发现________年级学生成绩更稳定． (4)若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 【答案】(1)；96 (2) (3)八 (4)100名 【详解】（1）解：把七年级12名学生的成绩按照从低打到高的顺序排列为：，，，，，，，，，，，， ∵得分为70的人数最多， ∴七年级12名学生的成绩的众数为70； 方法1：排序后的后面6个数的中位数为，则； 方法2：，则七年级学生的成绩的第三四分位数为排序后的第9个数据和第10个数据的平均数，则七年级学生的成绩的； 综上所述，七年级学生的成绩的； （2）解：把七年级12名学生的成绩按照从低打到高的顺序，中位数为第6个数据和第7个数据的平均数，即为； （3）解：∵七年级学生的成绩的方差为，八年级学生的成绩的方差为，且， ∴八年级学生成绩更稳定； （4）解：（名）， 答：估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数为100名． 9．（2026�江苏淮安�中考真题）国家体育总局、教育部等部门相关文件明确要求中小学生每天体育锻炼时间不少于．为响应号召，某校大幅增加学生在校体育锻炼时长，并动员学生节假日也要积极进行体育锻炼． 【数据收集】该校在动员前、后分别随机抽取了名学生进行问卷调查，了解学生节假日锻炼情况． 节假日锻炼情况调查问卷亲爱的孩子： 你好！为了解大家的节假日锻炼情况，诚邀你参与本次匿名调查．1．你喜欢的锻炼方式有（     ） A．跳绳    B．骑行    C．跑步    D．球类运动    E．游泳    F．其他 2．一般情况下，你节假日的每天锻炼时长为__________．（单位：） …… 【数据整理】对所收集问卷中的节假日每天锻炼时长数据进行整理，用（单位：）表示时长，分成五组：A组，B组，C组，D组，E组． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 动员前 动员后 2 2 【问题解决】 (1)填空：__________，动员前中位数落在__________组． (2)该校共有名学生，分别估计动员前与动员后该校学生中节假日每天锻炼时长不低于的人数． (3)结合两次调查数据，对该校学生节假日每天锻炼时长的变化情况作出评价． 【答案】(1)；C (2)动员前锻炼时长不低于的人数为人，动员后锻炼时长不低于的人数为人． (3)动员后该校学生节假日每天锻炼时长不低于的人数比动员前的人数有明显增加，故学校进行动员活动，可以鼓励学生每天锻炼时长的增加． 【详解】（1）解：由图可得， ∵对名学生进行问卷调查， ∴动员前中位数是第人和第人时长的平均数， 又∵动员前A组、B组人数之和为，动员前A组、B组、C组人数之和为， ∴动员前中位数落在C组． （2）解：由图可得，动员前锻炼时长不低于的人数为人，动员后锻炼时长不低于的人数为人， ∴动员前锻炼时长不低于的人数所占百分比为， 动员后锻炼时长不低于的人数所占百分比为， ∴当该校有名学生时，估计动员前锻炼时长不低于的人数为（人）， 动员后锻炼时长不低于的人数为（人）． （3）略 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数据分析与统计估计 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 平均数与加权平均数 考点二 中位数与众数 考点三 四分位数与箱线图 考点四 方差与离差平方和 考点五 用样本推断总体 05 重难题型突破 题型一 求一组数据的平均数 题型二 求加权平均数 题型三 求中位数 题型四 求众数 题型五 求四分位数 题型六 画箱线图 题型七 求方差 题型八 求离差平方和及其应用 题型九 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 核心考点：算术平均数、加权平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体；区分集中趋势与离散程度；加权权重、方差意义（方差越大波动越大） 题型特点：以选择、填空、小型解答为主；必考 1 道统计简答（补信息、求统计量、评价数据）；极少和几何综合 难易度：★☆（基础送分专题） 命题特点：题干贴近生活（打分、成绩、产量），陷阱集中：加权平均数直接算术平均、中位数排序忘记、方差公式计算失误；属于整套试卷保底题，区分度很低. 识记 1. 记住平均数、加权平均数、中位数、众数、方差定义； 2. 记住方差的意义； 3. 记住样本、总体概念 理解 1. 理解加权平均数中 “权重” 的作用； 2. 理解中位数、众数、平均数分别刻画的集中趋势； 3. 理解方差反映数据波动大小 应用 1. 会计算各类统计量； 2. 能用样本估计总体； 3. 结合统计结果做出简单分析、评价、决策 考点一 平均数与加权平均数 1.算术平均数：一般地，我们把n个数x1，x2，…，xn的和与n的比值，叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作，读作 “x 拔”,即=． 2.加权平均数：已知n个数x1，x2，…，xn，若ω1，ω2，…，ωn为一组正数，则把叫做n个数x1，x2，…，xn的加权平均数．ω1，ω2 ，…，ωn分别叫作这n个数的权重． ⚠️概念辨析 算术平均数是加权平均数的特殊情况：当所有权重相等时，加权平均数 = 算术平均数 ⚠️避坑指南 ❌ 平均数：用到全部数据，易受极端值影响； ❌ 求加权平均数，不能直接把数据相加除以数据个数！ ⚠️易混易错 权重不一定是百分数，也可以是次数、比分、数量；权重之和不一定等于 1 ⚠️记忆口诀 加权平均看权重，权重不同不能匀 考点二 中位数与众数 1.中位数：一般地,将n个数据按大小顺序排列,若n 为奇数,则把处于中间位置的数据叫作这组数据的中位数；若n为偶数,则把处于中间位置的两个数据的平均数叫作这组数据的中位数. 2.众数：一般地,把一组数据中出现次数最多的数据叫作众数.一组数据的众数可能不止一个,也可能没有众数. ⚠️概念辨析 中位数：只和位置有关，不受极端值影响； 众数：侧重出现频次，反映最常出现的数据。 ⚠️避坑指南 ❌ 求中位数第一步必须排序！ 直接拿原始顺序中间数字是最高发错误。 ⚠️易混易错 众数是数据本身，不是该数据出现的次数。 ⚠️记忆口诀 中位数，先排序；奇取中，偶取均；众数看次数，可以多个存。 考点三 四分位数与箱线图 1.四分位数：一般地,用 m50 表示一组数据的中位数,那么,中位数把这组数据分为两组,用 m25 和 m75 分别表示第一组数据和第二组数据的中位数.这样,m25,m50,m75 这三个数就把这组数据分为个数相等的四组,这三个数叫作这组数据的四分位数.其中,m25,m50,m75 分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数(或25%分位数、50%分位数、75%分位数). 2.箱线图：为了直观地表示两组数据,便于对比它们的整体分布情况,还可以借助四分位数及数据的最小值和最大值,绘制出形如由一个箱子和两条线段组成的图形,从而得到箱线图. ⚠️概念辨析 方差、标准差反映整体波动；四分位距只看中间 50% 数据的波动，抗极端值能力更强。 ⚠️避坑指南 ❌ 四分位数计算前，数据必须从小到大排序； ❌ 箱线图箱子的长度代表四分位距，箱子越长，中间一半数据越分散。 ⚠️易混易错 Q2就是中位数，但中位数≠Q1、Q3；不要把四分位距当成Q3+Q1。 ⚠️记忆口诀 四分三份切四片，箱图五点记心间；最小Q1中Q3大，箱长就是四分距。 考点四 方差与离差平方和 1.方差：设n个数据x1,…,xn 的平均数为,各数据与平均数偏差的平方分别是 .偏差平方的平均数叫作这组数据的方差,用s2表示,即 . 2.离差平方和：我们称 为这组数据的离差平方和. ⚠️概念辨析 离差平方和是总和，和数据个数有关；方差是平均后的结果，可以用来比较两组数据个数不同的数据稳定性。 ⚠️避坑指南 ❌ 比较稳定性，前提：两组数据是同一类指标；方差不带单位（原数据单位的平方）。 ⚠️易混易错 ① 是减去平均数再平方，不是先平方再减平均数； ② 波动大≠数据大，方差和数据本身大小没有必然关系； ③ 不要把方差和四分位距混为一谈。 ⚠️记忆口诀 离差平方求总和，方差均分再判断；方差大，波动乱，方差小，稳如山。 考点五 用样本推断总体 1. 核心思想：从总体中抽取合适的样本，用样本的统计量（平均数、中位数、方差等）去估计总体的统计量。 2. 抽样原则：样本具有随机性、代表性，样本容量不能太小 ⚠️概念辨析 用样本估计总体，得到的是估计值，不是总体真实值；样本容量越大，估计一般越精准，但依然存在误差。 ⚠️避坑指南 ❌ 抽样调查时，样本不能有偏向（比如只抽男生估计全校学生身高，样本不具备代表性）。 ⚠️易混易错 样本容量是样本中个体的数量，不带单位；不要说成 “样本容量 50 人”，正确：样本容量 50。 ⚠️记忆口诀 抽样本，估总体，随机代表是前提；容量大，更接近，只是估计不是定。 题型一 求一组数据的平均数 典例1 （25-26九年级上·河北唐山·期中）为弘扬爱国主义精神，某学校组织了歌咏比赛，如图是20位评委给901班的评分情况统计图，统计图中人数部分污损，则901班平均得分是（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 迁移应用 1．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是老师随机抽查本班10名学生读课外书册数的情况绘制成的条形统计图，则这10名学生读书册数的平均数是（   ） A．7 B．7.2 C．7.5 D．7.8 2．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）在计算100个数的平均数时，将其中的一个数100错看成了1000，则此时计算出来的平均数比实际结果多（   ） A．9 B．10 C．19 D．2 题型二 求加权平均数 典例1 （24-25九年级上·河北衡水·期中）体育学科越来越得到重视，某中学规定学生的学期体育成绩满分分，其中健康知识考试成绩占，体育技能考试成绩占，小明的这三项成绩（百分制）依次为，则小明这学期的体育成绩为（    ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（24-25八年级下·河北唐山·阶段检测）某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 2．（25-26八年级下·河北保定·期末）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（     ） A．元 B．元 C．元 D．8元 题型三 求中位数 典例1 （24-25九年级上·河北沧州·阶段检测）某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（   ） A． B．6 C． D．5 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北邢台·期中）为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成如图所示的统计图（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．（25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一个不完整的题目：某同学在处理一组数据“15，24，11，30，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，两位同学思考后得到如下结论． 嘉嘉：无论“■”为何值（之间的），这组数据的中位数都不变； 淇淇：无论“■”为何值（之间的），这组数据的平均数一定小于中位数． 对于两人的说法，判断正确的是（   ） A．两人的说法都正确 B．两人的说法都错误 C．嘉嘉的正确，淇淇的错误 D．嘉嘉的错误，淇淇的正确 题型四 求众数 典例1 （25-26八年级下·河北邯郸·期末）在第31个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班的得分分别为：，，，，，，则这组数据的众数为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 迁移应用 1．（23-24八年级下·河北张家口·期末）“国无法不治，民无法不立”，某校开展宪法知识竞赛活动（满分100分），嘉淇说：“我们班的同学的得分是100分”，嘉淇的描述所反映的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）五个数据0，，5，2，m的唯一众数为，则m的值为（     ） A．5 B． C．0 D．2 题型五 求四分位数 典例1 （26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）2026年河北省第十七届运动会吉祥物为凤娃和凰宝（如图），某商店连续八天销售这款吉祥物的数量（单位：套）分别为33，44，40，34，46，48，44，53，这组数据的第一四分位数为（     ） A．42 B．37 C．40 D．47 迁移应用 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）“幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用以内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高．现随机抽取位市民，他们的幸福感指数分别为，，，，，，，，则该组数据的第一四分位数为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·河北衡水·阶段检测）如图是某班40名同学的视力情况统计表，其中有部分数据被墨迹遮挡，下列统计量中，仍能根据目前已知的数据分析确定的有（     ） 视力 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 人数 9 15 2 A．中位数，第三四分位数 B．中位数，第一四分位数 C．众数，第三四分位数 D．众数，第一四分位数 题型六 画箱线图 典例1 （25-26八年级上·河北张家口·期末）甲、乙两地11月16﹣31日每日最高气温（单位：）依次如下： 甲地 15 12 12 12 12 12 15 15 15 15 8 8 5 9 9 9 乙地 15 14 18 12 12 12 13 13 15 15 9 5 9 10 12 10 (1)求甲地日最高气温数据的四分位数； (2)如图是利用计算机软件绘制的甲、乙两地日最高气温的箱线图（有残缺），结合（1）中的结论，你能做出什么判断？ 迁移应用 1．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）甲，乙两家汽车零售店各9名销售人员10月份销售的汽车数量（单位：辆）如下： 甲公司：13，4，2，10，2，8，11，7，14； 乙公司：8，5，3，11，9，12，8，7，9． (1)求甲公司汽车销量的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙公司的箱线图，请在该图中绘制出甲公司的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个公司汽车销量的看法． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）某班甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的四分位数，和中位数； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． 题型七 求方差 典例1 （24-25九年级上·河北石家庄·期中）某同学进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：），此时这组成绩的平均数是，方差是若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则正确的是（   ） A． B． C． D．无法比较与的大小 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某场比赛，共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到8个有效评分，8个有效评分的方差与10个原始评分的方差相比（   ） A．不变 B．变大 C．变小 D．不能确定 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）将一组数据中的每一个数都加上1得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持不变的是（　　） A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 题型八 求离差平方和及其应用 典例1 （26-27九年级上·河北衡水·阶段检测）把数据2，4，6，9，10分成与两组，则组内离差平方和是_____． 迁移应用 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是__________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 40 ② 第一组2个，第二组2个 88 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高（单位：cm），数据如下： 八（1）班：154，161，149，158，162，155，160，152，156，163； 八（2）班：148，150，166，168，152，155，158，149，165，159． (1)分别计算两组数据的离差平方和； (2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大． 题型九 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 典例1 （25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 产量 17 21 19 18 20 19 这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（   ） A．18，2000 B．19，1900 C．，1900 D．19，1850 迁移应用 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河北保定·期中）从总体中抽取一部分数据作为样本去估计总体的某种属性，下面叙述正确的是（    ） A．样本容量越大，样本平均数就越大 B．样本容量越大，样本的标准差就越大 C．样本容量越小，样本平均标准差就越大 D．样本容量越大，对总体的估计就越准确 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下�北京�期末）当前，人工智能新技术不断突破、新产业持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”“智谱清言”这6种人工智能软件的人数分别为：24，29，26，26，28，30，则这组数据的中位数是（     ） A．24 B．25 C．26 D．27 2．（25-26八年级下�北京�期末）2026年3月14日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，燕山地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，9分，8分，则小越的作品总成绩为（     ） A．27分 B．9.3分 C．9分 D．8.7分 3．（25-26八年级下�北京朝阳�期末）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示． 则这个跳水队运动员的年龄的众数是（     ） A．14 B．15 C．16 D．24 4．（25-26八年级下�北京�阶段检测）如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是（     ）同学． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（25-26八年级下�浙江杭州�期中）若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 6．（25-26八年级下�北京昌平�期末）为了解某校初二年级200名女生的跳绳情况，从中随机抽取40名女生进行调查，体育委员统计了60秒跳绳的次数，列出如下频数分布表： 次数 频数 3 4 8 20 5 根据以上数据，估计全年级女生跳绳次数在范围的女生的人数共_________． 7．（26-27九年级上�江苏苏州�阶段检测）学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：），分别为：，，，，．这组数据的方差是_______． 8．（26-27九年级上�江苏苏州�阶段检测）中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： (1)写出扇形图中______________，并补全条形图； (2)在这次抽测中，测试成绩的众数是______________中位数是______________，第一四分位数是__________． (3)该区体育中考选报引体向上的男生共有人，如果体育中考引体向上达个以上（含个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 9．（25-26八年级上�辽宁沈阳�期末）【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)分别求，两名选手平均成绩？ (2)如下表格：求表中的，，． 选手 最小值、四分位数、最大值和方差 最小值 最大值 方差 6 10 1.75 8 8 9 10 10 0.75 (3)对上面数据进行分析时，可以从平均数、方差角度进行分析，也可以从四分位数、箱线图角度进行分析．请选择一个角度说明，从他们中选拔一人参加青少年射击比赛，你将选谁？ 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（2025�江苏南京�二模）若第一组数据各不相等）的平均数为，则第二组数据，b，c，d，e，m与第一组数据相比（   ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数变大，方差不变 D．平均数不变，方差变小 2．（2022�福建莆田�一模）近期，某社区的“党建＋”邻里中心组织居民进行核酸检测，每天安排的志愿者人数如图所示，统计数据后，工作人员发现星期三实际上有21位志愿者，那么下列关于平均数和中位数的变化情况的叙述中，正确的是（    ） A．平均数增加了1，中位数不变 B．平均数增加了1，中位数增加了1 C．平均数增加了5，中位数增加了1 D．平均数增加了1，中位数增加了5 3．（25-26八年级上�河南驻马店�期末）在“大家跳起来”的学校跳操比赛中，八年级参赛的10名学生成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（   ） A．众数是90分 B．中位数是85分 C．平均数是89分 D．分位数是90分 4．（26-27九年级上�浙江温州�开学考试）统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：公顷）数据：0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案：规定两组组内离差平方和之和越小，分组越合理． 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（     ） A．组序1 B．组序2 C．组序3 D．组序4 5．（2022�江苏泰州�三模）某花店有单位为10元、18元、25元三种价格的花卉，如图是该花店某月三种花卉销售量情况的扇形统计图，根据该统计图可算得该花店销售花卉的平均单价为_______元． 6．（26-27九年级上�河北石家庄�阶段检测）将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差、第三四分位数这五个统计量中，值保持不变的是________． 7．（河南平顶山市鲁山县第五教研区2026年中考学科适应性第三次调研 数 学）甲、乙、丙三名射击队员参加一次选拔赛，每人射击10枪，按射击总环数大小确定名次并进入下一轮比赛、若总环数相同，则稳定性更好的队员晋级，射击成绩如图所示，你认为应选择______晋级． 8．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A，B，C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计整理．下面给出了部分信息： 七年级：，，，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，，，． ．抽取的七、八年级学生成绩（单位：分） 不完整的统计表如下： 年级 平均数 众数 方差 最小值 四分位数 最大值 七年级 ① ② ③ 八年级 ．抽取的七、八年级学生成绩绘制成的不完整箱线图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中，①处应填________，③处应填________． (2)求②． (3)基于上述材料分析，可以发现________年级学生成绩更稳定． (4)若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过94分的人数． 9．（2026�江苏淮安�中考真题）国家体育总局、教育部等部门相关文件明确要求中小学生每天体育锻炼时间不少于．为响应号召，某校大幅增加学生在校体育锻炼时长，并动员学生节假日也要积极进行体育锻炼． 【数据收集】该校在动员前、后分别随机抽取了名学生进行问卷调查，了解学生节假日锻炼情况． 节假日锻炼情况调查问卷亲爱的孩子： 你好！为了解大家的节假日锻炼情况，诚邀你参与本次匿名调查．1．你喜欢的锻炼方式有（     ） A．跳绳    B．骑行    C．跑步    D．球类运动    E．游泳    F．其他 2．一般情况下，你节假日的每天锻炼时长为__________．（单位：） …… 【数据整理】对所收集问卷中的节假日每天锻炼时长数据进行整理，用（单位：）表示时长，分成五组：A组，B组，C组，D组，E组． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 动员前 动员后 2 2 【问题解决】 (1)填空：__________，动员前中位数落在__________组． (2)该校共有名学生，分别估计动员前与动员后该校学生中节假日每天锻炼时长不低于的人数． (3)结合两次调查数据，对该校学生节假日每天锻炼时长的变化情况作出评价． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $